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Full text of "L'Enseignement mathématique"

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L'ENSEIGNEMENT 

MATHÉMATIQUE 



Digitized by the Internet Archive 

in 2010 with funding from 

University of Ottawa 



http://www.archive.org/details/lenseignementmat05inte 



L'ENSEIGNEMENT 

MATHEMATIQUE 



REVUE liMTERNATION ALE 



P A i; A I s s A N r 1' O U s LES DEUX MOIS 



DIKIGlili PAR 



C.-A. LAISANT 

Docleiif es sciences. 

Examinalciir irailmission à l'Ecole pol\ tecliiii<)ue 
He Paiis. 



H. FEHR 

Diicleur es sciences. 

Professeur à l'Uiiiversilé «le Genève 
et an Gvmnase. 



AVEC l.A COLLABOKATION DE A. BUHL, Docteur ès sciences. 



<:O.MirE un l'ATKO.NACJE 

p. APPELL (f'aiis). — N. BOUGAIEV (Moscou). — .Moh.tz CANTOR (llei.lelberg). 

L. CREMONA (liome). — E. CZUBER (Vienne). — Z.-G. DE GALDEANO (Saragoss.). 

A.-G. GREENHILL (Wooiwicli). — F. KLEIN ((JôUii.gen). 

P. MANSION (GaïKi). — MITTAG-LEFFLER (Slockl.olm). — G. OLTRAMARE (Genève). 

JiLiis PETERSEN (Copenlia-ue). — E. PICARD (Paris).— H. POINCARÉ (Paris). 

P. -H. SCHOUTE (Groningue). — C. STEPHANOS (Athènes). — F. Gomks TEIXEIRA (Porto, 

A. VASSILIEF (Ivasan). — A. ZIWET (Aun-aruor, Michisau. U. S. A..). 



V Année. 1903. 



^ 




PARIS 

C. NAUD, EDITEUR 

3, RUE II AGI NE, 3 



1903 



A NOS f.ECTEUUS 



Au début de cette nouvelle année 1903, nous nous con- 
formons à une pratique devenue pour ainsi dire une tra- 
dition depuis qu'a été fondée notre Revue. Elle a sa raison 
d'être, car il est bien rare qu'une circonstance ne se pré- 
sente pas chaque année, méritant d'être signalée d'une 
façon spéciale, autrement que par un article ordinaire. 

Il en est une, cette fois, qui a certainement été remar- 
quée déjà, mais sur laquelle nous voulons attirer votre 
attention. C'est l'adjonction, à la rédaction, d'un nouveau 
collaborateur qui a bien voulu répondre à notre appel et 
à qui nous témoignons ici notre reconnaissance. Parmi 
les jeunes savants français, M. Buhl a pris une place 
importante en peu d'années ; il s'est fait à lui-même sa 
première éducation mathématique; et, grâce à des facul- 
tés exceptionnelles, jointes à une prodigieuse puissance 
de travail, il a pu conquérir rapidement des grades scien- 
tifiques auxquels on n'atteint en général que bien plus 
lentement. Nous serions mal à Taise, et un peu suspects, 
pour dire ici de lui tout le bien que nous en ])cnsons ; 
mais nous avons le droit de déclarer que son entrée à la 
direction est une bonne fortune et une garantie d avenir 
pour l'Enseignement mathématique. 

En remerciant nos collaborateurs et correspondants, 
parmi lesquels nous n'avons garde d'oublier les membres 
de notre comité de patronage, nous croyons ilevoir spé- 



2 .4 yOS LECTEURS 

Gialemeiit insister sur ce qui concerne ceux d'entre eux 
orui ont bien voulu nous envoyer des renseignements sur 
les cours universitaires dans les divers pays. Puissent-ils, 
non seulement nous continuer un si précieux concours, 
mais aussi trouver des imitateurs! Uien ne rentre mieux 
dans le cadre de notre publication ; rien n'est plus de 
nature à intéresser les professeurs et à provoquer des 
progrès dans l'enseignement, par une louable émulation. 
Organisation, nombre et noms des professeurs, pro- 
grammes, répartition des matières enseignées, sanctions 
des études, tout cela est important, tout cela est utile, 
et chacun en profitera. 

Nous apportons tout le soin et toute la sollicitude pos- 
sibles à une publication qui nous est chère ; mais nous 
n'avons aucune prétention à l'infaillibilité. C'est dire que 
si parmi nos correspondants il s'en trouve pour nous 
signaler des critiques ou pour nous suggérer des amélio- 
rations auxf[uelles nous n'aurions pas songé, loin de leur 
en savoir mauvais gré, nous leur aurions au contraire 
une véritable gratitude. Chaque proposition qui nous 
serait faite fera l'objet d'une consciencieuse étude de 
notre part. 

1"]L maintenant, il ne nous reste plus (|u à e\j)riiner à 
tous nos vo'ux les plus sincères pour h)o'^. Ce sont (Tail- 
leurs des vœux égoïstes, car, dans la grande (•o(>])éialion 
cpio nous formons, ils se retournent vers noire Kevue 
flle-nu-me, à hupielle lecteurs, collaborateurs cl corres- 
pondants ne cessent d'apportei' un concours si coidial et 
SI lUilc, 

C.-A. b\IS\>l, II. l'^i;!!!». 



LES 

APPLICATIONS DU CALCUL DES PUOBABILITÉS 

A LA MÉTHODE S C lEXTI P lO UE 



Chapitre I. — Le problème du calcul des probabilités 
Position du problème. — Applications pratiques. 

Le calcul des probabilités est une des parties des sciences 
mathématiques, que les anciens ne paraissent pas avoir connue. 
C'est, semble-t-il, au génie intuitii de Pascal, dont l'attention se 
trouva portée sur les jeux dits de hasard, que les temps modernes 
doivent cette découverte, dont la fécondité, si elle se mesurait 
au succès et à la faveur qu'elle n'a jamais cessé d'obtenir, devrait 
être vraiment énorme. Indépendamment de la valeur philoso- 
phique de ces recherches paradoxales au premier abord, on leur 
a attribué encore une immense portée pratique : beaucoup de 
gens considèrent le calcul des probabilités comme un moyen 
scientifique d'investigation préalable dans les domaines incon- 
nus de l'avenir, un véritable procédé de prévision, de divination. 
Un historien des sciences occultes dans un livre encore assez 
récent, Plytoff, fait une place au calcul des probabilités, parmi 
les sciences divinatoires, h côté de l'oniromancie, ou de la chi- 
romancie, et lui consacre un chapitre entier, à ce titre ('). 

Pour ceux qui ne prétendent pas se servir de cette branche des 
mathématiques pour soulever le voile de l'inconnu, ils ne laissent 
pas cependant de revendiquer pour elle des applications parfois 
inattendues. Des philosophes et des mathématiciens, et non des 



(') Pi,YTOii-, Les sciences occultes, Piiris. J.-B. lîaillioro. iii-ia iSi)!. Ch. 11[. 
p. 4:. (i'i- 



4 -V, VASCHIDE El H. PIEROX 

moindi'cs, tels que Laplace, Condorcct et Poisson, n'ont-ils pas 
cherché dans la mesure des probabilités une approximation su Di- 
sante pour leur permettre de rejeter les raisonnements plus ou 
moins exacts des juges chargés de donner leur avis dans les 
procès et dans les causes, n'ont-ils pas rêvé d un jour où les inno- 
cents et les coupables attendraient leur sort du tirage d'une 
boule blanche ou noire d'une urne où on en mettrait en propor- 
tions définies, tirage réglé par le hasard, un hasard qu'on aurait 
au préalable enchaîné dans des l'ormules mathématiques, rêve 
(jualifié par Stuart Mill le scandale des mathématiques, et qui 
ne laissa pas d'indiguer le robuste bon sens de M. Bertrand. 

Sans aller si loin, la plupart des savants admettent un usage 
du calcul des probabilités dans les sciences, où il devlenl un auxi- 
liaire utile des méthodes de recherche, permettant parfois de 
découvrir rexistence de causes inconnues produisant des modi- 
fications ou des perturbations plus (»u moins constantes, l'^t 
certes nos moyens de rechercher les causes des phénomènes 
sont souvent si restreints qu'un procédé de ce genre qui, s'il 
ne peut définir les causes inconnues en question, peut cependant 
les Indiquer comme un X à résoudre, n'est pas à regarder comme 
négligeable, s'il est réellement capable de rendre de tels ser- 
vices. 

C'est cette (jucstlon de 1 utilité, de la lécondité du calcul des 
probabilités que nous voulons examiner ici surtout. Ce sont ses 
applications qui nous préoccuperont constamment, et surtout ses 
applications dans les sciences les plus conq)lexes, dans les 
sciences budogiques. 

Cependant nous étudierons dabord i)rlèvem(Mit quehpies lor- 
niules malh('inati([ues du calcul des probabilités, ilevanl servir 
parllcullrirmont aux applications concrètes, ailii d fn «'xaminer 
la valeur, l'.nsuite nous glisserons sur la cpieslion de Tappllca- 
tlon du calcul des probabilités :i la connaissance de l'avenir ; et 
enlin nous aborderons le point capital de notre étude, ii savoir 
les applications du calcul des probabilités ii la recherclie des 
causes et a celle des erreurs, |)arlicnllèrenu'nt dans les sciences 
biologujues, la valeui- des a|)|)licali(»ns dej;! laites, b-s conditions 
né(M'Ssaircs de ces jpplicalinns. el leur li-giliniite en gênerai. 



LES APPLICATIONS DU CALCUL DES P RO li A li I L I T E S 5 

Chapithe II. — J'.tposition des principes el des problèmes 
du c a le II l des prob a h ilités . 

Qu'est-ce que c'est qu'une probabilité? — Los théorèmes des probabilités. 
— Le théorème de Bernoulli. — Le théorème de Stirling. — Probabilité 
de l'écart. — Le problème de Buffon. — Intégration des formules. — 
Données critiques de Bertrand. — L'écart probable. — Lécarl moyen. — 
La probabilité des erreurs. 

Dans rexamen du calcul des probabilités, nous ne chercherons 
pas à faire un exposé trop connu des définitions élémentaires. 
Nous voulons seulement mettre quelques points en lumière, qui 
nous paraissent trop souvent négligés, et sur lesquels nous 
reviendrons dans la suite. 

La probabilité d'un événement se définit, comme on le sait, 
par le rapport du nombre des cas favorables h l'arrivée de cet 
événement au nombre total des cas possibles. Mais il y a ici un 
postulat indispensable, c'est a savoir l'égale possibilité de ces 
différents cas possibles ; sans cela, comme le fait remarquer 
M. Bertrand, on pourrait ne considérer que deux cas possibles : 
l'arrivée, et la non-arrivée de l'événement : un seul étant favo- 
rable, la probabilité serait toujours — . 

Cependant il n'est pas toujours nécessaire d'avoir cette égale 
possibilité des différents cas, mais c'est ii une condition expresse : 
il faut alors déterminer la probabilité de ces différents cas, et 
leur attribuer comme coefficient la valeur qui mesure cette pro- 
babilité propre pour chacun d'eux. 

Il y a là un postulat initial absolument fondamental dans ce 
calcul ; s'en passer équivaudrait à vouloir faire de la géométrie 
euclidienne sans le postulat d'Euclide. Nous verrons si ce pos- 
tulat initial a toujours été scrupuleusement respecté. 

Nous n'insisterons pas sur les théorèmes des probabilités totale 
et composée, et nous aborderons immédiatement le point capital 
du calcul, le théorème de Bernoulli ; il permet de mesurer 
pour un nombre donné d'épreuves /«, la probabilité P pour 
qu'un événement R, d'une probabilité simple égale ;i p, la pro- 
babilité inverse étant égale à q, arrive un nombre donne de fois. 

La combinaisoiï la plus favorable se trouve être celle dans 



6 -V. VASCllIDE ET II. PIEHOX 

laquelle le nombre darrivées de révénement E est /)i/j et celle de 
révénenient inverse mq. Cette probabilité maxima est donnée 
par la lorniule 



\ iT.nipri 



11 laiit noter que cette formule n'est obtenue que par un cer- 
tain nombre d'approximations. La plus importante est l'applica- 
tion de la formule de Stirling, qui donne un équivalent plus 
simple des produits des premiers nombres. D'après elle, 

I . -2 . 3 . . . . n = ('-" n" V ■^~" ■ 

Or cette formule n'est ii peu près exacte (jue pour une valeur 
très considérable de n. 

M. Bertrand donne la comparaison des deux termes pour 
n =20. Voici les résultats : 

I .'2 .3 ... . 10=^1 ..i32. 902.008. i76.G.io.ooo 
e~-^ -lo'-^ \ -\o - := 2 ..i22 . 78G. 38j . ïio..ioo.ooo. 

Si le rapport des deux valeurs est 1,00417, il n'en est pas 
moins vrai ([ue la dilTérence absolue est énorme : elle est de 
Tordre des dizaines de (juatriUlons. 

On peut donc dire (jue pour n = 20, on a une approximation 
absolument insu Mi santé. 

La probabilité maxima iliminue à mesure ([ue les ('iireuves 
augmentent, car m se trouve au dcnominaleur, c'est-à-ilire ([ue 
l'on trouvera un écart de j)lus en plus probable entre le nombre 
prol^able et le nombre réel d'arrivées de révénement 1^. Soit // 
cet écart enlie //ij> et ///.;. 

On tire de la probabilité maxima, en faisant encore appel au 
théorème de Slirliu}^, la probabilité de cet écart pour hupiclle 
M, Bertrand donne la foiniub' 

(0 / «^ ^^r 

11 rend cette jonction de A continue en substituant a // une 



LES APPLICATIOSS DU CALCUL DES PROBAIULIJÉS 7 

variable continue : il considère l'écart comme compris entre r- 
ei.z-\-dz. La formule devient 

-pJ==e-7;i^,,dz. 
y iT.mpq 

La probabilité alors pour que - soit inférieur à une limite 
donnée a, c'est-à-dire pour que l'écart soit compris entre — a 
et -|- a est 



y' iT.mpq 



e ■..„,„, dz 



et, en posant 



t = 



y impq 



Dans chaque cas particulier, cette probabilité P,^ s'obtiendra 
par les valeurs [l) de la fonction 



Ji_ i e-''- dt = 6 (/). 



La probabilité pour avoir un écart inférieur à une limite don- 
née a étant 8 (/), la probabilité pour avoir un écart égal ou supé- 
rieur à cette limite sera i — <")(0- C'est-à-dire que l'expression 

(•2) i-e(/) 

peut être considérée comme la probabilité d'un écart /; si l'on 

pose 

h 
/ = —==• 

Par conséquent, la fcninulc de la valeur probable de l'écart 
donné par M, Bertrand sera écjuivalente à celle-ci. 



A. VASCHIDE ET H. PIEROS 

On aura 

I ifi / /( 



\' 1-1)1 pq \\ iinpq 

Et en effet, ^I. Bertrand semble considérer ces formules 
comme équivalentes, car il les emploie fréquemment l'une pour 
l'autre. 

Xous voyons, au chapitre VII, page 124, qu'il résout ce pro- 
blème. 

BufFon a jeté une pièce de monnaie 4 040 fois et obtenu 1 o4H 
fois face. 

Quelle est la probabilité de l'écart h = 28 ? 

mp r= 4 040 X — = i. 010. mx i^ 2 048. nix — mp ^ 28. 

11 donne d'abord la lormule i 1 de la pi'ol^abilité de l'écart. 
Puis il cherche par l'intégrale la probal)ilité de l'écart moindre, 
qui lui donne W (0.62] = 0,619. 

l'.t il cherche par i — t) (/) la prohabilité de l'écarl égal ou 
supérieur ii 28, qu'il trouve ainsi égale à o,38. 

Or cette assimilation des deux formules, et cette égalité que 
nous avons posée est tout simplement absurde : l'un des deux 
termes est une simple lonclion, le second est le résultai d une 
intégration. Or il n'v a pas d'assimilation possible entre 1 inté- 
grale et la fonction. 

L'intéurale est à la fonction comme une aiie es! ii une couibi'. 
C est ainsi (ju'une courbe peut présenter un maximum sans ([iie 
l'aire cesse de s'accroître. 

Or juslenjenl la fonction (i) présente un maximuni, ce (jui. 
au poml de vue du calcul des probabililcs est absurde. 

l'rcnoiis donc lexpression 

(») ■/ <^-j:::^., 

\i—nip<i 

et h»rmoMs sa ih-rivé-r. 

l'oiir siiiiplilier i'écrituie, pniioiis 

\'>ii>P'l - -• 



LES APPLICATIONS DU CALCUL DES P I< O li A li I LI T E S 

La fonction fi) devient 






s/r. 



La dérivée >/ sera 



y' =. -T^ e-/"-i- -(- — e-/i*x2 ( — ili^x). 



En mettant — — — en facteur commun, on a l'expression 



■iliKi-n 



L'on voit aisément que le maximum est obtenu pour 2/i'.c"= i, 
c est-a-dire pour x- = — j-r-, ou pour .r == — — 



Ainsi quand .r< —^ la fonction croît; quand .r> 



fonction décroît. 

Si nous avons maintenant 



hsl' 



la 



\J %mpq rr 



ou 



2ntpff 

ce maximum est obtenu pour 



h' 



ipqx- pq 



Ainsi le maximum de la fonction (i) est obtenu pour une 
valeur de m égale à une fraction dont le numérateui" est le carré 
de l'écart h et le dénominateur le produit de la probabilité p de 
l'événement E par la probabilité inverse q de l'événement E' 

C'est ainsi ([ue, si l'on faity^ = (y = — , A=io, on a, pour 
/;2 = 4o, par les calculs logaritliml([ues, 

P [h) — 0,0009, 



lO iV. VASCHIDE ET H. PIEROS 

pour >)i 1=400= 

P [h) — 0,024, 

et pour m = 4 <^oo 

P (h) r= o.oooiS. 

Ainsi donc, la probabilité d'un même écart absolu de 10 qui, 
raisonnablement (et d'après INI. Bertrand lui-nième\ doit croître 
avec le nombre des épreuves (et. en elTet, la ruine des joueurs se 
fonde sur les oscillations de plus en plus orandes des écarts 
absolus, malgré la diminulion des écarts relatils), diminuerait, 

d'après cette formule fiuand on aurait dépassé . 

t P'I 

Et, comme la formule nécessite ni très grand, il v aurait 
décroissance continue de cette probabilité. 

11 est curieux ([ue l'on nait pas mis en lumière cette absur- 
dité. 

.M. Bertrand, ([uand il applique sa formule, ne lail jamais 
varier ///, mais h, et, en effet, ici il y a diminution continue de 
la fonction pour un accroissement continu de //, w étant cons- 
tant. 

C'est ainsi ([ue M. Bertrand donne cet exemple (') : 

I 

m = 1000. p z:z (/ ^ — 
' ■! 

i)u a, pour h = 4<N 

-, e~^'* m 0,0010281 ; 



v/ 



pour /i = 60, 



»ui' A 



' e~'' := 0,0000 1 oh ) ; 



^ 1000 

v/ 



e~'" =. o. 000000000 j 2006. 



\' KIOO — 

Les vab'urs Monnci-s par la lormule (2) 

I — H (/) 



f) i'i ni ltA?(Ii. Cd/iiif i/f.s firohii/x'litrs. Piiris. i88y, p. 7.S, 7<>. 



LES Al'PLICATIOys DU CALCUL DES l' RO Ti A BILIT É S ii 

diffèrent donc de plus en plus, ii mesure que m augmente, des 
valeurs de la formule (i). 

C'est ainsi que dans les exemples que nous avons donnés plus 
haut, pour/«=4<^i nous avions: 

P [h'\ = 0.0009, 
I — 6 (?) =: 0.0016 ; 

pour /n = 4oo = •, 

P {h) = o,oa4 
I — (?) = 0,32 ; 

pour m = 4 000, 

P [h] rr o. 0001 5 
I — S [t) =: 0.755G. 

Et, dans l'exemple du problème de Buffon, de M. Bertrand, 
/« = 4t>4o> -5 ''lï li'"'^! tl^ I — 0^0,619 qu'il a trouvé, l'ap- 
plication de la formule (ii donne P 28) =o,oo8.j r 5. 

Ainsi donc, c'est la seule lormule (2 : 1 — 0(^/ qui doit être 
gardée pour mesurer la probabilité d'un écart (//), 6 mesurant la 
probabilité d'un écart moindre, c'est-à-dire encore la probabilité 
de la caase. 

Mais l'application de cette formule nécessite m très grand. 

Notons au passage que, dans le calcul des probabilités, quand 
on rencontre un écart, il faut en chercher la probabilité, et qu'il 
y a une formule pour la probabilité des causes. Cela n'est pas 
inutile, car nous aurons li y revenir, quand nous traiterons des 
applications du calcul. 

Il y a d'ailleurs un écart probable, c'est-îi-dire qui a probabi- 
lité égale d'être ou de n'être pas surpassé ; c'est l'écart a défini 
par l'équation : 

a 
= o.ijGgjô. 

OU 



a r= 0,4769;} yiiiip(/. 



la .Y. VASCUIDE ET H. PIEROS 

Quant à Técart moyen, considéré comme donnant la valeur 
probable de l'écart, dans une série ni d'épreuves, il est de 

v/ï , 

—p \f mpq ^= O179789 \ mpq. 

C'est ainsi que, dans le problème de Buiron, la valeur pro- 
bable de l'écart était de 24,7, alors que l'écart réel était de 28. 
L'écart probable était de 21 environ. Le rapport des deux écarts 
doit être de o,8463. Cela est encore très important à mettre en 
relief: le calcul des probabilités admet un écart, et un écart pro- 
bable contre le nombre probable d'arrivées nip d'un événement E, 
et le nombre réel mx d'arrivées de cet événement, et non seu- 
lement ce calcul l'admet, mais il l'exige. Une très grande régu- 
larité est considérée comme l'indice d'une cause régulatrice 
corriareant les écarts nécessaires dus au hasard. 

M. Bertrand (M a proposé de chercher quel est 1 écart dans la 
proportion des naissances des filles et des garçons, qu'il y a 
10000 à parier contre i de franchir au moins une fois en cent 
ans. 

Il trouve cet écart égal à 99. 

Si l'on a 9,2/2 = 100, c'est-à-dire ■ — = 0,092, il v a 10 000 à 

parier contre i pour que l'événement de probabilité — arrive une 
fois au moins sur 100 épreuves. 

Or la piobabilité d'un écart, pendant une année, plus grand 
que )> sur i4ooo naissances, est : 



\\/imp<iJ 



Cela doit être égal à 0,092, et par ct»nséquenl, 

X 

=r o.yo8. 



^ iiinxi 



11 faut alors— ___ ^^^ 'j'y- 
yÀiiiptf 

On en déduit ). = 99. 



(') UtUTHAM', p. iG-J, iCil. 



LES APPLICATIOSS DU CALCUL DES P RO fi A Ji I LI TE S li 

« Si dans un sil'cle. conclut M. Bertrand. Iccart n'avait pas 
une seule lois dépassé 9g, si sur 14000 naissances annuelles, 
le nombre des garçons s'était maintenu entre j 3oo et 7100, 
une cause régulatrice serait presque certaine; il v a 10 000 h 
parier contre i, a priori, pour ([ue le hasard, sur cent épreuves 
tentées dans la même urne, ne maintienne pas une telle régu- 
larité '^]. » 

Ainsi, quand la proljabilité dun écart égal ou supérieur à 
l'écart réel est très forte, il v a probabilité égale d'une cause 
régulatrice, de même que, quand cette probabilité est très faible, 
il y a probabilité égale d'une cause perturbatrice, et dans la 
mesure par conséquent où la valeur réelle est inlérieure ou supé- 
rieure il la valeur probable de l'écart. 

Il est donc absolument illégitime, de par le calcul des proba- 
bilités lui-même, de compter sur une régularité absolue des 
événements dus au hasard, et de leur répartition proportionnelle 
à leurs probaljilités respectives. Nous verrons que c'est encore 
un point que l'on oublie trop souvent, si du moins ceux qui 
parfois prétendent appliquer le calcul des probabilités se sont 
jamais donné la peine de l'apprendre. 

Il y a encore une formule fournie par le calcul des probabili- 
tés et qui peut servir ii de nombreuses applications, c'est celle 
qui concerne l'erreur probable et la probabilité des erreurs dans 
les observations scientifujues. 

La loi de probabilité des erreurs qui dépendent de tant de 
facteurs n'est nécessairement accessible au calcul que d'une façon 
très imparfaite. Euler, Bernoulli, Lagrange, Laplace ont lait des 
hypothèses que les faits ont démenties. 

C'est à la loi établie par Gauss que Ton s'est rallié. 

Elle part de ce postulat que la valeur la plus probable entre 
plusieurs mesures d'une grandeur est la moyenne des grandeurs 
obtenues^ postulat qui n'est vérifié qu'approximativement. 

On oljtient comme formule de probabilité d'une erreur com- 
prise entre ^ et^ -|- dz, 

k 



('; ïbld.. p. 1(1 i. 

L!nseiv:nciuenl Uiath. 



i4 iV. VAS cm DE ET n. piÉRoy 

Celle d'une valeur plus petite que a, en valeur absolue, sera : 

*k% 




Connaissant la valeur de l'erreur probable, on peut en l'onc- 
tion de celle-ci trouver la probabilité d'une erreur. 

L'erreur probal)le /• est donnée par deux formules dont les 
résultats divergent à la troisième décimale : 

r ^ 0,8453 -^^ 



= 0,6745 wr2_, 

V « — I 



h est le nombre des épreuves. 

}i]o est la somme des erreurs résiduelles qui doivent être con- 
nues (on a lii un moyen de mesurer le degré de conliancc il'une 

série d'observations ; — j- sera le poids d'une observation . 

On peut donc ainsi connaître l'erreur probable, (ju'il v a pi-o- 

babilité — de surpasser ou de ne pas surpasser. 

M. Nikolaus Wuich a construit sur ces données un tableau 
it'produit par Bertiaiul. 

il donne la probabilité dune erreur en lonelion de Terreur 
proljable, sur 10 000. 

Ainsi il v a inobabilité 5 000 ( = — ||)()Mr 1 lois rericur 

^ \ I o 000 1 / ' 

probable ; probabilité 54 })Our 0,01 lois l'erreur piidiable ; j)r()- 
l)abiliti' 9 <)<) 5 pour T» lois l'erreur probable (ou. suivant la iinta- 
lion lialiilurllc, pi obabilili-s o ;") ; o,oo.54 ; o,9()()3). 

l'.nliii, l'M laisanl les mesures 1^=^ n, la moyenne -_ /// . la 

xariation iikin ciine -= e [ movenne «les ('carts par rapport a la 



Miovcniic — • -— - \ , cl, si l'on a deux nio\crnies de mesures ana- 

logues, on attiiiil une dillV'rence d. » 

<JueIle est, p<Mil-on se ilemander, la iirobabilite de celle valcui' 
d c<»nsid<'rée comme une crrcui'. 



LES APPLICATIONS DU CALCUL DES P I{ O li A li I LI JE S i5 

On considère la précision K comme éffale à — ■—• 

y\/T. 

On fait la moyenne générale M et /, considéré comme le pro- 
duit de l'erreur par la précision devient i =^K yn^^^l — m), et 



avec des simplifications. 

La probabilité d'avoir une mesure égale à m sera égale à 
I — ©vO' ^^ qu'un tableau peut nous fournir. 

Ainsi donc, non seulement le calcul des probabilités fournit 
un écart probable et la probabilité d'un écart entre le nombre 
probable et le nombre réel d'arrivées d'un événement, mais 
encore une erreur probable et la probabilité d'une erreur, c'est- 
à-dire d'un écart entre une valeur observée et une valeur réelle 
(et non plus probable), le plus souvent^ignorée (et à laquelle on 
substitue la moyenne des valeurs, considérée comme la valeur 
la plus probable). 

Ce dernier calcul présente encore bien plus d'éléments subjec- 
tifs que le premier. En tout cas il v a lieu de ne pas confondre, 
ce que nous verrons qu'on a fait, l'erreur et l'écart. 

Et maintenant, que peut-on tirer de ce calcul de la probabilité 
des erreurs ? Nous verrons ce qu'on en a tiré. Nous verrons 
ensuite si l'on en peut légitimement tirer quelque chose. 



Chapitre III. — Le calcul des probabilités peut-il seri>ir à la 
connaissance de V avenir. 

Opinion diî Laplace. — Opinion de M. Poincaré. — Application du calcul 
de probabilité aux jeux de hasard ; exemple. — Les probabilités partiel- 
les. — Les opinions et les critiques de Cournot. 

Le calcul des probabilités peut-il servir à la connaissance de 
l'avenir ? Nous avons vu ([uun historien des sciences occultes en 
faisait un mode de divination spécial. Seulement, ce n'est pas 
là une autorité sudlsante. Mais nous nous trouvons souvent en 
présence de joueurs qui dans leurs mises s'eirorcent de suivre les 
indications du calcul des probabilités. Si l'on joue à la roulette, 



i6 .V. VA s en IDE ET II. PIEROS 

par exemple, lorsque la rouge est sortie six fois do suite, on met 
sur la noire avec une quasi-certitude quelle sortira, la probabi- 
lité d'une sortie consécutive de sept rouges étant très faible. Le 
calcul des proljabilités légitinic-t-il ce raisonnement ? Laplace 
distingue expressément deux cas dans la probabilité des événe- 
ments futurs: si lévénement attendu dépend des événements 
antérieurs, il v a une probabilité nouvelle, tirée de la connais- 
sance de cet événement, pour l'événement a venir. Si par exem- 
ple on a dans une urne une boule blanche et une noire, la proba- 
bilité d'en tirer une quf'lcon([ue est — . Mais si Ton tire une 
boule blanche, sans la remettre, la probabilité de tirer la noire 

devient éo-ale à i. C'est une certitude. Dans le second cas. lévé- 

o 

nement nouveau est indépendant des événements anciens, sa pro- 
babilité reste alors constante. 

Si, après avoir tiré la boule l>lanche de lurne, je l'y remets, 
la probabilité de tirer la boule noire reste — . Il en est ainsi tou- 
jours pour des jeux comme pile ou face, ou comme la roulette. 

Dans ce cas, dit Laplace, « le passé ne peut répandre aucune 
lumière sur l'avenir et il serait absurde d'en tenir compte » (' i. 

Mais Laplace ne donne pas une justification sullisante de son 
assertion. Le calcul des probaiulités juge des sorties respectives 
il pile ou lace, ([uand elles sont passées, et attribue une proba- 
bilité infiniment laible à une sortie constante de pile jiar exem- 
ple ; pourcjuoi ne le pourrait-il laire dans l'avenir .' 

M. l'oincaré s'occupe aussi de la question. i*arlanl des joueurs 
(jui mettent sur la noire après une sortie consécutive de six lou- 
ges, il dit : « Lu réalité leur pi'obabilité de gain reste — . L Ob- 
servation montre, il est vrai, que les séries de sept rouges con- 
sécutives sont trJ's rar(>s, mais les séries de six rouges suivies 
dune noire sont tout aussi lai'es. Ils ont remaicjue la raicli- des 
séiies de sept rouges, s'ils n Ont j)as remar([ue la rareté des 
séries de six rouges et une noire, c'est unifiuemenl parce (jm- de 
pareilles séries (rajipent moins raltenlion '^ ». 



('; Lai'I.acc. Essai i>/ii/uai)/>/iirjiie sur le calcul <Us prubabililcs, p. iS. * 

C) VoxTU-.Kui.. Utl-dexions surlcculcul des piobabililés. /?tv«c géncrale tlea Sciences, 
5 iioùt i8yy, p. a(î7. 



L E S AP/'LIC A TI O N S D U C A L C U L DE S /' R O B A lillA TE S i 7 

Le raisonnement de M. Poincaié ne nous paraît pas absolu- 
ment juste. Cette assimilation d'une série de sept roupies ii une 
une série de sept sorties décomposée en six rouges et une noire 
n'est pas exacte. Car cette série de six rouges et une noire ne 
représente en- fait qu'une série de six rouges, l'apparition de la 
noire ne faisant que marcjuer la fin de cette série ; une série de sor- 
ties d'une couleur ne peut en effet se clôturer que par une sortie 
de la couleur inverse. (Une série n'est série que si elle est homo- 
gène, elle est close par une apparition hétérogène.) Dire qu'une 
série de six rouges et une noire est aussi rare qu'une série de sept 
rouges, c'est dire en fait qu'une série de sept rouges consécu- 
tives est aussi probable qu'une série de six rouges consécutives. 
Or ceci est contraire au calcul des probabilités. La probabilité 
d'une série est égale au produit des probabilités partielles de 
chaque terme, où à la puissance /^""' de cette probabilité, n repré- 
sentant le nombre de termes de la série. Il est donc évident que 
la probabilité d'une série de sept termes est moindre que d'une 
série de six termes. 

Et nous pouvons encore nous demander pourquoi ce n'est pas 
le joueur qui a raison. 

A vrai dire, si le calcul des probabilités ne légitime pas la 
spéculation des joueurs, c'est parce que les probabilités initiales 
ne sont applicables que pour plus d'un terme, qu'alors il faut 
faire appel au théorème de Bernoulli et que l'application du 
théorème de Bernoulli réclame un grand nombre d'expériencea. 
Or la probabilité porte ici non sur un grand nombre d'événe- 
ments futurs, mais sur un seul. Dès lors le calcul des probabi- 
lités n'est plus applicable. Il y a parfois des rencontres extraor- 
dinaires dans une série très limitée d'événements, mais les grands 
nombres régularisent tout, et rien ne permet plus alors de s'en 
apercevoir, en sorte que ce qui est vrai de la totalité ne l'est pas 
des parties, et qu'en voulant passer de l'une aux autres on risque 
de tomber dans des erreurs très grossières. 

Mais, semble-t-il, le calcul des probabilités reste applicable 
à la prévision des rapports respectifs de différents événements, 
pour un nombre considérable de ceux-ci. 

Il est évident que, si l'on a 10.000 numéros dans une urne, 
par exemple, dont la proljabilité respective de sortie est par 



i8 3'. VASCIIIDE ET H. PIÉROX 

conséquent de , pour celui qui sortira avec une proba- 

* lO OOO '11 I 

bilité aussi faible, et qui sortira pourtant nécessairement s'il 
n'est pas spécifié, car il faut bien qu'un sorte, on ne pourra se 
récrier^ comme pour l'apparition d'un phénomène absolument 
extraordinaire ; car cet événement est isolé. Le calcul des pro- 
babilités ne donnait aucune indication sur la sortie de ce numéro, 
dont la probabilité de s'est transformée subitement en une 

'■ lO OOO 

certitude égale à l'unité. Mais le calcul des probabilités pourra 
donner des indications sur le nombre de sorties de ce numéro 
pour deux ou trois millions d'expériences. 

Cournot proteste, en une page très remarquable, contre cette 
probabilité partielle, incomplète et douteuse des événements 
futurs, relative à un petit nombre d'épreuves, d'autant plus que 
voulant subordonner le calcul des probabilités à l'expérience, la 
probabilité ne pourrait jamais que servir d'expression aux évé- 
nement passés. 

« La probabilité mathématique prise objectivement, ou conçue 
comme mesurant la possibilité des choses, ne peut en général 
être déterminée que par l'expérience. Si le nombre des épreuves 
d'un même hasard croissait à l'infini, elle serait déterminée 
exactement avec une certitude comparable à celle de l'événe- 
ment dont le contraire est piivsiquement impossil)le. Pour un 
nombre très grand d'épreuves, la probabilité n'est encore ditnnée 
qu'approximativement ; mais on est autorisé à considérer comme 
extrêmement peu probal)le que la valeur réelle difFère notable- 
ment de la valeur conclue des observations. En d'autres termes, 
il anivera très rarenuiit (jue l'on coninu-tte une cireur nutablr 
en prenant pour la valeur réelle la valeur tirée des observations. 
Dans le cas même où le nombi'e des épreuves est juni considi'-- 
rable, on a voulu tiier, de ( citaiues considfialioiis matbf'-ina- 
tiquesj des formules pour évaluer numéricjuement la probabilil»' 
des événements (uturs d'après les év»''nemeiils observés, mais il«' 
telles lormules n'indiquent plus ([uc des prid>abilités subjectives, 
bonnes tout au plus ii régler 1rs ((uidilions d'un pari; elles 
deviendiaieni fausses si on les appliipiait coinnie ou I^m lai! sou- 
vent bien ii toit à la détermination de la possibilit»' des événe- 
ments. » 



LES APPLTCATIOXS DU CALCUL DES P R O B A li ILITE S 19 

En fin de compte, on peut admettre que le calcul des proba- 
bilités a une valeur au point de vue de l'avenir pour un grand 
nombre d'épreuves, mais seulement si l'on accorde à ce calcul 
une portée a /^/v'o/v' dépassant les limites d'une expérience fonda- 
mentale qui n'a d'ailleurs jamais été systématiquement laite : cette 
valeur restera cependant toujours approximative, car, pour que 
l'application de la formule Stirling dans les calculs soit à peu 
prés exacte, il faut des nombres d'épreuves très considérables, et 
pour des nombres d'épreuves très considérables, on a des écarts 
probables de plus en plus considérables eux aussi, au point de 
pouvoir dépasser tout nombre donné. Pour un nombre infini 
d'épreuves, l'écart absolu atteindrait lui-même une valeur infinie 
d'un infini d'ordre inférieur, mais irréductible à toute mesure, à 
tout chiffre fini. 

On voit donc que cette valeur du calcul des probabilités, ainsi 
limitée dans tous les sens d'aussi stricte façon, peut être consi- 
dérée comme à peu près négligeable. 

Chapitre IV. — Les applications scientifiques du calcul des proba- 
bilités. 

La probabilité des causes. — Les applications en Psychologie; exemples. 
— Calcul de probabilité et télépathie; exemples. — Applications dans les 
Sciences Physiques ; exemples. — Les applications en Anthropologie ; e.vem- 
ples. — Les applications en médecine. — Les applications dans les scien- 
ces sociales. — Les applications réelles sont beaucoup plus rares qu'on ne 
pourrait le croire. 

On a fait des applications scientifiques du calcul des proba- 
bilités. Nous allons tâcher de donner une idée des principales, 
très rapidement, et tout d'abord la probabilité des causes. 

On trouverait dans Bertrand de nombreuses applications de ce 
genre, émanant en général de probabilistcs qui s'en servaient 
comme d'illustrations de leurs théories et proposaient des pro- 
blèmes pour familiariser avec les formules. Mais ce ne sont pas 
des applications méthodiques. 

C'est surtout en psychologie, h notre connaissance, que ces 
applications ont prétendu se faire. 

On a même affirmé la nécessité de se servir du calcul dans 



20 .V. VASCHIDE ET II. PIÉROS 

cette science. Laplace disait déjà que c'était dans les sciences les 
plus complexes, où l'investigation est le plus dillicile, que l'ap- 
plication du calcul était le plus nécessaire. 

« On ne peut pas l'aire un pas dans la psychologie expéri- 
mentale, dit M. V. Henry, sans avoir recours aux principes du 
calcul des probabilités » {'). 

Et l'auteur, après avoir exposé les principes généraux du 
calcul ainsi que le théorème de BernouUi, en s'inspirant de 
très près de Bertrand (cela est tellement apparent que M. Y. 
Henry n'a même pas cru utile de le citer) donne les formules 
de probabilité d'un écart, mettant en première ligne l'expres- 
sion 

I h'- 



. I zmi>fi 

y 2-i)ipf/ ' ' 

dont nous contestons l'exactitude prali([ue. 

Puis il donne quelques exemples dans lescpicls il l'ait le calcul 
par la lormule i — [Ù. 

En particulier, en présentant ii un sujet des lettres ivovcUes) 
qu'il ne voit pas consciemment, sur 120 expériences pour chaque 
série, on cherche combien de lois le sujet, ([ui doit diic une lettre 
au hasard, tombe juste suivant (pie les lettres ont une grandeur 
plus ou moins élevée. On cherche le ntunbre probable de coïn- 
cidences, et la probabilité de l'écart (-) (/) ; on a par l'inverse de 
la probabilité de l'écart, la probabilité d'une cause. 

L'écart maximum obtenu est de 4'^ (nombre pr»>balde : 0.0 
nombre réel : (33 . Or pour un écait de i-, la probabilile de 
l'écart n'est déjà que de 3 p. 100 000. 

^hiis avant (pi on ail ainsi revendiqué dans la méthode uue place 
il de tels calculs, des applications avaient été déjii faites. C est par 
un procédé de ce genre <[ue M. Kichet a prélentlu prouver la 
réalité de la suggestion mentale. Il faisait deviner au sujcl, <[ui 
devait parb-r au liasard, Ir nom d uiir carir couiiue |)ar une 
personne. Il comparait le nombre de coiiicideuces ri'elles au 
nond>rc df coïncitlences probables, l'^l alors prenant la diderence, 



(') V. Ill:MiY. I^<- (Jiilciil (les I'rob(iljiliti-s en PsvrluiUij^i»'. Annie i'Ji/i-/iolii:;i'/iic 
2° nniic'c ' iHi)'}}, iNyfi, j). l'i'i. 



LES M' l'I.ICATIUSS UV CALCIL DES l' HO li A U I L I T E S 'ii 

1 écarl, el le rapporlaiit au nombre des sorties probables, 
M. Richet 1 érigeait en probabilité d une cause qu'il déclarait 
être la suggestion. 

Voici un cas par exemple : 

Sur 840 tirages, le sujet tombe ajo fois sur la couleur de la 
carte. Le nombre de sorties probables était de 2o3, dit 
M. Ricliet. La probabilité étail de -^— , contre 4^ , c"est-ii-dire 

de — rCe nombre de sorties probables aurait donc dû être de 210^. 
J'ai un écart, dit ^L Richet, de Sa, ja est le quart de 208, donc 
la probabilité pour lexistence de la suggestion est de -- . 

L'application du calcul des probabilités, est ici tout a lait 
mauvaise. 11 lallait l'aire appel ii la lormule de la probabilité de 
l'écart I — (-) [fj. 

Faisons appel à cette lormule. 

On a 

h 

^ ■j.—inp(f 
y ■2- X 840 X o.ig r= 32 : 

5o est l'écart exact (840 — 810) 

56 

e (l,56; = 0,9726. 

La probabilité de la cause n'est plus d'un (|uarl, mais de i)~ 
p. 100. 

On voit que l'application de la forniule, n'est pas négligeable. 
Elle serait ici tout à lait favorable au calcul de M. Richet. 

Il y a des cas où il n en serait pas ainsi. 

n y aurait lieu en particulier d'appliquer ces formules exactes, 
au calcul des probabilités a toutes ces études et enquêtes que 
l'on lait il Iheure actuelle sur les phé'uomènes anormaux, halluci- 
nations télépathiques et autres et (pii jouent constamment du 
calcul des probabilités (']. 



(*) Gf in Prucetiin^s of Socicltj for Psychtcal Research, t. VI, i8Sy. 
Ch. Richet. Fnrtker experimenis in hy[motic lucidity or clairvoyance, p. iG-ti; 
72-7.5, 82. 



.V. VASCIIIDE ET H. PIEROX 



D'après l'enquête de la Société des recherches psychiques de 
Londres, on arrive pour la question des hallucinations à des 
résultats tels que ceux triomphalement exposés par M. Flamma- 
rion (^) par l'intermédiaire de M. Dariex : 

On n'a relevé cju'une hallucination visuelle sur 248 personnes. 
Soit pour la probabilité d un tel cas : — — -. 

La probabilité de mort pour un adulte dàge indéterminé dans 
une période de -i^ heures est de 



1000 36i 
22 I 



•248 1000 3G5 4ii4m5 

Et 1 on conclut que l'hypothèse d'une action télépathi<[uo 
réelle est 4ii4^4^ '"is plus probable que l'hypothèse dune 
coïncidence fortuite. Voilà une interprétation de résultats (jui ne 
se soucie guère des règles les plus élémentaires du calcul des 
probabilités. 

Mais voici qui est mieux encore. 

M. Flammarion extrait des Phantasnis of (lie Livin^ un cas 
précis et ([u'il décrit longuement, puis il appli([ue le calcul îles 
probabilités. 

Il n'y a pas eu un intervalle de plus de \-i minutes t'ulro 

l'hallucination et la mort, période contenue 1 ko lois dans ■>( heures 

I 

soit . 

120 

Il s'agissait d un homme de 4^ ans. 

La probabilité oiricielle de la mort est alors île 



L'on a donc 







i3,5 














1000 










I 


i3.^ 


I 


I 




I 




48 


1000 


5G5 1 


20 


80 /| 


.022 


, 222 



H. Siij(;\v1(:k. Espcrinicnls in t/i<iu^h( tmnxfei ciicf, [). l^S. 
Myi:as. Uux Do/fjn-l-ic/i, p. 109, 110. 

L. Tavloh. Ej-pciimcntal Cimiparisan bf(lnvccn chance in Corrcs/KHKfancc ••/ 
diaf^ramx, p. l;,», .',01, 4(»'., l. III, iSSI. p. l<)<i. uoii; t. IV, iSSC-iSS;. p, 189, aoS. 
VA. Gi;\VATT. 'l'hc Culcu/m nf l'rotiahi/ilie (i/i/ilicii la /isi/c/iica/ Ilcscarcli. 
Kai-iim:!. (iiiAMiUS. llcfue t/cx Deux Mumlcs, 1S.S7, p. 211. 
(') C. l'i.AM.MAiMU.N. L'Inconnu ri Ira /'rub/cnic.i l'si/c/iiijur.s, t!li. IN', tinlr p.viy-uji 



LES APPLICATlOys DU CALCUL DES P RO li A B I LIT É S 2'5 

et la probabilité pour rexistence de l'action télépathique devient 
de 8o4 622 222. On ne pourra pas dire que notre remarque, que 
nous avons souvent répétée était inutile, à savoir que le calcul 
des probabilités n'était applicable qu'aux grands nombres ; qu'il 
réclame des grands nombres d'épreuves, et ne se contente pas 
de ceux dont on surcharge ses conclusions. Or ici, il y a une 
épreuve et une seule. Supposons un milliard de boules dilïe- 
rentes dans une urne. Nous en tirons une particulière. La pro- 
babilité pour que nous tirions cette boule par hasard était 

. Nous allons conclure qu il v a un milliard à parier 

1 000 000 000 1 V 1 

contre un pour l'existence d'une cause à laquelle nous attribue- 
rons tel nom plus ou moins surnaturel que nous voudrons, 
cause qui a produit le tirage de cette boule. Notre raisonnement 
vaudra celui de M. Flammarion, et nous pourrons monter plus 
loin dans les zéros accumulés. 

Vraiment il est permis de s'amuser, mais il faut être bien 
naïf pour prendre pareilles choses au sérieux. 

Laissons donc tous les calculs du même genre, et revenons 
aux applications plus sérieuses. 

C'est la probabilité des erreurs qui est le plus souvent 
employée dans les diverses sciences. 

L'astronomie sur laquelle, faute de compétence, nous ne nous 
permettrons pas d'insister, fait constamment appel h la théorie 
des erreurs et des poids pour caractériser les observations. 
Cette science d'observation, si proche des mathématiques pures, 
devait être tentée de mathématiser en quelque sorte l'observa- 
tion elle-même, de déchiflVer les phénomènes subjectifs pertur- 
bateurs. A côté de la mesure excellente de l'équation personnelle, 
elle a encore fait appel à la probabilité des erreurs variables, 
qui ne peuvent être soumises à une l'ormule d'observation, 
étant inconstantes par nature. On ne manque jamais, en lap- 
portant des observations failes, de donner leur précision et leur 
poids. 

Il n'y a guère d'application de ce genre dans les sciences 
physico-chimiques. 

Cependant il ne faudrait pas croire qu'elles en sont véritable- 
ment exclues. Pour les parties les moins précises de ces sciences. 



•24 ^V. VASCIIIDE ET H. PIÉROy 

on lait parfois appel aux probabilités, et Terquem et Damien (') 
dans leur traité de Physique expérimentale consacrent une partie 
de leur introduction concernant la méthode a la théorie de la 
probabilité des erreurs. 

Se fondant sur la théorie, telle qu'ils l'ont exposée, M. Paillot ^- , 
élève de M. Damien, dans une thèse récente de l'Université de 
Lille, en recherchant les forces électromotrices d'aimantation, 
appelé il mesurer le diamètre des bobines employées, a tenu 
compte des erreurs relatives ii la moyenne, en j)rcnant les carrés 
des diflférences. 

Il obtenait ainsi la somme de ces carrés > e' et il en tinilt 

l'erreur probable du résultat par la lormule 

±v/ZlZZ. 

Cette erreur s'est toujours trouvée chez lui de Tordre des 
dix millièmes. 

Ce qui prouvait qu'on ne pouvait, dans ses évaluations, pousser 
l'approximation au delà du ([uatrii'Uie ordre des unités déci- 
males. 

Le calcul des probabilités n'a été emplové chez cet auleur 
({ue pour cette évaluation du diamètre des bobines ; il s'en est 
dispensé dans beaucoup d'autres et, en ellet, on peut dire (jue 
dans les sciences physiques, le calcul des probabilités est Tex- 
ception. 

Ln revanche, pour des sciences de mesures plus complexes, 
telle que l'anthropologie, nous retrouvons ces appli<'ali()iis plus 
nombreuses (';. 



(*) Terquem cl Damikn. P/u/sii/ue i-ypéi imentak\ iii-8, i8S8. Inlroduction, rli 11. 
|). <»«>-io.ï. 

(') Paii.I.OT. nechiTches sur le.i forces vleclroniotrices il tnnianliilioii, in-S, l<)(ii. 
Lille, p. i'i-'yx. 

(^) De nombreuses appliealinris ont éli- liiile'» dans le» s<-ienec» naliirelles, rares 
parée que la mesure elle-ni«''Uie y est rare. Deseourbes lh<:ori<pies uni élé faites, par 
exeirijile pour les variations des types en biilaiii(|ue afin de les eoinparer aux 
rourbes réelles, cxuelemenl conimi' en anthrupidn^'ie [mur les variations des types 
ronsidéi'és comme tels. 

CA. AUAN>'. .\pplieation du caleiil des probai>ilil<'-s à l'étude de la \'arii«tion d un 
type vé|j^élul. Uiill. herb. UnisiUr. iSyJl, Cb. IV, p. \\---\\\y). 



LES APPLICATIOyS DU CALCUL DES P RO li A B I LITE S 25 

C'est Quétclet qui, le premier, a tenté des :ipplicatif)ns efTec- 
tives de la théorie des eireurs aux mensurations anthropolo- 
giques. Il extrait pur exemple du treizième volume de \Edin- 
hiirgli médical journal les résultats de la mensuration des cir- 
conférences des poitrines de 5 jSS soldats écossais. Le calcul de 
Terreur probable permit à Quetelet de conclure qu'il pouvait 
parier un contre un qu'une personne peu exercée se tromperait 
de 33 millimètres (i pouce) en mesurant une poitrine de plus de 
I mètre (4© pouces) de circonférence. Et alors j j.'58 mesures 
prises sur une seule personne se grouperaient avec la même 
régularité que les 0738 mesures prises sur les soldats écossais. 
Quetelet passe de l'écart réel à l'erreur probable. Nous revien- 
drons sur ce point. Herschell (^), en faisant les mêmes calculs, 
ne trouva pas les mêmes résultats. 

On sait que c'est Quetelet (") qui mit en honneur la conception 
de V homme moyen^ un peu ridiculisée, depuis lors. Il se livra 
en effet à la statistique et aux moyennes avec ardeur, voulant que 
pas un domaine social n'échappât à la mesure avec comme crité- 
rium la théorie des probabilités. 

Il fut en effet tout à fait enthousiasmé par ce calcul ([uil décla- 
rait déjà très insuffisamment appliqué. « Le calcul des probabi- 
lités, dit-il, nest que l'instrument qui doit servir à régulariser 
les travaux d'exploitation ; mais il devient indispensable dans les 
recherches auxquelles nous voulons nous livrer. Il sert en effet 
à distribuer avec avantacre la série de nos observations, à conti- 
nuer la valeur des documents dont nous faisons usage, à les 
continuer ensuite de manière qu'ils s'écartent le moins possible 
de la vérité, et à calculer, en définitive, le degré de confiance 
qu'on peut attacher aux résultats obtenus j*]. » 

Depuis, des applications nouvelles se sont faites, avec un oubli 
fréquent des essais de Quetelet. 

Ed. Goldstein a publié en i883 une étude sur les applications 
du calcul des probabilités a l'anthropologie ('), ne faisant guère 



(I) Hkrschell. Sur la théorie des probabilités et ses applications aux sciences 
physiques et sociales. lievuc d'Edimbours^, •>. juillet i8()o. 
(•) Quetelet. PItysifjue sociale, iu-8, iSOt). T.I. 
(") QtÉTELET, i(l., p. 137. 
(*j Edouard GoLDSTEi.N. licruc (.'Anthropologie. 2° série, XI, iSSJ, p. 704-718. 



26 iV'. VA s CH IDE ET H. PIÉBOX 

que résumer un travail allemand de Stieda ^'). Il s'occupe surtout 
de la sériation dans les moyennes qui lui parait nécessaire, car 
on lait parfois des moyennes avec des éléments hétérogènes. 
Mais comment mesurer cette hétérogénéité. Il fait appel à la 
théorie des erreurs qu il expose d abord en général, donnant les 
formules de mesure de Terreur piobable. 

La somme des erreurs résiduelles \ o est la somme des écarts 

d par rapport à la moyenne, les écarts représentant pour lui 
les erreurs, la variation moyenne. Il donne le tableau très 
complet de ^Yuich. Il définit le poids, la précision, etc., et 
applique comme exemple seulement, ces formules à des mesures 
anthropologiques comparatives sur des juifs autrichiens. 11 indi- 
que que, pour les moyennes, il y aurait lieu de comparer deux 
courbes ainsi définies. 

On fait une courbe du nombre de fois que chaque mesure a 
été rencontrée, à partir de la plus faible. 

Puis, la moyenne étant déterminée, on cherche combien de 
fois, sur un nombre égal d'épreuves, chaque mesure devait arri- 
ver d'après le calcul des probabilités fondé sur rerreur ]>robable : 
la probabilité est relative, d'après le tableau de ^Vuich, au mulliple 
de l'erreur probable, qui est ici l'écart par rappoit à la moyenne, 
soit une valeur égale h deux (ois l'erreui- probable, qui s'écarte 
de la movenne du double de l'écart probable, je trouve comme 
probabilité de cet écart 8u,-'i p. loo; donc sur loo cas, il ne devra 
v en avoir que 17,7 qui atteindront ou dépasseront cet t-carl. Je 
détermine un point de la couibc probable. Je rhcrchcral le point 
de la courbe réelle, qui pourra être de :>o par exemple, et jt- com- 
parerai les deux courbes. 

Quand les deux courbes diflèrent beaucoup, je dois dire (|Uf 
d'autres éléments que des erreurs sont venus lrt>ul)Ifr mes 
moyennes, et par consé([uent que mes éléments mesures oui <les 
dlirércnces réelles qui ne permettent pas de les compart'i-, ([u'il 
faut iluiic 1rs ranffer dans des séries, dansdrs mdvciincs diHfiriilcs, 
Je mets III iuiiiii-rc rhéti'-rogéiirih- dr ma moyenne, el je n'îii 



('1 L)' Ludwix Stii i)A. Icbcr cli<- Aiiwriiiliin^' dir WnhrstliciiilicliUrilsivcliniiin: 
in cjcr uriUiicijiologisrlioii Slnlislik. Anhir fur Aiitliio/xi/offie, 1888, l. 1 i.* 



LES APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS 27 

plus qu'à la diviser en séries homogènes, représentant des types 
anthropologiques : il ne doit pas y avoir entre des types de cette 
espèce des écarts dépassant notablement l'indice probable d'os- 
cillation, l'erreur probable. 

Une application pratique du calcul des probabilités a été faite 
tout récemment par ÏVI. Binet en anthropologie ('). 

Ayant pris des mensurations crâniennes dans deux groupes 
d'enfants, l'un d'intelligents, l'autre d'inintelligents, il fit les 
moyennes, et trouva des différences entre ces moyennes considé- 
rées a priori comme homogènes (M. Binet n'a pas fait la courbe 
de Stieda et Goldstein). 

En particulier, il applique la formule de probabilité d'un écart 
de moyennes aux moyennes du diamètre frontal : 

« Etant donné, dit-il, la différence d'une mesure que présen- 
tent deux groupes de sujets, il est possible de savoir si cette dif- 
férence moyenne résulte des écarts opératoires de mensuration ou 
résulte des dimensions réelles qui ont été mesurées. 

On voit que la question est d'une importance capitale. La for- 
mule à employer est la suivante : 

1 =r — l_z . » 

/n'j- -|- //j v- 

Appliquée au diamètre frontal, cette mesure lui donne à ce 
qu'il rapporte, une probabilité de 80 p. 100 pour que la diffé- 
rence provienne d'autre chose que des erreurs opératoires, 
20 p. 100 pour qu'elle soit due à ces simples erreurs opéra- 
toires. 

Pour le détail de la formule, M. Binet renvoyait à un second 
article de V. Henry (-) qui traitait cette fois de la théorie des 
moyennes et des erreurs, et qui s'attachait surtout h la probabi- 
lité de l'écart entre deux moyennes, plutôt qu'à l'écart interne, 
pourrait-on dire, relatif à la moyenne. C'est en effet un problème 
([ui s'ajoule à celui de Stieda : Quand on a constitué des movennes 
homogènes d'où l'on a exclu toute hétérogénéité trop lorte. 



(') Binet. Mensuration de la tôle vivante. Au. Pni/c/i. 7'' .\nn. 1901. p. j'ît), '!()0. 
(-) V. Hknry. Queh^ucs ajjplications du Calcul des Probabilités en Psvcholog-ie. 
An. Psyck. 2» année (iSyS), iSyy, p. i53-iGo. 



28 .V. VASCniDE ET II. P I E R O N 

comment reconnaître maintenant le degré crhétérogénélté de 
deux moyennes prises dans leur ensemble et qu'on considère 
par avance comme hétérogènes ; le sont-elles vraiment au point de 
constitner deux moyennes distinctes, et de ne pouvoir se fondre 
en une seule, de représenter enfin deux types diflerents. Tout 
d'abord il fallait amener l'unité interne dans les types. ^Nlainte- 
nant il faut juger de la dualité externe de ces types. 

La première application servait h déceler une hétérogénéité 
dans la movenne; la deuxième sert à déceler une homogénéité de 
deux moyennes. 

C'est dans les temps de réaction surtout que se présente cette 
question en psychologie : on élimine arbitrairement et sans 
appel en général au calcul des probabilités, toute mesure qui 
s'écarte isolément par trop de la moyenne, sans qu'il y ait de 
règle de cette élimination, autre cjuune appréciation subjective, 
et le tvpe étant ainsi constitué dans une moyenne, on veut le com- 
parer à une autre moyenne, soit d un autre sujet, soit d'y\n autre 
état du même sujet. A quel moment la dillerence entre ces 
movennes sera-t-elle signilicative de la spécificité de ces tyj)es, 
de la réalité des difi'érences objectives ? C'est ii cela ([ue doit 
répondre la série des probabilités des erreurs dans les moyen- 
nes. 

E.-W- Scripture (') a consacré un article au même ^uji-t, iai- 
sant, lui aussi, la théorie des applications du calcul, mais non 
des applications proprement pratiques. Et c'est surtout aux tenqis 
de réaction cju'il songe, ce faisant. 

On voit <[uc les applications réelles sont bcaucoiq» plus rares 
(pi'on iM- jxiurrait le croire, étant donné*' la vogue tlu eaictd des 
probabilit(''s ([u'on cite ii tout propos, et au(juel on fait conslam- 
mcnt appel théori(juement. O'Ite abstention de la prali(|U(' est- 
elle ignorance, est-elle défiance du bon sens vis-ii-vis du |M('sligc 
des cliinVes .' 

Il est bien certain pourtant (jue l'on appli([ue couiamnu-ut, 
sinon le dé-tail, (hi moins le principe du calcul des probabilités, 
dans la vie ordinaire, mais c est une j)rali(pie einiiiin|ue. el nous 



'') K.-W. S« iMi'TiKi:. Coiiipiitiition of u sel of ^illl|)ln dircrl monMnromnnt. Stu- 
dicB fioin Ihr Yale i>nijcUithii^ual Labuiatonj , vol. Vlll. Kjoo, i::-i". Ni'w llaviii. 



LES APPLICATIONS DU CALCUL DES P It O li A B l LI T É S 29 

traitons des applications scientifiques du calcul des probabilités. 
Aussi ne nous sommes-nous pas arrêtés aux applications qu'en 
font souvent les médecins dans le traitement de certaines mala- 
dies, car ils ne recourent h cela que par une ignorance plus ou 
moins avouée, réalisant pour la vie humaine ce que Laplace rêvait 
pour la sécurité civique en proposant déjuger par probabilités. 
Eux soignent par les mêmes principes, et les discussions sur Tin- 
tervention chirurgicale dans l'appendicite par exemple, roulent 
le plus souvent sur des probabilités extraites de quelques cas, 
quand ce n'est pas d'un cas. 

Et cette application médicale n'est pas récente. Avant la 
découverte de la vaccine, on multiplia les considérations proba- 
bilistes sur les dangers et les avantages de l'inoculation, toujours 
en considérant des hommes « moyens » comme Bertrand le 
relève ironiquement, des hommes-types, des hommes en soi; 
D'Alembert (*) en a lait aussi la remarque très judicieuse. 

Enfin les compagnies d'assurances tiennent un grand compte 
des probabilités fournies par les statistiques; elles opèrent d'ail- 
leurs sur des grands nombres et vivent de la constance assez 
régulière de la nature, que les probabilités attribuent ti la puis- 
sance « Hasard » alors que, dans la monotonie universelle, il 
est plus simple d'admettre que les mêmes causes produisent tou- 
jours les mêmes efï'ets. Aussi les résultats assez heureux des 
compagnies d'assurance ne peuvent guère se reporter sur le cal- 
cul des probabilités, d'autant qu'on ne fait appel qu'aux probabi- 
lités simples et non aux formules compliquées du calcul. 

(.1 suivre.) 
X. Vaschide (Paris];. H. PiÉnox (Paris). 



(') D'Ai.E.MBERT, Mélanges de litlcrature, d liisUitre et de phitosopliie. 4' f</. Ainslor- 
dani, 1770, in-i2. — Réflexions philosophiques et matlu'niati(iues sur l'tiiiidienlion du 
Calcul des probaàilités à l'inoculation, p. 3o5-38(>. 



Enseignement nialh. 



ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT 

D U.\ PLAN INVARIABLE S PASSANT D UNE POSITION DONNÉE 1, 
A UNE AUTRE POSITION DONNÉE Z.,. 



1. — Relations générales entre les cle'placements des points (V un 
sj/stème invariable arbitraire. 

^ I. — Les déplacements de trois ou d\in plus giand noinbro 
de points d'une ligne droite t qui, d'une manière (juelconcjuc, 
passe d'une position n^ à une position i., ne sont pas indépen- 
dants; nous allons montrer (ju'il y a une relation entre eux. Il 
existe entre les déplacements des points d'un système i] à trois 
dimensions quand il est transporté d'une manière quelconque 
d'une position ï, ii une autre position quelconque ï.,, des rela- 

u. lions semblables valables de manière 
générale et (pie nous développerons 
d aJjord. 

Soient A, 13, il et U ([uatre points 
d un système invaiiable de l'espace 
lormant les sommets d'une pyramide 
arbitraiie, de sorte que A, 13, (!, U; 
A., 13,,(:,.l\ et A., 13,, (:_.. Il soni les 
pyramides eoii<j;rn('ntes bonu>loi;nes de 
ï, ï, et ï,. 




Fiîî. I. 



Nous posons (lig. \). 



A, H, = a„ A,C, rr ;i,. B^C, rryo ^,^1 = ?!' Bil^'i = ^i- ^i^i = 0.- 



AJi, = a,. \,C., = %, BX^=Yr AiUj = |,. B.U^zzt,.. C,U, = 0,. 
Â7Â", =o„ llTâ; =: 0^. C7T7= 3.,. U,U. = 0. 

(!()inine ï, <'t 1^ s(»nt des systi-nn-s (•on<j;rnents. le procbùt intr 



EQUIVALENCE DU MOUVEMEN'I D'UN PLAN U 



licur de deux vecteurs de S^ est égal au produit intérieur des 
vecteurs homologues de Y..,. 
Donc, on peut écrire 



mais nous avons 



et aussi avec cela 



3,=: ;i, + 5,,= 5,4-0,-0,, 



c'est-à-dire 

'^1 1 "^.^ + î^:; ! ^^". = o, 

ou 

ou enfin 

De même nous trouvons 

2t, I Oï -I- ,-5^ I r:„ = o, 

aJo, + ;i,lo, = (a, + ?,)|^, 
De plus on a la relation 

.?ilTi=?-2lï2; 

mais nous avons 

Ti = Y2 — '-.' = Ti — ^^3 + ^2' ?2 = îi + ^^; = =1 + '^ — Oi 

de sorte que 



c'est-à-dire 



ou 



ou en (in 



?i 1 ^^v + Y2 I ^>; = o, 



3?. F. KRAFT 

De manière semblable s'obtiennent les relations 

Tl I 0; + ?2 I 0.. = o, 

r'i 1 ^ï + ?j I ^.- = O' 
aj oe + 6^1 Oa = o, 

Rn outre, pour les vecteurs du système on a les relations 

(a, + a:,)|o,=:o, (.3, + p,) [ o, =o, . .. 

et aussi par suite 

(2a, +o„)lo„ = o, {•2,'3^+o.)15, = o.... 

ou 

aa, I Oa + o«! = o, 2p, 1 0, + or. = o,.. . 

Multiplions la première de ces équations par o,:, la seconde 
par c,,r, il vient 

•1 (Oiy I Oa) Oj5 + 0«-'o4 = o, 2 (l'ai | j) 0«! + O,/:? i"! = o, 

et en combinant ces relations par addition et soustraction, on 
obtient les importantes relations 

(a^ 1 S,) 0.2 + (li, 1 a?) S«l + 0«!032 - o, 

{«il^^«)o.?-(!Jj5,.)oV.=o. 

On voit d'après cela que les déplacements de (juatre j)oints 
quelconques et plus du svstènie - dépendent l'un de 1 auli'c. 

>i i'. — Si les déplacements des points A, B, C et U du système 
ï sont infiniment petits, il résulte des formules du 5^ i, si nous 
négligeons les grandeurs infiniment petites d'ordre supérieur 
devant celles d'oi'die moindre, 

^1 I '^.'î + ri I d^ = O. 

^1 I dz, + ?,<o, = (ïi + ^i) 1 dp^. a, 1 i~+ ,':, I 7] =r (a, + (i,) | T, : 
?iKïH-Ti l''^=o- _ _ _ 

?i I d?3 + Tl Kp == ?, I d?t + Y, 1 rfi). ?, I ^ +jr, ij- = 1,1 7, + Y, h, ; 

?i I */? + T., I <o, = ^, I rfp, 4- T„ 1 </p.. IJ, I : + T„ K = [J, Ij., + T., Ij-, ; 
D^i I ''P 4- "i I di^ = a, I rfpg + 0, 1 rfp,, a, I v' + 0, 1 vj = Bj k, + 'i, ] ,•, . 



É QUI VA LE se E DU MOUVEMEST D'iW PLAS '33 

Les relations ainsi développées, qui peuvent facilement se 
traduire en langage ordinaire, sont évidemment encore valables, 
si les quatre points sont situés dans un plan. 



II. — Le plan ou champ des points. 

§ 2. — Soient A, = O + o^, B, = + ?., G, = + p,, trois 
points situés non en ligne droite dans le même plan et soit 
Uj = O -|- p un point arbitraire du même plan. Avec le point 
comme pôle de coordonnées, l'équation du radias vector de ce 
plan est 

rr mz^ -f- no, -\- pz.^. m-\- n -\- p =: i, 

OU aussi 

? = ?1 + « (?2 — ?i) +P (?3 — ?lS 

et si nous posons 

(?2 — ?l) = ^P (?3 — ?l) = ?l' 

cette équation devient 

Soit maintenant dune manière quelconque le plan ï transporté 
de la position ï^, pour laquelle nous avons écrit l'équation, à lu 
position ^.y 

Si le plan 1' est transporté de la position -^ à la position -., ses 
points A, B, C et U subissent les déplacements \^A, = o,, B,B, 
= 0j, CjCo = Ô3 et UjU, = 0, de sorte que avec U^ = + i 
pour le plan i], il vient la relation 

■b= p -{-0 = m (pi + 5J + n {p, + 0,) +/) (p3 + 03) 
= mp^ + np,-\-pp.-^-\-mo^ + nô, + po.^, 

ou, avec /« -|- « -f-/; = i, 

^ = ?i + 5i + « !(?,-?.) + (5,- 5,);+/, [(p3_p^) + (53_5.) l 

ou 

il =pi + nai+/^3, -f 0, + H (0. — Oj)4-/>(o, — Oj), 

OU 

^ =r p, + s, + n (aj + ^:.) -j- p ['l, + ^^> ), 



34 F. KRAFT 

et enfin 

•\f= Pi + Oi + Ma. + pS,, 

avec (aj -f o^ ) = a^, (?i + ^.0 = ?>î^ où les vecteurs a, = A,B, 
et p., = AjCo sont situés dans le plan S^ et où l'équation en y est 
l'équation du plan S^ en plus simple forme. 

Le déplacement o = (y — p) = (U^ — U,) du point arbitraire 
U du plan !C est alors 

= /«Oj + «0. H- po^, m-{-n-{-p= i , 
= 0^ + n {o, — o,) + p ,03 — oj, 

rz Oi + «o« + poi. 

Prenons /«, « et /^ comme variables, comme radius vector, 
ces équations donnent alors les déplacements totaux les points du 
plan ï, quand celui-ci passe d'une manière quelconque de la po- 
sition ^i à la position -, et ces équations sont celles d'un plan 
dont les radii vectorcs, sont égaux aux déplacements des points 
du plan ^, 

« Le svstème des déplacements des points d'un plan, t[ui change 
sa position, a la propriété d'être déterminé pour tous les points 
de ce plan si les déplacements de trois points quelconques du 
même plan, mais non en ligne droite sont connus. » — « Liiodo- 
graphe des déplacements des points d'un plan est un autre plan 
qui en général ne passe pas par le pôle de l'hodographe. Des 
ligures correspondantes en ï, ï^, -^ et dans le j)lan do l'hodo- 
graphe sont des figures semblables. » 

Il suit de la dernière équation 

[(0— Oj) (0a0?)] = O. 

Si l'on désigne par î le vecteur de position du plan cK)iin«', 
on a 



err[l(S«0,)]:V/(auô,,}l, 



et ou a aussi 



[o-?.,)\t = o, (o|e) = (5je). 
(' Le plan di' 1 liodograplif est parallidc :i la diUértMuc drs 



ÉqVIVALEyCE DU MOUVEMEST D'LW PL.l.X J, 

déplacements des extrémités de deux vecteurs hétérogènes quel- 
conques du plan -. » 

« Les projections des déplacements des points du plan ï sur 
la direction du vecteur de position du plan de l'hodographe sont 
égaux entre eux ; tous les points du plan S subissent, dans la 
direction du vecteur de position de ce plan, le même déplace- 
ment. » 

§ 2'. — Si les déplacements des points du plan I sont infini- 
ment petits, les équations des plans 1^ et I.,, si nous posons 
y-j ^ a, ,3^ EEE [i, y., = a^ + ch., 'p., = ^p^ -)- dp, deviennent 

? = ?i + "^^ + /'^ 

'\ = ?i + d?i + " (^ + de) -f p {} + d'i), 

l'équation de Ihodographe du système des déplacements des élé- 
ments du plan - est donc 

c?p= (^J/— p) z=idz^-\-nd%-\-pd'tj, 

laquelle, comme nous voyons, s'obtient aussi immédiatementpar 
ditrérenciation de l'étjuation du plan S = i)^. 

D'après cela, il vient pour les vitesses des points du plan 

- do do, , </x , ^3 
dt dt ~ dt ~^ dt 



V = V^ + ?l [V., — Vi) +^ ((-3 —Ji), 
v=[i—n — p] rj -f jir, -fp r.^. 

Avec Téquation relative à dz nous obtenons 
[{do- dp,) [dzdr^)]=o, 
ce qui entraîne 

[V — i^) [(F, — v,){v'^ — i^)] = o. 
et si nous posons 



{dxdp) : \/(dxd-^/i =: (a'.3') : V/(a'^')i =h. 

il s'ensuit 

{do -do,) \i = o. {dp 1 ■) =jdp, 1 t) , 

{o-i\)t\ = o, [v\t) = {v,\z). 



36 /■'. KRAFT 

« L'iiodographe des déplacements infiniment petits et Thodo- 
graphe des vitesses des points dun plan Z sont des plans paral- 
lèles qui en général ne passent pas par les pôles de ces hodo- 
graphes. Les projections des déplacements, ainsi que les 
projections des vitesses des points du plan S sur la direction du 
vecteur de position des plans des hodographes sont égaux entre 
eux >). 

J;^ 3. — Les déplacements des points du plan !i) torment, avec 
le plan - en ses positions -^ et -^, en général des angles différents, 
ce (jue l'iiodographe montre immédiatement. Parmi les points 
du plan i] il peut y en avoir de tels que leurs déplacements soient 
perpendiculaires au plan - ^ -, et de tels que leurs déplacements 
soient en ce plan. 

Pour des déplacements o„ perperdiculaires à -,, nous avons la 
relation 

Avec cela on obtient 

(o,o.^,)z.:.r(o.o,)|(.r,?,), 
de sorte que 

N N -N 

De plus nous obtenons 

{h,0/.i] 4- n (£„OîO«) = O, (£„0,,0,) +/J (£„0«0,,) = o. 



ce f[ui donne 



et, par suite. 



-'■/■' r-» ''^l'^'i'-» 



OaOïî,! Ciafti^ii 






(b- soitc ([lieu général il n"v a <jii'un seul ib-placeinciil de cfllc 
espèce, «'l pour le l'adiiis vcclor (bi point (}ui est di-phicc j»ai b- 
vecteur o„ nous obtenons 

c" — ^i + 7-7-; — «1 + -^rr~ "i • 



ÉQUIVALENCE DU MOUVEMEST D'US l'LAX i-j 

Si nous observons que o,^ = (^) — "^i ? ^i ^ i^u — ^i}- ^i = 
(3^ — Pj), jJj = (p., — Pj) nous trouvons lacilement 

'■"j.Jl.-n ' 

Le point du plan ï := ï, (jui est déplacé, autour du vecteur o„ , 
est son pôle. 

s5 3'. — Si les déplacements des points du plan 1 sont infini- 
ment petits il existe en général un point dont le déplacement 
dz„ lui est perpendiculaire. D'après le paragraphe précédent, 
nous obtenons successivement pour ce déplacement, pour le 
radius vector du point du plan correspondant et pour la vitesse 
de ce point 

?» — (i^jr^.n ) i^?l^?r-n) ?i+ dp,^dp,-n) p^ + [d^^dp,=,; p.. J ; 

et en outre 

l^ Piller-) 

i-* -'I ; , 

?" = ,-0.. / (i'î«''3^") ?1 + (i'3'"l ^") ?2 4- ('-l'-i^'.) ?3! • 

i:^ 4- — Examinons maintenant si le plan ï possède des points 
dont les déplacements sont dans le plan il=:: ï^. 

Si nous désignons ces déplacements par , nous avons pour 
ceux-ci la relation 



38 1\ KRAFT 

Les coefficients doivent satisfaire aux conditions 

I 



"2 = o > > ; (^^lO.o,) — «1 (a^o«o,) J = ^ 4- c«, ; 



et de plus 

Avec ces valeurs des coelficients, où un coellicient reste iiulc- 
terminé, nous obtenons 

L'hodographe pour les déplacement 0^ est une ligne droite; il 
y a donc un ensemble de points du plan ï dont les déplacements 
sont dans le plan ï^. Cette ligne hodographe est, dans l'hodo- 
graphe du système des déplacements de -^ la section de son plan 
par le plan parallèle à ï, qui passe par son pôle. Les équations de 
ces deux plans sont 

Par conséquent la section de ces plans est parallèle au vec- 
teur 

[(o«o.) (a,l3,)J = (^lO.o^) %, — (a/V:..) ^, 
= (o«a,!î,)o,i — (Oia,i3,)o„. 

De //, = o, il suit 0,, --^^ b'i., cl c'est pouiwjiioi les (''([ualions 
de riiodographe pour les déplacements o^, sont 

l. = !.':., + a !(o.a,[i,)?,-(^,a,^.)5.j. 

Avec les valeurs drs cocllicicnls // et n, on oblnni de pins 
0, = 0, 4- /y,o„ 4- //,o^ -f- M, (r,o, 4- «•/:,,), 



ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN PLAN 39 

et si nous posons b^ -\- h,^ -\- b.^ = 1, c^-{- c.y^= — c... il vient 
0. = [bfi, + h.^, + h,fi,) + a, [cfi, + c2, + c,î,). 

Enfin nous obtenons pour l'équation du lieu des points dont le 
déplacement est Cp 

il est parallèle au vecteur 

'J'/.'Ji,-'! ' 

c'est une ligne droite, comme nous l'avons déjà conclu de l'équa- 
tion de l'hodographe de o^. Cette droite s'appelle la caractéris- 
tique du plan i] = Ij. 

Les équations des plans Sj et I, sont 

(? — Pi) (=':?l) = o, ei - p, — Oj) (a,.3,) =: O. 

Les extrémités des déplacements o^ sont situés sur l'intersec- 
tion de ces plans, celle-ci est parallèle au vecteur 

Pour cette ligne on a -L ^ p, c'est pourquoi 



de sorte que 
«'est-à-dire 

si n = o. 



("^l+/^^l)(«A.) = ^^l(^2?.), 









et, par ces valeurs, la ligne en ([uestion passe par le point 



o,a.,p., „ 



lo /■•. KRAFT 

et avec cela nous avons poui l'équation de Tintersection, ou poul- 
ie lieu des extrémités des déplacements o^, puisqu'elle est paral- 
lèle au vecteur r, , 

'■ ^ -' + '^êt ^1 + " ! ^^-^ ^' - ^^'^-'''' Pi ; • 

Avec les valeurs précédentes de n et p on a 
la caractéristique passe donc par le point 

et puisquClle est parallèle au vecteur *', nous avons aussi pour 
équation de la même 

Si 1 On a en particulier o^ =: o, le point A du plan ï ne suhil 
aucun déphicenient et alors les équations de la caractéristi(ju<' et 
du lieu des extrémités des déplacements ô,. de ses points sont 

7.=?. + " )i.'^fi::h)^i-{'^^^.'^yh ;. 

Si les déplacements des points A et lî sont nuls, on a o, = o. 
0., = o, doù alors 

Si 1 on a Oj ^= G, 0^= o.|, n()us obtenons 

7. = ?i + « (^1 — [il) = 'y> '" = o- 

l)ans Ifs dcn\ derniers cas le phiii 1' possède une dioitc (|ui ne 
cluinj^e p;is de lien qiniiid il p;isse de l;i posiliou 1^ :i l:i |>usition 1',. 

Iii 4'. — Si les (lej)l;ieements des points du plan ï sou! inlini- 
nienl jielils, ou procédera conime au "i, .\ en desi}^uant par o^ les 



ÉQUIVALESCE DU MOUVEMEST D'US PLAN 4i 

grandeurs correspoiuhmt aux grandeurs d,^ devenues infiniment 
petites; on aura pour l'équation de l'hodographe des déplace- 
ments situés dans le plan Sj 

La vitesse qui correspond à ce déplacement est 

I/équation de la caractéristique du plan S = -^^ est mainte- 
nant 

et l'équation du lieu des extrémités des déplacements 5^ est 






+ " j L^ (^ + rf==) (^ + rf^)] a - [^ (î' + ^î') (^ + ^;)i ? i > 

toutes ces équations, comme on le voit immédiatement, peuvent 
l'acilement être simplifiées, mais nous en laisserons le soin au 
lecteur, afin de ne pas abuser de la place qui nous a été accordée 
dans cette revue. 

§ 5. — Parmi tous les déplacements qui donnent l'hodographe 
du svstème des déplacements du plan Z, Tun est moindre que 
tous les autres; il est égal à la perpendiculaire abaissée du pôle 
sur le plan de l'hodographe. Désignons ce déplacement par %; il 
est donné par la condition 

oo = ^^i + "^^« + f^:- — -ï" 1 (2«^'^ ) = y'-' 
De celle-ci suit immédiatement 

de sorte que 

5.= iiM^w..,. — ^iML_. 



(-^«o^)" V C^aS^J? 



4u F. KRAFT 

De plus, nous obtenons 
et aussi avec cela 



ou, en abrégeant 
doù il suit 






Ofl =r «'o^ + //o^ + c'o.,, a' -)- ^' + c' = I • 

Comme les coeiricients de cette équation sont bien déterminés 
il n'y a en général qu'un point dont le déplacement est o^ ; son 
radius veclor est 

On a 



0|£ = 0jc = 



V/(0.0,)f 



« Les projections des déplacements sur la direction de £ sonl 
égales au déplacement minimum o„ ». 

Si Ton a 0^ = o, le plan de l'hodographe du système des dé- 
placements passe par le pôle de cet iiodogiaphe, on a alors o„ = 
0. =0, 0,= 0, et A est le point dont le déplacement est le 
moindre. SI l'on a Oj ^^=0, 0^ = o, on a aussi o„ = o et p^ = p^, 
et tous les points de la droite A13 sont sans déplacement parce 
(ju'il en est ainsi des points A et 13. 

i^ 5'. — Si les déplacements des points du plan ï sont infini- 
ment petits, nous obtenons comme déplacement minimum 

el aussi 

''?» - ''?' + ■ Jd^j^t — ''" + — Jdld^, — ''•^- 



ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT DU.\ PLAN 4'i 

l;i vitesse avec laquelle il s'exécute est 



V^ V.^ V.. 



^[('^2-l'l)(^3-'-'l)]-- ' 

!'t la (orme des autres résultats se voit inimédiatement d'ajirès le 
paragraphe 5. 

§ 6. — Les déplacements des points du plan il sont donnés par 
l'équation 

D'après cela le déplacement de chaque point dtr plan se com- 
pose de deux composantes, c'est-à-dire d'un déplacement o^ com- 
mun à tous les points du système et d'une composante 

qui est parallèle au plan de l'hodographe du système des dépla- 
cements et perpendiculaire au vecteur de position de ce plan. 

Nous allons maintenant examiner par quelles sortes de mou- 
vements simples le plan I peut passer delà position 1^ ii la posi- 
tion I]., en passant des cas spéciaux au cas général; dans ce para- 
graphe nous admettrons que o^ = o. 

Si le point A est sans déplacement, o^ =^ o, le point A^ := A., 
est un point double des plans I^ et w.,. 

L'équation de l'hodographe du système des déplacements des 
points du plan S est à présent 

Les déplacements totaux des points du plan I sont tous paral- 
lèles au plan de Ihodographe qui passe par son pôle perpendi- 
culairement au vecteur de position s de ce plan, le(juel vecteur 
est donné par 

3 = [ I (3,0%)] : V^îp^if. 
Comme // et y; (indépendants l'un de Tautrcy sont des nombres 



44 



/•. KRAFT 



variables, il pourrait exister plusieurs points sans dcplacemenf, 
on aurait la condition = 0, ou 

nrj, + prj.^ = O 

et si cette équation doit être satisfaite, 0^ et o.i doivent être des 
vecteurs parallèles, ce que nous excluons ici, de sorte qu'il n'v a 
qu'un seul point sans déplacement. 

Soient S', ï'j, I ., les projections de I, -j, S.,? dans la direction 
de s, sur un plan l/^ parallèle au plan de l'hodographe du système 




li; 



des déplacements; ï', ï'j, ï'^ sont des systèmes congruenis en et- 
j)lan 1",, car les projections de tous lesvecteui-s (jui lient des points 
homolof^ues de -, et de ï, sont cffales ii ces vecteurs. Avec la 

Tri \ J. T> 

projection A' du point A = Aj = A., dont !<• dc-placcnifiil est 
nul, coïncide le point double de ï', et ï', (fig. •?.] . Si i] passe de 
la position ï, :i la position ï^, 1' passe aussi de la position ï', it la 
position l'j et si ï' coïncide avec ï'^ de sorte que des points (mm- 
respondants de 1' et ï', se couvrent, 1' est encore passé de la posi- 
tion ilj il la position ï,. Le j)liis simple mouvement de 1' dans b' 
plan ï,,. pour parvcnii' d'une |)osition ï , ii la position 1',. est bi 
loliilioii (le 1, aiiloiii- (bi point double A des svstiMurs plans 2, ^ 



É Q U IVAL E N C K IJ U MOU V E M ENT D' U ,V /' L A \ 4 î 

et S'^, d'un anpfle w égal à l'angle des droites homologues de I' 
et S'^. Les déplacements des points de ^' sont égaux aux déplace- 
ments des points correspondants de - car ces derniers sont paral- 
lèles au plan S/^. 

En se reportant pour les notations à la figure (2), on a, si le 
système ï' passe de la position ^\ à la position ï',, en posant 



^'l^'2) = (^'l?' 



Oi'., = cos (t'a'i -)- sin k' | (îa'J, ^'.-, ^= cos u'P'j + sin ir | (£|:\). 

De plus nous avons par rapport au système plan ï les équa- 
tions 

7.,-:= {i — cos (l'j) (s I aj £ -(- cos (t',a^ -f- sin iCj | (îaj, 
P2= (i — cos irj (£ I pj E -f. cos its^^ 4- sin u-, | (e^:,). 

Le plan qui passe par B^B^ = 0,, perpendiculairement à la 
droite A^A' coupe cette ligne, qui est parallèle £, en un point O, 
et on a AO,B,B, = AA'B/B/ ; de ÔJB^ = /;, Ô^= '/^ on a par 
suite '/.[ = a/, VJ, =: a/, donc 

y.'t ^^ cos n'i/_\ + sin (l'j I (î/'J =: cos ua'^ -|- sin ir [ (îa',), 

de sorte que 



Le plan qui passe par C^C^ = 0.^ et est perpendiculaire à la 
droite A^A' coupe cet axe AjA' = s en un point O., et on a AO,C,(^-. 
= AA'C/C/ ; de O^ = '/-V, Ôjâ = '/V on a par suite "/;,' 

= %,'/', =%, Jonc 

/"., rr cos i«'o/"i + sin ^^•., \ (î/i") =^ cos (l'ji'j -(- sin ir | (ï^'j), 

de sorte que 



Si le point B du plan i], par sa rotation autour de l'axe £([ui 
passe par le point Aj = A^, passe de la position Bj à la position 
Bg, le pointe passe aussi du lieu i\ au lieu C, et de même tous 
les points homologues de S et S^ se couvrent puisque trois paires 
de points homologues de i] et ^^ coïncident. 

Enseignement niulh. 4 



46 F. KRAFT 

L'amplitude de la rotation s'obtient moyennant le déplacement 
connu d'un des points B ou C; on a 

0. =: (cos ir— i) -/', + sin .r | {ty\,), 

doii, par quadrature intérieure et extraction de racine, il vient 
2 sin ^ ..' = {^J^: h\) , h'i =V^7>1- 

Pour un point arbitraire U du plan !l! nous obtenons maiu te- 
nant, si nous posons Uj = A^ -|- p^, U^ -|- Aj = p.>, 

p^ := (i — COS tr) (£ [ Pj) £ -|- COS trOj -|- sin ir | (ïsj, 
OU, avec 

Pi = ut + /„ 0, = ti2 + y.,. {t I X.,) rz (£ I X,) =r o, y^z = /-r! 
y, = COS uy, + sin ti' ] (s/i), 

de sorte que le déplacement de ce point est 

— y. — y^ — (cos ir — i) /j + sin «• | (s/j^. 

« Etant donné un point du plan S sans déplacement, ce j)lau 
passe de la manière la plus simple d une position ï^ à une j)osi- 
tion I, en tournant autour de Taxe passant par le p»»int fixe ilu 
plan qui est point double de -, et -^ et qui est perpendiculaire 
aux déplacements de deux autres points quelconques du plan ï 
assujettis toutefois à ne pas être en ligne droite avec le point fixe. 
L'angle de rotation est égal à l'angle (ju'enrerment b's jierjien- 
diculaires abaissées des éléments original et linal il Un dépla- 
cement doniK- sur Taxe de lolalion. Les déplacements îles 
points du plan - sont perpendiculaires a cet axe et île gran- 
di'ur directi'uient proportionnelle à leurs distances ii cet axe. 
I.i- mouvement correspondant de la projection du svsteme |)l;in ï 
sni- un plan perpendiculaire audit axe est la rotation <le l:i pro- 
jection autour du point d'intersection de l'axe de ce phiii, du 
même angle que précédemment ». 

Dans ce mouvement les trajectoires des points du j)lan - sont 
des arcs de cercle dont les plans sont perpendiculaiies ii l'axe de 
rotation et dont les centres sont situi-s sur Taxe. 



ÉQUIVALENCE DU MOUVEME.\T D'UN PLAN 4; 

Le système des déplacemenls 

s'appelle un système rotatif, puisqu'il est engendre par rota- 
tion. 

§ 6'. — Si les déplacements des points du plan I sont infini- 
ment petits, on a d'^^ = o, et son mouvement est équivalent à 
une rotation infiniment petite d'amplitude div autour de l'axe 
passant par le point double de Z^ et Z^ ^t perpendiculaire au plan 
de l'hodographe des déplacements. L'angle de rotation est 
donné par 

et la vitesse angulaire du plan est 

Pour un point arbitraire du plan I] nous obtenons 

9-1 = ?i + d'^' I ('?i), 7.2 = Va + c?"' 1 (>/.i), 

§7. — Un cas plus spécial est celui où les points A et B du 
plan I sont sans déplacements ; alors 0^=0, o.,= o, de sorte 
que Ajr^^Ag et Bi == B, sont des points doubles de S^ et S^. 

Alors la droite A, B, -= A, B., est évidemment une lione double 
de Sj et S,. 

Dans ce cas, nous avons 

et les déplacements des points du plan ï sont parallèles entre 
eux. 

Avec yj = 0, il vient 

= 0, p = pi + «ai, 

de sorte que les points de la droite AB = A^ B, ne changent pas 
de lieu ; cette droite est la caractéristique du plan 1 = 1^. 



48 /•■. KRAFT 

(>omme on a généralement 

on a à présent 

«Jo,=ro, ajo— o, 

les déplacements de tous les points du plan 1! sont perpendicu- 
laires à la ligne double de S^ et -j. l^es points homologues de S, 
et -., sont également éloignés de chaque point de cette ligne, 
cette distance variant naturellement pour chaque couple de 
points. 

L'équation d'une droite du plan !l ^^ -i 4"' ^^* parallèle à aj 
est 

? = ?! + '■?i4 Wïp 

et comme ô, = o, o,^ =o, les déplacements des points de cette 
droite sont 

ils sont égaux entre eux. En prenante comme parami'tre variable, 
il suit de la que les points de chaque ravon du plan ï qui est 
parallèle a^ subissent un déplacement égal, de sorte que les 
déplacements des points du plan ï sont directement proportion- 
nels à leurs distances à la droite Aj B^ = A, B^ ; en outre les 
déplacements o sont perpendiculaires à a,, et la droite A^ B, est 
un axe pour le transport par rotation du phin ï de la position ïj 
en la position T,. 

Nous avons après cela, si s = ^a, : V^i-)i 

?2 = (M ?i) - + <=^s il' (£fij U -f sin ir I (£fi,), 
avec '^, = u s +/„ [i, = «£ + /„ u| /,) = ^f/'J^o est 

O3 — (C08 !»■ — i) /'i + sin .i| (£/',), 

d'où il suit 

■1 siu 1 M' = [^^i : A',), /,', - ^/^r;, 

éfjuation (jui détermine 1 angle de rolaliou. 



ICQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'US PLAN 49 

Soit Vj la distance vectorielle d'un point arbitraire du plan 
il = l'^ à Taxe a-j, cette distance vectorielle devient après la rota- 
tion 

/_,= cos(r/^ + sin »(■((£■/_,), 

et le déplacement de ce point est 

= ■/, — ■/_, = (cos ir — i) / ^ + sin w \ (e/^). 

^ ^'. — Si les déplacements des points du plan S sont infini- 
ment petits on a rZp^ = o, (/p, r=: o et le mouvement de ce plan 
est équivalent à une rotation infiniment petite autour de la ligne 
double Aj Bj = A, B, de i]^ et S,; l'amplitude et la vitesse angu- 
laire de cette rotation sont 

dw = {\/dp/_: h\) = (c?S3 : h\) , 

^ 8. — Enfin nous voulons examiner le cas spécial dans lequel 
Oj = o et 0, :^ 63 est. Le point A du plan li est sans déplacement, 
les déplacements de ces points B et G sont égaux. 

Dans ces conditions nous avons 

= [n -\- p) 0,^, 

et les déplacements des points du plan S sont parallèles entre 
eux. 

Avec (/i-|-^;)= o, c'est-à-dire avec p = — /i, il vient 

0=0, p = pi + «(3:, — ^,). 

Le plan S possède donc une droite passant par le point A = A, 
dont le lieu ne change pas ; elle est parallèle à la différence 
des vecteurs a^ et [ii^ ainsi qu'à B^ Aj et forme une ligne double 
de S, et S,, 

On a alors en général 

K I ^^) '^î^— (?i 1 ^^) 5«' = o, 
et ici, dans notre cas particulier 

(^l|53)a3!-(?j03)0,!r.O. 
(==1 — l^l) I a. = ''> 



5o /'. KRAFT 

de sorte que les déplacements des points du plan - sont perpen- 
diculaires à la direction du vecteur (a^ — |jj^. 

L'équation d'un rayon du plan S^-^ parallèle à [x^ — |jJ, 
est 

de sorte que les déplacements de ses points sont 

— CO3 + Il (aj + 0, — ii — 03 — ai + ^J , 

Les déplacements des points d'une droite quelconque du plan 
ïr^I^ qui est parallèle au vecteur (a^ — ,3J sont égaux. Les 
déplacements des points du plan S sont perpendiculaires à la 
droite sans déplacement et. en grandeur, directement propor- 
tionnels aux distances desdits points à cette droite, La droite ([ui 
passe par le point A^ et qui est parallèle a (a, — jj est ainsi un 
axe de rotation quant au transport du plan - de la position -, à 
la position -,. 

Remplaçons l'ancien axe de rotation par le nouveau et con- 
servons la notation du )^ j, nous avons pour le mouvement du 
point C 

7/2 = <^OS .1/', + sin te I (£/',), 
S, = (cos »•- 1) •/;, + si.ur 1 (£ •/;,) ; E = (^3 - 'p,) : / (^i - '^.).S 

1 sin — irr=(vÔ3^ : h' ^, 

équation qui nous donne l'amplitude dr la rotation. 

^ 8'. — Si les déplacements du plan ^ sont inliniment petits, 
on a d z^ =0, (i z,^=:d z.^el l'équation de l'hodograplie du systi-nx' 
des déplacements est 

d?= {n+p)d?-,, 

on a pour la vitesse 

^= (" + /') l'.f 
l'équation de l'axe de rotation est 

P = ?. f "{^1 — .-1 • 



EQL'IVALEXCE DU MOUVEMENT D'US l'LAX 5i 

et ramplitude dé la rotation ainsi (jue la vitesse angulaire tlii 
plan î: sont 

(/..■ = (\/rfâJ: h\] — (ds.^ : h',), w = (»', : h\) . 

^ 9. — Si trois points du plan !l, non situés en ligne droite, 
sont fixes, on a o^=o, = 03 = et par suite 0=0. Le plan ne 
peut subir aucun déplacement. 

.i^ 10. — Soit maintenant un plan S, dont aucun point n'est 
fixe et qui doit passer d'une position I^ h une position S.,. 

L'hodographe du système des déplacements du système plan 
de points I a présentement l'équation 

= 0, + (7iO,, +/>0.) 

Le système des déplacements se compose de deux parties, 
d'abord du système 

'•-1 = ^-1, 

d'une translation commune 0^ h tous les points du plan, et du sys- 
tème 

dont les vecteurs du déplacement sont parallèles au plan de l'ho- 
dographe et qui d'après le §6 donne une rotation autour d'un 
axe. Nous pouvons écrire 

et cette équation nous montre que l'ordre dans la suite de la 
translation et de la rotation, dans le mouvement du plan ï d une 
position S^, est absolument indifférent. 

Le point A = A, ne possède que la translation 0^= A, A.,. 
Soient, si nous posons 

'■-', — 0,. 

0.. — , r^ àj 



3' 



OJ., 



5a y. KRAFT 

oj,, Wy, w,, ... Cù les déplacements des points B, C, D, ...U du plan 
- parallèles au plan de l'hodographe du système des déplace- 
ments lequel à présent ne passe pas par son pôle, ces déplace- 
ments pouvant être engendrés par la rotation du plan i) 
autour de l'axe i passant par le point A ^ A, et perpendiculaire 
au plan de l'hodographe. Chaque point du plan possède en outre 
la translation o^. 

Prenons à présent le pôle des coordonnées sur cet axe, coïn- 
cidant avec le point A^ ; avec les notations précédentes le radius 
vector d'un point arbitraire du plan ï, qui passe de la position 
I, il la position S^, est 

9i — i^\ Pi) ' + <=os »■ (spi) 1 £ + sin 11' I (epi) + 0,, 
le déplacement total du point est 

'^ = (p2 — Pi) = (' — cos «■) } (c 1 Pi) £ — p, ; + sin ..• ] (cpi) + Op 

ou, avec p, = W£+yi, p,^// £ + y,, (e | y J = (e lyj = o, 

7.2 = COS H7_i 4- sin If I (£/_,) -f Oj, 

'■' — i'A-î — Xi) = (co« "' — 7.1 + ^'" "■ I (£/.i) + ^^1- 

11 suit de là pour Tamplitude de la rotation 

, = (i — cos w) \ (£ I «j) £ — a, ; + >^'» "■ 1 ("i) + ^^1, 

d'où 

o_, a = 0^ — Oi =r (cos «■ — i) /_', -f siu if | {c/\), 

de sorte tju'cnrin 

sii. 1 ... = (v/(Oj — o,)j : i/j',). 

(]i)iniiii' le iiKiiivciiH-nt du sysli-mc plan ï est é([ulvalcnt ii une 
iv>tation autour de Taxe e passant j)ar le point A :^ A, et ii une 
translation inclinée sur cet axe, il est aussi équivalent ii une n»ta- 
liou autour d'un axe parallèle :i i, passant par un p(»iiil (pii-l- 
ciiiKjiic (hi j»l;iii ï ï|, avec la mriue ainplil iidc, t-t :i unt- Iraus- 
Uition du ])lan (jui est égale au dcjthuM'incnl total (h- ce point. 

« L(; mouvement d'un planl.<iui passe «liinr position 1, a une 



ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN PLAN 53 

autre position i].,, est é([iilval('nt à une rotation autour dun axe t 
passant par un quelconque de ses points perpendiculairement au 
plan de l'hodographc du système des déplacements des points 
du plan ïi et à une translation de tous ses points. L'amplitude de 
la rotation est égale ;i Tangle des plans X^ et S.,. La translation 
est égale au déplacement total du point du plan par lequel passe 
Taxe de rotation. Avec le point de réduction (A^x\j) du sys- 
tème des déplacements du plan S varient en général la transla- 
tion et la position de l'axe de rotation mais non sa direction, 
l'amplitude de la rotation est la même pour toutes les réductions 
du système des déplacements. L'ordre de suite de la rotation et 
de la translation est arbitraire ; elles peuvent donc avoir lieu en 
même temps. 

Si nous choisissons le point qui a le plus petit déplacement o^ 
comme point de réduction, les translations de points du plan ï! 
sont parallèles à l'axe e, qui passe par ce point et égales à o,,. 

Le mouvement du plan S est d'après cela un mouvement de 
vis dont l'axe a l'équation 

Ps = a'p^ + h'p, + f'p., -\- H 1 (OaOi). 

C'est le mouvement le plus simple pour le transport du planï 
d'une position 1.^ h une position -.,. 

^ lo'. — Si tous les points du plan S subissent des déplace- 
ments infiniment petits, l'équation de l'hodograplie du système 
des déplacements est 

dp rr rfpi -f- [nd-x -\- p'^) 
= {ndo^+pd'^)+dp„ 

il se compose de deux parties 

dp^=^dp^, dp,.^^ {nd%-\- pd3). 

La première partie peut être engendrée par la translation in(i- 
niment petite dp^ de tous les points du plan, la deuxième partie 
par une rotation infiniment petite autour de l'axe passant par le 
point A ^ Aj et parallèle au vecteur de position du plan de llio- 
dographe du système des déplacements. 



F. KRAFT 



L'équation de Ihodographe du système des vitesses des points 
du plan est 

V = i\ + n ()•_, — i\) + p (i^_ ^) , 



v = {i—n—p]v,^m'.-\-pv^, 

elle se décompose en systèmes partiels 

i\ = Vi, Vr = rn\, -\-pv., — {n + p) 7^ 

c"est-à-dire en un système de vitesses de translation et de rota- 
tion. 

L'amplitude de la rotation est donnée par 



et la vitesse angulaire autour desdits axes est 



Revenant h l'équivalence du mouvement du plan, le théorème 
donné précédemment est valable ici : léquation de l'axe £., pour 
un mouvement de vis du plan est 

p. = a's, + //p, + c'o,^ + « Kvi^— ^i) {^i — ^' 1^:- 

On déduira sans difficulté les cas spéciaux déjii traités des 
résultats des deux derniers paragraphes. 

Ferdin;uul Kum r "/iiiich;. 



NOTES ET DOCUMENTS (') 



ECOLE CENTRALE DES ARTS ET MANUFACTURES 

EXTRAITS DU « PROGRAMME DES CONDITIONS POUR LADMISSION 
DES ÉLÈVES » 



D' importantes modifications ont été apportées au programme (V admission 
à l Ecole centrale de Paris. Elles tendent principalement à transformer la 
préparation des candidats pour la rendre plus pratique et mieux appro- 
priée que par le passé au but de l Ecole. Nous attirons tout particulière- 
ment l attention de nos lecteurs sur les « Renseignements généraux sur 
l'esprit dans lequel ont été faites les modifications aux programmes. » 

XOTE DE LA RÉDACTION. 

Renseignements généraux. — L'Ecole centrale des xVrts et Manu- 
factures établie à Paris est spécialement destinée à foi'mer des ingé- 
nieurs pour toutes les branches de lindustrie et pour les travaux et 
services publics dont la direction n'appartient pas nécessairement aux 
ingénieurs de l'Etat. 

L'Ecole ne reçoit que des élèves externes. Les étrangers y peuvent 
être admis comme les nationaux ; leur admission a lieu aux mêmes 
conditions. 

La durée des études est de trois ans. 

Le prix de l'enseignement, y compris les frais qu'entraînent les 
diverses manipulations, est établi conformément au tableau suivant, et 
exigible en trois termes : 





Preiiiit'i-c 


Deuxième 


Tioisièmc 




année d'études 


année d'éludés 


année d'élude^ 




i:)" division) 


{■i' division) 


i.l"-" division) 




fr. 


fr. 


l'r. 


Avaul 1 ouverture des cours. 


45o 


5 00 


5oo 


Le !""■ février 


223 


■l'yo 


2 30 


Le i'-'"" mai 


22 5 


■ibo 


2 5o 








900 


1000 


1000 



(') Nous publions sous ce titre des extraits de règlements, programmes et dccrctï 
relatifs à renseignement secondaire et à l'enseignement siipériour. 

La. Ilih) action. 



56 yoij^s ET DOCLME.\rS 

CoNcouus. — ?Mil nest admis à l'Ecole que par voie de concours. 

Le concours est public. Les épreuves sont de deux sortes : les 
épreuves obligatoires et les épreuves facultatives. 

1° EpreiH'cs obligatoires. — Telles consistent en compositions écrites 
et en examens oraux qui portent sur les connaissances ci-après : 

i" La langue française; 'i° l'arithmétique; 3° la géométrie élémen- 
taire ; /,° l'algèbre ; 5" la trigonométrie ; 0*^' la géométrie analytique à 
deux et à trois dimensions ; 7"^ la géométrie descriptive ; 8" la méca- 
nique ; 9*^ la physique ; 10" la chimie; i 1° le dessin à main levée, le 
dessin au trait et le lavis. 

Toutes les matières comprises dans les Programmes détaillés, sont 
éofalement obliijatoires. Les candidats dont les connaissances sur l'une 
quelconque des matières seraient reconnues insullisantes ne pourront 
être aduiis. Le programme est remis à toutes les personnes qui en font 
la demande au secrétariat de l'Ecole. 

Les compositions écrites peuvent s'appliquer à toutes les divisions 
du programme ; une rédaction correcte et méthodique, ainsi qu une 
écriture régulière et très lisible, en sont des conditions essentielles. 

Les coellicients attachés aux examens oraux et aux compositions 
écrites sont fixés comme il suit : 

OKAI. COMPOSITIONS KC.RITKS 

Géométrie analytique et Moca- 'rrisfoiioiiiélrio ol calcul lo^^a- 

iiiqiie 5 rilhinique J 

Arilliinôtiquo, algèbre, trigono- Malliémaliquos '1 

mélrie 3 Physique .... . i 

Géométrie élémentaire cl descrip- Chimie . . 1 

tivc ") ]]puie. . . .3 

Physique 5 Dessin (laicliUei.ii.io. \ 

Chimie i Dessin de machines. . i 

(Croquis de macliiiies j 

Quinze points seront ajoutés au total des points obtenus par ceux des 
candidats qui pi'oduiront soit le certilical relatif à la première partie 
des épreuves du baccalauréat de l'enseignement secondaire classi(fiic ou 
moderne, soit le diplôme des h'coles nationales des Arts et Métiers. 

Tout candidat de nationalité française, dont les compositions écrites 
présenteront de graves incorrections au point de vue de la rédaction 
ou de 1 orthographe, sera, de ce fait, déféré au jury d admission l'éuni 
en séance plénière et pourra être exclu du concours, alors même (|ue 
l'ensemble de ses épreuves le classerait eu rang utile ])our être admis. 

•j." /i/jrciti-c fncn/tatii'c. — En raison de linipurlance croissante (|u'a 
pour les ingénieurs la connaissance des langues, tout candidat, (|uelle 
que soit sa nationalité, sc-ra admis, s'il eu fait la demande dans lalorme 
spécifiée plus haut à l'article : « (Concours », à passer un examen sur 
une ou plusieurs des langues suivantes : Anglais .Mlemand, Espagmd, 



s or ES ET DOCUMEMS Sy 

et Russe. L examen sera oral et pulilic coiinne les épreuves obligatoires. 
Il consistera en : 

1° La traduction française dun texte é-cril dans la langue sur laquelle 
porte l'épreuve ; 

■2" Une conversation en ladite langue. 

Les points obtenus dans cette épreuve au-dessus de la note lo, seront 
affectés du coefficient -x et compteront pour l'admission. 

Si un candidat passe sur deux ou trois langues, le coefficient 2 s ap- 
pliquera dans les conditions ci-dessus, à la langue sur laquelle il aura 
obtenu la plus haute note, les points au-dessus de 10, obtenus sur les 
autres langues, sajoutant purement et simplement. 

Composition de Malhématiques. — A l'avenir, cette composition por- 
tera sur deux sujets distincts : 

1° Une question de cours prise dans la partie du programme relative 
à la mécanique ou à la cinématique, avec application numérique, s'il y 
a lieu ; 

■2° Un problème de géométrie analytique ou de cinématique, consis- 
tant : soit dans la recherche, la discussion et la représentation d'un 
lieu géométrique ou d'une trajectoire d après les conditions géomé- 
triques ou cinématiques données ; soit dans la discussion et la repré- 
sentation d'une courbe ou d un mouvement directement définis par des 
équations numériques données. 

Pas plus que par le passé on ne proposera des questions d'arithmé- 
tique pure ou d'algèbre pure. Ces deux sciences n'interviendront qu'à 
titre d'auxiliaires. 

Ce que Ton désire, c'est que les candidats soient exercés à discuter 
et à suivre, par les moyens analytiques, géométriques ou cinématiques 
dont ils disposent, l'allure d une fonction d une variable ; qu ils soient 
exercés à la recherche des tangentes, des maxima et minima, des points 
d inflexion et, en cinématique, à celle des vitesses et des accélérations 
tangentielles. 

On ne s interdit pas d une manière absolue de donner aussi des 
questions oii il y aurait à remonter à des fonctions primitives; mais, 
en ce cas, on se bornera aux fonctions primitives qui sont explicitement 
au programme et que les candidats doivent connaître. 

Renseignements cÉNÉnAux scu lespuit i).\ns lequel ont été 
FAITES les modifications AU PKOGliAM.ME. — Lcs modifications appor- 
tées au programme ont été faites dans le but de le simplifier, de le 
préciser et de le développer dans le sens dans lequel les clèi-es cii.v- 
mémcs sont appelés à se diriger après leur entrée à l école. 

1'^' Simplifications. — On a supprimé toutes les questions pouvant 
donner lieu à des discussions sur les principes : ces questions tjui tou- 
chent à la philosophie des mathématiques seraient intéressantes et utiles 
pour des élèves se destinant à renseignement; elles ne peuvent même 



58 yOTES ET DOCrMEATS 

pas être comprises d'un élève de lycée. Personne ne songerait à 
demander à des candidats à l'Ecole centrale d'approfondir et de justilier 
les définitions de la ligne droite et du plan, de discuter le postulatum 
d'Euclide : les notions simples et intuitives fournies par le bon 
sens ne peuvent qu'être obscurcies par des discussions prématurées. 
La même prudence s'impose en arithmétique, en algèbre et en méca- 
nique. 

C'est ainsi que, pour l'algèbre et l'arithmétique, on a supprimé du 
programme toutes les questions pouvant donner lieu à des développe- 
ments ou à des interrogations sur les nombres incommensurables en 
général, sur l'idée générale de limite, sur la continuité en un point ou 
dans un intervalle, sur 1 existence des dérivées et des fonctions inqili- 
cites... : ce genre de notions se trouvera précisé parles exemples parti- 
culiers qui s'en présentent dans le cours; l'idée d'incommensurable par 
le rapport de la diagonale du carré au côté ; l'idée de limite par les 
progressions géométriques décroissantes, les séries, les dérivées... ; 
pour éviter toute difficulté pour la continuité on a indiqué au programme 
que 1 idée d'un trait continu pour la représentation graphique de la 
fonction suffii'ait à définir la continuité ; on a, d'une façon générale, 
introduit dans toutes les questions d'analyse et d'algèbre la représen- 
tation graphique; par exemple, on a indiqué que, pour le théorème des 

accroissements finis, j-^ = f (c), on peut le déduire de cette 

remarque que, sur l'arc de courbe y =/'(.r) entre les deux points .r = a 
et j:=^b, il existe un point.r^=c oii la tangente est parallèle à la corde, 
pourvu que la dérivée remplisse les conditions connues ; de même la 
représentation graphique doit jouer un rôle fondamental dans tout 
ce qui touche à la théorie des équations à coefficients réels, théorème 
de Rolle, méthodes d a})pi"oximatii)n de ^se\vlon et des jiarlies propor- 
tionnelles... 

Pour les séries, on ne demandera que l'étude de celles dont la conver- 
gence ou la divergence puisse s'étudier par l'applicatioii directe des 
théorèmes indiqués au programme. 

En mécanique, les interrogations ne porteront pas sur les principes. 
Les candidats devront être exercés aux questions du programme accom- 
pagnées d'applications simples ; par exemple les conditions générales 
d'équilibre d'un corps solide devront être applitjuées aux cas simples 
d un cDrps solide sollicité par deux forces, par trois foi'ces, par des 
forces parallèles, par des forces dans un môme plan... 

Une autre simplification du programme a consisté à supprimer les 
petites (juestions traitées par des méthodes spéciales et compliquées, 
cpiand il existe des méthodes générales |)lus siiiq)les. 

iOiilni, une dernière simplitleation en iiiatii(iiiati<pies a consisté à dimi- 
nuer en géométrie analyti<|iie la place excessive prise par la théorie des 
courbes et .surfaces du second oi'dre. prineipalemeiil en supprimant des 



yOTES ET DOCUMESTS 39 

questions relatives à ces courbes ou surfaces rapportées à des axes 
quelconques. On a supprimé toutes les formules générales qui ne sont 
que des exercices de mémoire ou des jeux détriture ; exemples: condi- 
tion de contact d une droite et d'une conique, é({uation quadratique des 
tangentes menées d un point, équation quadratique des asymptotes 
dans l'équation générale, théories générales des foyers et des direc- 
trices... 

De même, dans l'espace, on a supprimé ce qui se rapporte à la réduc- 
tion de léquatioTi générale du deuxième degré ; par contre, on a |.)récisé 
les points sur lesquels portera l'étude des quadriques avec les formes 
réduites. 

Pour éviter de charger la mémoire de formules compliquées, on a 
spécifié en géométrie analytique que, dans toutes les questions relatives 
aux angles et aux distances, on emploierait les coordonnées rectangu- 
laires. 

Dans le même ordre d'idées, on a supprimé les notions de sciences 
naturelles précédemment exigées. 

•2° Précision. — L'ancien programme contient quelques expressions 
trop vagues ou trop générales, de telle sorte que les professeurs, ne 
sachant jusqu où l'examinateur ira, fatiguent les élèves à force de vouloir 
prévoir des questions possibles. Dans cet ordre d'idées, rentrent 
d'abord des questions sur les principes qui sont déjà écartées, puis des 
questions comme les suivantes : 

En trigonométrie : 

Application à la résolution de certaines équations trigonométriques. 

En algèbre : 

Fonctions primitives qui s'obtiennent comme conséquences immé- 
diates des dérivées ci-dessus indiquées. 

En géométrie analytique : 

Recherches des asymptotes à une courbe : application aux courbes 
algébriques. 

Equations générales de coniques assujetties à certaines conditions. 
Equations d'un plan assujetti à certaines conditions, etc. 

Ces questions ont été précisées et on a énuméré les applications 
demandées, ce qui allonge le texte, mais diminue le programme. 

3° Déi'eloppement. — Enfin, on s'est proposé de développer le pro- 
gramme. Il y a actuellement une tendance à faire tourner toute la géo- 
métrie analytique autour de 1 étude des courbes et surfaces du second 
ordre définies par les équations générales et de la recherche de licu.r 
géométriques artificiels ; les élèves apprennent par cœur des formules 
et des équations tout à fait inutiles. Gomme nous l'avons déjà dit, on a 
supprimé dans le programme tout ce qui pourrait pousser les profes- 
seurs dans cette voie où les élèves se fatiguent sans aucun développe- 
ment de 1 intelligence et acquièrent le dédain des questions sinqiles et 
précises, des applications numériques, des calculs entièrement terminés. 



6o yOTES ET DOCiME.\TS 

Beaucoup d'élèves sont incapables de construire une courbe définie 
par une équation numérique explicite y r=n /"(.r), de calculer les maxiraa. 
rainima, les points d'inflexion, etc. On a, en conséquence, introduit 
quelques questions qui obligeront les élèves à approfondir la repré- 
sentation dune fonction par une courbe sur des exemples numériques 
et à pousser les calculs jusqu'au bout. C'est pourquoi on a divisé la 
partie du programme relatif aux courbes en trois parties : 

A) Etude des courbes définies par une équation explicite y = f{-i'), 
cas très important au point de vue des applications : 

B) Etude des courbes telles que les coordonnées d'un de leurs points 
soient exprimées en fonctions dun paramètre, cas qui se présente cons- 
tamment en cinématique ; 

C) Courbes définies par une équation implicite, cas sur lequel por- 
taient presque toutes les questions de l'ancien programme. 

En trigonométrie on a ajouté la formule de Moivre et la formule 
d'Euler 

e^' =: CCS J" -f- j sin x. 

Pour établir cette formule, on remarquera que, en prenant la dérivée 
de 

j =r L (ces X -\- i sin .») 

par les règles ordinaires et réduisant on trouve 

j'r = '■ ; 
on en conclut y = ix -|- C. 

cos J" -j- t sin a; =: Ae'-' 

et en faisant x = o,A = i. Il ne sera soulevé aucune didiculté au sujet 
de cette démonstration. 

Enfin, le programme se trouve complété, dans le sens que nous avons 
indiqué, par lintroduction de quelques notions de cinématique et de 
mécanique. 

Si, pour les parties déjà anciennes et depuis longtemps classi(|ues du 
programme, on a tenu à le préciser, à plus forte raison, en est-il ainsi 
dans ces parties nouv(;lles. 

(\ti qu'on a voulu tout d'abord, c'est que de futurs ingénieurs acipiiè- 
rent le plus tôt possible quelques notions précises sur les machines les 
plus simples et (jue, sur chacune d'elles, il leur soit montré clairement 
qu'on ne peut pas gagner à la fois en force et en chemin parcouru, ce 
qui n'exige en aucune façon qu'on leur donne et suiiout cpi'on leur déve- 
loppe la notion du travail méeani<|ue. 

(ialilée, sans celte notion, pouvait déjà dire à ses contemporains (jue 
celui ([ui chercherait un dispositif mécanique ayant par liii-mème la 



NOTES ET DOCDME.\TS 6l 

double vertu de faire gagner à la fois de la force; et du temps ne méri- 
terait pas d'avoir du temps, parce qu il l'emploierait trop mal. C'est ce 
que les macliines comprises au programme suffisent à faire concevoir. 

Si ce but avait été le seul utile, le programme de statique y eût suffi. 
Si l'on y a ajouté les premiers éléments de la cinématique et de la 
dynamique du point, c'est surtout en vue de l'enseignement de la phy- 
sique, cette science dont 1 importance en industrie grandit chaque jour. 
Les professeurs de physique n'ont jamais pu se passer d'employer des 
notions de mécanique plus ou moins déguisées. Il a paru préférable de 
les donner franchement en les réduisant à ce qui est indispensable dans 
la physique élémentaire et restera indispensable dans la phvsique la 
plus industrielle, à savoir : la notion du champ de foi'ces uniforme et 
celle du champ de forces centrales variant en raison dii-ecte de la dis- 
tance au centre. C'est à bien en imprégner les débutants que s'attache le 
programme dès ses premières lignes, dès qu'on a défini l'accélération. 

On ne demandera d'ailleurs aucun des théorèmes généraux relatifs à 
la dynamique du point. 

En statique, on a, dès le début, et contrairement à l'usage, introduit 
la notion du frottement. C'est la réalité, ce que chacun conçoit. Elle est 
de nature à donner aux débutants des idées beaucoup plus justes que 
l'abstraction sur laquelle, d'ordinaire, on les tient peut-être un peu 
longtemps et non au profit de la claire vue des choses. 

Cours universitaires. 

Paris. Collège de France. — Mécanique analytique et mécanique 
céleste. M. H.VD.VMAm). — Calcul des variations ; Ec|uation aux dérivés 
partielles dans la mécanique des milieux déformables. Les mercredis à 
u. heures 1/2 et les samedis à 3 heures 3/4. — Anahjse mathématlnque. 
^L Jordan. Equations différentielles. Les jeudis et samedis à midi 3/4. 
— Physique générale et mathématique. ^L Brillouix. Produciions pro- 
pagation et réception des ondes électriques à travers l'espace. Rôle de 
la Terre. Les mercredis et samedis à 5 heures. — Mathématiques. 
(Fondation C.-A. Peccot), Contrairement à ce que nous annoncions 
dans notre dernier numéro, ce cours n'est pas continué cette année 
par ]\L Borel mais par M. Lebesgle qui traitera delà notion d'intégrale 
définie et du développement trigonométrique des fonctions, les ven- 
dredis à To heures ij-i. 

SUISSE 

Neuchatel. Académie. — Calcul infinitésimal (3 h.). Géométrie analy- 
tique dans l'espace (-2 h.). Théorie des nombres (1 h.). M. Isely. — 
Théorie générale des fonctions (2 h.). Fonctions abéliennes (i h.). 
M.-L. Gaiîkrki.. — Astronomie sphérique et géodésie (3 h.). .M. le Grand 
Boy. — .Mécanique analytique (2 h.). Physique math. (2 h.). M. B.\\'eber. 

EnseigTicment mutb. 5 



CHRONIQUE 



Prix Académiques. 

Prix décernés. — Dans sa séance du ii décembre 1902, l'Acadéraie 
des Sciences de Pains a décerné les prix afférents à Tannée 1902. 
Gomme les années précédentes nous indiquons ici ceux qui ont trait 
aux mathématiques. 

Grand prix des sciences matlicinatiqiies (3o()0 francs). — Porfoction- 
ner en un point important, l'application de la théorie des groupes con- 
tinus à la théorie des équations aux dérivées partielles: M. Ernest 
Vessiot. Professeur à la faculté des sciences de Lyon. Une mention 
très honorable est accordée à M. Le Roux, chargé de cours à la Faculté 
des sciences de Rennes. 

Prix Bordin. — Développer et perfectionner la théorie des surfaces 
applicables, sur le paraboloïde de révolution. Une mention honorable 
est accordée à M. de Tannenberg, professeur à la Faculté des sciences 
de Bordeaux. 

Prix Francœur. — M. E.Mii.i: Le.moine obtient le prix pour l'ensem- 
ble de ses travaux sur la géométrie. 

Prix Poncelet, — ^I. Maurice dOcacne obtient le prix pour l'en- 
semble de ses travaux sur la Nomographie. 

Prix extraordinaire de niccanif/iie (Cnum francs). — Un prix de 
/jooo francs est donné à ^L Romazotti pour ses travaux relatifs aux 
bateaux sous-marins, et un prix d(; vtooo francs à M. Dimencourt. 

Prix Montyon. — AL le commandant Hart.mann obtient le prix pour 
les expériences à l'aide desquelles il a su faire apparaître à la surface 
des corps élastiques, les lignes de glissement produites dans leurs 
déformations. 

Prix Plume]/. — AL le colonel Renaud, oblienl le prix pour l'cTiscm- 
ble de ses travaux. 

Prix Pierre Guznian. — Non décerné. 

Prix Lalandc, — Décerné à M. TuÉi'iEn, directeur de l'observatoire 
d'Alger pour rensemi)le de ses travaux. 

Prix l'alz. — .M. llARTwrc, directeur de l'observatoire de Raïuherg 
obtient le prix poui* 1 Cnsemble de ses travaux. 

Prix Damoiscnu. — .M. Gaii.eot, sous-directeur de l'oliscrs atoin- ib- 
Paris obtient le prix pour l'ensemble de ses travaux. 

Prix Jansscii. — "SX. le Comte Aymaii im; i.a 15 \i mi-Ti imnei., 
obtient le pi'ix pour 1 <;ii.-.cml>lc de ses travaux d aslronoinii: pliysiquf. 
Un encouragement et une médaille sont accordés au Docteur.! ean Bi.noi . 



CIinOMQUE 63 

Prix Saintoiir. — Partagé entre M. Riquier. pour ses travaux sur 
l'intégration des systèmes déquations aux dérivées partielles, et A. Minet 
pour ses recherches sur la préparation électrolytique de laluminiurn. 

Prix fondé par M"^'^ la Marquise de Laplace. — Œuvres complètes 
de Laplace décernées en prix au premier élève sortant de l'Ecole Polv- 
technique : M. Aubrun. 

Prix Félix Rivot. — A réserver aux deux élèves entrant les premiers 
soit à lEcole des ^lines, soit à 1 Ecole des Ponts et Chaussées : 
MM. AuBRUN, NiEWEXGLOwsKi, Barrillon, Bénézit. 

Prix proposés. — Prix Francœur (looo francs). — Prix annuel 
décerné à l'auteur des travaux utiles au progrès des sciences mathéma- 
tiques pures et appliquées. 

Prix Poncelet (aooo francs). — Destiné à récompenser l'ouvrage le 
plus utile aux progrès des sciences mathématiques pures ou appliquées, 
publié dans le cours des dix années qui auront précédé le jugement de 
l'Académie. 

Grand prix des sciences mathématiques (3ooo francs). — Perfection- 
ner, en quelque point important, l'étude de la convergence des fractions 
continues algébriques. 

Prix Bordin ( 'îooo francs). — Développer et perfectionner la théorie 
des surfaces applicables sur le paraboloïde de révolution. 

Prix Vaillant (4ooo francs). — Déterminer et étudier tous les dépla- 
cements d'une figure invariable dans lesquels les dilférents points de la 
figure décrivent des courbes sphériques. 

Prix extraordinaire de mécanique (6000 francs). — Destiné à récom- 
penser tout progrès de nature à accroître 1 efficacité de nos forces 
navales. 

Prix Moft^î/o/i (700 francs). — ^Mécanique appliquée à l'agriculture, 
aux arts mécaniques ou aux sciences. 

Prix Pluniey (^joo francs). — Perfectionnement des machines à 
vapeur ou de la navigation <à vapeur. 

Prix Fourncyron ( 1000 francs). — • Etude théorique ou expérimentale 
des turbines à vapeur. 

Prix Pierre Guzman (100,000 francs). — Communiquer avec un astre 
autre que la planète Mars. Comme ce prix ne pourra probablement pas 
être décerné d'ici longtemps, les intérêts du capital feront un prix 
quinquennal qui sera décerné pour la première fois en 1905. 

Prix Lalandc (j^o francs). — Observation ou mémoire le plus utile 
à l'Astronomie. 

Prix Valz (4G0 francs). — Observation astronomique. 

Prix G.Pontécoulant (700 francs). — Recherchesde mécaniquecéleste. 

Prix Jansscn (Médaille d'or). — Astronomie physique. 

Prix Damoiseau (-looo francs). — Il existe une dizaine de comètes 
dont l'orbite, pendant la période de visibilité s'est montrée de nature 
hyperbolique. Picchercher, en remontant dans le passé et tenant compte 



64 ClIROyiQLE 

des perturbations des planètes, sil en était ainsi avant l'arrivée de ces 
comètes dans le système solaire. 

Prix Binoiix (2000 francs). — Histoire des sciences. 

Médaille Arago. — Témoignage de haute estime donné par l'Acadé- 
mie à un travail scientifique de nature quelconque. 

Pri.v Milde (',000 francs). — Ce prix doit récompenser la découverte 
ou l'ouvrage le plus distingué sur l'xVstronomie, la Physique, la Chi- 
mie, la ^linéralogie, la Géologie ou la Mécanique expérimentale. 

Prix Petit d' Orinoy (10.000 francs). — Mathématiques pures ou 
appliquées. 

Prix Boilcau (i3oo francs). — Progrès suffisant de l'Hydraulique. 

Prix de M™*" la Marquise de Laplace. — Collection des œuvres de 
Laplace décernée au premier élève sortant de l'Ecole Pohtechnique. 

Prix Félix Rii-ot (^Soo francs). — A partager entre les quatre élèves 
sortant chaque année de l'Ecole Polytechnique avec les numéros i et 
•j-i dans le corps des mines et des Ponts et Chaussées. 

Prix Lecomte (5o,oo() francs). — Découvertes scientifiques capitales. 

Prix Saintour (3oo() francs). — Décerné dans l'intérêt des sciences. 

Le Prix Francœur. 

Ainsi qu'on le voit dans liste précédente, lo pri.\ l'ranco'ur a été 
décerné cette fois à!M. Emile I^emoine. Nous nous associons de grand 
cœur au témoignage d'estime de l'Académie et sommes heureux de voir 
récompenser un de nos amis qui à coup sûr niéritait une telle distinction 
à des titres nond)reux. M. Lemoinc fut le principal créateur de la géo- 
méti'ie du triangle et le créateur exclusif de la géométrographio. Il s'est 
aussi occupé de certaines parties de la théorie des n()nd)res et du calcul 
des probabilités. Avec M. Laisant il fut le fondateur de \.' Intermédiaire 
des Mathématiciens et a donné un grand nond>re d articles aux jt)ur- 
naux mathématiques les plus divers. Atteint depuis ([uchpies années d'umr 
maladie criudle, il a le grand regret de ne pas pouvoir toujours travailler 
autant qu'il le désire et de se refuser à de nouvelles publications de ses 
idées, publications qu'on lui demande de tout ■<-ôté et notaunnenl de 
l'étranger. l..a rédaction de l'/inscignemenl matliémati(/uc est heureuse 
de s associer aux fi-licitations dont ce modestt; savant est robjfi. 

États-Unis. 

Nécrologie. — M. le P"" .lohn 1*. HiNKi.i:, qui dirigeait la section de.'* 
sciences mathé;iiati(|ues de llnslitut lecliuologicpie de Massailuisctl, 
est décédé le H juillet dernier. Il était né à lloot le 11 octtdjre i8/!i. 
Riinkle a dirigé 1 Institut ti.'cluiologiipic pendant huit ans; il a été pen- 
dant j)Iiis df Irrnlc ans l'un des principaux appuis de V American ,\an- 
licai Almanticli . il a fondé cl dirigé h; Mathematical Mitnttihj { 1 ^{.^<S- 1 H()i ), 
qui lut lun des pr<Miii»'i>; périodi({ucs matliéniaticpies américains. 



CORRESPONDANCE 



A propos du récent article de M. Vidal. 

En partant des définitions habituelles de la droite et du plan, on 
prouve qu'il existe entre Ihypoténuse a et les côtés b et c d'un triangle 



rectangle 1 une des relations 
ch { j] =z ch 



'i)<^- 



a^ = b- -^ c2. 



suivant que Ion rejette ou que 1 on admet le postulat de la parallèle 
unique et réciproquement. Il en résulte que le postulat de la parallèle 
est indémontrable en se servant des déiinitions seules puisque ces défi- 
nitions conduisent à deux relations distinctes, dont la seconde seule- 
ment a pour conséquence ce postulat. 

L'argument de la pseudosphère est parfaitement probant quand on 
l'entend d une pseudosphère enroulée un nombre infini de fois sur elle- 
même; il est inutile pour ceux qui connaissent la géométrie plane lobat- 
chefskienne; incomplet parce qu'il prouve seulement l'indémontrabilité 
du postulat de la parallèle unique par des constructions planes. 

Gand, octobi-e 1902, r • -MansiOX. 

Remarque sur la géométrie non-euclidienne. 

Il y a des géomètres qui pensent que la géométrie projective habi- 
tuelle est indépendante de la théorie des parallèles, en sorte que 
ses théorèmes subsisteraient aussi dans la géométrie non-euclidienne. 

Toutefois il v a une différence. 

Soit A une droite, s un point, puis 
su et SI' les deux parallèles dilférentes \ 

du point s à la droite A, qui existent 
dans la géométrie de Lobatchewsky. 
Choisissant à volonté deux points u 
et i^' sur lune et l'autre desdites paral- 
lèles, je considère la droite uv comme 

l'axe de perspective, s étantle centre de projection. Cela étant, j observe 
que si le point mobile m parcourt la droite indéfinie A, sa projection m 
parcourra le segment de longueur finie «v ; les points placés sur les 
deux prolongements de Hi' ne correspondront à aucun point de la 
ligne A. C'est là une différence radicale entre les deux géométries. X. 




BIBLIOGRAPHIE 



Alfredo Capelli. — Lezioni sulla teoria délie forme algebriche Un 
vol. di 295 p. gi". iii-8'-' (in lilogral'ia) ; L. 10. — B. PoUenuio, ?\'apoli 1902. 

En publiant cette rédaction, faite par lui-même, du cours qu il a professé à 
l'Université de ]N'aplcs sur la théorie des formes algébriques, M. Capelli 
prévient expressément le lecteur, dans sa préface, qu'il a voulu s'en tenir à 
un exposé théorique tout à fait général, sans autres applications que quelques 
rares exemples jugés utiles pour éclaircir certaines propositions abstraites. 
Et en effet, on chercherait vainement dans cet ouvrage les résultats si nom- 
breux et variés acquis à la science dans les théories spéciales des formes 
ou système de formes binaires, ternaires, quaternaires, des formes bili- 
néaires, etc. Par contre, on y trouvera un exposé remarquablement métho- 
dique et rigoureux d'une théorie qui a été édifiée surtout grâce aux recher- 
ches personnelles de l'émiiicnt professeur, et dont la généralité ne laisse 
rien à désirer, car elle s'attaque directement et de prime abord aux systèmes 
de tant de formes simultanées indépendantes qu'on voudra de n'importe 
quels ordres, renfermant un nombre quelconque de séries de variables 
jjaircs jj,,ji cogrédicntes que contragrédientes. Cette théorie est exclusivement 
fondée sur la considération de l'opération polaire, à laquelle l'auteur ramène 
successivement (au besoin par 1 introduction de séries de variables auxiliaires 
qui disparaissent finalement du résultat) toutes les autres opérations, telles 
que celles de Caylcy et d'Aronhold, qui jouissent aussi de la propriété de 
conserver le caractère d'invariance. Les relations entre ces diverses opéra- 
tions, répétées ou combinées entre elles, sont étudiées en détail, notamment 
au point de vue des conditions de permutabilité. — Pour leur application ù 
la construction des formes concomitantes d'un système donné, et pour la 
représentation de ces formes, il est fait exclusivement usage de la notation 
symbolique allemande ; néanmoins ([uelques leçons du cliaj)itre 11 sont con- 
sacrées à la formation et à la discussion des équations différenlitdies qui 
caractérisent les covariants, les semi-covariants, etc.. ainsi qu'aux propriétés 
si importantes des sources (péninva riants). L'ouvrage se termine |)ar la 
démonstration du théorème de M. (Jordan complété par ^L llilljerl, sur 
l'existence de systèmes finis complets de covariants pour tout système de 
formes fondamentales à j)lusieurs séries de variables n"'"" cogré<lientos. 

Dans un ap|)cMflice d'une trentaine de pages, l'auteur a rejeté h's <l<''velop- 
pements de la tlii'orie gc'ni'-rale (|ui «•oncernenl spécialement !<• donuiine 
binaire, savoir les l'urmules de réduction indispensables poui- simplifier les 
rcpréscfitalions symboliques (celles (|ui concernent le domaine ternaire 
ont été données au § XIV du ciiap. 11), le développeun-nl de (]lcbsch et 
Gordan, les propriiHc's de l'opération «le Iransvection (Uebrrschiebung) et les 
relaliotiH idi-ntiqui-s existant entre les formes que fournil ra])plicalion répé- 
tée de <-etlr o|)('Talion. 1{. l'i iiHiN (Paris). 



DIIiLIOGRAPIIIE 



67 



L. C0UTURA.T. — La logique de Leibniz. d"après des documcnls inédits. 
(Collection historique des grands philosophes). Un vol. gr. in-8'^, 608 p., 
prix : 12 IV. ; F. Alcan, Paris. 

Qu'il reste de Leibniz des documents inédits d'une certaine importance et 
en assez grand nombre, voilà certes un fait qui surprendra bien des lecteurs. 
On en trouvera cependant une preuve éclatante dans cet ouvrage, de plus de 
si.x cents pages, consacrées à la Logique de Leibniz d'après des documents 
inédits, et dans lequel il n'est pas un chapitre qui ne soit d'un réel intérêt, 
tant poui' le philosophe que pour le mathématicien. 

Il est vrai que la publication des œuvres de Leibniz a été faite dans des 
conditions très défavorables, sinon défectueuses. Les œuvres n'ont du reste 
été publiées qu'incomplètement, et ce qui est imprimé est dispersé dans des 
éditions partielles ou fragmentaires. Quant aux nombreux auteurs qui, depuis 
bientôt deux siècles, ont consacré des travaux au grand jjhilosophe allemand, 
ils n'ont, pour la plupart, pas eu recours aux documents primitifs. C'est ce 
qu'a constaté M. Couturat lorsqu'il prit connaissance des manuscrits con- 
servés à la bibliothèque de Hanovre, < Nous croyions, dit-il dans la Préface, 
n'avoir plus qu'à glaner après tant d'éditeurs : or nous avons rapporté une 
moisson si riche de documents nouveaux, que nous avons été obligé de 
refondre entièrement notre livre et de récrire certains chapitres en totalité », 
notamment le chapitre consacré à la langue universelle et celui qui a pour 
objet le calcul logique. 

Les deux premiers chapitres traitent de la Syllogistique (32 p.) et de la 
CoDihinatoire (18 p.). L'auteur indique d'abord ce que pensait Leibniz de la 
logique traditionnelle d'Aristote et des scolastiques et en particulier de la 
théorie du syllogisme pour laquelle il a toujours témoigné une grande admi- 
ration. Dès sa quatorzième année, il porte son attention sur ces questions, 
A l'âge de dix-neuf ans, il montre dans son De Arte Comhinatoria, que Tune 
des principales applications de l'art des combinaisons est la logique, et tout 
particulièrement la logique de l'invention. M. Couturat montre que la logique 
conçue par Leibniz n'est pas un développement ou un perfectionnement de 
celle d'Aristote, mais qu'elle est une sorte de Mathématique nouvelle, selon 
l'expression employée par Leibniz lui-même. 

La logique de l'invention conduisit le jeune philosophe à la conception 
d'une LAingue universelle (chap. III, 3o p.) et d'une Caractéristique univer- 
selle (chap. IV, 82 p.). Au milieu du xvii" siècle, il existait déjà plusieurs 
projets de langue internationale. Mais il ne s'agissait guère que de systèmes 
artificiels et arbitraires sans base logique et philosophique. Leibniz s'oc- 
cupa, dès sa vingtième année, du plan d'une langue universelle ayant une 
base philosophique. M. Couturat fait une esquisse de ce plan; il nous 
montre comment Leibniz cherche à simplifier la grammaire et la syntaxe, 
puis comment, par la conception d'un « alphabet des pensées humaines », il est 
conduit hors des limites de son projet primitif, à l'institution d'une caracté- 
ristique universelle et à l'élaboration d'une Encyclopédie (chap! V, 37 p.) . 
Leibniz envisage la caractéristique comme un instrument puissant permet- 
tant d'effectuer les raisonnements et les démonstrations par un calcul ana- 
logue aux calculs arithmétique et algébrique. « En somme, c'est la notation 
algébrique qui incarne pour ainsi din- l'idéal de la caractéristique et qui 
devra lui servir de modèle ». Il attache une grande importance au choix des 
symboles en mathématiques et il attribue les progrès qu'il a fait faire à cette 



68 BIBLIOGRAPHIE 

branche, nniquemcnt à ce qu'il est parvenu à créer des syiulioles bien adap- 
tés aux relations qu'ils doivent représenter. Le plus bel exemple que 1 on 
puisse citer est celui du Calcul iniinitésimal. L invention la plus célèbre de 
Leibniz se trouve donc liée à ses recherches dans le domaine de la logique, 
aussi M. Couturat insiste-il à juste titre sur l'unité que prend l'œuvre philo- 
sophique et scientifique de Leibniz, dès que l'on tient compte de sa caracté- 
ristique universelle. 

L'institution de la caractéristique est intimement liée à l'élaboration de 
V Encyclopédie qui à son tour présupposait la connaissance de la Science 
générale. M. Couturat rend compte des divers projets que Leibniz a conçus 
au cours de sa carrière et montre les raisons qui ont fait échouer cette vaste 
entreprise d une encyclopédie. Il fait une étude très approfondie de la Science 
générale (chap \l, 107 p.), qui constituait en quelque sorte toute la logique 
de Leibniz, et qui devait être une méthode universelle applicable à toutes les 
sciences. Ce chapitre, l'un des plus importants de cet ouvrage, sera lu avec 
un grand intérêt, non seulement par les philosophes, mais aussi par le ma- 
thématicien qui y trouvei-a entre autres une série de paragraphes consacrés 
à la théorie des probabilités. Pour Leibniz, cette théorie constitue une « par- 
tic de la logique » : il envisage la logique des probabilités comme un com- 
plément naturel de la logique de la certitude, surtout dans le domaine de 
Tart d'inventer. 

Leibniz a essayé de faire entrer la logic[ue dans le cadre des sciences ma- 
thématiques, ou, tout au moins, de la revêtir d'une forme mathématique, et, 
afin d'y parvenir, il a élargi considérablement le domaine de la malliémalique. 
II divise celle-ci en deux branches principales : la science des grandeurs ou 
de l'égalité, des rapports et des proportions, qui est la mathématique tradi- 
tionnelle ; et la science des formes ou de la similitude, de l'ordre i-l de la 
disposition, qui est la combinatoirc. En envisageant les sciences mathéma- 
tiques à un point de vue aussi large, Leibniz a été l'un des premi(M's à s'aiier- 
cevoir de lexislence de ce qu il appelle la Malhématique iiniserselle 
(chap. VII, 40 p.). Il conçoit sa logiipie comme une « algèbre universelle 
pouvant s'appliquer à tous les objets susceptibles de déterminations précises 
et comprenant autant d'algèbres spéciales qu'il y a de genres de relations 
entre ces objets ». 

Parmi ces algèbres théoriquement possibles, il a essayé- d eu élaborer 
deux, le Calcul logique et le Calcul géométrique. Le premier consiste en une 
théorie de Tiflentité et de l'inclusion (chap. VIII, Gi p.). Les divers sys- 
tèmes qu'il a ('-bauchés, et dont luu est inédit, nous montrent ipie Leibniz a 
entrevu les jjriiicipes île la logi«[ue algoiilhuiiciue, tléveloppei- par iîcmi.i uu 
siècle et demi après lui. 

(Juant au ('<tUul géométrique (cliap. I.\, .^ i p.). il devait l'oiiniir un inslrii- 
menl mieux approprii- à l'é-luile des ligures <|ue n<! l'est la gi-omé-li-ie analy- 
tique; ce devait être une sorte de caraclé'rislii|ne gt'-ouii-lrii|ui'. Leiluiiz la 
rattacha princip.ilemeut à la théorie de la congruence et de la siniililu<ie, 
mais il reni:<)iilra de nombreuses (lifficullés et lu* parvint pas à édifier son 
calcul geometri(|ue sur des principes clairs et s(»litles. S il n"a pas alleiul le 
but (|u il s\"lail prop<)se. cela tient à ce qu'il ne parvint pas à aM'r.iMrlin- la 
géométrie de la cotisidération (h- la graiuleur et à exprimer din'clenienl la 
Hilualion. En «lépil de l'opinion des contemporains de Leibniz le but à 
atteiudii- n'était ni rhirnéiiqui-, ni stéi'ile; et elfectiveuieul il a été- .ildinl |)ai- 



hiuliograpiue 69 

CiRASS.MAN.N c[iii, sans connaîtro le but fie Loibuiz, a iHahli les principes d'un 
calcul géométrique dans son Ausclehuuiif^slchre (i844)- Ainsi par ses projets, 
d'une conception si hardie, d'un calcul logique et d'un calcul géométrique. 
Leibniz a anticipé de près de doux siècles sur les progrès de l'esprit humain. 

M. Couturat t'ait suivre son exposé de quelques réflexions lînal(;s (ii p.), 
qui ont pour but de montrer en quoi la logique de Leibniz est insuffisante 
et incomplète. Il estime que si Leibniz a échoué dans ses projets d'un calcul 
logique, cela est dû à un « respect excessif pour l'autorité d'.\ristote », à 
son attachement à la tradition scolastique, et que, s il n est parvenu k édifier 
sou calcul géométrique sur des bases rationnelles, la principale entrave est 
due à l'autorité d'Euclide. Leibniz avait pleinement conscience d'une logique 
plus vaste et plus corapréhensive que la logique classique, (c Malheureuse- 
ment, dit M. Couturat dans sa Conclusion, ses essais inachevés et, somme 
toute, infructueux, sont restés presque entièrement inédits et ignorés pendant 
près de deux siècles; les philosophes ont continué à adorer Aristote, et ce 
sont des mathématiciens qui ont eu l'honneur, dans la seconde moitié du 
xix** siècle, de ressusciter, sans le savoir, la pensée de Leibniz. L'algèbre 
de la Logique parait aujourd'hui définitivement fondée ; et la Logique des 
relations commence à se constituer. 11 ne faut donc pas dire que la Logique 
est une science faite (comme si une science humaine pouvait jamais être 
achevée !) ; la vérité est que la plus grande partie reste à faire ». 

Le livre se termine par des Appendices (96 p.) et par des Notes (54 P-m 
relatives aux documents cités. Ces appendices, au nombre de cinq sont inti- 
tulés : Précis de logique classique. Leibniz et Hobbes, leur Logique, leur 
Nominalisme. Sur quelques inventions mathématiques de Leibniz qui se rap- 
portent à la Combinatoire et à la Caractéristique. Sur Leibniz fondateur 
d'Académies. Sur le calcul géométrique de Grassmann. 

En résumé, dans cet ouvrage, d'un caractère essentiellement historique, 
M. Couturat donne à la fois une analyse et une reconstitution de la Logique 
du grand philosophe allemand. Son exposé accompagné de nombreuses cita- 
tions et références, facilitera dans une large mesure l'étude de la philosophie 
de Leibniz. 

H. Feuu. 

Snyder AND HuTCHixsoN. — Difforential and Intégral Calculus ; i vol. 
in-8'', relié, 320 p. ; prix : 2 dollars 5o ; American book Company, New- 
York, Cincinnati et Chicago. 

La série des publications de l'Université de Cornell, à laquelle appartient 
ce volume, est adoptée et fort appréciée dans les collèges et les Universités 
des Etats-Unis. Le but de l'ouvrage de Mj\I. Snyder et llutchinson a été de 
présenter un e.xposé rapide, à la fois de tout le calcid infinitésimal dans sa 
partie élémentaire. Bien qu'on ait utilisé les précédents ouvrages, plus 
amplement développés, le calcul intégral a cependant fait l'objet d une rédac- 
tion pour ainsi dire entièrement nouvelle. Ou trouve de nombreux exercices 
gradués, et des exemples bien choisis, tantôt dans le texte, tantôt à la fin des 
chapitres, La méthode suivie est rigoureuse, mais simple et pratique, comme 
il convient dans un livre qui s'adresse aux étudiants, auxquels il est dange- 
reux de jeter le doute dans l'esprit, sous prétexte de raffinements exagérés. 

Peut être les auteurs auraient-ils bien fait de renoncer à l'emploi de la 
fonction vers (simis verse = i — cos.) abandonné en Europe depuis plus d'un 



70 BIBLIOGRAPHIE 

siècle, alors que tant de bons esprits proposent au contraire de renoncer 
aux sécantes et cosécantes, et même de se borner aux trois fonctions fonda- 
mentales, sin., COS. et tang. Mais ce n'est là qu'une insignifiante critique, et 
elle ne porte aucune atteinte aux mérites d'un excellent ouvrage, qui sera 
utilement étudié par les élèves et consulté par les professeurs. 

Pour donner une idée du contenu de ce volume, nous reproduisons simple- 
ment ci-après les titres des divers chapitres. 

Calcul différentiel : Principes fondamentaux. — Différenfialion des formes 
élémentaires. — Différenliations successives — Développement des fonctions. 
Formes indéterminées. — Mode de variation des fonctions d un variable. — 
Vitesses et difféientielles. — Différeutiation des fonelious de deux variables. 
— Changement de variable. — Tangentes et normales ; coordonnées polai- 
res. — Dérivée d un arc, d'une corde, d'un volume, et d une surface de révolu- 
tion. — Asymptotes. — Concavité, convexité ; points d inflexion. — Contact 
et courbure ; développées et développantes. — Points singuliers. — Enve- 
loppes. 

Calcul intégral : Principes gc-néraux d intégration. — Formules de réduc- 
tion. — Intégration des fractions rationnelles. — intégration par rationali- 
sation. — Intégration des fonctions Irigonométriques et autres transcen- 
dantes. — Intégration comme sommation. — Applications géométriques. — 
Intégrations successives. 

C. A. L. 

Er>-. \\'ei.n.\oi.ut. — Leitfaden der analytischen Géométrie, beaibeiiet 
auf Vcranlassung der K. Inspeklion des Bildungswesensder Marine, i vol. 
cartonné, gr. in-8°, 80 pages; prix: Mk. i,Go. B. G. Teubner, Leipzig, 
igoi. 

Ce Précis contient les premiers éléments de Géométrie analytique limités 
à la notion de coordonnées, aux problèmes essentiels concernant le point, la 
droite, la circonférence et les coniques. Présentées sous une forme à la fois 
claire et concise, ces notions forment le minimum des connaissances que l'on 
peut exiger dans ce domaine de Ions ceux c[ui ont suivi un enseigneniont 
élémentaire de Géométrie analytique. Elles sont arc()m|)agnées d'application 
pratiques et d'exercices numériques. 

JV'ous sommes persuadés que ce petit manuel est appi'lé à rendre d ulili-s 
services non seulement aux élèves de l'Ecole de Marine aux(|ni'ls il est spé- 
cialement destiné, mais aussi à ceux des élablissenuMits secondaires pour 
les(]uils il constituera un excellent guide dans une première initiation. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



Bulletin astronoraique. puldié par l'observatoire de Paris sous la direc- 
tion de H. Poi.NCAKÉ, G. BiGouKDAN. O. Callandreau, h. Dkslandkes, 
R. Rauau. Publication mensuelle gr. in-8'\ Paris, Gauthier-Yillars. Abon- 
nement annuel pour T Union postale ; i8 fr., i^" année, 1902. 
Août. — H. PoiNCAKÉ : Sur les planètes du type dHécube. — Esmiol : 
Observations de planètes. — Revue des publications. 

Septembre. — L. Schulhof : Détermination de lorbite de la comète pério- 
dique de Swift. — Rambaud, Sy et Yillatte : Observations de petites planètes, 
faites à Alger. — Revue des publications. 

Octobre. — .M. Lœwy et P. Puiseux : Sur la structure et l'histoire de 
l'écorce lunaire. ■ — Coggia : Observations de planètes faites à Marseille. — 
C.-V.-L. Chakliek : Sur la convergence des développements suivant les puis- 
sances des masses des planètes. — Fievue des publications. 

Novembre. — Andoyer : Sur la théorie de la lune. — Salet : Observations 
de planètes, faites à Paris. — P. CArsET : Détermination des éléments des 
clichés photographiques d'une même zone. — Revue des publications. 

Bulletin des Sciences mathématiques, rédigé par G. Dahboux, E. Pi- 
card, J. Ta>>ery. Publication mensuelle, gr. in-8"^. Paris, Gauthier-Yillars. 
Abonnement annuel : 20 L", Tome XXYI. 1902. 
Mai. — E. Picard : Sur les intégrales doubles de fonctions rationnelles 

dont tous les résidus sont nuls. — Comptes rendus et analyses. 

Juin. — N. Delaunay : Sur les calculateurs cinématiques des fonctions 

elliptiques. — A.Durand: Sur un théorème relatif à des moyennes. — 

Comptes rendus et analyses. 

Juillet. — E.Estanave : Thèsesde Sciences mathématiques soutenues devant 

la Faculté des Sciences de Paris et devant les Facultés de province dans le 

courant du xix° siècle. — Comptes rendus et analyses. 

Août. — E. Estanave : (Suite de l'article précédent). — Comptes rendus 

et analyses. 

Scplcmbre. — E. Estanave : (idem). — Comptes rendus et analyses (Yoir 

particulièrement dans ce numéro un article de M. H. Poincaré sur les 

Griindlagcn der Géométrie de M. Hilbert. 

Bulletin des Sciences mathématiques et physiques élémentaires 
dirigé par L. Girard et Ch. Michel, paraissant deux fois par mois en 
cahiers in-8". Paris, Société d'Editions scientifiques. Abonnement annuel : 
6 fr. S" année, 1902-190'i. 

Fasc. I à 4. — L.-G. : Sur l'enseignement de la géométrie. — G. Leur : 
Théorème de Pythagore. — A. Bonnekoy : Yolume du tétraèdre. — A. Du- 
rand : Yariation des fonctions. — Divisibilité par 7. 



72 BULLETiy BIBLIOGRAPHIQUE 

Comptes rendus des Séances de l'Académie des Sciences de Paris. 

publiés par les secrétaires perpétuels. Cahiers hebdomadaires in-i'^. Paris. 
Gauthier-Yillars. Abonnement annuel. Union postale : 34 fr, t. CXXXY,i902. 

i^'" septembre. — E. Maillet : Sur les fonctions entières et quasi-entières 
et les équations différentielles. — R. Liouville : Sur les équations différen- 
tielles du second ordre à points critiques fixes. 

8 septembre. — P. Painlevé : Sur l'irréductibilité des transcendantes uni- 
formes définies par les équations différentielles du second ordre. — 
H. Andoyer : Sur l'accélération séculaire de la longitude moyenne de la Lune. 
— -AI. BoRKELLY et L. Faisry : Observations de la comète 1> 1902, découverte le 
i*^"" septembre par M. Périne et le 2 septembre d'une manière indépendante, 
par M. Borrelly,à l'observatoire de Marseille. — P. Chofardeï : Observations 
de la comète 1902 />, faites à lObservatoire de Besançon. — E. Maillet; Sur 
les équations différentielles et la théorie des ensembles. — A.Tlki'ain : Sur 
les propriétés des enceintes fermées, relatives aux ondes électriques. 

i5 septembre. — B. Baii.lald et Montancerxnd : Sur la surface focale 
principale de l'objectif de l'équalorial photographique de l'observatoire de 
Toulouse. — J. Semenov : A propos de la note de M. Th. Tommasina. sur le 
mode de. formation des rayous cathodiques et des rayons de lliintgen. — 
Pu. -A. GuYE et F.-L. Pekrot : Sur la formation des gouttes liquides et les lois 
de Ta te. 

22 septembre. — J. Boussi.nesq : Extensiou du principe de Format, sur 
l'économie du temps, au mouvement relatif de la lumière dans un corps trans- 
parent hétérogène, animé d'une translation rapide. — H. Deslandres : 
Recherches spectrales sur la rotation de la planète Uranus. 

29 septembre. — J. Guillaume : Observations de la comète Perrinc-Bor- 
relly (1902 h) faites à l'équatorial Brûnner de l'observatoire de Lyon. — 
H. Deslandres ; Organisation, à lobservaloire de Meiidon, des specli'ogra- 
phcs automatiques dits des vitesses, i.\v\\ enregistrent les mouvements radiaux 
et l'épaisseur delà chromosphèi-e solaire. — G. Tzit/.éïca ; Sui- la iliforuia- 
tion continue des surfaces. 

6 octobre. — J. Glillal.mk : Observations du soleil faites à lobservaloire 
de Lyon pendant le premier trimestre de 1902. — G. Leveau : Comparaison 
des tables de Vesta avec les observations méridieimes faites de 1890 à 1900. — 
\V. Stekloff : Remarque sur un problème de Clebscli sur le inouvcMieut 
d'un corps solide dans un liquide indéfini et sur le prolilèmc de M. dv l>riMi. 
— AL DE Séguier : Sur un théorème de AL Froue.mus. 

i3 octobre. — O. Callandreau : Sur quelques particularités de la théorie 
des étoiles filantes. — Existence de points radiants stationnaires pai* î")" de 
latitude. — J. Boussi.nesq : Démonstration générale de la construitioii «les 
rayons lumineux par les .surfaces d'onde coiii'bes. — ,^L Servant : Sur 
l'habillage des surfaces, — W, Kaui.mann : La dc-vialion magnétique et élcc- 
tricpii' des rayons Beccjuerel fl la masse éleclroinagiiéli([ue des i-leelrous. — 
J. 'i'iiovKHT : Sur une coiiRé<[ucnce de la lh<''orie cim'-licpie tie la (liffusion. — 
M. DussAUD : Sur un nouveau proct-di- di-slin<'- à laciliter rc-criliirc et le 
oalcul aux aveugles. 
Note. — Ce fasricuir porir rannonce d Un rlninf;t'iiie/t( de prix de l'nhonne- 

nienl. Les abonnés aux Comptes rendus de 1 Aca<h'-mie seront désormais 

servis aux conditions suivantes : 

AboniK-ment annuel : l'aris Ut Ir. I)<|)aileniciils jo fr. ]]lrangei* ; \\ Ir. 



BULLETIS niULlOGHAPUiqUE 73 

20 octobre. — Haton de la Goupii.i.ikre : Sur le problème des brachisto- 
chrones. — Ph. Guye et F.-L. Pekrot : Sur la formation des gouttes 
liquides et des lois de Tate. — F. Beaulakd : Sur les paramètres élastiques 
des ills de soie. — L. Houllevigue : Lames minces métalliques obtenues par 
projection cathodique. 

27 octobre. — P. Painlevé : Démonstration de l'irréductibilité absolue de 
l'équation y" = G y- -|- c — Hatox de la Goupillièke : Quelques cas d'in- 
tégration de 1 équation des bracliistochrones. — J.-A. Aokmand : Sur la 
cavitation dans les navires à hélices. — R. Bloxdlot : Sur la vitesse de pro- 
pagation des rayons X. — J. Guillaume : Observations du soleil, faites à 
l'observatoire de Ljon, pendant le deuxième trimestre de 1902. — L. Schle- 
siNGEK : Sur la théorie des fonctions algébriques. — A. -S, Chessin : Sur 
l'équation de Bessel avec second membre. — P.-J. Suchar : Sur un exemple 
de transformation corrélative en mécanique. — V. Cré.mieu : Précaution à 
prendre pour l'emploi des iils de cocons comme fîls de torsion. — J.-H. Co- 
BLYN : La vision à distance par l'électricité. 

3 novembre. — R. Bloxdlot : Sur l'égalité de la vitesse de propagation 
des rayons X et de la vitesse de la lumière dans l'air. — M. d'Ocagne : Sur 
la résolution nomographique du triangle de position pour une latitude 
donnée. — R. Liouville : Sur les transcendantes uniformes définies par les 
équations différentielles du second ordre. — A. Leduc et P. Sacekdote : Sur 
la formation des gouttes liquides et la loi de Tate. 

10 novembre. — P. Pai.nlevé : Sur les transcendantes uniformes définies 
par l'équation y" = Gy' -\-x. — P. Duhem : Sur les quasi-ondes. — P».. Blon- 
DLOT : Observation et expériences complémentaires relatives à la détermina- 
tion de la vitesse des rayons X. Sur la nature de ces rayons. — J. Collet : 
La pesanteur le long du parallèle moyen. — L. Autokne : Sur les substitu- 
tions crémonienncs dans l'espace. — M. Jouguet : Sur la rupture et le 
déplacement de l'équilibre. — E. Cartax : Sur l'équivalence des systèmes 
différentiels . — ^W. Stekloff : Sur certaines égalités remarquables. — E. Vax 
Aubel : Sur le phénomène de Hall et le pouvoir thermo-électrique. 

17 novembre. — M. d'Arsoxval : Pendule de Foucault simplifié. — 
E. Vallier : Sur la loi des pressions dans les bouches à feu. — P. Duhem : 
Sur l'analogie entre les rayons X et les oscillations hertziennes. — W. Stek- 
loff : Sur la représentation approchée des fonctions. — E. Cartan : Sur la 
structure des groupes infinis. 

24 novembre. — j\I. Perkotix : Vitesse de la lumière ; parallaxe solaire. 
— J. Guillaume : Observations du soleil faites à l'observatoire de Lyon 
(équatorial Brùnner de o m. 16), pendant le troisième trimestre de 1902. — 
E. Maillet : Sur les fonctions mouodromes à point singulier essentiel isolé. 
: — E. Esclaxgox ; Sur une extension de la notion de périodicité. 

i*^"" décembre. — G. Mittag-Leffler : Sur l'intégrale de Laplace-Abel. — 
P. DuHE.M : Sur les conditions nécessaires pour la stabilité de l'équilibre d'un 
système visqjieux. — E. Vallier : Tracé des courbes de pressions. — 
W. Stekloff : Sur quelques conséquences de certains développements en 
séries analogues aux développements trigonométriques. — R. Levavasseuk : 
Sur les congrueuces à plusieurs inconnues relativement à un nombre premier 
impair. — M. Auric : Sur la généralisation des fractions continues. — 
R. LiouviLLi: : Sur les transcendantes uniformes définies par dos équations 
différentielles du second ordre. — M. Po.xsot : Méthode pour évaluer les 



74 BULLETiy BIBLIOGRAPHIQUE 

températures dans l'échelle thermodynamique centigrade. — J. Collet : 
La pesanteur le long du parallèle moyen. 

8 décembre. — P. Pai.nlevé : Sur l'irréductibilité de l'équation y" = 6v'' -{-x. 
— ■ J. BiGOURDAN, G. Fayet, P. Salet : Observations do la nouvelle comète 
Giacobini (d . 1902). — M, Combëbiac : Sur les propriétés du plan au point 
de vue de Y Aiialysis situs. — M. Kkause : Sur une formule sommatoire dans 
la théorie des fonctions à deux variables. 

i5 décembre. — P. Duhe.m : Sur la stabilité de l'équilibre et les variables 
sans inertie. — J. Mascart : Perturbations indépendantes de l'excentricité. 
— ■ P. Chofardet : Observations de la comète Giacobini (1902 d) faites à 
Besançon. — R. d'Adhémar : Sur l'intégration d'une éijuation aux dérivées 
partielles du second ordre, du type hyperbolique, à plus de deux variables 
indépendantes. 

22 décembre. — Séance publique aimuelle. Prix décernés et proposés. 
Voir V Enseignement mathématique, p. 62. 

29 décembre. — P. Duhem : Des conditions nécessaires pour qu'un fluide 
soit en équilibre stable. — R. Blondlot : Sur la vitesse de propagation des 
rayons X dans l'air et dans différents milieux. — MM. Rambaud et Sy : 
Observations de la comète {d 1902) faites à l'Observatoire d'Alger. — 
D. Egi.mtis : Observation des Perséidcs, Léonides et Biélides. faites à 
Athènes en 1902. — J. Hadamard : Sur les fonctions entières. — \\'. Steklofk: 
Sur la représentation approchée des fonctions. — M. Lercu : Sur la for- 
mule fondamentale de Dirichlet qui sert à déterminer le nombre des classes 
de formes cpiadratiques binaires définies. — E. Li.ndeloe : Une application 
de la théorie des résidus au prolongement analytique des séries de Taylor. 

— B. Mayok : Sur une représentation plane de l'espace et son application à 
la statique graphicfue. 

Nouvelles annales de mathématiques, dirigées par C.-.\. Laisant et 
E. Dli'Okl:(). Publication mensuelle iu-8'*. Paris, Ganthier-Vinars. Abon- 
nement annuel, Union postale : 18 fr. Série.), t. II, 1902. 

Mai. — P. Ai'PELL : Sur les expressions des tensions en fonction des défor- 
mations dans un milieu élastique homogène et isotrope. — (]. Maltézos : 
Sur la chute des corps dans le vide et sur certaines fonctions li'anscendantes. 

— M. D OcAG.NE : Sur les adjointes des directions normales dune conicpie. — 
M. Fkéchet : Sur quelques propriétés de l'hypocycloïde à trois rebrousse- 
mcnts. — E. Jaggi : Sur les zéros des fonctions entières. — Cerlidcals de 
géométrie supérieure, correspondance, questions et solutions, notice sur 
X. Anlomari. 

Juin. — A. GitEENiiiLL : Ee pendule simple sans approximations. — ■ 
]•> . Dui'OKCQ : Sur les transformations de contact dans le plan. — V. Ilmux: 
Nouvelle fh-monslratiou du tliéorème de Feuerbach. — M. Baukr : Sur les 
coitgrueuces identicjues. — ("t)ncours divers. 

Juillet. — (i. PiKOMJiM : Sur les normales d'un h<'licoïde. — J. Ri';vi:ii.i 1.: 
Note de gc'omiHrie. — Piiiliii.rt ni; Plessis : Concours d'admission à l'Ecole 
polylechni(|ue en 1902. — Certificats d'analyse et d'algèbre snpt-rieure, agré- 
gation et concours p<jnr l'I^cole normale. 

Août. — Ma.n.miiim : Note de géométrie. — C.-,\. I^aisant : Analogies 
entre les courbes fuiiiculaircrs et h's trajectoires d'un point. — V. Jamkt : 
Sur la théorie dcH forces centrales. — E. Jacci : Délrrniinalioii des functionB 



BULLETIN lilBLIOGRAPHIQUE 75 

d'une varial)lc qui admettent les substitutions d'un groupe donné. — Certifi- 
cats de calcul iufînilésinial. 

Septembre. — M. Blutel : Du rôle de l'enseignement des mathématiques 
dans la formation de l'esprit. — Niels Nielsen : Equations différentielles 
linéaires obtenues par le produit de deux fonctions cylindriques. — E.-N. 
Barisien : Généralisation du problème de Malfatti. — Certificats de calcul 
diO'érentiel et intégral. 

Octobre. — E. Carvallo : Conférence sur les notions de calcul géomé- 
trique utilisées en mécanique et en physique. — A. Bienaymé : Sur un pro- 
blème de substitutions étudié par Mongc. — M. Fréchet : Généralisation du 
théorème de Tissot. — E. Iaggi : Application aux fonctions circulaires et 
elliptiques d'une méthode générale de détermination des fonctions dont on 
donne le groupe de substitutions. — Bibliographie. — Certificats de calcul 
infinitésimal. — Questions et solutions. 

P. Bachmann. — Niedere Zahlentheorie. ErsterTeil; un vol. relié, in-8'^ 
402 p. (t. X, I de la Collectiun Teuhner) ; prix : M. 14; B. G. Tcubner, 
Leipzig, 1902. 

BARDEv-PiFTZKrR. — Aiileitung zur Auflosung eingekleideter alge- 

braischer Aufgaben. Zwcite, voUig umgearbcitete Auflage von Kr. 
PiETZKEH ; un vol. cart. in-8°, 160 p. ; prix : Mk. 2,60; B. G. Teubner, 
Leipzig-Berlin, igoj. 

'W'. Brusch. — Grundriss der Elektrotechnik fin- technische Lehran- 
stalten. Mit 248 Abbilduugeu ; un vol. relié, gr. in-8'\ 168 p. ; prix : Mk. 3 ; 
B. G. Teubner, Leipzig, 1902. 

RoB. Fricke. — Hauptsâtze der DifiFerential und Intégral Rechnung, 

als Leitfadeu zum Gcbrauch bci Yorlesuugeu. IJritte unigearbeitete 
Auflage; un vol. iu-8'', 218 p. ; prix: Mk. 5. Fr. Yieweg u. Sohn, Brauns- 
schweig, 1902. 

GoDEFROY (Maurice). — Théorie élémentaire des Séries. Limites, Séries 
à termes constants et variables. — Fonctions circulaire, exponentielle et F. 
Avec une préface de L. Sauvage, i vol. gr. in-8° de YIII-266 pages avec 
figures. 1903. 8 francs. Gauthier-Villars, Paris. 

G. HoLZMiJLLEK. Elcmente der Stéréométrie : 'Vierter Teil. Fortsetzunt. 
der schwierigeren Untersuchuugen : Berechnung und stcreometrische 
Darstellung von statischen, Tragheits-und Centrifugal-Momenten homoge- 
ner Raumgebilde. Simpsonsche Regel, verallgemeinerte Schichtenformel, 
gewisse Zuordnungen und konforme Abbildungen im Dienste solcher 
Bestimmungen. Nachtrag ùber das Katcnoïd, seine Krùmmungsverhaltnisse 
und splfliirische Abbildung und iiber seiner Zusammcnhaug mit der Gauss- 
schen Pseudosphare und der Mininialschraubcnregclflaclie. i vol. in-8"^. 
de 3ii p. ; prix : br. M. 9 ; relié M. 9,5o ; G. J. Goescheu, Leipzig. 1902. 

E. La.ndfriedt. — Théorie der algebraischen Funktionen und ihrer 
Intégrale, i vol. relié, in-8'^, 294 p.; t. XXXI delà collection Schubert : 
prix : Mk. 6,40 ; G. J. Goosclion, 1902. 

E. Landiriedt. — Thetafunktionen und hypereUiptische Funktionen. 

I vol. relié, in-8'^, i45 p. ; t. XLVI de la Collection Schubert ; prix : Mk. 
3,40; G. J. Goeschen, Leipzig, 1902. 



76 BULLETiy BIBLIOGRAPHIQUE 

G. LoEiA. — Le Trasfigiirazioni di una Scienza. Discorso. Donne Ma- 

tematiclie . Leltura. Socoude cditioii augnioutoe d une note, i l>rooli. ji'i'. 
in-8" de 54 p. G. Mondovi. Mantoue, 1902. 

W. LvDwiG. — Die Horopterkurve. mit einer Einloilung in die Théorie 
der kubischen Piauuikiuve. i broch. gr. in-S*^ do 36 p. ; M. Schilling, Halle 
1902. 

II. Mlllek v>d a. Hlpe. — Die Mathematik auf den Gymnasien und 

Realscliulen, B. II Oberstufe. Ahteilung 1: Synlhclische iind analylische 
(loomolric der Kegelschnitte. Darstellendc GeoQielrie. i vol. relié, iii-8*^', 
188 p. : prix : Mk. a,4o; B. G. Tevibner, Leipzig. 1902. 

Emilik >'oktox Martin. — On the Imprimitive Substitution Croups of 
Degree fifteen and tlie Primitive Substitution Groups of Degree 

eigbteen. Dissertation presented to ihe Falculy ot Bi-yn Mawi- Collège 
iuiv tlie Degree of Doctor ot iMiilosophy. The Lord Baltimore Press, the 
Friedenwald Company, Baltimore (U. S. A). 

G . Peano. — Aritmetica générale e algebra elementare. Ouvrage rédigé 

avec les symboles de la logi(]ue mallieuiatiiiue. Dilta G. B. Paravia et C. 
1 vol. gr. ii)-8'^ de i.î4 p;igi"ï*- Turin, 1902. Pri.x : 2,40. 

Schubert (Herm). — Niedere Analysis. ErsterTeil : Kombinalorik. Walu-- 
scheinlichkeitsrechnung. Kctienbriiche und diophantische Gleichungen, 
(t. V. de la Collection Schithert), i vol. in-12. iSi p. : prix : Mk. 3. 60. 
G.-J. (ioschcn, Leipzig, 1902. 

M. ScuLsriK. — Geometrische Aufgaben und Lehrbuch der Géo- 
métrie. Planimetrie ; Stei-eoinetrie ; Kbent'-spliarisclu' Irigouoiiielrie, naeh 
konstrukliv-analylischer Méthode bearbeilet.Ausgabe A : 1- ùr VoUanstallen. 
Zweitcr Teil : Trigonométrie, i vol. relié, in-8"^, 112 p.; prix: Mk. 1,60; 
B. G. Teubncr, Leipzig, 1903. 

J. A. Sf.rret. — Lehrbuch der Differential und Integral-Reclinung. 

deutsch bearbeilet \ou Axel Hak.nack. Zweitc Aullagc bl■ra^l^g('gl•be^ \oii 
G. BoiiLMANN. Drilter Baud, erslc Lieferung : Dijf'crciilialgleichtingen. 
I vol. broché, in-8 ', 3o i p. ; prix : Mk. 6. ; B. G. Teubner, Leipzig. iyo3. 

O. Stolz u A.(iMKiNER. — Theoretisclie Arithmetik. II Abteilung. Die 
Lehre von den reellen und complexen Zahlen. 2 Aull. i vol. 

ijroché ; iii-S", 40-2 p. (t. 1\ . dr la Collcrliun Teiihiicr^ : pi-ix ; Mk. 7,20; B. 
(i. Teubner, Leipzig, 1902. 

Cii.-J. UE i.\ Yai.i.ée-Polssix. — Cours d'Analyse infinitésimale. 
Tome 1. I vol. gr. in-8" de 372 pages. Prix 12 iraucs; ,\.-\ . Diiiidonné, 
Lonvaiu, Gauthier-Villars. Paris, 1903. 

ICrn. Weinnoldt. — Leitfaden der analytischen Géométrie, bearlx-itei 

auf Vi-raiilaSsuiig der k. luspektion «les Bildnngswesens lier .Marine, i vol. 
relié. in-S", 80 j)., prix : Mk. 1,60; B. G. Teubner, 1902. 

Le In- ni Ht : C. NALD. 

L. \ n 1^ L X , 1 M I- u I M i: K I E DE C U A II L E S 11 É K I 8 S E Y 



LES NOUVEAUX PROGRAMMES 



i;ecole polytechnique de paris 



Depuis longtemps annoncés et attendus, les nouveaux pro- 
grammes d'admission à l'Ecole polytechnique ont été publiés; ils 
portent la date du i5 octobre 1902. 

Il ne faut pas exagérer l'importance des programmes en 
général ; nous en trouvons une preuve nouvelle dans l'expérience 
qui vient d'être faite depuis cinq ans. Les programmes en 
vigueur dans cette période ont certainement été les plus 
lamentables qui eussent été appliqués depuis plus d'un demi- 
siècle; et l'on pouvait légitimement craindre qu'il en résultât un 
abaissement du niveau intellectuel dans le recrutement. Cela ne 
s'est pas produit, du moins dans une mesure appréciable ; et cela 
montre bien, nous y insistons, combien en matière pédagogique 
les programmes ont peu d'importance en regard des méthodes. 

Cependant, il y a une limite à tout. Et cette limite avait été 
tellement dépassée qu'on peut, sans exagération, considérer la 
transformation qui vient d'être accomplie comme une véritable 
délivrance. C'en est une pour les candidats, pour les professeurs 
de mathématiques spéciales, pour les examinateurs, et surtout 
pour l'Ecole polytechnique elle-même, qui recevra endn des élè- 
ves mieux préparés à profiter de l'enseignement. 

Dans ce qui va suivre, nous ne voulons pas analvser par le 
menu chaque point particulier. Nous insisterons surtout sur les 
difï'érences, par adjonction ou suppression, qui existent entre 
le nouveau programme et le précédent; et comme, sous le titre 
« Renseignements généraux », on a introduit des indications sur 

Enseigiioiiionl iiialh. 6 



78 C.-A. LAISAXT 

liuterprétation de certains articles, nous tirerons parti au t\ir et 
il mesure de ces indications. C'est là, il laut le dire tout de suite, 
\nie très heureuse innovation, qu'on a eu bien raison d'emprun- 
ter aux programmes de 1 Ecole centrale. C est la seule manière 
d arriver, dans une certaine mesure au moins, a corriaer la 
sécheresse d'une liste de paragraphes, toujours lorcémenl 
hétérogène, en essayant de montrer l'esprit, à côté de la 
lettre. 

Les renseignements généraux dont nous parlons débutent par 
un préanijjule de quelques lignes, où l'on explique que le but 
poursuivi est d établir un accord plus intime entre renseigne- 
ment préparatoire et celui de l'Ecole elle-même. On veut réagir 
en outie contre l'envahissement de certaines théories, qui 
avaient pris une place hors de proportion avec leur importance, 
et leur substituer des notions plus utiles. Dans cet ordre d'idées, 
on signale le danger du développement prématuré des théories 
touchant aux principes, et des subtilités qui ont pour résultat 
général de rebuter les jeunes esprits. Comme conséquence, on 
interdit impérativement aux examinateurs d'interroger sur les 
principes londamcntaux de la théorie des limites, des incom- 
mensurables et des fonctions continues, aussi bien que sur les 
singularités que peuvent présenter les l'onctions. Enfin, on 
prescrit de n'envisager que des fonctions continues ailmeltaiit 
une dérivée. 

A tout ceci, on m- peut (piapiilaudir sans réserve. I-a scliohis- 
tiipie et hi mi'lapiivsique prématurées ne peuvent abiuitir qu'il 
dégoûter ii tout jamais les jeunes gens des mathémalicjues. en 
engendrant chez eux le scepticisme, et en leur eti mascpiani lulilite 
[)iatiqnc. Pour *\r futurs ingt-nieuis surtout, c est un vi-ritabh' 
cmpiiisonncment iule Ih'c tue). 

On a rave du programme I an lhnicli([iic, hi g<'(»mil rir ili-nicn- 
l;iiii' l'I l'algèbre ('•lénirnlairc. Il pourra étir tenu ((unitlf de 
linsullisancc des candidats sur cts matières, mais il m- sera 
dcmanch' iiiiciiiic dt-monslratioii. Il est ii ciaindrt' ici (|ii(> les 
auteurs du pi'ogr;imnie aient pousse un peu loin dans une \(iie 
de n'-aelion s:diil:iiie. en gênerai, in:iis qiiil ne laii(lr:iil p:is 
exageici-. (^epend:iiit il \ a lien d'esperei- que cela n aura pas de 
gravité dans la praliqiii-. 



yOiVEAiX PROGRAMMES DE L'ÉCOLE P O LYT E Cil S I Q lE 79 

Le programme, dans sa partie mathématique, comprend les 
matit'res suivantes : Al^ëhre. — Tn'i^onomètrie. — (jéoniêtrie 
analytique. — Mécanique. — Géométrie de.scripliçe. ^ous allons 
successivement les passer en revue. 

AL(;i:i5RF.. — On trouve d'ahord la division des polvnomes et le 
plus grand commun diviseur, puis quelques éléments danalvse 
combinatoire et le binôme (dit de Newton) pour un exposant 
entier et positif. On interdit expressément les permutations, etc., 
avec répétitions, les puissances d'un polynôme au delà du cube, 
et les sommations de piles de boulets. Ces interdictions encore 
sont peu graves, mais peu justifiées, et légèrement puériles. 

Les déterminants, réduits à leur théorie élémentaire, les équa- 
tions linéaires, le calcul des radicaux (qui figurait précédemment 
dans l'arithmétique), et les expressions imaginaires, ne sont 
Tobjet d aucune observation spéciale. 

Nous arrivons aux séries. On se borne aux caractères de 
convergences les plus simples et les plus usuels, et on mentionne 
les séries alternées. 11 est spécifié qu'on s'en tiendra au programme, 
qu'on n'exigera pas, notamment, la règle de Duhamel, et qu'il ne 
sera parlé que des séries à termes réels. 

Nous trouvons ensuite l'étude de la fonction «' . la limite de 

I I -|- — 1 , la théorie des logarithmes considérés comme expo- 
sants, 1 usage des tables de looarithmes et de la règle à calcul. 
On écarte la construction des tables, et la définition des loga- 
rithmes par deux progressions. Ce dernier point n'est guère jus- 
tifié, mais l'introduction de la règle à calcul est si raisonnable 
et si utile que la compensation est plus que suffisante. 

On aborde maintenant l'un des points capitaux du nouveau 
programme; il s'agit du rétablissement des infiniment petits : 
ordre relatif, valeur principale, développement jusqu'à un ordre 
donné, exemples. 

Immédiatement après viennent les dérivées et difrérentielles. 
Pour les fonctions d'une variable, on s'en tient ii la diflerentielle 
première. Pour celles de plusieurs variables, on demande la 
difl'érenticlle totale ; on demande aussi la diflerentielle première 
d'une fonction composée. Les fonctions implicites, les maxi- 
mums ou minimums , les formules de Tavlor et de Madaurin 



8o C.-A. LAISA-Xr 

avec leurs applications restent au programme à peu près comme 
précédemment. On insiste sur linterdiction dinterroger sur les 
différentielles dordre supérieur, et on exclut également les 
maximums ou minimums des fonctions de plusieurs variables. 
Cela peut être sage, Tabus étant souvent voisin de l'usage. Mais 
il nous faut maintenant citer textuellement une phrase qui parait 
totalemtnit incompréhensible, si elle ne renferme pas une faute 
d'impression ou un lapsus : « On demandera de démontrer (jue 
(( toute fonction qui admet une dérivée dans un intervalle est 
« continue dans cet intervalle, ce qui permet d'établir immédiate- 
« ment la continuité de toutes les fonctions usuelles ». Comment 
peut on trouver les dérivées des fonctions usuelles sans se servir 
de leur continuité? Encore une fois, il y a là un point qui néces- 
site des éclaircissements. 

La théorie des équations n'a pas subi de modification essen- 
tielles. Le théorème l'ondamental (dit de d'Alembert) reste tou- 
jours admis comme postulat (ce que nous persistons à trouver 
fâcheux; car la démonstration en est tout à fait simple, (piand on 
veut l)ien ne pas se perdre dans des subtibilités). Les (onctions 
rationnelles des racines, rélimination par les fonctions symétri- 
([ues, les racines égales, les théort'mes de llolle et île Descartes 
les méthodes d'approximation de Newton et des parties propor- 
tionnelles par des considérations ^conu'lrifjiies excellentes indi- 
cations' fleurent expressément. Comme commentaire. <tn inter- 
(lit certaines chicanes sur l'élimination : on interdit aussi d'aborder 
l'irréductibilité d'une é([uatIon, la résolution algcbiicpn' poul- 
ie '^'' et le 4*^ degrés, et le théorème de Builan et l'oiirii-r. 

La décomposition des tractions lationuelles en eh-rurnls simples 
a été rétablie. Mais, comme si les auteuis du pidgramnu- :>\airiit 
eu peur de b-ur pr'opic audace, ils écartent les choses les plus 
simnhs, comme la lormub;— ^ — = 1 , et les éléments 

sim|)lfs de la foiine -, — ^ " .. , ",.,,„ en sorte fiUf Ar crilc utile 

i-estitution, il ne l'cste plus granil chose; <'llc rst liiiiitusr (piand 
même, et il i-st ii espcicr (|u ;i liisage, un certain lassciufiil 
s'établira. 

Le programmi- d algèbre se termine |tai' les louclions |)nuii- 
lives, et les intégrales simples indéfinies ou ihliiiies, a\ec emploi 



NOUVEAUX PROGRAMMES DE L'ÉCOLE POLYTECHMqUE 81 

du changement de variable, et application aux fractions ration- 

A.r + B , , . , , 

nelles et aux expressions — dx ; exemples simples de 

([uadratures. Le programme lui-même spécifie que la notion 
fondamentale est basée uniquement sur la considération de l'aire 
d'une courbe, et on v insiste dans les renseignements généraux, 
en ajoutant qu'aucune démonstration ne sera demandée, reposant 
sur la définition analytique de l'intégrale. Nous passons sous silence 
quelques restrictions complémentaires ayant pour objet d'éviter 
des complications aux examens. 

Dans l'ensemble, et en dépit des légères observations critiques 
([u On a trouvées ci-dessus, ce programme d'algèbre est incontes- 
tablement supérieur au précédent. 

Nous reo-rettons de n'v rien voir figurer sur les différences ni 
sur l'interpolation. Mais il faut nous résigner; pour l'instant ce 
n'est pas à la mode; et peut-être, avant un demi-siècle, se trou- 
vera-t-il un homme de génie pour découvrir à nouveau ce qu'on 
savait il y a soixante-quinze ans, à savoir que ces théories sont 
non seulement utiles, mais indispensables dans les applications, 
et pour imposer sa conviction. 11 faut savoir être patient, en 
présence du mouvement (parfois circulaire) qu'affecte le pro- 
grès pédagogique. Ne pas trop reculer, c'est déjà une nolable 
satisfaction. 

Trigonométrie. — Le programme n'a pas subi de profondes 
modifications; c'est toujours la théorie élémentaire des fonctions 
circulaires, et la résolution des triangles rectilignes, à laquelle 
ou a ajouté la formule fondamentale de la trigonométrie sphé- 
rique. A noter cependant que la résolution trigonométrique de 
Téquation du 3® degré a disparu, et qu'a partir de igoo, l'usage 
des tables centésimales sera obligatoire. On écarte formellement 

o 

la thi'orie des racines primitives dans les équations binômes, 
et la lormule de Moivre dans le cas d'un exposant non entier. 

Gkométrie analytiqvk. — En géométrie analytique plane, 
c'est i» peine si le texte du programme a changé ; il faut remar- 
quer cependant la suppression de la théorie générale des centres, 
des diamètres et des axes, et l'introduction de la courbure, 
rendue indispensable par celle des éléments de cinématique. 



82 C.-A. LAISAXT 

On spécifie que lu théorie des formes quadratiques et celle des 
substitutions linéaires sont exclues, qu il en est de même des 
coordonnées homogènes, et qu'en fait de points multiples, on s en 
tiendra aux points doubles. Plusieurs professeurs, à ce sujet, 
m'ont coniié leur embarras et demandé s'il sciait iiitenlit aux 
candidats demplover des méthodes et des formules devenues 
classiques, et c[ui semblent éclairer et simplifier l'exposition, en 
ce qui concerne les coniques. J'espère que non, et je 1 ai dit. 
Pour les courl)es en coordonnés cartésiennes on insistera sur les 
équations résolues en // ou en .r, et sur les courbes unicursales; 
pour les coordonnés polaires, on se l)orneraau cas dune équation 
résolue en o. 

Le programme de géométrie analytique à trois dimensions n a 
pas subi de changement. C'est sans doute par un oul)li regrettalile 
([uOn n y a pas introduit la notion du plan osculateur, non moins 
indispensable que la courbure au point tle vue de la cinémati([ue. 

MiicAXiQUE. — Ici, les modifications sont piolondes : on intio- 
duit la cinématique et la dynamique du point, en éliminaiil 
tout ce qui pourrait donner matière à des chicanes sur les prin- 
cipes. La statique du point matériel est traitée d'abord comme 
corollaire de la dynamique; puis linalemenl ou traite a pari bi 
statique des solides invariables, à peu peu près comme dans le 
programme précédent, mais en supprimant tout ce ([ui concerne 
les machines simples. 

Gko.mkthii: i>i;si:itii'Tivi:. — Une scuh- aelioncliou. mais (|iii a 
i)ien son importance : « Projections cotées ; surfacj'S ttqiogra- 
phifpies. » On ne peut <[u'v applaudir. Il élail ch'ploi'abb" Ao 
laisser en dehors du programme des notions aussi simples et 
aussi utiles. ()ii iir devra pas demander de lui-l liodes loiideo sur 
la eourlniie des surlaces. 

Tel est dans ses lignes pi iiicipiiles le niHivean |»i ogi aiiiim' dad- 
mission. Il est mauvais, par cette rais<in (ju un piugramme n «-st 
jamais et ne |>ent jamais être bon ; mais nous lapprouvons (juand 
même, p;irce (pi il re|»i cseiite, il huit le repeler, lin iinineiise 
progrès sur celui (|iii vient de dispaiaitie, et une tenl;iti\e lies 
honorable de retour a des idt'os raisonnables. 



yOLVEAUX PRCXntAMMES DE I.EiOLE P O LY T E L II .\ I OL E 83 

Il est facile de voir quelles sont les préoccupations légitimes 
qui l'ont inspire. Elles peuvent se résumer en deux lignes : 
désir de donner aux candidats des notions utiles et même indis- 
pensables au point de vue de leur enseignement futur ; souci 
d'éviter les arguties rafllnées, aussi Lien ([ue les théories sans 
application directe. 

Le résultat sera-t-il celui qu'on dr'sire ? C'est à l'usage qu on 
le saura et qu'on en jugera. En ces matières, on navigue cons- 
" tamment entre deux écueils : danger, en ne précisant pas assez, de 
donner à l'enseignement un caractère de plus en plus broussailleux 
et confus, contraire, somme toute, au but qu'il s'agit d'atteindre; 
danger, en précisant trop, de juger les candidats d'après un 
petit nombre de connaissances acquises et bien répétées, plutôt 
que sur leur aptitude a en (aire application, c'est à-dire sur leur 
mémoire plus que sur leur intelligence. 

Il faut, en elTet, voir nettement et dire franchement comment 
les choses se passent. Les examinateurs, contraints, dans un 
temps fort limité, à juger un grand nombre de candidats, ont 
une tendance à revenir, avec une préférence visible, vers cer- 
taines questions et certains exercices. Les professeurs, désireux 
avant tout et c'est leur devoir) d'assurer le succès à leurs élèves^ 
sont souvent aux aguets de ces questions particulières, leur 
attachent parfois une importance qu'elles n'avaient pas originai- 
rement, allongent leur cours en conséquence, y adaptent des 
théories étrangères à la lettre et à l'esprit du programme ; et 
c'est ainsi qu'au bout de quelques années on se trouve en pré- 
sence d'un état de choses soulevant des plaintes générales et dont 
la faute est ii tout le monde et n'est à personne. 

Les professeurs se plaignent des examinateurs : les examina- 
teurs se tiennent sur leurs gardes vis-à-vis des professeurs ; les 
candidats ballotés entre des poussées diverses, auxquelles s'ajoute 
l'émotion de l'examen, perdent la tète et ne donnent pas toujours 
la mesure exacte de leur valeur réelle. 

Les conseils et commissions chargés du soin des programmes 
considèrent qu'il faut, dans lintérèt de l'enseignement, lutter 
contre la tendance des professeurs et celle des examinateurs ; et 
le résultat final de tant de conflits est toujours médiocre. 

Je suis absolument à mon aise pour parler de ces questions, et 



84 C.-A. LAISA.XT 

cela pour deux motifs : le premier, c'est que je n'ai connu le 
programme nouveau qu'après sa publication, et que, par consé- 
quent, je ny ai pas la moindre parcelle de responsabilité ; le 
second, c est que je ne prétends pas plus qu un autre à Tinfailli- 
bilité dans les fonctions toujours délicates d'examinateur. 

Le grand tort, c'est de ne pas produire tout haut les griefs 
qu'on articule tout bas, de ne pas considérer à la fois les profes- 
seurs, les examinateurs et les conseils de l'école Polytechnique 
comme les collaborateurs d'une même icuvrc ; et de vivre dans 
une sorte de persistant malentendu. 

Si cette collaboration désirable s'efTectuait, il est certain ([uc 
1 on pourrait arriver ii des programmes ofïVant une imperfection 
moindre ; et si elle avait un caractère permanent, chose facile en 
soi, rien n'empêcherait, d'opérer graduellement dans ces pro- 
grammes, d'année en année, les modifications et les perleclioii- 
nements jugés utiles d'un commun accord. Je crois même ([uon 
finirait ainsi par diminuer l)eaucoup, sinon par détruire totalement, 
1 action néfaste de hi chance, ce lléau des examens. Kt alors, ou 
n'assisterait plus à ce spectacle, surprenant et allligeant, d'une 
collection d'hommes de haute valeur, compétents et conscien- 
cieux, se réunissant pour aboutir ii une œuvre commune médioci-e 
et boiteuse. 

J'ai dit très iiaut. dans ce qui précède, ma manit-re de voii'. 
parce que jai toujours considéré la vérité franchement exprimée 
comme 1 un des mciUcurs témoignages de rf'spect cpi on puisse 
rendre aux gens ([ui en sont dignes. J estime (juc ma situation 
d examinateur, loin de m impose]' une réseive excessive et un 
silence absolu, me fait un devoir de signaler h-s iniperfeclions 
où je les vois et les remeth's oii il me senil)h' les liou\er. Mon 
seul but est de contribuer au progri'S île l'enseignenienl de 
l'Ecole polytechni(|ue. ii la meilleure organisation j)ossible île 
cet enseignement, sur lecini'l lesitndes préliminaires reagissent 
avec tant (Teneruie. 

Kl je liens a déclarer en leiniiiiaiil . ronimi- je I :ii Imi I ;iii (IiImiI. 
(ju en dépit de ses défauts el de ses lacunes, le nonve:Mi pro- 
gramme pomi;i donner des icsullals excellenis, si Ion \enl en 
faire 1 application a\e(- une entière bonne foi, el en \ appoi laiit 
un esj)ril libre d»; toute enirave, (!.-.\. Lmsani (Paris . 



LE PROBLEME N" 2 DE M. DAVID HlLBEllT 



Immédiatement après la communication Su/- les prohlcmes 
futurs des Mathématiques, laite par M. lïilbert au Congrès inter- 
national des Mathématiciens ii Paris le 8 août 1900 ('], M. Peano 
déclarait (') que ma communication, déjà annoncée pour le sur- 
lendemain, sur Un nouceau sijstème irréductible de postulats pour 
l'Algèbre ["") aurait répondu au problème n° 2 de ^I. Hilbert : Be 
la non-contradiction des axiomes de V Arithmétique (^*\. 

M. riilbert n'a pas répondu, et il naurait pu le laire avant 
d'écouter ma communication; malheureusement le surlendemain 
M. Hilbert était absent. 

Presque deux années se sont écoulées du Congrès à la publi- 
cation du compte rendu. En attendant, M, Hilbert aurait pu 
connaître la solution d'une question qui l'intéressait si vivement 
en 1900, en s'adressant à M. le Secrétaire du Congrès ou à moi 
pour avoir les épreuves de ma communication. Et il lui aurait 
suHi d'en lire V Açant-propos (^) pour comprendre que son pro- 
blème n'' 2 (") n'était qu'une causerie, qui se pouvait suppri- 
mer c^). 

■Maintenant que le compte rendu a paru et que M. Hilbert 



(') Compte rendu du douxièiiio Congrès irit. des niathéuiaticicns. Paris, Gaulliier- 
Yillars. i()oo, p. "iS-i 1.;, 

(-| Ibidem, p. '2 1 . 

(■'■) Jbitiem. p. •;t.',y-2,1(). 

(*) I bide m, p. 71-74. 

(') Ibidem, p. ajg. alo. 

(") \'mv L l'.Hseignement Mallicmatiqiie, njoa, p. 38G. 

('1 Personne ne l'en aurait empêché : oneffetM. Hilbert a apporlo d autres modi- 
fications à 1 ori-^inal de sa eoniniunication (ibidem, p. '>S note). 



86 A. PADOA 



semble vouloir continuer à garder le silence, je crois rendre 
service aux jeunes étudiants, en leur évitant d'accepter l'invita- 
tion de M. Hilbert à méditer sur des questions qui ont été réso- 
lues depuis longtemps. 



M. llilbert commence ainsi : 

« I.orscju'il s'agit de poser les principes londamenfaux d'une 
science, l'on doit établir un système d'axiomes renlermant une 
description complète et exacte des relations entre les concepts 
élémentaires de cette science. Ces axiomes sont en même temps 
les définitions de ces concepts élémentaires: aucune altirmatiou 
relative à la science dont nous examinons les principes ionda- 
mentaux ne sera admise comme exacte, à moins qu'on ne puisse 
la tirer des axiomes au moven d un nonibie lini de déductions. 
Si l'on considère les cboses plus exactement, la question suivante 
se pose : Cer laines afiirniations ron tenues (hms des axiomes ne 
sonl-elles j)as dépendantes les unes des aatres, et, par s/iite, ees 
a.tiomes ne renferment-ils pas des parties communes superflues 
rjne l'on doit supprimer si Ion i'eul ohtrnir un si/sfème d'a.viomes 
complètement indépendants ? 

(( Mais avant tout, pai ini tant de questions soulevées par 1 exa- 
men des axiomes, je regarde comme la plus importante celle-ci : 
Démontrer ffue les axiomes ne sont pas contradictoires ; c'est-à- 
dire démontrer (ju en se basant sur les a.viomes I on ne pourra 
jamais arriver a des résultats co/tfradictoires au nioijen d un 
nombre fini de déductions loi[if/ues. » 

Ma communication commence ainsi : 

(' Dans V Introduction Uti^lipie a iiiic théorie ilcducticc tp/cl- 
conijuc (|ui précède noire Essai d une théorie al^éhrir/uc des 
nombres entiers, nous avons analvsé la structure lormelle d'une 
tlicdiir (It'diK 1 1\ (• ([M<'l('(»n(|iir, nom' italilii' b-s pinu ipalcs conth- 
lioiis (!•• sa prrlcction logitinc cl les it-gles pralnjurs pour rrcon- 
naîtir si (•••^ ciinditions se trouvent vi'riliées dans une tlH-oiic 
(luinH'c. 

■ Maïutfiian I . nous ne hiisons ^\^^v lapprliT ces condi lioii^ ri 
iiKHicrr' CCS règles, dont 1 «liide apparlieiit ii la logi(|ue gi-ncrale. 



LE P ROI! LE M F. S" -J DE M. DAVID IIILIiERI X; 

pour une appllcalion mathématique à lanalvse des principes de 
r Algèbre. 

« D'abord il laut déclarer quels sont les sijinboles dont on lait 
usage dans la théorie sann les définir [sijmboles non dé finis j et 
énoncer les proposilions [définitions exceptées) qu'on accepte 
dans la théorie .s7///.s- les démontrer {postulats) (*). 

(c Les postulats don'ent être compatibles ; c'est-à-diic <[u ils 
ne doivent pas se contredire. 

« Pour démontrer la compatibilité d'an si/stè/?ie de postulats, 
il faut trouver une interprétation des symboles non définis, ipii 
vérifie simultanément tous les postulats. 

« Le système des postulats doit être irréductible ; en d'autres 
termes, les postulats doivent être absolument indépendants \ c'est- 
ii-dire : il faut f^' aucun des postulats ne puisse être déduit des 
autres^ ou bien encore : il faut qu en remplaçant séparément 
chaque postulat par sa négation on obtienne un système de propo- 
sitions compatibles. 

<( Pour dém.ontrerl irréductibilité d'un système de postulats, 
il iaut trouver, pour chacun d'eux, une interprétation des sym- 
boles non définis, qui ne vérifie pas le postulat considéré, mais 
(jui vérife simultanément tous les autres. » 

Il me semble ([ue le second texte répond complètement aux 
([uestions posées dans le premier ; je n v ajouterai pas un seul 
mot, saul la déclaration que les idées que je viens dénoncer ne 
m'appartiennent pas ; on ne saurait pas même leur attribuer 
exactement une paternité, car presque tous les mathématiciens 
<[ui ont analysé les principes de la Géométrie en ont lait usage, 
quoi(|ue très souvent d'une manière confuse et inutilement res- 
trictive (-) ; mais depuis longtemps elles ont été énoncées exacte- 



(') Dans le texte do M. llilberl et dans le mien oiit respeetiveiiienl la inèine si|,'iu- 
fieation concepts cléinenlaires et si/mbotes non de finis, axiomes et postulats. 

[-) On est arrive jusqu'à confondre la recherche delà preuve qu'une proposition 
ne dépend pas d'un système donné avec la criti<jue de la certitude du fait énoncé 
])ar cette proposition, en oubliant que, pour prouver rindéperuiance d'une pro- 
])Osition d'un système donné, il ne faut pas fixer préalablement la sijrnilication 
des symboles employés, tandis qu'on ne saurait douter de la vérité d'une proposi- 
tion, avant d'avoir fixé la sij»'niiicatioii de ces symboles : et que, par suite, il s'ag'it 
de deux questions tout à fait séparées. Plusieurs mathématiciens ont commis celte 
confusion, par cxeinple. daii5 leurs discussions sur le postulat îles parallèles. 



88 A. l'ADOA 

ment et en toute leur généralité dans la Re\uie de Mathénuitinucs 
et clans le For?nidaire /)i(il/iè/?ia/ifjiic[^). 



yi. Hilbert poursuit : 

« En Géométrie on démontre la non-contradiction des axiomes 
en construisant un domaine convenable de nombres tel quaux 
axiomes géométriques correspondent des relations analogues 
entre les nombres de ce domaine et tel, par conséquent, que 
toute contradiction dans les conclusions tirées des axiomes séo- 
métriques serait lorcément reconnaissable dans raiilbmétique de 
ce domaine. De cette façon la non-contradiction des axiomes 
géométriques est ramenée à la démonstration de la non-contra- 
diction des axiomes de 1 Aritlimétique. » 

Ne m'accusez pas de vouloir trt)p sujjtiliser si je m'arrête à 
examiner la signification de la pbrase « En CiéonK'trie on dé- 
montre... » 

Si M. llilbott voulait tliie « Va\ (îcomclrlc. M. un Ici a 
démontré... » ou bien « En Géométrie. Ton pouiiail démon- 
trer... ;), il n V aurait rien à objecter. 

Malheureusement la phrase (jui suit immcdiatcmt'Mt dans le 
texte de M. Hilbert : 

« Quant à la dé'inonstration de la non-contradiction des axiomes 
de lArithmétiquc, elle demande ii être eflecluée par voie directe ». 
nous prouve ([ue M. Hilbert n a pas compris ([uc. pour démon- 
trer l'indépendance ou la non-contradiction d'un sysItMne de pro- 
positions ( "). l'on peut choisir les interpré-tations des symlxdes 
non delinis dans un domaine coin t'iiable (|iielcoii(|iic, |ioiii\ii 
sculemcnl (|ue l;i connaissance de ce <b»iiKiiiie soil prcidablciiiciil 
admise. 

Il pai'ait en cH'cl (jue M. Hilbcil, a|»rcs a\oii- el;ibli une esjièce 
de hiérarebie entre les diirer<'ntes biaiicJK's des iiiatbeni;il npies, 



Cy 'l'iirili. I5iirrii fi-iTi-s. 

Cl (À- sont <lciix «nirslioiis s<'pnr<''i's pur riipporl ii un svstt'iiii- «lonni' tic pi-opo- 
sitiiiiis : iniiis (iiii<<i «pi il dt-i'cdiif «li,- c;<' ipii pri'-ci-ili', «•<• n'rsl ipi uni' «iruli- <pi<>"<lioii 
lii^'iipii- pur r.'ippori l'i la iiii'-llinili- ilc ilciii<iii><tniliciti. 



LE l> ROI', LE ME y> -x UE M. D A VIIJ II I L I! E R T 89 

juge que le domaiiK» de chaque branche soit en même temps le 
domaine d'où devait jaillir la preuve de la non-contradiction des 
axiomes de la branche supérieure. Par suite (comme selon 
M. Hilbert les deux premières branches seraient TArithmétique 
et la Géométrie) la Géométrie devrait être justifiée par l'Aritii- 
métique, et l'Arithmétique (puisque l'on ne saurait descendre 
plus bas dans la hiérarchie) devrait se résigner à se justifier par 
elle-même. 

Deux faits concourent à prouver que la conviction de M. Hil- 
bert est erronée ; maints mathématiciens ont réussi à démontrer 
hi non-contradiction ou Tindépendance de quelques propositions 
(le Géométrie en donnant aux symboles considérés des interpré- 
tations différentes des ordinaires, mais sans sortir du domaine 
de la Géométrie; tandis que pour ma part, dans la communication 
dont je m'occupe, j'ai réussi à démontrer l'indépendance de 
plusieurs propositions d'Algèbre en donnant aux svmboles consi- 
dérés des interprétations qui sortent du domaine exclusif des 
mathématiques. 



M. Hilbert continue : 

« Les axiomes de l'Arithmétique ne sont pas essentiellement 
autre chose que les règles ordinaires du calcul auxquelles il faut 
ajouter l'axiome de continuité. H n'y a pas longtemps, j'ai énu- 
méré ces axiomes dans une courte note ; en même temps j'y ai 
remplace iaxiomt' de la continuité par deux autres plus simples, 
il savoir : laxiome connu dArchimède, et un nouvel axiome 
énonçant que les nombres lorment un système d'êtres qui n'est 
susceptible d'aucune extension, si l'on conserve intacts tous les 
autres axiomes (axiome d'intégrité). » 

Laissons à M. Hilbert la responsabilité du choix de son svs- 
lème de postulats pour rArithméti(|ue. 11 est certain qu'en con- 
sidérant comme postulats « les règles ordinaires du calcul » et 
autre chose encore, les déductions doivent être bien simples : 
maintenant on comprend aisément pourquoi M. Hilbert renonce 
à se soucier de l'indépendance des postulats. 



go A. F A DO A 



^I. Ililbert poursuit : 

« Or je suis pcrsuatlô (|ue l'on peut trouver une démonstration 
directe de la non-contradiction des axiomes de rAritlimélique 
en appliquant ii ce \n\i les métliodcs de raisonnement connues 
dont on se sert dans la théorie des nombres irrationnels, après 
les avoir remaniées en leur faisant subir des modifications conve- 
nables. » 

Etrange persuasion (jue celle de M. Hilbert. 11 peut séparo-ner 
la peine de remanier et de modifier n'importe (|uelle méthode 
de raisonnement, car il n aboutira à rien. 

En effet : les contriidiclions ou les dcpcndanccs des pi'oposi- 
tions ne peuvent être démontrées que par des raisonncnienls 
déductifs, tandis que les non-cofifradicfions ou les indi'j)cn(la?ircs 
des propositions ne peuvent être démontrées que par des ronsltt- 
Idllons on constate que des interprélations convenablement choi- 
sies des symljoles vérifient ou ne vériliiMit })as les pi'oposilions 
en question . 



La suite du texte de M. Ililbeil ne mente |ias la thscussion. 
En voici la première période : 

« Pour caractériser encore à- un autre égard riinporlanc(> du 
problème, je ferai la remarque suivante : si l'on confère :i (|uel- 
(jiif iKilion (h's allnbiits (|mi se i-onlrcdisrnl. je (hiai que, au 
point (h' vue malbénialiijue, celte notion n cxisle pas. « 

l-t si 1 on n avait j»as la prudence de se |)lacer " au poiiil de 
vu( iiiathcmalKiue ») .' 



\. .\i'ti/i/-//rop()s de ma c(»in immical ion liiiil par uiir (|ursliou 
<|iii II a pas encore t'Ii- posi'e par .M. Ililbert : 

<' Ac sjislcnic lies si/t/iho/cs non i/r/i/iis iloil rlrr irréductible 
jKii- rai)fnirt mi si/stf/ni' des inis/ii/nfs ; en d autres lermes, il lailt 



LE PIIOULKME .V- ■> DE M. DA VID IIII.HEHr 91 

que des pos(n/als on 11(3 puisse déduire aucune proposition qui soil 
une dèfuiilion possible d' un des sijniholes non définis au moyen 
des autres. 

<f Pour démontrer C itréduclibililê d'un s/jslème de symboles 
non définis par rapport ii un système de postulais, il faut trouver 
une. interprétation des symboles non définis, qui vérifie simultané- 
ment tous les postulats et qui continue à les vérifier lorsqu'on 
change convenablement la signification d'un seul des sy/nboles 
non définis^ et cela pour chacun d'eux. » 

Après (|uoi, moyennant trois symboles non définis, j'énonce 
mon système de sept postulats i);; II), j'en démontre la compta- 
bilité (^^ III) et l'irréductibilité '^^ IV) ; enfin je démontre lirré- 
ductibilité du système de symboles non définis par rapport au 
système de postulats (^ Y). 

Que reste-t-il encore des questions logiques posées dans le 
problème n" '2 de M. llilbert ? 

A. Pauoa Rome . 



SUR L'ENSEIGNEMENT ELEMENTAIRE 

DES FONCTIONS ELLIPTIQUES 



Malgré leurs applications ii dos <|U(*stiotis loiul;niiont;iles de 
géométrie, de !nécaiii(jue pure ou appliquée, de phvsicjue, les 
fonctions elliptiques ne font pas partie de lenseignenienl éléinen- 
lalre. 11 en résulte que les physuiens. les ingfMiieurs, et ceux en 
général, qui ne sont pas mathématiciens de prolession, sont pri- 
vés d'un instrument de travail dont ils comprennent pourtant 
l'utilité; sans doute, bon nombre d'entre eux ont étudié les fonc- 
tions elliptiques; mais l'exposé qui leur en a été fait visait ii ètie 
aussi complet ([ue possible, tout en étant rapide et le temps leur 
a manqué pour se les assimiler d'une façon suffisante et surtout 
durable. 

Les méthodes d'exposition emplovées sont Ijasées soit sur 
l'étude d ime é(juation difl'érentielle, soit sur la construclioii a 
priori d une fonction doublement pérlodi(|ue ; mais par suite tle 
leur caractère général et abstiait. elles exinenl de loui'ues 
réflexions. Une étude hâtive en est iuq)t)ssible. Il suffit sur ce 
point, de rappeler l'anecdote de Svlvester et de sou |)rofesseur ( ' ', 
Par conséquent si 1 On ne disjxise (|ue d Un lenips limite, il laul 
se borner aux prcqjrié-tés essentielles. 

Les fonctions elliptiques se sont inirodniles dans I aiiaivse sons 
la formt; d'étpiations diirérenlielles ; nnii^ poni' rens<'i<4neinent, 
il est j)ermis de prendre nn antre |)oint de (hqiarl, si Ion y 
trouve avantage. Un (libnhinl ;i((|nerer;iil (lillicileinenl une idée 



Cl lirt'KC tirs Siiriiir.i piirrs cl iip/i/it^licfs, T. \ 111, lSy7, ir' i- 1' l'i<iiiil Nuliii' 
sur J.'iiiit'K Joscpli S\lvi'Hlcr. 



EXSEIGyEMEM ÉLÉMENrAIRE DES FOyCTIO.\S ELUI'TIQLES «j ! 

nette de la lonetion sin .i par exemple, si on la lui présentait 
comme la fonction inverse de 1 intéj^rale 



/ 



dy 



il est intéressant de considérer comme exercice, cette définition; 
mais il ne viendra h personne l'idée de la prendre comme point 
de départ de Tétude des fonctions circulaires au lieu de la défi- 
nition usuelle. Les fonctions elliptiques sont plus complexes 
que lestonctions circulaires puisque celles-ci n'en sont qu'un cas 
limite ; il est donc désirable qu'on aborde leur étude par une 
méthode aussi facile, si l'aire se peut, que celle qui a servi pour 
le cas particulier. Or en partant d'un problème élémentaire sur 
les tangentes aux coniques, on peut arriver très facilement à 1 in- 
tégrale d'Euler, à la notion de la double périodicité, au problème 
de la multiplication par un nombre entier, c'est-à-dire aux pro- 
priétés fondamentales des fonctions elliptiques et h ce qui est 
nécessaire pour leurs applications les plus usuelles. 

Ce problème consiste à étudier les points de contact d'une 
ellipse avec une ligne polygonale qui lui jest circonscrite en même 
temps qu'elle est inscrite dans une ellipse homofocale à la pre- 
mière. 

Soit une ellipse E dont le demi-grand axe est pris pour unité 
et dont la demi-distance focale est /i. Soit <j. un point fixe de E et P 
le point où la tangente à E en jj. coupe le petit axe; considérons 
lellipse E' homofocale à E et passant en P, désignons par M un 
point mobile sur E', par R l'une des extrémités de la polaire de 
M par rapport h E. Cela posé, si l'on définit le point fixe y. et les 
points mobiles jNI et R par les compléments a, a et tu de leurs 
anomalies excentriques, on trouve presque immédiatement la 
relation 

(i) cos a ^ cos w cos o -\- sin w siu o y i — k- siu- 2. 

Sous forme rationnelle, elle devient 

(l'j 2 — siu'' a — siu- eu — sin- o — -i cos acosojros o 

-f- /i- sin^ a sin- co siu- o m o 
Enseigncmcnl niutb. n 



9» 



£■.-.1/. LE ME RAY 



Cl est symclrique eny., m et -s,. En la résolvant par rapport à a, par 
exemple, puis en posant 

siii a rr rt sin co ^ x sin o = .r' 

on trouve 



, , .ri I — .«•'-' l I — /,-.r'- =fc.r'l/i — r- \ i — /.- .»- 

^2 «= — ^^ ., .. ,., : 

I — A- a- X - 

telle est donc la relation entre les abcisses du point ;jl et des 
points mobiles M etR; le double signe correspondant aux deux 
points 11 extrémités de la polaire. 

Kn différentiant (2), a étant constant, on obtient léipiation 

dx dx' 

0) 



' I — x'^ \ i — k- X- \J i — x- \ 1 . — k- x"- 



(2) est donc une intégrale alg<d)ri(jue de ICquation i3;. Cest 

l'intégrale d Euler. Si 1 on revient aux notations pi-iniitives » 

devient 

d',i do 

(.',) , =t ' = o ; 

y i — /.- sin- (u ^ I — /.- sin- g 

(l) est donc une intégrale de i4). C'est l'intégiale obtenue par 
La grange. 

A/i^ii/iie/il elliptifjiw. — Revenons à la (igure préc«''tlenle (|ui' 
nous ajjpellerons la figure I et considérons une ligne polyg«tnalr 
inscrite u E', circonscrite » V^ et Liingente ii celle-ci, ii 1 une îles 
extrémités du petit axe. Désignons par .j;, ■-- o labcisse dt> ce 
pctint, puis par ./■,, .r,, ... •''.„.., celles des points de conlacl suc- 
cessifs obtenus en partant dans un sens délermiiu'-, ii droite du 
petit axe, par exemple; // opérations (une opi-ralion consistani 
dans 11' passage d'un point tl<' contact au point de conlacl sui- 
vant]; nous louinisseul une giandeur .i_,„. 

Nous allons voir (pie l'on peut (bWiuir une variable r e| une 
lonclion de «-elte \ariable telles ([ue lorscjue la vai'iable |)rend des 
valeurs pi-oporli()iin(dles ii o, i, 2. ., //, la binction prenne les 
valeurs .j,,, .r,, ./'.,..., .'i,,..- 

A cet ellet cousidéi-ons : le pnlnl () de rellij)se 1'. avant même 
anomalie e.\ceiitri(jue «pie M, la lang<'nle ii K en i), et les iuler- 



E.\.SEfG.\n:ML'.\T I-:I.I-:MI:.\TAIRE des E0.\CT/0.\S EI.UPIIQUES (/y 

sections de cette ttinf;cntc avec les laiiffciiles issues de M. On 
trouve que les lieux de ces deux intersections sont une seule 
et même ellipse E " ayant pour demi-axes les racines carrées de 

1 + y/ I — A- siii- a ( I — k-) il + v/i — /■- ^in-x; 

j 1 — '■ — ' 

1 -t- cos a \/ I — /t- siu a + cos a 

dirigées respectivement suivant OX et la direction perpendicu- 
laire. 

La diflerence de ces deux quantités est Ir \ donc E" est Jiomo- 
focale à E et EJ . La ligne polygonale inscrite à E", circonscrite 
à E et la touchant au même sommet que la précédente, nous four- 
nit ainsi deux séries de points; d'abord ceux d'abcisses j'.,, .r^, 
.ro„... déjà obtenus, puis une deuxième série de points intermé- 
diaires. Nous pouvons continuer ainsi, obtenir de nouvelles 
ellipses E"', E'^, homolocales auxprécédentcs et insérer entre deux 
points d'abcisses .ro„, .î-'2(n + ij un nombre 2v — i de points inter- 
médiaires, Y étant aussi grand que l'on voudra. 

Considérons maintenant l'ellipse E et toutes celles qui lui sont 
homolocales; la tangente à E en un sommet du petit axe déter- 
mine à droite de cet axe un point N'sur l'une des ellipses de la 
famille. 

La deuxième tangente à E issue de X touche E en un point B; 
soit ^j son abcisse ; Tellipse qui passe en N peut être définie par le 
paramètre ji. On démontrerait aisément que si l'on continue la 
ligne polygonale dont NB est un côté, les projections sur OX des 
différentes polaires des sommets tels que N sont toutes plus 
petites que Jj et vont même en décroissant du moins tant qu'on 
n'atteint pas l'axe OX. Dès lors soit x l'abcisse d'un point de E 
situé dans le premier quadrant; on pourra toujours déteimlner 
une ellipse de paramètre suffisamment petit ^i et un entier Asuffi- 
samment grand pour (|u'après un noml)re ). d'opérations on par- 
vienne en un point de \L dont labcisse diffère de x d'une quan- 
tité aussi petite que Ton voudra etqui sera plus petite que ji. Nous 
représenterons par 3 la limite du produit ). 3 ([uand 3 tend vers 
zéro. 

A toute valeur de x correspond une valeur de 3 et même une 
infinité; car à celle que nous venons de définir il laul ajouter 
celles qui sont égales à celle-ci augmentée d un multiple de 41v, 



96 E.-M. LÉMERA 1 

K étant la limite du produit a j quand on choisit .r = i, c'est-à- 
dire quand la ligne polygonale embrasse le quart de lellipse; et 
réciproquement à toute valeur de - correspond une valeur de .r 
et une seule. On dit que c est l'argument elliptique de module 

/i et Ion écrit 

x = srt (A-. :) 
ou simplement 

■»• = *« (-)■ 

On peut comparer avec r l'angle w complément de l'anomalie 
excentrique du point dont l'abcisse esl .r; on dit que (o est l'am- 
plitude de 3; ce (jui s'écrit 

o) ^ aui : ; 
on a donc 

.1- =: siii oj z= siii am z =z su z. 

D après la définition de ", on a 

S/t z 

su o ^ o et liiii r= I pour ; =: o. 

Efjiiatio/t (iiffërenlielle de snz. — Revenons ii la icdalion (•>.) 
([ue nous avons déduite de (l'j ; cette dernière étant symétricjuc 
en a. to et 'C. en la lésolvanl par rapport ii sin w = .r', on a ; 

, ,, , x^i — rt- Vi — /i- a- -\- Il Y i — j- y \ — /-.r- 

1 — X- (i- X- 

Formant la didérence j' — .r, la divisaul j)ai' </ i-t passant ii la 
limite (pour a = o) on obtient 



.r — .» 



liiu — '■ — =: V 1 — .' - il - A- X- ; 

a 

If premier membre peut sécriie -j^ ; en rllVt si l'on pose .r^= .v/JC 

a =z= .sn A: on en tiie .r' = s/i [z -f- Ar) on a ib)nc 

x' — .r sn {z-\- 1 z] - sn z 



sn A 



la limite du second membre est la même (|ue celle du rapjxut 



sn (z -j- A s) — sn z 



ESSEICyEMEST ELÉMEMAIlii: DES EO.\CT/0.\S ELU/'IIQUES 97 

puisque la limite de -^^ est i pour c =^ o. La fonction x = an z 
a donc pour équation difFérentielIe 

(5) _^ =^i_j.2 s/i-lc^ X- . 

En représentant :; en fonction de .r par la notation 

on voit que Téquation (3) d'Euler a pour intégrale 
arg. sti X :±: arg. su x' =: C'<= . 

Le théorème d'addition de la fonction sn z nous est donné par 
la relation (2') où x', .r et a représentent respectivement 

sn[:-\~p), sn z, snp, 

]) étant comme ;; un argument elliptique. 

On peut remarquer que si les deux ellipses E, Eau lieu d'être 
homofocales étaient concentriques, semblables et avaient mêmes 
directions axiales ou encore se réduisaient à deux cercles concen- 
triques/s/? :: dégénérerait en sin -, l'équation différentielle (5) et 
les théorèmes d'addition se réduiraient à 



d-i' ; — . ./ T I .,' ~ 

—-— = V X — ■* ' •'■ = •»■ V I — «' + " V 1 — ^' • 

dz- 

Si les deux coniques étaient un cercle et une ellipse ayant 
pour petit axe un diamètre du cercle ; sn z dégénérerait en Th z. 

Courbe iVHalphen. — Jusqu'ici l'argumeul r est considéré 
comme la limite du produit A,3; on peut le représenter par une 
surface en employant la représentation géométrique d'Halphen 
ou une autre analogue, U suivante par exemple que nous appelle- 
rons la ligure IL 

En posant x =sin (o, l'équation (5) devient 

d ''J / —■, — r— ; — 

-— = V I — /' Slll-(.) , 



d'où 

\J i — X' sin- 



■■£ 



gS E.-M. LÉMERAY 

Soit un cercle de ravon i, une ellipse dont les demi-axes 



sont I et— Jk ^\ i — /c"), considéronsla courbe Cl dont le ravon 

vecteur est la moyenne proportionnelle entre ceux du cercle et 
de l'ellipse; si l'on prend pour axe polaire le petit axe de Tellipse 
et si (0 représente l'angle formé avec lui par le ravon vecteur o ; 
récpiation de lellipse est 



\i 1 — h- sin- (ij 
la courbe G a donc pour équation 



(i — k- siu- co)^ 
et son aire déterminée par l'angle (o est 

jj_ Ç ^^'^ . 

2 J y I — I;- siu- oj 

elle est donc égale ii la moili(' de largument ellipticjm^ ;: d'ail- 
leurs 



Pèriodicilc. — En continuant la ligne polvgonalc (figure I) ins- 
crite il VJ et circonscrite ii K; on finira par trouver des points de 
contact voisins de ceux d(''iii <d)teiius ; on conçoit mém<^ ([uelon 
pouirail dclcniiiiicr 1 CIlipsc 1/ de telle soite (|u apii-s un ceilain 
nomi)!')' dOpi-rations on relond)e exactemenl sur les jiiemiers 
points de contact obtenus ; la lonction su z est donc peiiodnjue ; 
«»n le voit d'à i lieu l's d'une façon bien jd us net le sur la ligiiii' 11. Si 
K repiésente l'aire ((imprise enti'e Taxe j)ohiire, un axe perpen- 
dicidaiie et la courbe Ci, onvoil (pic su - reprend les mêmes 
valeurs (piand r augmente tlun multiple de \\\ |)ar suiti" 

.S7( 'z -\- J K' :.- su -. : 

on voit aussi tpic la ioiiclion iir Lui (iiic cliangi-r di- Nignc si r 
aiigmcnlc ào >\\ ; la (|iiaiitilc dv rsl la dcmi-piiiode ; flic jonc le 
nicinc rôle (|iic r. |)()iii les binclions circulaires. 



ESSEIGNEMENT ÉLÉME.XTAHŒ DES EO.\CTIO.\S ELLIPTIQUES 99 

MidlipUcation de V argument par un nombre entier. —La mul- 
tiplication de l'argument par un entier m contient deux ques- 
tions : étant donné sn z trouver sn mz; étant donné un secteur z 
de la courbe G, trouver l'angle déterminant un secteur ni lois 
plus grand; 1p premier de ces problèmes peut se résoudre en 
faisant usage du théorème d'addition; de plus la figure I en four- 
nit une représentation géométrique ; il est clair que si l'on déter- 
mine l'ellipse E' de telle sorte que l'abcisse de ;jl soit égale ii la 
valeur donnée de sn z que nous pouvons supposer positive ; en 
construisant la ligne polygonale ayant un premier contact en 'j. 
et en tournant dans un sens convenable, les abscisses des points de 
contact successifs aurontpour valeurs s/i 3c, s« 5-... sn{p.n -f- i) z. 
En construisant entre les deux mêmes ellipses une seconde ligne 
polygonale ayant un contact au sommet du petit axe de E, les 
abscisses des contacts successifs seront sn 23, sn 4"... sji i-xn z). 

Maintenant. que l'on connaît la valeur de sn mz on peut la 
reporter sur la figure II et déterminer ainsi le ravon vecteur et 
langle (il un multiple de 277 près) C|ui détermine sur l'aire embras- 
sée par G, un secteur niz: si ; est la valeur trouvée de sn mz on 
aura simplement ii résoudre l'équation 



V I — /i- sin- co 

ce qui donnera pour l'angle co cherché quatre valeurs faciles à 
discuter. 

Valeurs imaginaires de V argument . — On peut, soit admettre 
dans une première étude, soit démontrer assez facilement en 
s'appuva?it sur le théorème d'addition, que lorsque la variable est 
purement imaginaire, la fonctions/? est aussi purement imaginaire 
si on lui impose la condition d'être une fonction analytique ' . 
Xous écrirons donc 

sn {z v/^^i) — V'^^ ^" {-) = ■^' V'" 
où S« - représente une fonction réelle de ret où l'on pose.r=S/?r. 



(') Voir Xonvelles Annales. 3" si-i-ic. T. \I\. juin n)00. Exiiosllioii iji-onu'lriqiie 
de ([lU'lquos propriétés roiidauieiitaios des fonctions ellipti(|iies de première 
espèce. 



loo E.-M. LE MER A Y 

Le théorème craddition et léquation différentielle si Ion y rem- 



place a, .r et .r' par a \/ — i. .r \ — i, .r' \' — i, deviennent 



., .r \, I -|- a- V I + A- rt- -(- o V^ ï + ■*' ' V ' + ^' ■*'■ 

I — A- a- .1- 

d.r 



dz 



V^+y' \/i+^'.r' ■ 



Une induction naturelle conduit à penser que la nouvelle 
relation entre d, v et .r' doit être la solution d'un problème ana- 
logue au précédent. En efrt>t, dans le premier problème, 
léquation des ellipses rapportées à deux axes rectangulaires 
est 

B^r--f-A-/- = A-B^ 
avec 

A-— B- = X-. 

Vin changeant .r' en — .i' on a les hyperboles. 
— B-;.r- + A^v=A-B-^ 

avec la même relation entre A et B. Elles ne son! pas homolo- 
cales(*), elles ont les mêmes axes que les ellipses de la ligure i. 
En répétant les mêmes constructions que dans le premier pro- 
blème on arrive h des résultats analogues en ce qui concerne la 
jx'riodicité, la multiplication de Targument; mais on arrive i» 
v(»ir (jiir la loiution S/iz devient infinie pour certaines valeurs 
de r; dans les calculs, les lonctions circulaires sin cos sont rem- 
placées par les (onctions iiyperboliques SA et CA. La représenta- 
tion de rarfruinenl par une surface se fera d'une manière analogue 
il celle du premier cas; on considérera le rayon vecteur hyper- 
bolique -) et rargunient hyperb()lif|ue au lieu ilu rayon vi-cleur 
ordinaire et de l'angle. Nous rappelons (pie si les coordonnées 
d tin poini sont .;, // son ravon vecteur ll\ [lei bolique est ^ V" — -i'- 



(') Si l'on (-onMidrriiit <li's hypi-rlxiles hniin>foriilos on aiirjiil hicn nno r<-liition il< 
ni('-ni<' fornii'. niiiis A !<cr:iit plus ^rarxl (|iic i rar il nVst aulrr (]ii<! l'cxriMili'it'ilL' <!• 
<-cs hvprrholcs. 

(•) Voir I^aiMunt. /'tanin mii li-i funrlionn ht//>erb<)lit/iir.i. ( laiidiii-i'-Villars iX-j 
(^■la montre une fois de plut l'intcri'-l <|u'il y aurait à introduire rramlicini'iit dan^ 
rrnscijfrif'nn'nt liisa^c drs fonrliotiH livp<-rl)<>li(|Uos. 



EySEIGyEME.\T ÉLÉMESTAIRE DES FOSCTIOSS EI.I.ll'l IQLES loi 

L'analoofue de la courlje G est alors une courbe G dont le ravon 
vecteur hvperlKdi([ue est la moyenne proportionnelle entre ceux 
de l'hvperbole écpiilatère de demi-axes égaux à i et de Ihyper- 

bole avant pour demi-axes r et— ; le demi-axe transverse étant 

celui qui est égal alunite; l'aire comprise entre la courbe, son 
asvmptote et l'axe transverse est représentée parK' et S/?r a pour 
période réelle ■>. K', 

Double périodicité de snz. — De ce qui précède on conclut 
que la fonction snz a deux périodes; l'une réelle et égale à 
4 K, l'autre imaginaire et égale à 2 K' y/ — i; par suite le plan 
des r est partagé en rectangles par des parallèles h l'axe réel et à 
l'axe imaginaire, quand c occupe dans ces rectangles des posi- 
tions relatives semblables la fonction prend des valeurs égales; 
dans chaque rectangle la fonction devient deux fois nulle et deux 
fois infinie. Ses zéros sont im K -|- in\\' \/ — i ; ses infinis sont 
2//?K-|-2 '.n-\- i] K y — I où K et K' sont les deux intégrales 

dx r" d.r 



Jo S/{l — X-^] (l —k-X^) Jo 



V(i + -^-') (i+^'-^-'j 



que Ton peut calculer par des séries; m, p. sont des entiers quel- 
conques. 

Variations de la fonction snz. — Pour se rendre compte de la 
manière dont varie ,s/<c quand r décrit un chemin déterminé dans 
son plan, il suffit d'examiner deux cas principaux, celui oii r 
décrit une parallèle à l'axe réel et celui oii il décrit une paral- 
lèle à Taxe imaginaire et de chercher les courbes décrites par 
la fonction. T.es points de celles-ci peuvent être obtenus au 
nioven du compas. 

Pour le premier cas on posera : 

= = H -f r, v'^^-i~, s» (» + *•„ \/'^=^= U + Vv/'=T. 

en développant le second membre au moyen du théorème d'addi- 
tion, puis en séparant le réel et l'imaginaire et posant 

sn u rr ;, S« ï'q= V^, 



102 F. -M. LE ME RAY 

on a 



En éliuiiuiinl £- on trouve 

Tel est donc le lieu décrit par .v/îr dans le premier cas, ^ ,, est 
l'ordonnée d'un point où la conrjje coupe Taxe imaginaire, j^our 
le second cas on posera 



on développera encore s/i ://,,+ v\ — i, puis posant S/zc =r,, 
sn //,j = U„ et séparant le réel de l'imaginaire on a 

[i -^ /c^ l^r-^]^ ' [i.f A^^Ugv? 

rtdimination de y, donne (*) 

L,^ est l'abscisse d un point où la coiirhi* coupe Taxe réel. On 
remarque que 1 t''<jualiou 1-) se liic de (> eu chaugeanl rcspecti-' 
venu'ul 

M \- et f- .11 — l'I — i:- c\ — V-. 

'In piiinrait dt'iuoulier non seulfiueiil (HIC les svsh-mrs <• rt -; 
sont hieu oilliogonaux comme l'exige la «"ondition tiaiudvlicitc 
imposée a la lonclinii, jnais cncoïc que les courbes - sont il 
«■lles-mèmes Icuis ])i(>prcs liajecloircs ortbogouales. Si b- j)ai'a- 

mètrc V'f, est compris ciitir 1 cl (Ui a les couibes rel;ili\cs au 
1') /."(•. fii. 



(S) C"' 



ENSEIGyEMEST ÉLÉME.\T.l/J{E DES FOyCTIOSS ELUI'TIQUES io3 

premier cas; s'il a une autre valeur positive ou a les courbes 
relatives au second cas. 

Ces courbes sont susceptibles d'une définition simple. A cet 
edet, on mettra l'équation '- ) sous la lornio 

en la résolvant par rapport à la constante arbitraire U„. Le calcul 
ne présente aucune dillicuîté et Ion trouve 

^ r I -f /.-' R^ ± \ \ I + /-^ R- ■' - i /.- L-- 1 

où nous avons posé 

R2 = U-' + Y2. 

Désignons par F et F' les deux points de Taxe des U ayant 
pour abscisses -\- i cl — i : par G et G' les deux points du mèrne 

axe avant pour abcisses+ -J;- et j ; soit U,V un point du plan : 

/'et/' ses distances à F et F', le lieu des points pour lesquels le 
rapport f : / est le même qu'au point considéré est un cercle; 
on trouve que ce cercle coupe l'axe réel aux points d'abscisses 



I ^ R^ =h y I + R- - — 4 ^- 
2 i; 

De même si l'on désigne par^' et^'' les distances du point L , ^ a 
Gr et G' le lieu des points pour lesquels le rapport i,' : g t-st le 
même qu'au point considéré, est un autre cercle qui coupe 1 axe 
réel aux points d abcisses 

I + h^ R- ± y/j I + />■- II- - — 4 /■- U- 
■1 k- U 

Ces valeurs sont précisément les facteurs du second membre 
de l'équation (8). Dès lors si nous représentons dune ma- 
nière générale par /les abscisses d'intersection du premier cercle 
avec Taxe OU, par y" les points analogues pour le second cercle; 
les courbes (j) auront pour équation 

Ug = i/ ; 



io4 E.-M. LE ME RAY 

on voit que Ton obtiendra autant de points que Ton voudra de la 
courbe coupant en ± U^ l'axe réel, au moyen des intersections 

de deux cercles faciles à construire, Tun arbitraire du paramètre /, 

U- 
lautre dont le paramètre est y = -^ 

Théorème de Poncelet. — A propos de la figure I nous avons 
dit que Ton pouvait concevoir l'ellipse E telle qu après un certain 
nombre d'opérations on retombe exactement sur des points de 
contact déjà obtenus; il est clair qu'il suffit pour cela que le 
point <x d'abscisse sin a = sn p soit choisi de telle sorte que p 
soit un diviseur de la période 4 l'^ t)u plus généralement soit 
commensurable avec 4 ^"^l mais alors si l'ellipse répond à cette 
condition, on pourra prendre pour sommet du polygone un point 
«[uel<:onque de E' et les polvgoncs ainsi obtenus auront tous le 
même nombre de côtés: une conclusion analogue se présente 
<}uand l'on considère les hyperboles dont nous avons parlé ; tni 
arrive ainsi ii deux cas, très particuliers à la vérité, des théorè- 
mes de Poncelet, mais (ju'on peut évidemment généraliser par 
projectivité. 11 conviendra de signaler que l'équation algébrique 

par laquelle on déterminera snp] p ^^= — K. m, n entiers n est 

pas résoluble sauf dans des cas très jxirtlculiers. 

ï.es considérations précédentes peuvent s'étendre presque sans 
changements aux fonctions à multiplicateur t de ^\ fieistrass (M- 
En les complétant par quelques notions sur les louchons en, dn cl 
en général sur celles qui sont reliées ii su par une écjualion aig»-- 
i^rique; parla réduction des intégrales dépendant de la racine 
carrée d'un seul polvnome du (juatrit-nic degré aii\ li'ois Ivprs 
canoniques, par la transformation de Landen, par les théorèntes 
luiidamcntaux sur les arcs d'ellipse et d'hyperbole ([ui ne présen- 
Ifut iiui'une dilliculté théorique, on aura tes éléments nécessaires 
pour les applications les plus usuelles et pour pouvoir utilement 
fiuployer les tables, l/élude des fondions considérées comme 
définies par les é(piations did'éreulielles au inoven des inh-grales 
eur\ iligncs, les développements en séries et eu j)ri>tluits^ h»s lonc- 



'l Les ctiiiifjiics suiil (liMix rlIipNPs ou iji-iix liypcrinilrs ••iviint iiiriiics dirrclinti 
lixi.ileH. iiiuitt iinii lii>iiii>ri>i-iili><«. 



ex.seig.\i:me.\t elémemmiii: des roxcnoss elliptiques uri 

lions de Jacobi, la loriiiati(»ii .'/ /^/iori dune fonction admettant 
deux périodes, les problèmes de la division et de la transforma- 
tion en général seraient réservés à renseignement supérieur.. 

Dans l'enseignement moderne on laisse au second plan les 
fonctions s/i en dn et l'on considère d'abord la fonction p de 
Weirstrass. Si dans un enseignement préparatoire on préfère 
commencer aussi par l'étude de cette lonction, on peut suivre une 
méthode analogue a celle qui vient d'être exposée. Xous nous 
bornerons ii dire que e^^ e.,, c.,, désignant trois constantes dont la 
somme est nulle, on considérera les deux paraboles dont les 
équations en coordonnées rectangulaires sont : 

(P) j = ±v/^ (P') ioLy=[e,, — e,){e, — e,) + x±iii\^l: 



S = v/(a — ^3 + e^) [7. — e, + e^) 

et OLX a est une constante arbitraire. Alors si l'on pose 

a = p(^, e,, e.., e.^) — e^, 

si l'on prend sur P un point d'ordonnée égale à p(zÀ — e. et 
si l'on considère une ligne polygonale partant de ce point ayant 
ses côtés tangents à P et ses sommets sur P', les ordonnées des 
points de contact successifs augmentées de c\, seront 

p{z±-:\. p.zzÏLi'Ç), p{z±nV', .... 

les deux signes correspondant aux deux directions possibles 
qu'on peut suivre en partant du premier point. 

E.-M. Lémehay. 

iSaint-Nazaire.) 



UNE LEÇON DE GÉ03IET111E ANALYTIQLE 



1. — Trois quantités quelconques a, h. c admettent six j)er- 
niutations ; (juclle est la position des six points de l'espace di)nt 
ces permutations sont les triples coordonnées cartésiennes rec- 
tangulaires ? On voit tout de suite que ces six points se trouvent 

sur le cercle d'intersection du plan ï.r, = « -|- Z» -j- r et de la 

1 

sphèi'e -.r^ = rt' + /«"-l- C". De plus, lexpression connue de la 

distance de deux points de l'espace montre que les deux triples 

{a, h, c) \ [a, c, h) 

[h, c, a) ! , {b, a, c) 
(c. ,1, h) ' {c. h, a) ' 

de permutations cvcli({ucs correspondent aux sommets de deux 
triangles é([uilatéraux et que pt)ur^/<ô<c ces deux trian<;K's 
égaux n'équivalent quant it leurs sommets ii un hexagone régu- 
lier que dans le cas où h est la moyenne arithmi-tique île a et c 
Dans le cas ordinaire où '.>.h ^ a -\- c tous les angles tle l'hexa- 
i£one sont l'-'^aux, seulement quant ii leur lonuueur les côtés se 
grouprul «Il deux triples en succession alleriian !<•. de tnanit-re 
qu'un côté' j)lus court se trouve loujouis entre diiix côles jdu> 
longs, etc. I!t cet hexagone ii peu ])r«'s lé-gidier n niitieni la 
faculté de couvrir par répétition lnul le plan qm- tians le cas 
particulier •jLh=a-\-c, où il devient légulier loul :i hdl. 

I'!n transportant parallél(*ment les plans coordonnes ii la nou- 
velle (M'igine (t , (I , (I ^ on passe aux six permutations «», ii^. a, . 



U.\E Li:rO.\ DE GEOMÉTRIi: AXALYTiqiE 107 

OÙ nous supposons encore a^<ia.,. Dans ce cas il est évident que 
l'hexagone en question s'obtient en tranchant d une manière 
régulière les sommets d'un triangle é(juilatéral AjA.Aj (fig. i). 
Ce qui nous suggère lidée de considérer le triangle A,A,,A3 
comme triangle de référence dun système de coordonnées homo- 
gènes et dans le plan de ce triangle les six points (o, b^^, ù.,) où 
la somme A, -|- A, é([uivaut ii la liauteur de ce triangle de réle- 
rence. Alors les é(|iiali{)ns .r,= o et .*',• = /;,, i'ont connaître les 





l\ii. >. 



Fit 



deux tiiples de cotés. Et les six sommets se trouvent trois fois 
deux il deux sur trois droites parallèles, les droites 



■V; =z O, .»■/ := /yj. ,}'/ ^r //., j)Our / 



I, 2, j. 



2. — Passons du cas [^a, b, c, an cas [a, b, c, dj où il s'agit des 
24 points de l'espace a quatre dimensions E^ dont les coordonnées 
rectangulair(^s lorment les permutations des quatre (juanlités 
ti, b, c, d'où après un déplacement parallèle des axes coordonnés 
des ([uatre (piantltés o, a .^, a „ a.^. Ces 24 points se trouvent sur 

la sphère d intersection de 1 espace tridimensional l".r,= l</ et 

I 1 

i 3 

de riiypersphère ï.77 = -(77. Par rapport au tétraèdre régulier 

A,A.,A.,A, dont les sommets sont les points d'intersection avec 
cet espace, on a afï'aire aux 24 points o, b^, b..,b^] où b^<ib,<cb.. 

et 1/-», = //, la hauteur du tétraèdre. Ainsi Ton trouve l'acilement 
1 

que les 24 points en question sont les sommets d'un tétraèdre, 



io8 P.- IL se U 01 TE 

tronqué dune manière régulière tant sur les arêtes qu'aux som- 
mets, les plans .r,= o représentant les faces orioinales du tétra- 
èdre, les plans .r- = ^., en enlevant les sommets et les plans.r -|-.r 
= /(, -j- />„ en enlevant les arêtes. Donc le résultat (fig. 2 est un 
polyèdre à 24 sommets, 36 arêtes et i4 laces que nous représen- 
tons par le symbole (24. 36, i4)- Seulement dans le cas très 
particulier où //, b, r. d sont quatre termes consécutils d'une série 

arithmétique, ce qui amène les relations ^^ = — ^'j= — /^a, ce 

polvèdre est limité par huit hexagones réguliers égaux et six 
carrés égaux et iorme donc cette combinaison cristallographique 
du cube et de loctaèdre cjui jouit de la laculté de remplir tout 
l'espace tridimensional par répétitit)n : \ oir Revue générale des 
sciences, t. V, p. jii). 

Dans le cas général les trois espèces de laces sont représentées 
par les couples d'équations 

(.Tj -t- Xi -\- .r, rr <■/+/> -f c , .î". t=. d), 
(j-j + .r. = a -\- h. .»•■; + .»•., — c -\-d\ 
(Xj = fl, .r, + x.^ + .»■. = // -f c + c/) . 

De la même manière les trois espèces tl'arêtes sont représentées 
par les triples d'équations 

(Xj -\- X ., ■=! a -\- h , X.. =1 c. .r., =: rf>, 
(a-, =r a, x, + .r, = /^ + c .*••, = d), 

(Xj rr rt, X., =i h, .r.j -\- .»-._ = c -{- d). 

Pour raccourcir nous représentons les trois espèces de (aces 
par les svmboles (3, i},, (2, 2)^, (i, 3). où les iiulices 4.6, 4 
indifjuent les nombres de plans de cliaque espèce. Dans cet ordre 
d idées les arêtes se représentent pai- les symboles (2, i. il,., 

(i, 2, i),,, (1,1, 2),,. 

3. — l'i'oct'dons au cas 'd, h, c, d, v] des 1 '»o points de 1 cspiiie 
Ej, où 11 s'agit d'un pcntaédroïde régulier A,A,A.,A.^Aj_ lron(|ui' 
aux sommets, sur les arêtes et sur les faces, ici il y a ii distinguer 
les <iualre espèces ^4, i)^, (3, 2),^, (u, 3),„, (i, 4 ^ d'espaces limi- 
tants; les ciiuj espaces (4, i) tronquent le polvlope régulier aux 
suMimcts, les dix espaces (3, 2) «'t les dix espaces (2, 3) en lonl 



UNE LEÇON DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



[09 



autant sur les arêtes et sur les faces et les cin([ espaces (i, 4^ sont 
les espaces originaux du polytope. Ainsi le nombre des espaces 
limitants est 3o. Ensuite on trouve les six espèces (3, i, i)^^,, 
(i, 3, i),„, (i, I, 3),„, (2, 2, i)3„, (2, I, 2)3,, (i, 2, 2)3, de (aces, ce 
qui prouve que le nombre des faces est lyo. Et enfin il y a quatre 
espèces (2, 1,1, i)^^, (1,2, i, i)g„,(i, i, 2, i)^,, (1,1, i, 2)^^ d'arêtes. 
Donc le polytope en question admet 120 sommets, 240 arêtes, 
I 5o faces et 3o corps limitants; nous le représentons par (120, 
240, i5o, 3o). 

En général le polytope trouvé est limité par dix espaces en 
forme de polyèdres (24, 36, i4) et par vingt prismes hexagonaux 
(i2, 18, 8). Dans le cas très particulier où les cinq quantités 
a, 0, c, cl, e sont des termes consécutifs d'une série arithmétique, 
toutes les arêtes ont la même longueur, de manière que les dix 
polyèdres (24, 36, i4) prennent la forme de la combinaison cris- 
tallographique indiquée, tandis que les prismes sont des prismes 
réguliers limités par deux hexagones réguliers et six carrés. 

4. — En augmentant toujours le nombre des quantités entrant 
dans les permutations on trouve successivement des polytopes 
caractérisés par les symboles 

{720, 1800, i56o, 540, 62) 

(5o4o, 1J120, 16800, 8400, 1806, 126) 

(4o320, 141 120, 191520, 126000, 40824, 3796, 254) 



qu'on obtient toujours en tronquant d'une manière régulière le 
polytope régulier, à un nombre minimum d'espaces limitants, 
aux sommets, aux arêtes, aux faces, aux espaces limitants, etc. 
Nous faisons suivre les calculs assez simples qui se rapportent 
au cas de huit quantités et donc de 8 ! = 4o ^20 points. 



Espaces Eg 




(7,1). . . 2(8)i= 


16 


(6,2). . . 2(8,., = 


56 


(5,:i). . . 2(8)3 = 


1 12 


(4,4). . . (8)v = 


70 



234 



Enseignement math. 





Espaces E^ 




(6,1,1). 


• • 3(8), (7),= 


168 


(5, 2,1). 


• • 6(8)1(7)0 = 


1008 


(4,3,1). 


. . 6(8)^(7),= 


i68o 


(4,-^.'^). 


■ . 3(8), (6:,= 


1260 


(3.3,2;. 


• • 3(8), (6)3 = 


1680 



5796 



p.- H. SCI/ O [TE 



(5,i,i,i). 

(4.2,1,1). 

(3,3,1,1). 
(3, 2,2,1). 
(2,2,2,2). 



(4,1,1,1.1) 
(3.2,1,1,1) 
(2,2.2,1,1). 



(3,1,1,1,1,1). 
(2,2,1,1,1,1). 



(2,1,1,1,1,1,1). 



Espaces E.^ 

4(8)i (7)1 (6), = 1344 

12(8)1 (7)1 (6)., = 10080 

6(8)1 (7)1 (6)^ = 6720 

ï2(8)i (7)2 (5)2 = 20160 

(8)2 (6)2 (4)2 = 2520 



io824 



Espaces E^ 

5(8)i (7)1 (6)1 (5)i = 8400 

20(8)1 (7)1 (6)1 (5), = 67200 

10(8)1 (7)1 (6)2 (4)2 = 5o4oo 



126000 



Faces. 

6(8)1 (7)1 (6)1 (5)i (4)1 = 40320 
i5(8)i (7)1 (6)1 (5)i (4),^ 1 5 1200 

191520 

Arêtes. 

7(8)1 (7)1 (6)i (5)i (4)1 (3), = 141120. 



En cherchant à généraliser ce calcul pour le cas de n quanti- 
tés, on trouve le symbole suivant 



•2) i3// — j) 



2.| 

(« — 4) (i5n-' 



, {n-i){n-3y' 

t , : Il 

48 

1 5o/i- + 485h — 5o2) 



5760 



2,1 — 2 I , 



qui exige qu'on s'arrête au premier terme disparaissant et (ju'on 
interprète le terme précédent, égal ii Tunilé, comme se rappor- 
tant au polytope lui-même. Probahlement les ellorts à détermi- 
ner le terme géin-ral de la suite entre crochets sf prrdioiil 
encore longtemps dans les hrouilhirds d(> la ihéoiic des parti- 
tions. 

1*.-II. ScHoi TK (Grouiiiguc). 



LES 

APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS 

A LA MÉTHODE S C lEXTIFIQUE (i) 



Chapithe V. — Discussion de la çalenr des applications 
scientifiques du calcul des probcibililés. 

La théorie des moyennes. — La probabilité des causes. — La probabilité 
des erreurs. — Confusion de Terreur et de lécart. — On conclut à tort à 
des écarts objectifs de la matière observée. — Supposition illusoire de 
l'élimination des erreurs systématiques. — H y a des probabilités qui ne 
sont pas toujours vériliées ; exemples. — Impuissance pratique de la 
théorie des probabilités des erreurs. — Causes efticientes et calcul des 
probabilités. — L'approximation; les conditions essentielles; exemples. — 
L'application de la probabilité des causes et l'application de la probabilité 
des erreurs. 

Nous avons vu que les applications scientifiques, les applica- 
tions pratiques aux niéthodes d'observation et de recherche, 
étaient peu nombreuses, et que les applications exactes au point 
de vue mathématique étaient encore plus rares. ^Nlais, même 
exactes, toutes ces applications sont-elles légitimes et jusqu'à quel 
point le sont-elles, c'est ce que nous allons examiner maintenant. 

Les applications les plus fréquentes et les plus sérieuses sont 
celles c[ui se fondent sur la théorie des moyennes et recherchent 
la probabilité des erreurs. 

Quelle est la valeur de ces applications ? 

Voyons d'abord quelles en sont les bases. L'erreur est un écart 
qui se produit entre une valeur réelle et une valeur appréciée. 
Comme, le plus souvent, la valeur réelle n'est pas connue en 
elle-même, mais seulcnKMit par des valeurs appréciées, on ne 



(') Voir L'Enseignement tnatliematlqiie, numéri» pré» 0(10111. 



112 ,Y. VASCHIDE ET //. PIERO.X 

peut savoir de combien une valeur appréciée dillère dune valeur 
réelle. Il faut donc un artifice qui permette dellectuer des cal- 
culs sur cette erreur. Pour cela, on considère comme valeur 
réelle, c'est-à-dire comme valeur dont la réalité est la plus pro- 
bable, une moyenne entre un certain nombre de valeurs appré- 
ciées. 1/erreur est donc définie, pour le calcul des probabilités, 
Técart par rapport ii la movenne. On détermine une erreur (jue 
l'on appelle probable, non sans postulats et approximations, et 
on compare toutes les erreurs à celle-là. Une nouvelle iormulc 
donne les probabilités des erreurs, sous ce rapport. Que peut-on 
conclure d'une probabilité plus ou moins faible, plus ou moins 
forte d'un écart relatif à la moyenne, d'une erreur déterminée? 

Nous vovons que l'on peut indifleremment en conclure l'une 
de ces assertions : 

Ou bien il v a probabilité d'une cause perturbatrice, ou régu- 
latrice de l'erreui-, c'est-à-dire de la variation de la moyenne, 
probabilité dans tous les cas, dune erreur systématique, distin- 
guée ainsi de l'erreur fortuite à laquelle s'applique le calcul des 
probabilités. \Ài donc, une faible probabilité d'une erreur décè- 
lerait l'existence d'une erreur systématique ayant échappé aux 
investigations préalal)les. 

Ou bien la faible probabilité d'une erreur fera déclarer au con- 
traire qu'on n'est plus en présence d'une erreur, mais d'un écart réel 
dû aux phénomènes observés, et non à la manière d'observer ces 
phénomènes. Ici ou décèlerait un écart objectif s'opposant ainsi à 
l'écart subjeelil([ui lient auxconditions indiviiluelles d'observation, 
et ([ue l'on appelle erreur. Terreur dont on cherche la pr()ba])ilit<''. 

Dans un c;is, la faible pi'ohabilitc dune eiieiii' iii(lit|uiT;iit la 
présence d'une erreur plus considérable ([ue les erreuis fortuites, 
dans l'autre cas l'absence d'erreur même fortuite ii biquclle rst 
substituée un écart réel. 

On tiii- (l(»iic ioujoius des coiichisioMS sur ((iichiiie chose d ob- 
jectif, devant déplisser hi simple subjeeliviti-, ou une erreur objec- 
tive due aux Jin-thodes ou aux instruments (roi)sei \ ;it utn , ou un 
écai't oi>jeclil re>iil;iiil diins la maliei-e même observée. 

( )r nous constatons qu On conclut toujours ii un ecinl objectif 
de la matière obseivée. Cela n'est donc pas legitini<-. <)n sup- 
pose toutes les erreurs systémali(iues éliminées, mais c est une 



LES APPLICATIO.\S DU CALCIL DES mOBABILIIES n3 

supposition (\\n nest pas valable ; rien en effet ne permet de 
choisir entre ces deux conclusions possil)les. Il n'y a qu'un cas 
où une interprétation est plus indicpiée f[uc l'autre ; c'est celui 
où 1 on prend une série de mesures, d évaluations d'une valeur 
que l'on croit rester identique pendant tout le temps que 
durent ces évaluations et ces mesures : la mesure anthropolo- 
gique d'un crâne par exemple, toujours le même, mesure que 
l'on fait bien rarement car cela n'a pas grand intérêt scienti- 
fique. Va encore rien dans le calcul des probabilités ne permet 
d'alfirmer lidentité dans le temps de la matière observée : on 
ignore en elFct les causes possibles de variation. Et, dès qu'on 
fait une moyenne de crânes différents, comme il y a aussi des 
écarts objectifs, l'ambiguité reparaît. 

Cette ambiguité reste constante dans la mesure des probabi- 
lités d'erreurs des temps de réaction, par exemple où rien ne 
reste identique à deux moments différents du temps. 

Enfin signalons une confusion véritable que l'on fait parfois 
de l'erreur et de l'écart, comme Stiedaet Goldstein par exemple. 
C'est ainsi qu'ils prétendent applicjuer la théorie des probabilités 
des erreurs à la détermination des types, caractérisés par des 
écarts objectifs et réels, et par conséquent à la probabilité pour 
que ces écarts soient dus à des variations quasi-fortuites d'un 
type considéré comme un individu ou pour qu'ils soient dus à 
une difï'érence de deux types, ;i l'existence d'un type dillérent et 
objectivement distinct, type cause de ces écarts faussement assi- 
milés aux erreurs. La théorie des erreurs ne porte que sur des 
phénomènes objectifs et sur leurs oscillations, et ne peut sans 
un arbitraire inconcevable, être étendue à des oscillations de 
phénomènes objectifs, surtout avec cette notion souvent obscure 
et arbitraire aussi du type. 

Toutes ces réserves étant laites, on peut voir quelle faible portée 
peut avoir l'application scientifique du calcul des probabilités des 
erreurs : elle se limiterait à la probabilité d'une erreur systématique 
dans une série d'évaluations, d'une grandeur supposée identique 
et constante dans le temps, ce qui n'est déjà qu'approximatif ('). 



(') Parfois l'oi-rt'iir prol)ahIe m; sort qu'à liiiiilt'r le nombre des iiiiilôs décimales 
d'une approximation, quelle que soit l'insullisance théoi'ique du calcul, on peut 
reconnaître que sa portée pratique n'est jjas alors dangereuse. 



ii4 -V. VASCIIIDE ET H. PIÉBO.X 

Et enfin il y a lieu, même dans ses limites, de ne pas oublier 
que ce calcul repose sur des postulats qui ne sont pas toujours 
vérifiés : nous aAons signalé le postulat de Gauss de la movcnne 
considérée comme la valeur la plus probable. Il y a deux autres 
postulats, l'un qui consiste à admettre que les erreurs fortuites, 
c'est-à-dire inconstantes, car c'est le seul terme d'opposition 
avec les erreurs systématiques, ne peuvent pas dépasser une 
certaine limite, et restent dans le voisinage de l'erreur probable, 
dont la mesure n'est peut-être pas très exacte, le second, que 
les erreurs tendent h se compenser mutuellement, sans s'ajouter 
dans un sens ni dans l'autre. 

Nous avons dit que la mesure de l'erreur probable n'avait pas 
une certitude a priori bien grande. Or, en appliquant la théorie 
des moyennes, et, par extension du postulat de Gauss, en consi- 
dérant la moyenne des erreurs, des variations (indépendamment 
de la moyenne générale) comme l'erreur probable, on constate 
(i priori que cette mesure diffère très souvent et parfois d'une façon 
très considérable de l'erreur probable mesurée par la mo venue 
des écarts relatifs à la movenne avec le coeUîcient du calcul. 

M. Binet a été victime dune absurdité due h son ajqilication, 
que nous avons relatée, du ciilcul de probabilité des erreurs : 

11 a mesuré, et cela est très louable, son erreur movenne de 
mesure, en faisant à des intervalles plus ou moins éloignées, des 
évaluations de la même mesure. Il a trouvé une erreur moyenne 
de i"""8;en supposant que les variations se produisent également 
dans les deux sens par rapport ii la movenne, il faut en prendre 
la moitié, c'est-ii-dire o'""'^. D'autre part il appli(juc la foiinule 
de [)i(d>abililé des erreurs dans l'écart des tleux luovennes 

e(/). t= "^^'^' . 

Va il trouve une probabilité de jo p. loo pour (pu' li-cai'l fju'il 
a trouv('' enli'ç la uionciuu' des mesures du diamèh»' iionlal 
niiniiiiuiii s(nl un écart rc'-el dû :i hi matière ohseixci', et non aux 
«onditions subjectives, fortuites d'observation. 

Or quel est cet éciut : ()""";(; ('). 



(') Him;t p. I»)'). UijiiiKlir lintiliil iiiiiiiiiiiiiii. Iiilillipiiis : ni{">"'uo. 

Iiiiiilcllig-i'iits : mu'"" 3;. 



LES APPLICATIOSS DU CALCUL DES P H O II A li I LI TE S lo 

Cet écart est donc inférieur à l'erreur moyenne observée (o^^q). 
Cela suffit pour condamner les conclusions de M. Binet pour 
cette mesure, et la foi-mule de calcul des probabilité des erreurs. 

Il est étrange que M. Binet n'ait pas été frappé de cette absur- 
dité évidente et qu'il ne l'ait pas signalée. 

Aussi félicitons-nous vivement M. Bourdon qui, faisant appel 
aux probabilités dans une étude de psychologie, procéda par 
une recherche expérimentale de leur valeur au lieu de faire 
appel à des formules mathématiques du calcul. 

Pour déterminer dans des recherches sur l'association, la pro- 
babilité pour que deux phénomènes consécutifs, pris au hasard, 
se ressemblent, il a ouvert des livres, et a considéré chaque fois 
le premier adjectif, substantif ou verbe qu'il rencontrait, sur la 
première ligne de la page de droite, et renouvelant un très grand 
nombre de fois ces expériences de consécution, il a dressé un 
tableau expérimental des ressemblances phonétic[ues, graphiques, 
ou syllabiques constatées, dont il a établi la proportion. Et il a 
pu comparer le tableau obtenu dans ses expériences sur 1 asso- 
ciation avec celui-là. 

Si la théorie de la probabilité des erreurs est vraiment enta- 
chée d'une impuissance pratique, il en est de même des notions 
qu'on prétend en tirer, de précision et de poids. D'ailleurs la 
mesure du poids paraît assez livrée à l'arbitraire. Nous voyons 
un astronome, dans une thèse toute récente, après avoir donné 
une détermination des poids ajouter : « Toutefois, on ne peut 
accorder une confiance trop absolue aux nombres ainsi détermi- 
nés. Il est certain, en effet, que dans l'appréciation si délicate 
du poids, beaucoup de circonstances inconnues doivent échapper 
au calcul. D'ailleurs les différentes méthodes employées par les 
astronomes qui se sont occupés de la formation d'un catalogue 
montrent que cette détermination est toujours quelque peu livrée 
au sentiment de chacun. Nous avons donc suivi les coutumes 
habituelles en nous laissant, dans l'évaluation du poids, une 
certaine latitude ('). n 

Enfin nous ferons remarquer que les observations que nous 



(') Joanny Lagrlla. Elude sur les occultations d'amas d'étoiles par la lune, arec 
un catalogue normal des Pléiades. Lyon, Ruj, in-8, 1901, p. 5o. 



ii6 -V. VASCIIIDE ET H. PIERON 

avons faites aux bases mathématiques de cette théorie et à ses 
postulats ont été présentées déjà par Bertrand. « La règle des 
moyennes, dit-il, il importe d'insister sur ce point, n'est ni démon- 
trée, ni exacte (^). 

D'ailleurs « l'application du calcul des probabilités à rétiide 
des erreurs d'observation repose sur une fiction dont il ne fau- 
drait pas faire une réalité. Les erreurs sont supposées tirées au 
sort dans une urne dont la composition est définie par la loi de 
probabilité acceptée (") ». 

Ainsi la théorie de la probabilité des erreurs très sujette en 
elle-même à la critique, pleine de postulats et d'approximations 
rencontre dans l'application des diflicultés insurniontablt>s, et 
n'aboutit à aucune conclusion certaine. Partout on peut introduire 
de l'arbitraire, jusque dans le calcul, à plus forte raison dans sa 
pratique. Les conditions exigées sont irréalisables, l'élimination 
complète des erreurs systématiques n'étant jamais certaine. Il 
n'v a pas adéquation à la nature qui ne reste pas identicjue dans 
le temps. Et au terme on ne suit si les résultats doivent s'inter- 
préter dans le sens d'une réalité objective des faits observés, ou 
d'une perturbation constante des méthodes et des instruments 
d'observation. 

Mais, i> côté de cette application du calcul de probalnlités ii la 
vérification scientifique en quelque sorte, il y a une application 
plus importante d investigation et tic recherche. Elle porte, ikmi 
plus sur la question de l'existence dun substrat réel de variations 
apparentes observées, mais d'une cause elliciente de phénomènes 
constatés. 

A quelles conditions le calcul des probal)iIités sera-l-il ici 
applicable ? 

Nous ne reviendrons pas sur la théoi'ie mathcuiatiqur eu elle- 
même, SCS approximali(»ns cl ses postulats UH-vitablcs. 

En la supposant exacte. (juC\ij^e-t-cllc pour conscrvei' cetli> 
exactitude .' 

11 y a deux conditions essentielles lecjuisi'S : 

i" l-n très «iraud nombre de cas; 



(') liKHTHANO. ]). I II). 
(•) !</., p. -ilt. 



LES APPLICATIOyS DU CALCUL DES PROBABILITES 117 

a° L'égale possibilité des cas. 

1° Il faut un très grand nombre de cas. Or que de fois Ton appli- 
que le calcul des probabilités à un cas isolé. Nous en avons mon- 
tré un remarquable exemple. Les études de Mitchell sur la 
probabilité d'une cause qui aurait produit le rapprochement de 
deux étoiles dans le ciel portent aussi sur un cas isolé et sont 
donc entachées d'un vice radical. 

Mais, dans cette loi des grands nombres, il y a une indétermi- 
nation énorme. Tous les nombres sont à la fois petits et grands : 
je cherche la probabilité d'un événement; elle est très faible; 
et s'il se produit une fois dans une année, dans un mois, dans une 
semaine ; conclurai-je à l'existence d'une cause de cet événement? 
Je puis dire que cette, semaine, ce mois, cette année sont des 
périodes trop limitées. Si j'ai une probabilité d'un milliardième, 
cela veut dire que, sur un milliard de cas analogues, l'événement 
considéré se produira une fois. 

Je puis être tombé sur cette milliardième fois. Il faudra que je 
m'assure que sur un milliard de cas analogues, l'événement ne s'est 
produit qu'une fois; et encore cela pourra paraître insufiisant : 
dans un milliard de séries d'un milliard, l'événement doit arri- 
ver un milliard de fois; mais il y a des écarts d'autant plus grands 
en valeur absolue que les nombres de cas sont plus élevés. Je 
pourrai avoir plus d'un milliard d'événements; ils pourraient se 
trouver parfois réunis plus particulièrement en certaines séries, 
être plus particulièrement disposés dans d'autres. 

Donc, dans ma série d'un milliard, je pourrai me trouver en 
présence d'une de ces séries anormales, et rencontrer plusieurs 
fois l'événement. Remonterai-je à un milliard de ces séries, le 
même raisonnement viendrait encore, où s'arrêter? Et les écarts 
croissant en valeur absolue à mesure, ils vont, eux aussi, se 
perdre dans l'infini, en sorte que la précision semble s'enfuir et 
s'éloigner de plus en plus à mesure ([u'on croit l'atteindre, ou 
s'en approcher davantage. 

En tout cas le calcul des probabilités exige un nombre de cas 
plus considérable la plupart du temps ([u'il n'est possible au 
savant d'en observer : des vies seraient insuOisantes ii des obser- 
vations de ce genre, surtout pour les événements ii probabilité 
très faible et à très grande probabilité de cause. 



Ii8 .V. VASCHIDE ET H. PIÉRON 

Voici une probabilité pour l'existence d'une action télépa- 
thique ; cette probabilité est énorme. Le nombre de cas est-il très 
grand; il est relativement très faible, surtout eu égard a ces 
chiffres. 

On fait une enquête dans un milieu limité, et portant sur des 
faits passés; on demande de répondre « oui » ou « non » pour 
l'existence antérieure, dans des limites très vagues, de l'événe- 
ment en question : une hallucination télépathique ! Puis on lait 
le rapport des « oui » aux « non » comme de deux quantités 
complètes. Il est de toute évidence que scientifiquement cela est 
sans valeur. Prenez un milieu considérable, d'au moins un mil- 
lion de personnes ; observez-les pendant un an, avec des niovens 
sérieux de contrôle, et comptez les événemenls en question. 
Etablissez ensuite leur probabilité et comparez au nombre total de 
cas observés : un événement d'une probabilité d'un millionième 
pour un jour, doit arriver une fois par jour pour un million de 
personnes. Ce n est qu'avec des nombres suffisamment grands 
et vraiment complets et une observation rigoureuse que l'on 
pourra songer à utiliser le calcul des prol^abilités, Mais esl-ce 
possible ? Evidemment non. 

2° Egale possibilité des cas. 

Mais cela serait encore peu de chose, et les difficultés soule- 
vées ne sont rien auprès du second réquisit de l'application du 
calcul des probabilités à la recherche des causes. 

Pr»ur que des cas puissent être comparés et sériés, pour ipiils 
puissent rentrer dans un calcul de probabilités, il faut que leur 
j)robabilité respective soit compli'tement définie, (ju'ils pi(''sen- 
tent une égale possibililt', ou du moins une possibilité ([iiaulilice 
pour être comparable. 

Or cela est-il léalisé dans la (jucstiou .' 

L'exemple type est celui des boules dans une urne : mais cela 
suppose uni' identité absolue des diff'érentes boules, (jui ne peut 
dans la nalui-e être parfaitement réalisée, sinon comme une con- 
ception et cfimrne un rêve, jamais en lait, delà supj)oserail 
nièiiie une idiiilitc ;ibs(ihie de posilioM. ce nui est absui'de. Nous 
disons (pie les dilIV-rences de positictii sont des causes perluiba- 
Irices, car (|ue](|u'uii, (pii, au moment (bi tirage, veiiait la posi- 
tion respective (b'S boules, pouriail dans une cerlaine mesure 



LES APPLICATIUSS DU CALCUL DES 1> KO H A IS I LUI E S 119 

prévoir la nature du tirage. Mais on répond par le postulai do la 
compensation des difl'érenccs qui peuvent ainsi se produire, 
grâce aux grands nombres. 

Si des boules dans une urne ne peuvent déjà répondre parfai- 
tement aux réquisits du calcul qui réclame l'identité et l'indiffé- 
rence mathématique, comme la géométrie réclame des points, 
lignes et surfaces irréalisables dans la nature, h plus forte raison, 
quand on complique \eô données, s'éloigne-t-on de ces conditions 
essentielles, et on s'en éloigne d'autant plus que la complication 
devient plus grande. 

Or, dans les sciences les plus simples, on ne lait pas appel au 
calcul des probabilités pour l'investigation des causes, car on 
peut arriver à les découvrir par des méthodes directes. C'est 
donc dans les sciences très complexes, où ces méthodes directes 
échouent souvent, que l'on voudra l'utiliser comme méthode. 
Mais l'égale possibilité des cas réclamée très énergiquement par 
Laplace ne sera plus, même approximativement, appréciable. La 
quantification n'en est plus possible. 

Prenons les faits psychologiques. Pour que deux cas soient, 
sinon identiques, du moins comparables, il faut que toutes les 
circonstances accompagnant le fait, et les conditions du fait 
puissent être quantifiées comme les conditions d'apparition des 
boules tirées dans une urne : c'est dire qu'il faudra quantifier 
les rapports temporels, spatiaux, physiologi([ues, affectifs, qu'il 
faudra quantifier le passé psychologique de l'individu, et d'autres . 
circonstances ignorées ; il faudrait quantifier l'inconnu et l'iu- 
quantifiable. Il faut absolument renoncer à une pareille préten- 
tion. Donc, toute application du calcul des probabilités à des 
sciences complexes, et, a vrai dire, à toute science, car toute 
science est complexe, est illégitime, car elle ne répond pas aux 
réquisits du calcul, même d'une façon approximative. 

Vous faites une enquête sur les hallucinations télépathiques. 
Rendez-juoi vos cas comparables. Si vous ne le pouvez pas, alors 
ne les comparez pas, considérez-les individuellement, c'est-à- 
dire renoncez à leur appliquer la formule du calcul des proba- 
bilités. 

Ce qui est vrai des sciences psychologiques le sera donc encore 
plus des sciences sociales, d'autant qu'ici apparaît un élément 



lao V. VASCIIIDE ET H. PIEROS 

nouveau de complication, la valeur du témoiguage, appréciée 
elle aussi par le calcul des probabilités. Quelle est la probabilité 
du mensonge ? 

Aussi ceux qui appliquent les probabilités aux résultats des 
enquêtes, et prétendent compromettre en leur faveur les proba- 
bilités feront bien de méditer ces lignes de Laplace que nous 
leur mettons sous les yeux : 

« Ainsi, dit-il, les puissances successives d'une fraction 
moindre que lunité diminuant sans cesse, un événement qui 
dépend d'une suite de probabilités fort grandes peut devenir 
extrêmement peu vraisemblable. » 11 y a « dégradation de la 
probabilité des faits lorsqu'ils sont vus h travers un grand nombre 
de générations successives : plusieurs événements historiques, 
réputés certains, seraient au moins douteux, si on les soumettait 
à cette épreuve ». 

« Dans les sciences morales, où clKupie conséquence n'est 
déduite de ce (jui la précède que d une manière vraisemblable, 
quelque probables que soient ses déductions, la chance de l'er- 
reur croît avec leur nombre et finit par surpasser la chance de 
la vérité ('). w 

Puis, parlant de la probabilité individuelle de vérité ou de 
mensonge, ([ui est rapportée ii la probabilité du hiit raconté, un 
fait impossible donnant certitude du mensonge de cehii (jui le 
rapporte, Laplace déclare : « En étenchuit cette conséquence à 
tous les laits extraordinaires, il en résulte que la proinibililé de 
l'erreur ou du mensonge du témoin devient d'autant plus grande 
que le fait attesté est plus extraordinaire ("). » 

Ainsi donc, de la très laible probabilité de coïncidence entre 
une hallucination et une mori, un probabiliste comme l.aphice 
aurait pu conclure, non pas ii lexistence dune aelion télépa- 
thi([uc, mais a la mauvaise h)i (hs personnes iiilei logces. 

Nous retrouvons j)our la probabilité des causes la même anibi- 
guilé dans l'interprétation des résultats (jue poui- hi probabilité 
des erreurs : laut-il lapporler les chilIVes ;i un j)hi-n()inène 
objeclil ircl, dans les événenii-nls (tltscrvcs, on ii un deJaut syslé- 



(') Laplace. Essai /)fti/<>s<>/i/iii/iif mi/ Irx iiii>hiil>tlilri. I'iiri>. iMi), i «d , in s p, i ">, 

(»)/</., p. 14';. 



LES APPLICATIONS DU CALCUL DES P ROB A li I LIT E S 121 

niatique des instruments et des méthodes, ici le mensonge dans 
les témoignages. 

Voilà une conclusion probabiliste qui ne serait pas laite pour 
plaire à nos probabilistes nouveau jeu. 

Ainsi la probabilité des causes est encore moins applicable 
que la probabilité des erreurs. Non seulement les résultats ne 
sont pas toujours certains, mais les conditions requises ne peu- 
vent être réalisées, et surtout dans les sciences les plus com- 
plexes, où l'on est le plus tenté de faire appel à ce calcul. Les 
grands nombres présentent une condition insuffisamment déter- 
minée, et dépassant en tout cas la plupart du temps les forces 
humaines ; Tégale possibilité des cas, ou sa quantification, est 
([uelque chose d'absolument irréalisable, particulièrement dans 
les sciences psvchologiques et dans les sciences sociales, où 
s'ajoute encore l'élément de probabilité du témoignage. 

Toutes les applications du calcul des probabilités s'évanouissent 
donc définitivement et sans recours quand on les examine d'un 
peu près (^). 



Chapitre VI . — Conclusion. 

Le calcul des probabililés comme méthode scientifique. — Ses avantages et 
ses causes d'erreurs. 



Ce qui reste du calcul des probabilités, ce sont les probabi- 
lités simples, dont on peut dire, avec Laplace, qu'elles ne sont 
« que le bon sens réduit en calcul ». 

En fait, nous nous conduisons la plupart du temps dans la vie 
par des probabilités, et souvent par des probabilités subjectives 
(jui gagneraient à une quantification par laquelle elles perdraient 
peut-être de leur poids, mais cette quantification n'est pas pos- 



('1 On Irouvail nombre dobjeetions très judiiieuscs de M. Bcrtrand à lappli- 
cation du calcul des probabilités. Une démonstration systématique des lemnies 
impliqués par cette application n'a jamais été faite par lui. 

— Notons encore la remarque d'un astronome, M. Jean Mascart qui fit voir tout 
« ce qu'il peut y avoir d'arbitraire dans l'application du calcul des probabilités 
aux phénomènes naturels » eu rap[)li(iuant. Jean .M.vsc.\.rt. Contribution à l t-tutlc 
ddi Planètes lélescopiques, p. GJ. 



12-2 .V. VASCHIDE ET II. PIEROy 

sible d'une façon précise ('). On ne peut quantifier la croyance, 
parce qu'il y a toujours des éléments et des facteurs qui nous 
échappent. Une quantification alors sera tout arbitraire, et la 
croyance se fortifiera encore par le prestige des chiflVes, des 
chiffres qu'elle se sera inventés à elle-même. Mais la pratique 
n'exige pas nécessairement la certitude de la vérité. L'action 
n'est pas la science. 

En science il n'en peut être ainsi. On ne peut vivre de 
crovances et de probabilités. 11 faut des faits, il faut une certi- 
tude, il faut une vérité, provisoire peut-être, mais une certitude 
et une vérité cependant, rendant compte de tous les laits actuel- 
lement connus, sinon de tous les faits qu'on pourra être appelé 
à connaître dans l'avenir. 

11 faut donc s en tenir aux vieilles règles de la méthode scien- 
tifique, et ne pas négliger les tables de présence et d'absence 
et des variations concomitantes, pour des probabilités et des 
formules d'intégrales. On découvrira les causes réelles avec plus 
de précision et de garanties. 

Au lieu de multiplier des expériences plus ou moins bien 
faites, on s'en tiendra à un plus petit nombre d'expériences plus 
niimiticuscment conduites. On tâchera d'éliminer les crmiis le 
plus possii)le, au lieu de compter sur les compensations ([ue bonne 
dame Nature peut y efi'ectuer ; l'observation des constances dans 
les phénomènes sera plus féconde que la probabilité pour Toi)- 
jectivité des écarts. Kt si l'assertion de M. Victor Henry était 
exacte, qu'on ne peut faire de psychologie sans faire de calcul 
des probabilités, cela donnerait une Irisle idée de la valeur scien- 
lili(|U(' (le la psychologie. 

Heureusement il n'en est rien, et la j)svcliologie, comme toute 
autre science, sait lort bien s'en passer, cl clli- dnit. plus (jne 
toute autre, s'en j)asser. 

Mais il va jx'ul-êlrc un j)cu dr siioliismc ii lliruic ad iirllc. 



(') Nous n'avons pus (li^^<•lll('• lu <|iirslioii < rili(|iic cl Ini^ifinc ili< la piohaliilili- en 
f'llp-ni<'iii«', cl (li> ^cH i'aj>]ioi'ts avec la ccrliluilo. .Nous n'avons cn\isaj,'«' <|nc le 
ctèltrnl. cainihli- de Taiisscr souvcnl la valeur cvaele «le la prohahilile, ijui n'est par 
aucun nioven connu «pianliliahie. Aussi tout <<• que l'on a |)u ilire (voir par 
excniple ircxicllcnles rcinMri|ueM d IIkksciii i.i.) en fa vcur de la (|uanliliculion id<'ule 
iU\ la prohahililti ne peut \aloircn fa\cur du calcul consliluc des piolialiililés. 



LKS APPLICATIONS DU CALCUL DES P HO B A I{ l LIT K S ia3 

dans cette mathématisation des sciences complexes. La mathé- 
matique est toujours le type rêvé par les sciences ; on croit que 
les sciences de la nature ne seront vraiment des sciences que 
quand elles se réduiront à un système d'algorithmes. Et comme 
on n'est pas près d'aboutir à un tel résultat, on se hâte de s'ap- 
proprier des formules qu'on croit applicables, et où l'on voit 
briller les symboles analytiques ; et l'on se persuade que l'on 
augmente la précision de la science, alors qu'on n'a (ait que 
s'embarrasser de symboles plus ou moins incompris, très impré- 
cis, sous leur apparence de précision, avec leurs approximations 
parfois lointaines, et leurs postulats parfois contredits par les 
faits. 

Nous avons voulu faire rétléchir un peu sur les fondements de 
ces applications pour montrer où mène cet amour erroné de la 
mathématisation ii outrance. 

Et nous avons songé aussi ii l'abus pseudo-scientifique du 
calcul des probabilités que n'ont pas manqué de faire tous ceux 
qui, aux confins de la science, prétendent pénétrer au delii de 
ses limites. 

En appliquant mal le calcul, et au point de vue du calcul lui- 
même, et au point de vue de la matière qu'ils y fournissent, ils 
accumulent des chiffres auxquels ils font dire toute autre chose 
que ce qu'ils pourraient à la rigueur signifier. Et l'on ne sait 
si c'est chez certains, naïveté extrême, ou charlatanisme à 
outrance. 

Aussi, ce que nous avons tâché de faire, c'est de dessiller les 
yeux des gens sincères qui se sont laissés impressionner par la 
magie toute-puissante des chiffres, souvent incompris. ^lais, on 
ne le dira jamais trop, une science complexe qui persistera à 
user, comme méthode, de l'application du calcul des probabilités, 
même en s'attachant à ne commettre aucune erreur grossière, 
aura beau accumuler chiffres sur symboles et équations sur 
intégrales, elle n'en restera pas moins, avec son apparence sé- 
rieuse, inférieure à l'intuition vulgaire qui, pour avoir lair moins 
précis, sera toujours cependant plus exacte. Et d ailleurs 1 igno- 
rance qui prend un aspect de précision et qui s'amplifie par la 
mesure, en devenant fausse science, sera toujours plus dangereuse 
que celle qui, restant plus vague, restera plus facile à reconnaître 



124 .V. YASCHIDE ET //. PIÉRON 

et à dépister ; elle sera plus dangereuse, car elle en imposera 
davantaç^e. 

Quand donc, lorsque l'on ne sait rien, si Ton ne peut rien 
savoir, se décidera-t-on h se limiter à la connaissance de cette 
ignorance même, à ne pas chercher à abuser les autres et à s'abu- 
ser soi-même? La science ne s'accommode pas du blufl* et de la 
fausse précision. Elle réclame avant toutes choses la sincérité et 
la conscience. Que celui qui ne sait pas n'hésite pas à dire : je 
ne sais pas. Et que celui qui ne veut pas employer les vieilles 
méthodes, laljorieuses, mais fécondes, renonce à faire de la 
science, et qu'il ne fasse pas « appel au procédé des formules 
qui effectueraient sa besogne. » Enfin, laissons aux spéculations 
mathématiques le calcul des probabilités, et retournons à nos 
vieilles charrues pour continuer à labourer le champ illimité de 
la science. 

N. Vaschide (Paris). II. Pikkon (Paris). 



BIBLIOGRAPHIE 

Cette bibliographie, que nous avons lâché de rendre assez complète 
dans ses grandes lignes sans ])rétendre 1 être coniplèleuicnt, comprend 
une série d ouvrages sur les applications de la loi de Gauss à la psycho- 
physique; ceci est en effet la base de la méthode essentielle des cas 
vrais et des cas faux. En butte aux objections générales que nous avons 
faites, cette application aurait pu être directement critiquée. Nous ne 
lavons pas fait, car c'aurait été discuter les fondements même de la 
psyclio-pliysique, ce qui était trop spécial pour notre élude. Notons 
(jue y\. Marcel Foucault, dans une thèse récente de la Facullédcs Lctlres 
de rUniversité de Paris sur la psycho-physique, a pi'is à [lai-lic la loi de 
Gauss ainsi expliquée et a vivement discuté la légilimilé de celle appli- 
cation (*). Beaucoup de ses remarques nécessairement un peu spéciales, 
mais qui sélèvent parfois à une certaine généralité encore un p(m 
timide, ccjncordent entièrement avec ce (pie nous avons lâché délaitlir. 

Inntiled ajouter que ces remarques nous paraissent, par coiisécjuiMit, 
être absolument justes. 

On trouvera dans //. Laurent une bibliographie très complète des 
travaux coniMMTiant le cali-nl des pi"ol)aliililés ; la nôtre se l'élère par- 
li<'idiei'r-ineijl ;iii\ |)i( d)liiiies (|iii lions pri'-oci'Mpi'n t. 



(') Murccl FoLCACi.r. I.n p-ivi li()|iti\si(|iio in-S', Pnris, p. ^\r^Wi\. 



LES APPLICATIOSS DU CALCUL DES PROBABILITES 125 

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Berlin, 1896, X, p. 3o6. 

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tion du calcul des probabilités à l'inoculation, p. 3o5-386. 

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DoRMOY. — Théorie des jeux et du jeu de Baccara. Journal des act. fran- 
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DoRMOY. — Tlu'orio niathémalique des paris de courses. Journal des act. 
français, II et III. 

EuLER. — Probabilité dans le jeu de renconire. Histoire de l'Ac. de Berlin, 
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EuLEK. — Sur la loterie. Histoire de lAc. de Berlin, x~ôi. 

Enseij,'ncinent math. o 



126 X VASCHIDE ET II. PJEROS 

EuLER. — Sur l'avantage du banquier dans le jeu de Pharaon. Hist. de l Ac. 

de Berlin, 1774 
Faye. — Cours d'astronomie, i"''' partie, livi-e III, t. I. p. i87-a3G. 1881. 
Fechner. — Elemente dcr Psychophysik. I, p. 102. 

Fechnek. — Ueber die Méthode der richtigen und falschen Fiille in Anwen- 

dung auf die Massbestimniuugen der Feinheit oder exlensiven Eraplind- 

lichkeit des Raumsinnes. Ahliandl. d. math, pliys. Cl. d. Agi. Sachs. Ges. 

d. niss, XIII, 1884. 

Fechnek. — Revision dcr Hauptpunkle der Psychophysik, p. 49 

Fechner. — In Sachcn des Zeitsinncs und der Metliodc dcr richtigen und 

falschen Fiille, gegcn Estel und Lorcnz. Philos. Stiidieu, III, p. 12. 
Fechnek. — Koliekliomasslehre, chapitre V, 1897. 
Fermât. — Coi-respondance avec Pascal. 
Fla.mmarion. — L'Inconnu et les problèmes psychiques, chapitre IV. p. 

239-241- 
Foucault. — La psychopliysiquc. Paris, Alcan, in-8'^', 1901, p. 40. p. 327-339. 
Gauss. — Theoria motus corporum cœlestium. Liv. II, sec. 3, 1809. 
Gauss. — Theoria corabinationis obscrvalionum erroribus niinimis obno.\i;c. 

Coinmentaliones suciet rcg. scient. Gottingue, vol. IV, 1823. 
Gewatt. — The calculus ot" probabilitics. Applied to psychical Research. 
GoLDSTEiN (Ed). — Des applications du calcul des probabilités à laulhropo- 

logie. Revue d'anthropologie, -i'' série, t. VI, i883, Paris, p. ■^o.^-'iS. 
GouRÉAND. — Thèse sur l'histoire du calcul des probabilités. 1848. 
TIautesekve. — Traité élémentaire sur les prol)ahilités, in-12, i834. 
Henri (V.). — Le calcul des probabilités l'upsycliologie. Année psYchol., II, 

1895, p. 466 (publié en 1896). 
Henri (V.). — Quelques applications du calcul des probabilités à la psycho- 
logie. An. psycU., V, 1898. p. 1 53- 160 (publié en 1899). 
Herschell (G.). — Sur la théorie des probabilités et ses applications aux 
sciences physiques et sociales. Revue d'/îdinihourg, n" i83, juillet 1890, 
publié dans — Essays from the Edinburgh aud qualerly Review, in-4'^, 
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Kaemi'fe-Brlns. — Beitrag zur experimenteUe Priilungen der Méthode der 

richtigen und falschen Fiille. Philos. Stud., VIII, p. )ii. 
l^Aciioix. — 'i'iaité «'•léuientaire du calcul des probabilités, in-j", 1806. 
LAOKANdi;. — Recherches sur les s<'ries reçu n-enles. Mrin. df l .ir. de 

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Lapi.a<:u. — Ess.ii phihisopiiiqiie sur les probabilités, 4'" "''l- Paris, 1819. 
Lai'Lace. — Thi'orie analytique des probabililé-s, œuvres. Paris, in-j", 1847, 

l. VII, I. Il, ch. ". et 6, p. 3S3-44i. 
Laurent (II.). — Traité- <lu calcul des probabilitt's, in-8", Paiis, 187$. 
Lauiient (H.). — Jeux de hasai-d. Paris, in-12. 
Loin >/. ((]ari.). — Unlersuchungen iiber die AuMassung von l'erudislaii/en. 

Philos. Stud., VI, p. 26. 
]^(jKi.N/. (GusTAV). — Die .Méthode der richtigiMi und faUcJieu l'aile in ihrer 
Au>vciidun^ auf Scliallempl. /'hilos. .Stud., II |). 3y4' 



Li:s AP/'LICATIOy.S DU CALCUL DES P KO II A li l L I T U S iJf] 

Merkel. — Thcorotische und cxpcrimeiitcllc Bcgriindung dcr Fchlermctho- 

den. Philos. Stiid., YII, p. 558. 
Merrimah. — Method of least squaros, 6'- éd., New-York, 189.Î. 
MoiVKE. — Doctrin of chances, in-40, 1758. 
MoNTiNORT. — Analyse des jeux de hasard, 171 3. 
MoscH Ekich. — Zur Méthode dcr richtigen und faischen Fiille im Gebietc 

der Schallcmpf. Philos. Slud., XIV, p. 491. 1898. 
MùLLEK (G.-E.). — Zur Grundlegung der Psychophysik, ch. I à III. 
MûLLER (G.-E.). — Uber die Massbestimmungen des Ortsinnes der Iland 

mittels der Méthode der richtigen und falscheu Fiilh-. Archiw dt' Pfliiger., 

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Mters. — Das Doppel-ich. Procecdiiigs of Soc. for psych. Rcs., YI, 1889, 

p. 209. 
Ottingek. — Sur le jeu de rouge et noir (ou trente et quarante). .1. de Crelle, 

LXYII. 
Paillot(R.). — Recherches sur les forces électromotrices d'aimantation. 

Thèse Fac. des Se. de Lille, 1901, in-8'\ Lille, p. l't-'ji. 
PizETTi. — Fondamenti matematici per la triticadi resultati sperimentati, 

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PoiNCAKÉ. — Réflexions sur le calcul des probabilités. Réunie générale des 

sciences, 5 avril 1899. 
Poisson. — Sur le jeu de trente et c[uarante. Gergonne, XYI. 
Poissox. — Recherches sur la probabilité des jugements, Paris, Bachelier, 

in-4", 1837. 
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morales et politiques, 1896. 
QuÉTELET. — Physique sociale ou essai sur le développement des facultés de 

l'homme, in-8°, 1869. Appendice p. 479-49'^, t. lY, p. i33-i46. 
Rabelais. — Pantagruel,!. III, ch, XLIII. Œuvres. Ed. Gariiior, in-12. 

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Regxault. — Calcul des chances et philosophie de la Bourse, iu-S". Paris 

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RiCHET (Cn.^. — Furkcr experiments or iu hypnotic lucidity clairvoyance. 

Proc. Soc. of. Psych. t. YI, 1889, 75-82. 
ScRiPTURE. — Studies from ihe Yale ps\chol. laboratory. vol. YII, 1899, 

p. 108, in-8'^, Xcw-Haven. 
ScRiPTUKE. — Computalion of a set of simple diret incasurenients. SIdd. 

front tlic Yale psych. Lahor . , vol. ^'Ilf, igoo. 
SiDGWicK (H.). — Experiments in Ihoughl ti-ansference. /-'/•oc. o/'^■oc. Psych. 

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Stieda (I)' L.). — Ueber die Anwendung der Walirscheinlichkeilsrechnnng 

in dcr anthropologischen Statistik. Archis'. fiïr Anthropologie, Xl\,Brnun- 

schweig, 1882. 
Tailor (L.). — Expérimental comparison between chance and fhoughl 

Iransference in correspondance of diagrains. /■'/oc. of Soc. ofjtsvch. JRes., 

YI, 1889, p. 398-401-405. 



128 -Y. VASCHIDE ET H. PIÉRON 

Terquem et Damien.. — La physique expérimentale. Paris, Hermauii, in-8^, 

1888. 1" fasc. Introduction, ch. II. p. 6o-io5. 
Trembley. — Observations sur le calcul d un jeu de hasard. Acad. de Ber- 
lin, 1802. 
Vaschide (N.). — Expérimental investigations in télépathie hallucinalious. 

The Monist, 1902, vol. XII, ch. 24, p. 273-3o8-347-365. 
Wei.nstein. — Handbuch der physikalischen Maasbestimmugen. Berlin, 1886. 
rs'ous ne connaissons pas, à notre grand regret, les travaux de A'. Marhe 
et celui de M. Karl Pearson : ils nous ont été signalés récemment par le pro- 
fesseur L.-W. Scripture. 



N f ) T i; DE LA Rédaction 

L'article qu on vient de lire est publié, comme tous ceux do noti-e revue, 
sous la responsabilité des auteurs. 

Ceux-ci sont des psychologues qui jugent surtout les tentatives uiatlu'nia- 
tiques dirigées dans le domaine de la psychologie, et la bibliographie qui pi-é- 
cède montre assez qu'ils n ont pas traité le sujet à la légère. Nous croyons 
toutefois que, s'ils ont raison d'attaquer certaines applications saugrenues, 
ils ont tort de s'en prendre aux formules elles-mêmes du calcul des proba- 
bilités. C'est ce que montre M. Cailler dans deux pages publiées ci-après 
dans la Correspondance. 

rs'ous avons cru cependant que la lecture des pages écrites par ces psycho- 
logues qui se sont donnés la peine de devenir mathématiciens pouvait pré- 
senter un réel intérêt. 

Une note fort juste nous semble donnée dans ces questions par .M. Augel 
Callardo {Comptes rendus du deuxième Contrés iiiteniationul des Mathë- 
maticiens : p. 391. — Les mathématiques et la biologie). Pour cet auteur 
(I les objections ne doivent pas être adressées aux méthodes mêmes mais à la 
manière de s'en servir. » 



NOTES ET DOCUMENTS 



Cours universitaires. 

Semestre dété i9<)'> 

ALLEMAGNE 

Greif S"wald . (Beginn : ij Aprilj. — Thomé : Potentialfunktion, 
4*' ; Th. d. algebraischen Fliichen und Raumçurven, -x ; Math. Semi- 
nar^ 2. — Study: Infînitesimalrechnung I, /,, Uebungen dazu, i ; 
Liniengeometrie. j ; Math. Seniinar. — Kowalewski : Allgeineine 
Funktionentheorie, 4 ; Géométrie der Zahlen, i ; Uebungen zur Fimktio- 
nentheorie, i. 

Heidelberg. (Beginn : 20 April). — Kœnigsberger : Differential- 
und Integralrechnung, 4*' ; Funktionentheorie, 4 ; ^ïiith. Unter-u.Ober- 
Seminar. — j\I. Cantor : Anwendung der Analysis auf hôhere alge- 
braische Kurven in der Ebene , 4 ; Arithuietik und Algebra (fiir 
Kanjeralisten), 3. — Eise\lohr : Wahrscheinlichkeitsrechnung, 3; 
Mechanik, 4- — Koehleu : Analytische Géométrie der Ebene, ^. — 
Landsberg : Th. der Determinanten u. Invarianten, 4; Ausge\vahlte 
Kapitel der Théorie des Alg. Funktionen. — Boehm ; Th. d. elleptis- 
chen Funktionen, 2. — Valentiner : Bahnverbesserung einschliesslich 
spezielle Stôrungen. 

lena. (vom 20 April bis 8 Aug. i<)o'5i. — Gutzmer : Differenzialre- 
chnung mit Uebungen, 5*' ; Einliihrung in die Théorie der diff. Glei- 
chungen, 5. — Tuomae : Analylische Géométrie der Ebene, 4 ; ^lath. 
Géographie, 3. — Frece : Funklionentheorie nach Rieinann, 4 ; Math. 
Uebungen, 1. — Knope : Zeit u. Ortsbestimmung mit prakt. Ueb. auf 
der Sternwarte, 4 ; Geodiisie mit prakt. Ueb. im Gellinde, 2. 

Leipzig. — C. Neumann ; Dilferential-und Integralrechnung (b'ort- 
setzung und Anvvendungen), 8^' ; Math. Seminar, 2. — A. Maver : 
Gewohnliche DifTerentialglcichungen, '(•, Uebungen dazu, i. — lIoi.nEu: 
Anwendungen der elliplischen Funktionen, 3 ; Projektive Géométrie 
in synthetischer Behandlung, 3 ; Seminar, i. — Encei. : Analytische 
Géométrie, 4 ; Uebungen dazu, i ; Alg. Gleichungen (Forts.), 2 ; Trans- 



i3o y un: s et DOCiMi:.\'JS 

formationsgruppen ; 2. — Haxsdorff : Th. der Kurven u. Fliichen, 4 ; 
Ueb. dazu, i. — Liebmaxx ; Einfùhrung in die hohere Analysis, 3 ; 
JXichteuklidische Géométrie, 2. — Brlxs : Fehlertlieorie u. Ausglei- 
chungsreclmung, 2 ; Himmlische ^lechanik (II theil), u. — Peter : 
Bahnverbesserung und spezielle Storungen, u. — Buixs u. Peteiî : 
Pi'akt. Uebungen auf der Sternwarte. — Stuckeb : Prakt. Geoiuelrie 
mit Uebungen im Feldmessen und Nlvelliren, 2. — v. Oettixuen : Geo- 
metrischperspektivisches Zeichnen, 2. — O. Fischer : Einfùhrung in 
die math. Behandlung der Nalurw. (Anal. Geom., Dilf. u. Int. 
rechnung), 3. 

FRANCE 

Paris. ( Sovhonne). Iv Picard: l^qualions dillércntielh'-^ au point de 
vue de la ])hvsique niathématicpie, i ii. Théorie des fonctions algébri- 
ques de deux variables, i h. — E. Goursat : Equations dillerentielles, 
I h. — P. Appeli. : Mouvement des systèmes, mécanique analytique, 
mécanique des fluides, ii h. — C. \\'oLr : Astronomie. 2 h. — M. Boussi- 
NESQ : Phénomènes ondulatoires, 2 h. — M. Ka:xi(;s: Elasticité et 
résistance des matériaux, 2 h. — L. Rah'V : Equations différentielles 
et leurs applications à la mécanique et à la physique, 2 h. Conlérences 
sur le calcul iniinitésimal, 1 h. — J. Hadamaru : Conférences sur les 
cours de M. Goursal, 1 h. et de M. Picard, i h. — M. PuisEtx : Confé- 
rences de mécanique et d astronomie, Lune, détermination des hmgi- 
tudes, 2 h. — M. AxnovER : Théorie des éclipses, i h. — Iîi.utki. : 
Conférences aux candidats à 1 Agrégation. — M. .Skiîvaxt : Conférences 
de mécanique physique. 

Paris. {Mairie duJX" tuTond/ssc/ncnt). Cours de i. institut financier 

ET UE L INSTITUT »ES ASSURANCES DOXXÉS PAR LASSOCIATIOX l'IIII.O- 

TECHXiQUE. — Nous regrettons de parler aussi tardivement de ces 
cours qui fonctionnent depuis le 10 novfmhic i(jo2. Ils sont destinés 
aux personnes qui veulent se mettre au courant des théories mathéma- 
tiq\ies des opérations commei-ciales et financières et meltenl les candi- 
dats à même de subir 1 épreuve d admission à \ Institut dis tictiittin-s 
français. 

Directeurs des coui's .• MM. (ili.irliat et lîarriol. 

M. Uou.x : Comptabilité linanciére, le lundi à H heures et demie du 
soir. — M. lioXDON : Théoi'ic; et i)rali(jue des opérations dt-s graiuls 
établissements de crédit, le mardi a .S h. — M. Icii.vc : riouisc «i 
finance, le mardi à «j h. — M. Ciievai.ii;ii : l'>ct)nomie so( ialf. le mardi 
à M h. — M. lîAititioi. : Opéi-ations linaticitres à long terme, le mer- 
credi à S il. 

M. Poussin: ! liéorie des assiirancos sur la vie, le mercredi à <) h. 
— .M. Iî()si.i:ii : .Malliéniatiques piéparaloires, le j(Midi à S h. — M.Cur- 
Tl.x : MaliuMuuliques romplémetiljiires, le jeudi à \) h — M. Pi;iir : 



M)Ti:s ET DOCiMEMS i3i 

Calcul des probabilités, le vendredi à 8 h. — M. Li: V.\ssi:rii : I/assu- 
rance au point de vue de 1 inspection, le vendredi à «S li, — M. Lan(;e . 
Assurances niaritiines, le samedi à 9 h. — M. Deléaude: Assurances 
contre les accidents, le samedi à 9 h. 

SUISSE 

Bern. ('^i April bis 2» Juli). — .1. H. Ghaf : Besselschc Funktionen 
mit Repetitorium, 3^' ; Elliptiscbe Funktionen mit Repet, i : Funktio- 
nentheorie, -i ; Differentialgleichungen, 2 ; Differential-und Integral- 
rechnung, -i ; — Graf u. Huber : Mathematisches Seminar, 2. — Guaf 
u. Moser : ^lathematischversicherungswissenschaftliches Seminar, i. 
— HuBER : Sphiirische Astronomie (II Teil), 2 ; Einleitungin die Théo- 
rie der alg. Fliichen, a. — Sidler : Ueber Ellipsenbogen, deren Diffe- 
renz rektitizierbar ist, -2. — Ott : Dilferentialrechnung, 'j.; Analytische 
Géométrie, 2. — Bexteli: Elem. d. darst. Géométrie, 4; Praktische 
Géométrie, mit Ueb. auf dem Terrain, 3. — ]Moser : Die Intensitats- 
funktion und ihre An\vendung zur Sterblickkeitsmessung (i-a st). — 
Crelieu : Géométrie synthétique dans l'espace, 2. 

Genève, (du <S avril au i "> juillet). — C. Cailler : Calcul difTérentiel 
et intégral, 3 h. ; ^Mécanique rationnelle, 3 ; Conférences d'analyse 
supérieure, j.. — H. Fehr : Théorie générale des équations, 2 ; Géo- 
métrie descriptive, 1. — C. Cailler et H- Fehr : Exercices pratiques 
de Cale. diff. et int., j. ; d'Algèbre et Géométrie supérieures ; de Méca- 
nique rationnelle 2. — R. Gautier: Astronomie théorique, 2; Météo- 
rologie, 2. — D. MiRiMANOFF : Le problème de Dirichlet. 



CHRONIQUE 



Le Congrès international des sciences historiques à Rome. 

En avril prochain se tiendra à Rome un congrès d'Histoive des 
Sciences sous le patronage de S. M. le Roi d'Italie. Des sections parti- 
culières sont réservées aux mathématiques, à hi physique, à l'astrono- 
mie, à la géodésie. Les invitations ont été lancées avec les signatures 
des professeurs P. Rlaserna, V. Cekiîuti, V. Volteuu.v, P. Gi.vcosa, 
G. LoRiA. Pour participer au Congrès il est nécessaire d'adresser 
l'adhésion au Secrétaire général du Congrès, Palazzo ciel Collegio Romano 
(via Collegio Romano, u6). L'inscription est de ij francs. Moyennant 
40 francs on obtiendra le titre de sociétaire fondateur du Congrès. 

Ces détails matériels étant donnés, nous pouvons ajouter que ce con- 
grès s'annonce comme devant être des plus intéressants ; bon nombre 
de communications ont été déjà annoncées par MM. Cantor, Favaro, 
Geloria, Vacca, Vuibert, P. Tannery, G. Loria. Des rapports seront 
faits sur des thèmes choisis par le comité d organisation, 1 un de ces 
thèmes touchant à l'introduction de l'histoire des sciences dans TLnsei- 
gnement supérieur. Il y aura également une conférence sur l'histoire 
générale des sciences, à laquelle sont invités tous les meml)res du con- 
grès, qui sera faite par M. 1^. Tannery avec la haute compétence ^\\\ ou 
lui connaît. D'ici à louverlurc du congrès, ce programme ne pouvant 
que s'augmenter, on voit combien la tenlalive promet d être licurtnise, 

Achille Goulard. 

Nous avons appris, trop lard pour l'annoncer dans notr»- numéro de 
novembre 190J1, la mort d Achille Goulard, professeur au lycée de 
Marseille. Il a succ(jmbé, dans les derniers jours d'octobre i;)0"^, à làge 
àe \i. dinii, aux atteintes dune maladie cruelle, contre hupiclle il hiUail 
depuis plusieurs années avec une énergie, hélas ! inutile. C'était un pro- 
fesseur excellent, dévoué à son enseignemeni autant ipi On jx-ut l't'-li'i', 
et un esprit mathématique remarquablement lin cl oii^inal. I 11 grand 
nombre de notes, parues surtout dans V Intcnncdinirr des Mittlirninii- 
ciens, en sont la preuve et ses lecteurs déploivronl avi-c nous la perte 
prématurée de celui dont on pouvait t-ncoir lonl allrtidn- 

A <-ùt/' du professeur et du savanl, il v avail eu lui 1 liomun-, le père 
de famille, admirable de dévouemcnl <l rie conscience lin (,'xprimanl 
aux siens la pai't <prcll(! prend à leur douleur, la rédaclion de l'/ùisri- 
gncincnt Mnthriii<iiiijiii\ sait rpTelle ne peut b-ur a|>porler ni consola- 
tion, ni adoucisscniciil ; mais clh; accomplil un dcvoii- de conlraleniili' 
et dt; justice. 



CORRESPONDANCE 



A propos dun article sur le calcul des probabilités. 

Les auteurs de larticle sur les Applications du calcAil des probabilités 
à la métliode scientifique publié dans le dernier nuin«îro de V Enseigne- 
ment mathématique, (5" année, p. 3--29), à côté de nombre de remarques 
judicieuses et d'applications intéressantes ont commis quelques inad- 
vertances. Je me permets d'en relever en passant quelques-unes pour 
l'instruction de ceux de nos lecteurs qui n'ont pas le loisir de refaire 
les calculs de MM. Yaschide et Piéron. 

Ces auteurs trouvent une absurdité dans la formule approchée 

h'- 
I Imixi 



\/1-l 



tpq 



de la probabilité d'un écart égal à // sur une série de m parties. A les 
en croire, le bon sens indique que, // restant fixe et m croissant, cette 
probabilité doit croître toujours, au lieu que la formule après une 
courte période de croissance passe par un maximum puis diminue 
constamment. Bien qu'ils ne présentent pas leur objection avec toute 
la netteté désirable, ils paraissent admettre que le soi-disant paradoxe 
provient de l'approximation insuffisante de la formule de Slirling et des 
simplifications employées pour obtenir la foramle précédente. Or il 
est aisé de montrer que le maximum existe encore dans la formule 
rigoureuse. Par exemple, en jouant is parties à rouge ou noire, la 
probabilité d'un écart // au profit de la rouge, autrement dit la proba- 
bilité de voir la rouge sortir (s-\-h) fois et la noire [s — //) fois seule- 
ment est 



[S-^lt]\[S — h]\ 



Si s augmente d'une unité la valeur précédente se multiplie par le 
facteur 

(2s4- i)(-i.s-f-a) I 

(s+i+/0(.s+i-/0 4 ' 

ainsi, lorsque s est plus petit que -xli- — i, la probabilité d un écart // 



i34 CORnESPO.\DA.\CE 

augmente avec s, tandis que si s a dépassé (2//- — 1), cette probabilité 
décroît et même va jusqu'à zéro quand s va à l'infini. 

Xon seulement il n'y a rien là de contraire au bon sens, ainsi qu'on 
peut s'en convaincre par l'examen de petits nombres s et /;, mais le fait 
même de la diminution de P avec s est en parfaite harmonie avec le 
théorème de Bernoulli. Si la probabilité d'un écart égal à // augmen- 
tait sans cesse avec s, il en serait de même pour la probabilité d'un 
écart absolu plus petit qu'un nombre lîxe quelconque et l'on ne serait 
pas autorisé à conclure que l'écart absolu augmente sans limite avec le 
nombre des parties. En outre, le maximum de la formule approchée cor- 
respond, dans le cas présent, à la valeur ',/<- du nombre /«, tandis que 
le maximum de la formule exacte donne, comme on vient de voir, m = is 
= 4/'' — '^- La faiblesse de l'erreur relative pour Ii tant soit peu grand, 
est de nature à accroître la confiance accordée à la formule approchée. 

Je conclus que les deux formules 

I liiiiM/ / h \ 

Pt= e et P.,=:e(-==) 

V/2/»/jr/ - \\ impii I ' 

bien que non équivalentes, sont exactes lune et l'autre au moins en 
première approximation : la première donne la probabilité d'un écart 
égal kli, la seconde la probabilité d un écart plus petit que //. 

Un autre point appelle encore une critique. Aussi bien rien n est 
plus instructif et ne mot mieux en évidence ce qu'il y a de vague dans 
les principes du calcul des prol)al)ilités et de décevant dans ix-aiicoup 
de ses applications, que les divergences d apprécialiou (pii se pro- 
duisent à propos des problèmes les plus simples. 

Ainsi nos auteurs prennent à partie M. Poincai-é au sujet du pro- 
blème de rouge et noire et ne combattent que mollement roj)iniou des 
joueurs qui mettent sur la noire après la sortie de six l'ouges consécu- 
tives. M est-ce pas là cependant supposer de la mémoire à la roulette, 
lui prêter des intentions .' 

Après l'apparition de six rouges il faut, pour savoir si la série est 
ilose, jouer un septième coup. Nos joueurs, si du mt)ins ils se doniuMit 
la peine d'analyser l(;urs impressions, parlent donc de l'idée (jue les 
séries de six rouges suivies duiu; noire sont plus fi'é(|uenles <jue b's 
séries de sept l'ouges. Or si l'on admet la piobabilité de la sortie dune 

rouge ou d'une noire soit — , toute succession ibuinée de ces couleurs, 

eelle-ii par exemple : roujre, noire, noire, noiie, ron;'e. iioii'e, rou^'e, 

a une probabilité é^jale à — — . .\insi la sortie de ces denx coiileui-s dans 

1 ordre indiqué est aussi probabh; <pM' celle de toute autre succes>^ion 
et sera, en pratique, aussi rari; «pu; la sortie de sept rouges de suite, 
.le tU' vois pas ce tpi oti peut oltjeiier de londé à ce raisonneineni . 

('. (Iailli^k (Genève). 



COni{FSPO.\DA.\CE liî 



I. Sur les formules de Bonnet, Enneper et Kommerell. 

La foiMiiule de Bonnet : 

X _, diM ( i I \ . , . 

it - . - =: sin ^ cos 'J II 

K ds \ p, p, / • • ^ ' 

<jui détermine la torsion géodésique de toute courbe d une surface, 
comprend, comme cas particuliers, celles à' Enneper pour les lignes 
asymptotiques : 

et de M. Kommerell pour les géodésiques (^Arclnv dcr Math, und Pliy- 
sik, y Reihe, B. I, S. 116-7) : 

.-H'-=lf-t)(77-f)^ <^' 

mais cette circonstance apparaît bien plus clairement, si Ion donne à la 
formule de Bonnet (i) une autre forme. En effet, éliminons o entre (i) 
et l'équation : 

cos M cos'-o sin-o 

I — I I ' I ' 



on a : 



I ■ T f ^ ^ \ ^ ^''^ ^^ " [ ^ ^ \ 

d'où la formule (i) se transforme en la suivante : 

/ I , du) \"- / cos oj I \ / I cos (u \ , „ 

(■R-'d7)={-i — :^)- {---r~)' ^'^ 

sous cette forme, on voit tout de suite qu elle comprend la tornmle (2) 
pour OJ = -^. et la lorinule {')) pour oj;=:o. Plus généralement, pour 
les coui'bes w = ('onst., elle devient : 



R^ 



■)(77-^)- <■"' 



Enfin, pour les lignes de courbure, elle donne le théorème dit de 
Lancret : 

I , du) 



i36 CORRESPOXDANCE 

A propos de la démonstration des formules (i), (2) et (3), je voudrais 
observer que la manière la plus courte de la faire, c'est de partir des 
équations : 

CCS 10 r= r===;^=^ 

V'i +/>-+</- 

ou : 



x = 



^«z 



V^'i+p'+r' ' v^i+z^' + r \/^ + p- + q- 

uu enfin : 

^- -P -n-- ^^ — ■ ±^ 



v'i+/'-+'7' v^i +/'■-+'/" ' vi + p' + r 

respectivement, que Ion dilférentie et ajoute. 

■2. Remarque sur les lignes de courbure. 
Dans toute ligne de cr)urbure on a : 



d où : 



dautre part 



Donc 



et de même : 



I dit) 

ir ~ ~ ds ' 






Pj cosio zr: p. 







CCS 

I 

?1 ?' 

> (Juiind ht trujectnirc d un iiiohilr est phnie, l liûdogrnj)hc I est iius^n, 
t/ur/ tjur suil Ir /uouif/ncnl, car de la rt'latinii : 

Ax-\- liy + C: -f 1) :_ o, 

on lire : 

dx , ., dr dz 

A — T— -f- B —p— -r (. —7— =: o ; 
dl ^ dt dt 



COURES royoA .\ce 



i37 



réciproquement, si l'/ioclograp/ic se trouve dans un plan passant par 
l'origine, la trajectoire est plane, car de : 



dx , ^ dy , ^ dz 

A — ; \-B - , -f C —y- = o 

dl ' dt ' dt 



on trouve 



A.r + Bv 4- C: 
4. Dans le mouvement central on a : 



et la trajectoire est plane. La trajectoire est aussi plane (mais dans un 
plan qui ne passe plus nécessairement par l'origine) quand on a : 



(c'est-à-dire quand le moin'ement sur l'hodographe est central); 
car on trouve : 

y'x'" — -ï' j'" ^ o, ctc . 
d'où : 

yx" — x'y" =z C, z'y" — y'z" = A, x'z" — z'x" = B, 
et : 

Ax' -\- Bj' -)- C:' =: o, 
et par conséquent : 

Ax + Bv + G: = D. 

Juin 1902. N. J. Hatzidakis (Athènes), 



Sur le théorème du carré de l'hypoténuse 

Le carré CDEB = a- construit 
sur l'hypoténuse BC du triangle 
rectangle ABC est égal à la surface 
du carré AJHG^(c — bï-, plus les 
quatre triangles rectangles égaux 
ABC, CDJ, DHE, EBG. 

Les carrés ABFI = c- et DKIJ 

=: b- ont également pour surface 
AJHG= (c — b)-, plus les quatre 
triangles rectangles (égaux à ABC) 
DKE, DEH, EFB etEGB. 

La somme des surfaces de ces 
deux derniers est donc bien équi- 
valente à celle du carré construit sur l'hypoténuse. 




L. BAiinÉ. 



i38 CORHESPO.\DA.\CE 



Sur une question de convergence 

Dans le débat engagé entre M. Barbarin et moi, au sujet dun théo- 
rème sur un quadrilatère birectangle, {L'Ens. Math., 1902, p. 3 ',3-^46 
et 438-444)5 il s'agit de savoir si une certaine suite de distances, comptées 
sur un même côté du quadrilatèi'e, peut-être convergente ou non. 
M. Barbarin dit oui, moi je dis non. 

Pour justifier sa manière de voir, mon distingué contradicteur 
s'appuie tout d abord sur l'atomisme géométrique de M. Bonnel. Ce 
simple fait me suggère déjà une réflexion. 

Je sei'ais curieux de savoir si M. Barbarin, qui utilise si adroitement 
l'atomisme bonnélien contre ma démonstration du postulatum d'Euclide, 
admet celle que M. Bonnel prétend donner du même postulatum i>.u 
moyen du même atomisme (^) S'il ne l'admet pas, comme il est probable, 
comment la réfute-t-il ? Et s'il l'admet, comment explique-t-il qu'une 
théorie capable, à ses yeux, de démontrer le postulatum, soit capable 
également de démontrer la fausseté d une proposition qui est certaine- 
ment i'raie si le postulatum est démontré ei de laquelle, pourvu qu'on la 
démontre avant le postulatum, on peut faire dépendre la démonstration 
de celui-ci ? 

Quoi qu il en soit, admettons pour le moment, avec M. Ijonnel et 
M. Barbarin, la notion d'atome linéaire^ c'est-à-dire la notion d'une lon- 
gueur qui, sans être nulle, serait cependant plus petite que toute longueur 
assignable. 

Rapprochant de cette notion l'exemple classique des polygones régu- 
liers convexes de n côtés, inscrits et circonscrits à une même circon- 
férence, M. Jjarbarin pose en principe que les distances successives 
AE, EG..., peuvent décroître constamment. 

Faisant ensuite rh3pothèse que 1 une de ces distances \'X est égab- à 
l'atome linéaire, jl en conclut que la distance suivante XX' « ne saurait 
exister » c'est-à-dire doit être nulle. 

J'observe tout d'abord que cette coiulusion au sujet de XX me parait 
didicile à corunlier avec un fait accepté par M, Barbarin, à savoir: 
([u aucune des dislances AE, I^G..., « ne peut être rigoureusement 
nulle, en vertu de la construction employée. » 

Je rappelle ensuite qu' « en vertu de la construction empbiyée », la 
valeur des distances AE, EG..., est commandée par ccMf des angles 
AGI), EEI)..., et (pie, par suite, une hypothèse sur la vah'ur des dis- 
lances n'est aci-eptable (pie si elle est compatible a^•cc lu valeur des angles. 
dette remaivpic faite, supposons, je le veux bien, (pic YX soit égal à 
l'alume linéaire. Gela revient à dire (pie \'X, si petit soil-il, n'est pas 



(').!• H(J>i.M.l.. Af' iiloiins il lii/f/ul/iises dans la Gcvmiti if , p. 7S t-l 11 J ; La (;eo- 
nn'li ir titnmit/uc raliunufllf, \t. (ii». 



COHH E S l' O A' D A .V C E 



1^9 





-itr 


X\i 


' ' 1 ' . 



nul. Donc XY ne coïnfide pas avec >VY. On a donc un triangle X\'Y 

re<-tangle en ^', exigeant par conséquent que l'angle VXY soit «/^'«. Kt 

voilà parle fait anéantie la conclusion de M. lîarbarin, affirmant que 

XY est perpendiculaire roin/imne à AB et 

à CD. — L'angle ^'XY étant aiofu, il s'ensuit 

(je crois inutile de 1 expliquer avec plus de 

détail) que f angle XY'D est obtus. DoncX'Y', 

perpendiculaire à CD en Y', ne coïncide pas 

avec XY', et par suite XX' ne peut être nul. 

11 faut donc, d'après les principes mêmes 

de l'atomisme bonnélien, que XX' soit au moins égal à Vatoinc linéaire, 

c est-à-dire à VX. 

Ainsi s'évanouit l'objection de M. Barbarin, fondée sur l'In/pothcse 
que XX' peut être moindre que VX. 

Quel que soit, par conséquent, le crédit que mérite le singulier ato- 
misme de M. Bonnel, la démonstration de mon théorème n'en peut 
recevoir aucune atteinte. 

Me voilà donc bien à l'aise pour déclarer maintenant c(ae je repousse 
absolument une théorie d'après laquelle, pour une valeur de n sufhsam- 

ment grande, mais finie, l'expression — ne peut diminuer sans S an- 

n 

nuler. J'estime qu'une pareille condition suffit pour juger, je veux dire 

pour condamner la théorie qui l'exige. 

Mais alors, impossible de contester, avec M. Barbarin, l'exactitude 
de cette assertion : ce II n'}' a que les longueurs pouvant devenir nulles 
dont on puisse dire qu'elles peuvent tomber au-dessous de toute lon- 
gueur assignable. » 

Impossible également de soutenir, avec M. Barbarin, que la diffé- 
rence P — p des périmètres de deux polygones réguliers convexes de n 
côtés, l'un circonscrit, l'autre inscrit à une circonférence de rayon H 
peut « tomber au-dessous de toute longueur assignable» sans «jamais 
devenir nulle ». C'est contradictoire, comme on peut en juger par la 
formule 

[ P/)2 



■p 



■x\\ (2/iK + sj f^n'-W- — p^j 



Autre objection. — Elle est inspirée par les travaux de i\I. de Tilly, 
d après lesquels toute la métagéométrie peut découler de la notion de 
distance « considérée comme seule notion première intuitive. » M. Bar- 
barin veut bien en tirer d'abord la conclusion que mon théorème 
demeure vrai « dans le système usuel (euclidien) comme dans le système 
lobatchefskien ». 

C est tout ce que Je demande ! 

— Mais, poursuit mon distingué contradicteur, il n'en est plus de 
môme dans la g-éométrie de Riemann. 



i4o CORRESPO^DAyCE 

— Que m'importe ? La géométiûe riemannienne n"a rien à faire ici, 
parce que ses données fondamentales ne répondent pas à 1 état de la 
question dont il s'agit. Le compte à régler entre la géométrie eucli- 
dienne et la riemannienne est un compte à part : on le réglera quand 
sera réglé celui de la géométrie lobatchefskienne. 

Dernière objection. — C'est moi-même, paraît-il, qui en ai fourni les 
éléments en déclarant qu au fond, dans le théorème en litige, « il s agit 
de savoir si les angles correspondants successifs ACD, l'^FD..,, sont 
tous obtus ou tous aigus. » De cette façon d envisager la question, 
M. Barbarin conclut comme précédemment cjue mon raisonnement n'est 
admissible que pour les deux géométries euclidienne et lobatchefs- 
kienne. 

Encore une fois, c'est tout ce que je demande 1 

Je récuse, d ailleurs, 1 obligation que veut m iniposer mon contradic 
teur de m'assurer si les angles successifs ACD, l'^Fl), GllD..,, « obtus 
depuis le premier jusqu'au n^ inclusivement, c est entendu» sont crois- 
sants constants ou décroissants. Il me suffit de savoir qu'ils demeurent 
obtus. 

En résumé, des diverses objections de M. Barbarin, contre mon 
théorème les unes ne l'atteignent pas, les autres le coniirnu'nt plutôt, 
toutes crient en quelque sorte : il faut bien que le théorème soit bon, 
puisqu il résiste à la critique de ^L Barbarin. 

Il me reste njaintenant à répondre à une seconde critique. 

« En parlant des définitions habituelles de la droile du plan, dit 
M. Mansion (L'Iùis. Math.. i<)<)j, p. (»j), on prouve qu il (existe entre 
1 hypoténuse a et les côtés b et c d un triangle l'eclangle 1 une des 
relations 

(E) a^ = h- + c\ 

suivant que ion rejette ou que ion admet le postulat de la pai'allèle 
uni(jue, et réciproquement. 11 en résulte; que le postulat de la parallèle 
unicpie est indémontrable en se servant des définitions seules, puisque 
ces définitions conduisent à deux relations distinctes dont la seconde 
seulement a pour consécpience ce postulat, n 

l*our piévtnir toute éfjuivoque, ra])ptdons d'abord (]ne, d après les 
définitions aiixcjuelles se réfère ici ^L .Mansion, la lignt; droite est telle 
que par deux points donnés (juelconques on en //eut mener une et une 
seule. — Parlant de- là (et en admettant, bien entendu, les poslnlals 
ordinaires autres que h; postulat en liligej,le raisonneinenl de .\l. Man- 
sion serait pérernj)toire si les délinilions seules de la droile ei du plan 
conduisaient t'U'cclivcu'ent à la relation (L). Mais justement, et d après 



CORRESPOyn.iNCE lîi 

ce que dit M. Mansioii lui-ruêrae au dél»ut de sa remarque, ce ne sont 
pas les définitions seules qui conduisent à la relation (L), c'est encore 
et avec elles /a contradictoire du postulat de la parallèle unique. On ne 
peut donc pas savoir, d'après la seule relation (L), si les définitions 
seules de la droite et du plan ne contiennent pas le postulat de la paral- 
lèle unique. Rien ne sert alors d'observer que la relation (E) exige ce 
postulat. Cela signifie, en efiet, que pour obtenir la relation (Ej il faut 
ajouter le postulat aux définitions si elles ne le contiennent pas, fieXa. ne 
signifie pas du tout qu'elles ne le contiennent pas. Dira-t-on que la 
preuve qu elles ne le contiennent pas c'est que la relation (L) démontre 
l'absence de contradiction dans les conséquences de la contradictoire 
du postulat ? C'est revenir au sempiternel sophisme dont on a voulu 
faire V argument de non-contradiction et que nous avons réfuté dans cette 
Revue (Sept. 1902, p. jjo-3 ji). Donc ni la relation (L), ni la relation(E), 
considérées soit séparément, soit simultanément, ne permettent de 
conclure à 1 indémontrabilité du postulat de la parallèle unique. 

Quant à 1 argument de la pseudosphère, ^I. Mansion affirme qu'il 
est « parfaitement probant quand on l'entend d'une pseudosphère 
enroulée un nombre infini de fois sur elle-même ». A cette affirmation 
pure et simple j oppose cette simple observation que ma réfutation de 
l'argument de la pseudosphère (L'Ens. math., \(yri, p. 333-336) est 
parfaitement indépendante de l'enroulement illimité de la pseudosphère 
sur elle-même. 

C. Vidal. (Paris). 

Janvier 1903. 



Enscignemcnl math. 



BIBLIOGRAPHIE 



p. Ai>ii:i,L. — Traité de Mécanique rationnelle, i. III. Equilibre et 
mouvement des milieux continus. Paris, tTautliicr-Yillars. Lu hoau 
vol. gr. iu-8" de 538 pages. Pi-i.x : iG Ir. 

Le lome troisième du Traité de Mécaiii(/iic rdtiuiificlli' leriiiliic le magis- 
tral ouvrage entrepris par M. P. Appell. Il ne m appartient guèx-e d Cn faire 
l'éloge, si ce n'est par cette simple remarque que bien avant la publication 
du dernier volume, toute l'édition du premier était épuisée, routel'ois 
ceux qui comme moi se sont assimilés les méthodes de la Mécaniipie en 
étudiant cette œuvre simple et savante, se douteront bien que les ques- 
tions, autrefois si obscures, de la Statique et de la Dynamique <les fluides, 
vont être présentées à eux avec un intérêt nouveau et une clarté nouvelle. 

Le volume débute par l'exposition analytique de formules qui soûl dun 
usage constant en Physique maliiématiqne et en Mécanique : forniules de 
Gr(;en, d'Ampère et de Stokes, t[ui servent à transformer une intégrale triple 
étendue à un volume, en une intégrale double étendue à la surface qui le 
limite, ou une intégrale double étendue à une aire en une intégrale simple 
étendue au contour de cette aire. La notion de loiirhillon est introduite avec 
une grande simplicité et, par son emploi, on retrouvi' de façon toute naturelle 
des tli(''Orèmes connus <ranalyse élémentaire. Ainsi écrire que P(/.r -\- Qd)- 
-\- Wdz est une «lilléreutielle exacte, c'est écrire tjn'un tourbillon est nul. 

Après ces notions analylicjues, nous abordons la théorie de 1 atlraction. 
M. Appell nous fait remarquer tout au début (ju'oii passe <le l'allraction 
ncwtonienne aux atlraclions ('•lectriques et magnétiques, eu ninplai ant la 
constante positive /" par une couslaiile nc-gative — k. 

L'expression — liiniii'i — - est bien alors jjosilive, tout commi' dans le cas 
d'une attraction ne\vlonii'nn<', si les masses m «'t in' sont de signes contraires. 
Si elles sont de même signe, il y a répulsion. Beaucoup de calculs cessent 
alors d être des exercices analyti(|iies el donneni des ré-sullals tangibles. Au 
point de vue <lo la seule attraction newloiiienne à (pioi serl d ('-ludier l'action 
que peuvent avoir lune sur l'autre deu.\ portions de plans parallèles ;' 

En électricité, au Cfuitraire, ce calcul ne se présenle-t-il pas iiatnrcllenient 
dans l'élude du conflensaleur ! 

Nous trouvons aussi um- ihé-ori»' succincte de laimant eli-uieulaire et «lu 
potentiel d'une double (touche niagn<''ti(|ue. 

Iiiulih' di- dire que 1rs exi-nipli-s de calculs d'attiMclion sont uouibr'cux et 
varié'»; les lliéorèmes d Ivory sur les ellipsoïdes lioinolocaux sont ])ar con- 
tre, simplement cités comme exei-cices et rien n'est plus heureux ijuc la sup- 



BIliLlOCRAVUlE \ù^\ 

pression de démonstrations coinpliqiK'cs ({ui, dans certains trait('s. tiennent 
la moitié des pages réservées à l'attraction. Dans l'ouvrage de M. Appell ces 
pages ne sont pas prétextes à des subtilités analytiques qui font perdre de 
vue les applications à faire ultérieurement. 

Nous passons ensuite aux propriétés générales des fonctions vérifiant 
l'équation de Laplace AU rr o et dites fonctions harmoniques, puis aux masses 
attirantes illimitées et au potentiel logaritiimiqnt! : pour les masses illimi- 
tées, l'auteur montre que le mot altraclion peut ne plus avoir de sens, 
comme dans le cas du plan indéfini. 

Ce nest qu'après ces préliminaires que nous entrons, à proprement par- 
ler, dans l'étude de l'équilibre et du mouvement intérieurs d'une masse con- 
tinue. 

Il ne s'agit pas encore d'hydrostatique ou d'hydrodynamique, mais de 
généralités relatives à tout milieu continu gazeux, liquide ou solide, des- 
quelles on déduira plus tard la mécanique des fluides et la théorie de l'élas- 
ticité. Il y a à signaler ici tout particulièrement la belle représentation 
géométrique de Cauchypourla variation en direction de l'efTort élémentaire, 
représentation semblable à celle que fournit l'eUij^soïde d'inertie dans la 
théorie des moments. 

Au début de 1 hydrostatique et, comme une des premières applications, 
nous rencontrons la formule barométrique discutée avec achèvement complet 
des calculs et même mise sous, la forme qui s'accorde avec les tables de 
M, Mathieu, publiées dans V Annuaire du Bureau des Longitudes. Viennent 
ensuite le principe d'Archimède et l'étude générale do l'équilibre isotherme. 
Le cas où les forces dérivent d'une fonction de forces non uniforme est bien 
curieux ; il matérialise pour ainsi dire certaines conceptions de la théorie des 
fonctions. Soit la fonction de forces 

y 
U ^ arc tang 



uniforme dans toute surface fermée n'entourant pas l'axe des :; ; elle permet 
un état d'équilibre à un fluide enfermé dans une telle surface. Mais si la sur- 
face entoure l'axe des -, le fluide se met en mouvement; introduit-on une 
cloison pour empêcher ce mouvement, elle ne l'empêchera que si elle fait 
l'effet d'une coupure rendant à nouveau la fonction U uniforme. 

Des considérations des plus utiles viennent ensuite sur l'équilibre dune 
masse fluide animée d'un mouvement de rotation, questions fondamentales en 
mécanique céleste et que les beaux travaux de UI. Poincaré ont beaucoup 
avancées, surtout quant aux figures d'équilibres ellipsoïdales, annulaires et 
autres qui n'ont pas forcément plusieurs plans de symétrie. iVprès l'équilibre 
des fluides pesants nous trouvons celui des corps flottants. Le sujet date 
d'Archimède et cependant, après les travaux de M. Guyou, il parait né 
dliier. Je ne puis entrer ici dans tous les théorèmes élégants auxquels il 
donne lieu, mais le résultat fondamental est des plus simples à énoncer : 
la détermination de l'équilibre d'un corps flottant se ramène à colle de l'équi- 
libre d'une certaine surface (surface des centres de carène) qtie 1 on peut 
supposer réalisée matériellement et posée sur un plan horizontal rigide. 

Avant d'entrer définitivement dans la Dynamique, M. Appcll nous fait étu- 
dier les propriétés purement géométriques et cinématiqucs de la déforma- 
tion des milieux continus. 



l44 BIBLIOGRAPHIE 

L'équation de conliuuité est donnée sous une forme absolument générale 
et, dans l'étude des dilatations autour d'un point, nous retrouvons encore un 
ellipsoïde pour interpréter plus commodément les choses ; il y a là une 
représentation géométrique qui fait facilement image. Une déformation 
homo£;ène d'une masse continue est caractérisée par ce fait que ces ellip- 
so'idcs de dilatation sont égaux et orientés de la même façon en tous ses 
points. Pour une déformation quelconque, nous pouvons imaginer en chaque 
point de la masse une déformation homogène tangente, conception de même 
nature que celle du mouvement hélico'idal tangent dans l'élude du déplace- 
ment d'un solide invariable et qui ne le cède en rien à celle dernière au point 
de vue de l'élégance et de 1 utilité. 

Dans la cinématique des milieux continus, nous trouvons un chapitre des 
plus importants sur la propagation des ondes. Les derniers résultats dus à 
M. Hadamard. v sont développés. L'onde est une surface qui se déplace et 
se déforme dans le milieu considéré, sur laquelle les dérivées des coordon- 
nées prises par rapport à leurs valeurs initiales, ou par rapport au temps, 
cessent d'être continues. 

Une discontintiité d'ordre n est colle où la pi-einièrc di'rivée qui cesse 
d être continue, est d'ordre n, toutes les dérivées d'ordre inférieur à n res- 
tant continues. 

Les cas de n = i et « rr 2 sont étudiés en détail par M. Appell. Les 
résultats généraux obtenus par M. Hadamard pour n quelconque, sont rappe- 
lis sommairement et leuis démonstrations sont proposées comme exercices. 
Dans la dynamique des fluides parfaits, nous trouvons maintes choses 
remarquables, telles que le théorème d'IIugoniol el la déterininalion de la 
vitesse de propagation du son. 

A remarquer aussi la transformation des ét|uatioiis de rhydrodyiianii(|Me 
pour le cas de coordonnées quelconques, transformation exactement compa- 
rable à celle qui change les équations ordinaires du mouvement d un point 
ou d'un système en les équations de Lagrange. 

Dans ces théories difficiles qui semblent si souviul dénuées il'aiiplications 
el qui chez beaucoup de savants paraissent avoir été seulenu'ul prétextes à 
des développements analytiques, intéressants sans doute, mais ipii faisaient 
perdre de vue les problèmes matériels posés au tiébut, ou ne saurait trop 
admirei- l'auteur du présent ouvrage qui s'efforce de donner sans cesse des 
cx(Mnples de jjroblèmes aussi simples que possible et de les résoudre com- 
plètement de façon à faire suivre les développements analyticpies de réalités 
concrètes. Voici l'élude du mouvement d'un liqui<le pesant dans un vase de 
révolution présentant une large ouverture à la partie iuft'i'ieure, el jjIus. loin 
c'est le mouvement d'un li(|uide qui se pré-cipile dans un espace spheiic|ue 
brusqui'inenl laissé vide en son sein. Après les théorèmes de lieruoulii el de 
Tfjrricelli et r('tude gc-m'-rale des écouiemeiils en ri-gime ptiinanent ntnis 
tombons dans la llit-orie des tourbillons. (^<.- mot. délini au debnl d'une façon 
purement analytique, nous a|jpaiait ici sous un jour matériel ipii le justifie. 
Si les ]jarlicules d'un fluide n'ont pas une rotation nulle, elles ont des uionve- 
ments loni-billoiinaires et s'ai-rangent <>n tubes de tourbillons (|ui ne peuvent 
se terminer au milieu de la masse ; ces tubes sont dimc fermes sur eux-mêmes 
ou terminés aux parois ou aux surlaces de disconliiuiité-. 'l'els sonl les 
anneaux de fiinn-e que- les i'umeui's s'amusent à lancer. \ coli- de ce jeu (jiie 
la théorie des tourbillons nous explique, faut-il rappeler (pi elle a c-té 



BIBLIOGnAPlIIE l'o 

l'objet de la p;ui de lord Kelwin, d('S plus hautes spéculalious au poiut de 
vue cosmogonique et qu'il a émis cette hypothèse que les atomes qui consti- 
tuent la matière qui tombe sous nos sens sont de minuscules tourbillons 
d'éther. 

Dans l'exposition de la présente théorie, je sit^iialcrai comme particulière- 
ment remarquable le problème qui consiste à déterminer la vitesse d'une par- 
ticule fluide connaissant le tourbillon relatif au même point et aussi une ana- 
logie électro-dynamique des plus intéressantes. L'existence de tourbillons 
dans un liquide modifie évidemment les vitesses d'une particule quelconque ; 
or, si l'on considère l'ensemble de tous'les tourbillons qui forment un tube 
annulaire, l'effet de l'existence de ce tube sur un point P de la masse est le 
même que celui qu'exercerait un courant électrique parcourant un fil conduc- 
teur de même figure que le tube tourlDillonnairc sur le point P considéré 
comme un pôle magnétique. 

Le chapitre qui termine la dynamique des fluides est consacré aux mouve- 
ments parallèles à un plan fixe. 

Tous les problèmes relatifs aux milieux continus semblent évidemment 
exiger la considération de l'espace à trois dimensions, mais on peut, par la 
pensée, imaginer des milieux continus n'ayant que deux dimensions. Tel 
serait, par exemple, le milieu constitué par des molécules assujetties à res- 
ter sur un plan. 

Cette fiction devient une réalité dans des milieux continus à trois dimen- 
sions où toutes les particules ont originairement des vitesses parallèles à un 
plan et où il est évident, par raison de symétrie, que ce parallélisme n'a pas 
lieu d'être altéré. Tels sont les cas d'écoulement dans un canal constitué 
latéralement par des plans verticaux et dont le fond est un cylindre de géné- 
ratrices perpendiculaires aux parois. C'est notamment le cas d'un liquide 
qui s'écoule par-dessus un déversoir horizontal formant un plan perpen- 
diculaire aux parois latérales d'un canal. Alors les équations du mouvement 
se réduisent à deux. 

Il faut remarquer dans ces dernières pages l'étude de la propagation des 
ondes à la surface d'un liquide, les ondes stationnaires et le phénomène du 
clapotis. Quant à l'étude des mouvements tourbillounaires, elle est reprise 
dans ce cas particulier. Si par exemple nous prenons un liquide dans un vase 
à parois verticales et à fond horizontal, en supposant que toutes les vitesses 
soient parallèles au fond, les tubes de tourbillon ne pourront évidemment 
être que des droites verticales. Les équations du mouvement de ces tubes, 
quand on les suppose infiniment déliés, se mettent aisément sous la forme 
canonique. 

Le volume se termine par la théorie de l'élasticité, terminée elle-mèmo 
par l'étude de la vibration des milieux élastiques et la comparaison des 
vibrations transversales qu'ils peuvent transmettre avec les vibrations longi- 
tudinales que transmettent les fluides parfaits. 

Je citerai encore quelques pages sur les fluides visqueux et j'aurai peut- 
être donné une pâle idée des nombreux sujets abordés par M. AppoU; mais 
ce dont je renonce à donner aucune idée, c'est, d'un côté, la clarté avec 
laquelle tout est présenté, d'un autre, la patience de l'auteur qui a recueilli 
d'innombrables renseignements bibliographiques et a partout indiqué ce qui 
reste à faire après ce qui est fait à l'heure actuelle. Et comme les deux pre- 
miers volumes du traité ne le cèdent eu rien au ti-oisième. je crois qu on 



i-i6 BIBLIOGRAPHIE 

peut conseiller à tous ceux qui veulent acquérir une haute idée de la science 
et de l'art mathématiques, d'entrer dans ce magnilique monument élevé à la 
mécanique rationnelle. 

A. BuHL (Paris). 

P. Bachmanx. — Niedere Zahlentheorie, Erstor Teil. B.-G. Teiihner's 
Sam mlu ng \ on Lehrbiichern auf deni Cîebietc der Malhematischen Wissen- 
schaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Band X, i. — Un vol. relié, 
gr. in-8°, 402 p. ; prix : M. 14- — : B.-G. Teubnur. Leipzig. 1902. 

A côté de l'Encyclopédie des Sciences mathématiques, qui a déjà rendu 
de si grands services aux géomètres, la librairie Teubner a entrepris la 
publication d'une collection de traités séparés consacrés aux parties les plus 
importantes de la science mathématique. On ne saurait contester l'utilité 
d une telle publication. En eflet, les articles de l'Encyclopédie ue contien- 
nent que des résumés et des aperçus dans lesquels les résultats acquis à la 
science sont systématiquement classés et enregistrés. C'est un guide pré- 
cieux, mais ce n'est qu'un guide. Pour les développements, démonstrations, 
etc., on doit recourir aux sources : monographies, notes, mémoires dissé- 
minés dans les comptes rendus et les revues périodiques. Bien rares sont 
encore les traités spéciaux, assez complets pour pouvoir donner une idée 
exacte de l'étal actuel de nos connaissances malhi'-niatiques, assez intelli- 
gibles en même temps pour servir de livres d'initiation. 

A en juger par le premier volume qui vient de paraître, l'ouvrage de 
JM. Bachmann remplit admirablement le but que vise la Cullectioii Teitltiicr. 
Apres une courte introduction historique, lauteur examine et j>récise la 
notion du nombre entier positif et négatif en se plaçant au point de vue de 
M. Dkdkkind, mais il simplifie et complète sur quelques points l'analyse du 
célèbre géomètre allemand. Le second chapitre est consacré à la théorie «le 
la divisibilité. Les lois fondamentales de cette lliéorie sont établies en 
partant de la notion moderne des modules que 1 ou doit à Kronecker et à 
M, Dedekind. M. Bachmann établit ensuite un certain nombre de prijposi- 
lions se rattachant à la théorie précédente, en particulier la formule d'Euler 
donnant la somme des diviseurs d'un nombre i-t tpulcpies proprii'tés très 
curieuses de la factorielle dues à ^^'eill, Catalan et autres. 

Le troisième chapitre expose les principes de la tlu'-orie des c(uigruences: 
systèmes di? restes, nombre maximum de racines, etc. Parmi les applica- 
tions de celle théorie on l'emarquera les proprié'lé-s gt'ué-rales de la fonction 
O («) et celles des f(inclions plus gé-nérales de Lucas el de Schemmi-l. 

L'auleur reprend ensuite au ,]'' chajiilre la théorie de la «livisibililé-, NLiis 
fi'lte lois-ci il eu établit le théorème i(jndainenlal au moyen de 1 algoi'ithnie 
<l Euclide (procédé de Poinsot) ce (]ui le conduit naturellciiieut aux fi-actioiis 
continues et à la théorie des s«!ries de l'arey, tiii-oiùe à lacjuelle se latla- 
«lienl les reclurches rtlativemeul ré-cenles <le .M. liniwit/. et tle M. \.ilil<ii. 
Le V chapitre- Iraile des théorèmes de l-'e-rmal it de Wilson. 
Un hing chapitre est consacré à la llu'orie <les rt'-sidus (|uadrati(|ues. 
(Tesl iuconteslableini'ut le |>lus curieux. Ou y ri'mar<piera une table chro- 
nologique des dilléretiles démonstrations de la fameuse loi de r«''cipn>cilt' 
de Legendre. C>eM déuionsirations, dont on connail environ une ciu(|uau- 
taine, sont divisées «-n calé-gdries el c«'lles «l'entre «'lies (|ui apj);irtieniieut 
aux édt'nii-iils de la lh<'<irii' des nombres sont .mal vs(''es avec soiu. 



BIf!LfOGI{AJ'UIE T. 17 

Le dernier chapitre coulieul la tlit'oric générale des congruenccs d'un 
degré quelconque. A côté des résultats dus à Schônemann, Dedekind et 
J.-A. Serret on y trouve la belle théorie des imaginaires de Galois et enfin 
la 7*^ démonstration que Gauss a donnée de la loi de réciprocité, démons- 
tration qui est précisément basée sur la théorie des congruences. 

En résumé, le premier volume de l'ouvrage de M. Bachmann apprend 
beaucoup. II peut servir de complément et de commentaire aux six pre- 
miers paragraphes (et au 8") de l'article correspondant de l'encyclopédie, 
dû aussi à la plume de M. Bachmann, et il s'adresse aussi bien à ceux qui 
veulent approfondir la science des nombres qu'à ceux qui désireraient s'y 
initier. 

D. IMiuniANOFF (Genève). 

E. EsTANAVK. — Essai sur la sommation de quelques séries trigono- 
métriques ; gr. in-S", hj. p. ; prix: G t'r.; Paris, A. Hermann, 1903, 

Les séries qu'étudie l'auteur sont d'une haute importance au point de vue 
des applications mécaniques ou physiques. Il s est proposé surtout d'at- 
teindre un but pratique, c'est-à-dire d'effectuer la sommation, plutôt que de 
se livrer à une étude purement théorique. Il a cependant donné, dans un 
grand nombre de cas, la solution du problème inverse de la formule de 
Fourier, ce qui peut s'énoncer ainsi : faire correspondre à une série trigo- 
nométrique donnée une fonction dont cette série est le développement. Sa 
méthode consiste essentiellement à profiter de l'identité qu'il établit entre 
une série simple et une série à double entrée contenant une fonction arbi- 
traire, eu disposant de l'indétermination qui en résulte. Les calculs auxquels 
cette méthode conduit exigent souvent la résolution de certaines questions 
auxiliaires. Ou peut citer parmi ces questions la détermination d'intégrales 
définies, ou celle d'intégrales particulières d équations dill'éreutielles. Le ré- 
sultat est obtenu par une méthode intuitive, qui revient au fond à celle des 
coeflicients indéterminés, mais qui est beaucoup plus rapide, et ramène tout 
aune formule unique. En somme, il parvient à deviner la loi, et en démontre 
ensuite la généralité. 

A signaler aussi les aperçus que M. Estanave est amené à présenter sur 
les nombres d'Euler, de Bcrnoulli, de Genocchi. En résumé, son livre, qui 
a dû lui coûter beaucoup de travail et de peine, est une œuvre à la fois utile 
et intéressante. 

C. A. L. 

G. HoL7,MULi.KR. — Elemeute der Stéréométrie : Yierter Teil. Forisetzung 

der schwierigcren Untersuchuiigeu : Berechnuug und stereometrische 
Darstellung von statischen, Tnighcits-und Centrifugal-Momentcn homoge- 
ner llaumgcbilde. Simpsonsche Regel, verallgemeinerle Scliichtenforracl, 
gCNvisse Zuordnungcn und konforme Abbildungen im Dienste solcher 
Beslimmungen. Nachtrag ûber das Katenoïd. seine Kriimmungsverhrdtnisse 
und spharische Abbildung und ûber seineu Zusammcnhang mit der Gauss- 
scheu Pseudosphiire und der MinimalschraubenregeUlàche, i vol. in-8°. 
de 3ii p. ; prix: br. M. 9 ; relié M. 9.30; G. J. Goeschen, Leipzig, 190a. 

Dans ce volume, M. Holzmûller continue à montrer qu'il existe, à côté de 
la grande route du calcul différentiel et intégral, un sentier piM-mellant d'ar- 



i48 BIBLIOGRAPHIE 

river plus facilement au but du premier dans l'étude de certaines propriétés 
des lignes et surfaces. Par des moyens quasi élémentaires, il fait obtenir au 
lecteur des résultats fort intéressants. 

Ce quatrième et dernier volume est divisé en 3 sections : la première <>st 
consacrée à l'exposé des propriétés des moments des divers ordres et espèces 
d'un système de points, à leur détermination et à leur représentation 
stéréométrique . 

L'application de ces théories à une extension des formules trouvées plus 
haut et de la règle de Simpson à des corps particuliers, puis aux paraboles 
d'ordre p et à leurs solides de révolution, la détermination de la longueur 
d'une courbe ou du contenu d'une surface, celle de leur centre de gravité, de 
leurs moments divers forment le sujet des divers paragraphes de ce chapitre. 

De nombreux exemples illustrent le texte et leur étude complète facilite 
le lecteur et l'incite à en traiter d'autres qui ne sont qu indiqués. 

Signalons en particulier les curieuses suites trouvées pour les moments 
d'inertie et les coordonnées du centre de gravité des surfaces limitées par 
des paraboles de divers ordres. 

Les ellipses diuerlie de Poinsot et de Clebsch-Culniann sont obtenues 
aussi très simplement ainsi que la lemniscate du moment centrifuge (cen- 
trifugalmoment) . 

Puis 1 auteur montre l'emploi de deux transformations et des représenta- 
tions conformes correspondantes pour la recherche des moments polaires 
de divers ordres pour dos ligures planes et obtient des relations intéres- 
santes entre ces moments et les arcs de courbes ou les surfaces des ligures 
transformées. 

La deuxième section s'occupe spécialement des surfaces du tleuxième 
degré: leurs surfaces, leurs volumes, moments principaux y si>ut déterminés 
et de nombreuses applications des formules trouvées à des problèmes de 
mécanique en montrent judicieusement 1 utilité. 

La troisième section comporte quelques compléments à la tliéoric tlu 
cathénoïde, de la pseudosphère et de la surface de vis à lilet carré. 

Nous ne pouvons faire mieu.<. pour résumer brièvement le but poursuivi 
et atteint par l'auteur, que de traduire la dernière plirase de son traité. 

« Que l'on considère, dit-il, le tout comme une incitation à étendre toii- 
(I jours davantage les limites des matliématii|nes élémentaires, et cela non 
« seulement pour la géométrie, mais aussi pour la mécanique, la carlogra- 
« phie. la géodésie, la physique cosmi(jue. la théorie du potentiel et autres 
« théories mathémnti(|ues et leurs applications. » 

Nous sommes persuarh's qu'en suivant ces traces et en elfectiiaMl jiour les 
différentes disciplines ce que ^L ll<jl/,miiller vient de faire j)our la géomé- 
trie, d autres mathémaliciens rendraient à leur tour un grand sei'vice à la 
science et surtout à ceux qui doivent ICiiKlicr. 

S. May ^Lausanne) . 

Kaki. T. I''is<:iii:k. — Der naturwissenschaftliche Unterricht in En- 
gland insbesondei-c iii l'InsiK 1111(1 (ihfuiir; mil rinci- l 'cbcrsichl tlcr- en- 
glisclii-n Unt<'rrichtslitteratur /.ur l'hysik uikI ClHinic Un vol gr. in-H"; 
relié. <)/| p. ; prix : M . J.Go ; li. (i. Teiibner, Leipzig. 

.\u cdiirs d un séjoui- de plus de six mois «'ii Anglelere'e, M. lischer a eu 
le pnvilegi; de visiter' un gniMiJ ni>nil>re li'elalilishemenls scolaires, seeoii- 



ijiiiLioGRAi'iii r: i49 

daires et supérieurs, et d'y étudier l'organisation de l'euseignemonl, notam- 
ment celui des sciences physiques et chimiques. Il a publié les résultats de 
son enquête en un petit volume très documenté qui sera lu avec plaisir par 
tous ceux qui désirent se tenir au courant des progrès de l'enseignement 
scientiûque dans les divers pays. 

L'auteur examine la part qui est faite à l'enseignement des sciences dans 
les diverses catégories d'établissements secondaires et supérieurs ; il passe 
en revue les plans d'études, les méthodes d'enseignement, l'organisation des 
laboratoires, la préparation du personnel enseignant, etc. Sou exposé est 
accompagné de plusieurs planches et de nombreux extraits de documents 
officiels. Comparant Torganisation anglaise à ce qui se fait en Allemagne, il 
conclut en faveur de la première dont il attribue la supériorité au caractère 
à la fois plus intuitif et plus pratique que l'on constate dans les divers 
degrés de l'enseignement. 

Francesco Brioschi. — Opère Matematiche, publicate per cura del comi- 
tato per le Onoranze a Francesco Brioschi (G. Ascoli, Y. Cerruti, G. Co- 
lombo, L. Cre.mo.na, g. Negri, G. Schiaparelli). Tome second. Un vol. 
gr. in-40, VIII-456 p.; prix ; L. 23. — Ulrico Hœpli, Milan, 1902. 

Le comité de publication des Œuvres complètes de Brioschi poursuit sa 
tâche avec une rapidité et un soin dont leur sauront gré les mathématiciens 
de tous les pays. Il vient de publier le tome II qui contient les mémoires, 
au nombre de trente-cinq, publiés par Brioschi de i858 à 1887 dans les Aiinali 
di Matemutica para ed applicata. Ces mémoires se rattachent à la théorie 
des surfaces, à la résolution des équations du cinquième degré, aux équa- 
tions différentielles linéaires, aux fonctions elliptiques et hyperclliptiques. 
On y retrouve également quelques-unes de ses belles recherches sur la 
théorie des formes binaires. 

H. F. 

P. -H. ScHouTE. — Mehrduneiisionale Géométrie. Erstcr Theil : Die li- 
nearen Raume (T. XXXV de la Collection Schubert), i vol. relié, p. in-8"de 
VIII-295 p. avec 55 ligures et 335 exercices; G. J. Goeschen, Leipzig, 1902. 

Le savant professeur de Groningue vient d'enrichir l'importante collection 
Schubert d'un nouvel ouvrage d'une grande utilité pour les mathématiciens 
qui veulent s'initier aux théories de la géométrie à « dimensions. 

Il s'agit ici, comme le dit l'auteur dans sa préface, de la géométrie exclu- 
sivement euclidienne, le cadre restreint de l'ouvrage ne permettant pas en 
effet de s'occuper des géométries non euclidiennes, qui devront être par la 
suite l'objet d une étude séparée. 

Ce livre, dont la lecture ne suppose pas même la connaissance du calcul dif- 
férentiel et intégral est vraiment un livre d'enseignement, bien conçu par son 
plan et son développement : il s adresse surtout aux étudiants pour qui 
l'étude de la géométrie à n dimensions est une nouveauté à laquelle les prin- 
cipes déjà acquis en planimétrie et stéréométrie, en géométrie analytique et 
descriptive leur servent de préparation directe. Aussi a-t-ilévit(' les théories 
trop abstraites et trop longues, et s'cst-il surtout atlaclié à bien préciser les 
points fondamentaux et essentiels, à mettre ceux-ci en lumière par des 
exemples bien choisis, afinqueses lecteurs puissent, lancés dans une direction 



i5o BIBLIOGRAPHIE 

sûre, continuer d'eux mêmes les recherches synthétiques et analyliques de 
cet intéressant sujet. 

M. Schoute a puise à bonne source dans quelques auteurs italiens estimés, 
notamment dans les Fundamenti di Geometria de G. A'eronese, et dans la 
dissertation inaugurale de M. WythofT d'Amsterdam ; il a ajouté à son texte 
une chose extrêmement précieuse, et que les étudiants estimeront à sa valeur: 
une série de questions dont un certain nombre sont résolues dans le cours 
de l'ouvrage et les autres proposées à titres d'exercices. 

Les chapitres successifs ont pour titres : i" Principes fondamentaux sur 
les espaces à n dimensions. — i° Parallélisme. — 3'^ Orthogonalité ! — 4*^ Dis- 
tance, projection et angle. — 5» Géométrie descriptive. — 6'^ Géométrie ana- 
lytique. — -j^ Géométrie de position. — 8*^ (jéomélrie du nombre. — 
9" Polygonométrie. 

Quelques devoirs variés et intéressants terminent ce livre très clair, dont 
on ne saurait trop recommander la lecture, et qui, nous l'espérons, aura le 
succès qu il mérite. 

P. Bauuarix (Bordeaux). 

E. Pascal. — Lezioni di Calcolo infinitésimale; parte 1. Calcolo dilfe- 
renziale, YII-3ii p.; prix L. 3 ; parte II, Calcolo intégrale, VlIl-329 p. ; 
prix L. 3 ; Milan. Hœpli, 1903. 

Les deux nouveaux volumes que nous donne dans la collecliou llœpli 1 émi- 
nent professeur à l'Université de Pavie, forment un cours élémeulaire do 
calcul infinitésimal, ne renfermant que les notions essentielles, mais les pré- 
sentant avec ordre et méthode. C'est un service de plus, après tant d autres, 
que M. le professeur Pascal rend à renseignement, car les étudiants, si 
souvent embarrassés par la grosseur même des livres classiques Irouveronl 
ici tout ce qui leur sera nécessaire pour une première élude. 

Voici les matières principales contenues dans les deux voIuuk^s dont il 
s'agit : 

Fonctions rc elles de variables réelles. — Dérivées d'une fonction. — Déve- 
loppements en séries des fonctions. — l-]tude des variations d une foncliou 
au voisinage d un point. — Quel(|ues applications analyti(|ues. — Applica- 
tions géométriques ; princijjes d(^ géométrie dilft'rentielle. — Inti-giales déli- 
nies et indéfinies. — Inté-grabililé des fondions. — Calcul des iutc'grales 
indéfinies et dé(inies. — Intégrales multiples. — Formes aux di(f<renli«>lh>s 
totales du premier ordre et du premier degrc». — (icouiéirie intégrale. — 
Lquatious difrérenlielles. 

-Nous eussions été heureux dr voii- cfjmph-ler ce( cxcclleul ouvrage par un 
certain nombre d'exercices, ce ipii n aui-ait j)as beaucoup augmeuli- r»''lenduc. 

C A. L. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



Acta mathematica, publication rédigée par J. Mittag-Leffler, Beijer, 
Stockholm. Mayer et MùUcr, Berlin. Hermann, Paris. Année 190a. 
Volume 2^. 

Fasc. 3 et 4- — J- Hurwitz : Ueber die Réduction der binaren quadra- 
tischeu Formen mit complexen Coetficienten und Yariabeln. — W. Buknside : 
On ihe four rotations which displace one orthogonal System of axes into 
another. — Ch. Uiquier : Sur le degré de généralité dun système différen- 
tiel quelconque. — I. Bendixon : Sur les racines d une équation fondamen- 
tale. — P. Stackel ; Arithmetische Eigenschaften analytischer Func- 
tiouen. 

Volume 26 (complet). — ^".-H. Abel : Recherches sur les fonctions ellip- 
tiques. — P. Appell : Sur les fonctions abéliennes considérées comme fonc- 
tions algébriques de fonctions d'une variable. — A. -Y. Backlund : Geome- 
trischer Beweis eines algebraischen Satzes von Jacobi. — G. Darbou.x : Sur 
l'application du théorème fondamental d'Abel relatif aux intégrales algébri- 
ques à la recherche de systèmes complètement orthogonaux dans un espace 
à « dimensions. — J.-C. Fields ; Algebraic proofs of ihe Riemann-Roch 
thcorem and of the independcnce of the conditions of adjoinluess. — G. Fro- 
BENius : Ueber Gruppen der Ordnung^a f/^. — L. Fucus : Uber zwei nachgc- 
lassene Arbeiten Aljel's und die sich daran anschllessenden Untersuchungen 
in der Théorie der linearen Dilferentialgleichuugen. — J.-W.-L. Glaisuer : 
On the relation of ihe Aljelian to the Jacobian elliptie fuuctions. — D. Hil- 
BERT : Ueber die Théorie der relativ AbeFschen Zahlkorper. — \.. Hurwitz : 
Ueber Abel's Verallgemeinerung der binomischen Foi-mel. — • J.-L.-W.-V. 
Jexsén : Sur une identité d'Abel et sur d'autres formules analogues. — 
Ij. Kônigsbercer : Bermerkungen zu einem Satze von Lie iiber ein Analogon 
zum Aboi' scheu Theorem. — H. Mi.nkovvski : Ueber pcriodischeApproxima- 
tionen algebraischcr Zahlen. — G, Mittag-Leffler : Sur la représentation 
analytique d'une branche uniforme d'une fonction monogène. — M. Nôtiier : 
Rationale Réduction der Abel'schcn Intégrale. — E. Picard : Sur quelques 
points fondamentaux dans la théorie des fonctions algébriques de deux varia- 
bles. — H. PoiNCARÉ : Sur les fonctions abéliennes. — G. -G. Stokes : On 
the discontinuity of arbitrary constants thaï appear as multipliers of semi- 
convergent séries. — W. Wirti.xgër : Ueber einige Problème in der Théorie 
der Abel' scheu l'uuctionen. — W. Wirti.nger : Eiuige Anweudungen der 
Euler-Maclaurin'schcn Summenformel, insbesondere auf eine Aufgabe von 
Abel. 



15-2 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

The American mathematical Monthly. publication mensuelle dirigée 

par B.-F. Finkel el J.-M. Colaw. Spriuglleld ^U. S. A.) — Abounomcnt 
annuel : i dollars. Vol. IX, 1902. 

Fasc. 3. — G.-B. Halsted : Biography of Eugenio Beltrami. — G. -A. Mil- 
ler: On the Primitive Groups of Class Four. — L.-E. Dickson : Factors of a 
Certain Déterminant of Ordor Six. 

Fasc. 5. — V. Sn'yder : Models of the Weierstrass Sigma Function and 
tlie Elliptic Intégral of the Second Kind. — A. Hume : Meridian and Trans- 
vcrsc Sections of Helicoïds of Uniform Pilch. — G.-B. Halsted : Proving 
the False. 

F'asc. 6, 7. — L.-E. Dickson : The Order of a Certain Senai-y Linear 
Group. — E.-H. M00RE : The Betweenness Assumptions. — B.-G. H.vlsted : 
A ]N'on-Euclidean Gem. 

Fasc. 8, 9. — G.-B. Halsted Biography of Crisloforo Alasia. — 
L.-E. Dickson : ^sinth Summer Meeting of the American Mathematical 
Society. — J.-W. Nicholson : The expression of the n th power of a Num- 
bcr in Terms of the n th powers of other Numbers, n Being any integer ; 
and the déduction of Some interesling propcrties of prime Numbers. 

Fasc. 10. — H. Maschke : Some Modem Melhods and Principlos of Gco- 
metry. — Solutions et questions diverses. 

Annals of Mathematics, publiées sous les auspices do la Harvard Uuiver- 
sity par O. Stone, \V.-E. Bverly, H. -S. Wiiite, W.-F. Osgood, F. -S. 
Woods. Cambridge, U.S. A. Publication trimcslrielle, gr. in-4". Second 
Séries. \o\. 3. 1901-1902. 

N° I . — E.-B. Yan Yleck : On tlio Convergence of the Conlinued F"rac- 
tion of Gauss and other Continued Fractions. — M.-B. Porter : On the 
Differentiation of an Inhnitc Séries Term hy Term. — J.-K. Wiiittkmore : 
A Note on géodésie Circlcs. — W.-F. Osgood : Xote on the F'unitions Dc(î- 
ned by Infinité Séries whose Terras are Analytic P'unctions of a Coniplex 
Variable ; with Corresponding Theorems for definilo lulograls. — C.-L. 
Bouton : Nim a Gaine with a Complète Mathematical Tiieory. — G. -A. Mil- 
ler : On the groups Gonerated by Two Opéra tors of Order Three wliose 
Product is also of Order Three. — W.-A. (jranville : Ou the Invariants of 
a Quadrangle undur the Largcst Subgroup, having a Fixed Point, of the 
gênerai Projective group in the Plane. 

N" 2. — M. BôciiER : Some .Applications of iho Metiiod of Abriged Nota- 
tion. — M.-B. PouTKK : On the Roots of Fuuctions connecled by a Linear 
Récurrent Relation of the Second Order. — S. Woods : Space of Constant 
Curvature. 

N" 3. — W.-H. Rœver : Briliiant Points and Loci of Brilliant Points. — 
W.-F. Osgood : Problems in Iidinile Séries and dclinite Intégrais witli a 
Staicment of certain Sufficient Conditions whicii are Fuud.imi'ulal in the 
Thcory of dellnitc Intégrais. — H.-B. Newson : Noie ou the Proiluit of Li- 
near Substitutions. 

N" 4- — H. -S. WiiiTE : Note <m a 'l'wisted Curvc connected wilh .111 Iiivo- 
lution of Pairs of Points in a Plane. — R.-E. .\li.akuick : On some Curves 
coiiiiected wilh a Syslcni of Similar (Renies. — J. Westlund : Note on Mul- 
tiply Perfect .N'uujbt-rs. - W.-ll. IU.nso.m : .\ Meciianical Coastructiou of 
(^xifocal Coiiics. — F. Smith : (Jn Soplius Lie s Reprcseulaliou of Imaginn- 



BULLETIN ninLIOGRAPIIIOUE i53 

ries in Plane Geometry. — (î .-A. Miller : Xote on the Group Isomorpliisnis 
of a group of Ordor y;'". — L.-D. Ames : Evaluation of Slowly Convergent 
Séries. 

Vol. 4. ^° I- — G.-A.-Bliss : The Géodésie Lines on the Anciior Ring. 
H. -F. Blichfeldt : Proof of a Theoreni Concerning Isoscelcs 'l'riangles. — 
L.-E. Dickson : An Elemcnlary Exposition of Frobenius's Theory of Group- 
Characters and Group-Detcrminanls. — E.-V. Hlntington : Communication 
concciiiing Mr. Ransom's Mechaiiical Construction of Conics. 

Archiv der Mathematik und Physik, gegrundet 1841, durch J.-A. 
Gkùm:kt. Drille Reihe. Hcrausgegeben von E. Lampe, W. Fkanz Meyer, 
E. Jahnke. Band lY, 1902 ; B.-G. Teubner, Leipzig und Berlin. 

Hefte I, 2. — A. Pkingsheim : UcberKonvergenz-Kritericn fiir Rcihen mit 
Koniplcxen Gliedern. — P. Appkll : Sur le degré de réalité dune courbe 
algébrique à coefiicieuts réels. — E. Weixnoldt : TJeber die Konstruction 
von Isophengen auf Flâclien 2. Ordnung. — B. Oster : Ueber die Herleitung 
der Formelu fur Lebensversicherungsprâmien. — W. Thie>e.man:« : Ein 
bemerkensvvertes Pentagoaikositetracder. — E. Haentzschel : Rotations- 
zykiiden und Lamésche Produkte. — E. PSetto : Notiz uber die Kreistei- 
lungs-Polynome. — P. Stackel : Eine Eigenschaft der gcodiitischcn Linien. 

— H. ZûGE : Zur Lehre von der Teilbarkeit dekadischer Zahlcn. — 
G. Majcen : Ueber gewisse Scharen homolhetischer Kegclschnitte in der 
Dreiecksgeometrie. — S. Jolles ; Synthetische Théorie der Zenlrifugal- 
und Tragheitsmomente eiiies Piaumstùckes. — ■ E. Wulffi.ng : Uber eine 
besondcre Klasse transcendentcr Kurven. — L. Saalschiitz : Unabhiingige 
Darslellung der Mac Mahoiisclien symmetrischen Funktioneu. — H. Schoe- 
LKK : Angenahcrte n-Teilung cines belicbigen Winkels mit Zirkelund Lineal. 

— E. Lampe : Bemerkungcn uber einige angenaherte «-Teiluugen von AVin- 
keln. — Rezensiouen. — Yerraischte Mitteilungen. 

Atti de la Reale Accademia dei Lincei. Comptes rendus publiés par 
l'Académie des Liucei, Année 299, 5'' série, 1902. E. Loescher et C'". 
Rome. Abonnement annuel : 10 L. 

6 juillet. — Daniele : Intorno ad alcuni particolari movimcuti di un punto 
sopra una superlicie. — Viola : Le deviazioui minime délia luce mediante 
prisini birifrangenti. 

20 juillet. -;- BoKTOLOTTi : Conlributo alla tcoria degli insiemi. — Fluim : 
Sugli spazi a quattro dinieusioui che ammetlouo un gruppo continuo di movi~ 
menti. 

3 août. — Levi-Civita : La théorie clettrodinamica di Hertz di fronte ai 
fcnomeni di induzione. 

17 août. — Pascal : SuUa tcoria iuvarianliva délie cspressioni ai differen- 
ziali tolali di second' ordine, e sudi una cstcnsione dei simboli di Chris- 
tolfel. — BoRTOLOTTi; Alcuni teoremi che possono tener luogo di quello délia 
média, per funzioni le cui derivatc non sono atte alla integrazione delinila. 

— NiccoLETTi : Su una classe di equazion a radici reali. 

4-21 septembre. — Pascal : Trasiorniazioui infinitesime c forme ai didVren- 
ziali di second ordine. 

5 octobre. — BI^DO^■I : Sui numeri indniti ed infmilessimi atluali. 

19 octobre. — Amaldi : Dcterminazione délie superlicie algebriche su cui 



i54 BULLETiy BIBLIOGRAPHIQUE 

esistono piu di due fasci di curve algebriche unisecantisi. — Picciati : La 
teoria di Hertz applicata alla delerminazione del campo elettroniae^netico 
generato délia traslazione uniforme duiia carica elettrica parallelamentc 
ad un piano conduttore indeiinito. 

1 novembre. — Millosewich ; Osservazioni e calcol d'orbila del pianetino 
JL 1902 (Yenetia). — Osservazioni délia comcta Perriue h 1902. — Capelu : 
SuUe relazioni algebriche fra le funzioni 6 di una variabile e sul teorema di 
addizione. 

Bolletino di Matematica (IL^ rédigé par A. Conti, publication mensuelle 
iu-S . Année 1902, t. I. Bologne, G. Cenerelli. 

Fasc. 3. — Bettazzi : Figure finite e figure infinité. — Ciamberlim : Sul 
concetto diLuogo ncU'insegnamento délia Georaelria elementare. — Pagliano: 
La disfida matematica Ira N. Tartaglia e L. Ferrari e la risoluzione dei pro- 
blemi délia geom. elem. mediante la riga e il compassa diopertura lissa. — 
Predella-Longhi : Intorno alla risoluzione dei problemi aritmetici. 

Fasc. 4. — Bassi : Sezioni circolari del cilindi'o e del couo obliqui : assi 
del cono. — Stasi : Sull' ordinamento raziouale délie varie parti dell' Arit- 
metica. — Ciambeklim : Ipercritica (?). 

Fasc. 3. — Cavalli-Lam REDi : Risoluzione di problemi geomelrici cle- 
mentari in un foglio limitato. — Ciamberi.i.m : Osservazioni pel Dizionariodi 
Matematica. — Mo.nti : SuUe equazioni di quarto grado. — Bassi : Voir 
numéro précédent — Ducci : Come svolgerei nell' Istituto Tecnico il Capi- 
tolo : Diseguaglianze di i'^ e 2" grado. — Problem: di massimo e minimo. 

Fasc. 6 — Pagliaxo : SuU uso del compasso di apcrtura fissa uella riso- 
lazione dei problemi délia geometria elementare e sulla sostituzioue di un 
disco al predetto compasso. — Stasi : SuU ordinamento razionale dclle 
varie parti dell' Arilmetica. — Fontebasso : Una risoluzione elementare di 
un problema geometrico. — Trevisan : 1 sislemi melrici non decimali nell' 
arilmetica pralica. 

Bulletin of the American Mathematical Society |)ubli.' par F.-N. Cole, 
A. (iivKT, F. MoRLi V. 1).-1^. S.Mirii. 1'' séiir. iç)u2. Voll.\. Maciuillan Com- 
pany, Lancasler, l'a., and New-York. — ALouneuient au volume annuel : 
5 dollars. 

Octobre. — O. Bolza : Some Instructive Examples in the Calcnlus of 
Variations. — E.-R. Hedrick : On the Suf(icienl Conditions in tho Calculus 
of Variations. — E.-B. Wilson : Some Récent Books, on .Mechanics. — 
F. -Y. HuNTi.NGTOX : On a New IMition of Stolz's AUegcmeiiie Arithmetik, 
witli au Account of Peauo's Définition of Numbcr. — K.-J. \Vi<;»;zynski : 
Lazarus Fuchs. 

Novembre. — Ed. Kas.>er : The Ninth Summer .Meeting of llie .\ineriran 
Mathetiialical Society, — E.-S. (^>rawley : The Meeting of section A of the 
American Association for the Advaiueinenl of Sci»>nce. — G. -A. .Mii.i.ek : 
Second Report ou Récent Progress in the Theory of (iroups of Finite Order. 

Décembre. — W.-B. Fite : (-oncerning tlu- (;i)nMnulalor Snbgroiips of 
Groups wliese Orrlers are Powers of Primes. — L.-J. Ili wrs : Note on 
Irregular Déterminants. — (i.-O. James : Note on llie Projeitions of tho 
Absolute Accélération in R.-Iative Motion. — L.-P. Kisk.miakt ; Infinitésimal 
Defurniation of tlie Skew llclicoid. — S. Epstee.n : Ou Integrubilily by Qua- 



BULLETiy nilSLIOGRAPUiqUE i55 

draturcs. — E.-B. Wilson : The Centenary of thc Birth of Ahol. — E.-R. 
Hedkick : Thi- l'^ni^lish and Frciich Ti'anslations of llilbcrt s Gruudlagen der 
Geouielric. — G. -A. IMillek : Uicksou's Linear Groiips. 

Il NUOVO CimentO. — Organe de la société italienne de Physique publié 
pai- A. Bateli.i, V. Yoltekka, A. Righi et P. Cakda.m. Publication men- 
suelle, gi". in-8'^. Pisc, Pieraeciui. Série V, tomes III et IV. 190-2. 

Mai. — A. Makf.sca : Sulla eugia svolta délia scarica oscillante di un con- 
densatore nei tubi a vuoto. — G. Ekcolixi : Influenza délia durala di caiùca 
sulla dcformazione dei condcnsatori . — A. Garbasso : Sopra una quistione 
di clettrodinamica. — G. Mouera : Intorne aile oscillazioni elettriche. — 
E. Salviom : Misura di masse comprese fra gr. io~"' e gr. io~®. — E. Sal- 
vioM : Sulla volatilizzazione del muschio. — E. Salviom : Un' esperienza per 
dimostrare il decrescere délia pressione atmosferica con l'altezza. 

Juin. — D. Mazzotto : EIFetto di lunghi rinvenimenti a varie température 
sulle costanti magnetiche del ferro. — T. Levi-Civita : Influenza di une 
schermo conduttore sul campo elettromagnetico di una correute alternaliva 
parallela allô schermo. — A. Masim : Di una disposizione opportuna per 
aumentare l'effetto délie onde elettromagnetiche sovra un circuito. 

Juillet. — PPizETTi: Sopra alcune recenti determinazioni délia gravita nell' 
oceano atlautico. -^ — G. Giorgi : Sul sistema di unita di misure elettro- 
magnetiche con Osservazioni délie Prof. L. Donati. — A. Righi : Sulla pro- 
duzione di Suoni per mezzo del scariche nei tubi a gas rarefatto e nelle 
flamme. — Q. Ma.iokana : Nuovi fenomeni magneto-ottici presentati da spe- 
ciali soluzioni magnetiche. — W. Voigt : Sul feuomeno Majorana. 

Août. — Mort de Riccardo Felici. — E. Almansi : Sopra un problema di 
elettrostatica. — G. de Rossi et A. Sella : Sul comportamcnto elettrico délie 
flamme in un campo elettrostatico alternato. - — A. Sella : Ricerche di 
radio atlivita indotta. 

Septembre. — Allegretti : Sul feuomeno Edison. — A. Gakhasso : Su la 
polarizzazioue rotatoria dei raggi di forza elettrica. — A. Varali-Thevenet : 
Calore di soiuzione. — V.-E. Boggara : Sulle variazioni diurne délia rifra- 
zione atmosferica. — A. Pochetti.xo c A. Sella : Conduttivita elettrica acquis- 
tata dair aria proveniente da una sofi'ieria ad acqua . 

Octobre. — A Battelli : Necrologia del Prof. Riccardo Felici. — G. Piag- 
GEsi : Maguetizzaziona dei liquidi col cambiare délia temperatura. — G. Erco- 
Li.M : Influenza del carapo elettrico sulPelasticità del vetro. — E. Al.mansi : 
Sopra un problema di elettrostatica. 

Annuaire du bureau des Longitudes pour 1903. — G»- petit volume 

contient, comme toujours, une foule de renseignements indispensables à 
l'ingénieur et à 1 homme de science. Parmi les notices de cette année, signa- 
lons tout spécialement celle de M. R. Radau, sur les Etoiles /liantes et 
Comètes, celle de M. J. Ja.nssen, Science et Poésies et enlîn les Discours 
prononcés aux obsèques de MM. Faye et Cornu. Paris, Gauthier- Villars. 
In-i6 de près de Sjo pages avec figures : i fr. 5o (franco, 1 fr. 8J). 

Annual Report of the Smithsonian Institution showing the opérations, 

e.vpt'uiliturcs. and condiliun of llic Institution for the year eiuiingJune 3o, 

1901. — \Vasliinglou : Government printing Odice, 1902. 

Ce maguiflque volume de LXVII — 782 pages, gr. in-8'^, contient des 



i56 BLLLETiy BIBLIOGRAPHIQUE 

articles des plus intéressants sur létat actuel des grandes questions scien- 
tifiques. Nous citerons particulièrement : 

C. G. Abbot : Sojne Récent Astronomical Events. — C'. Farrington : A 
Century of the Study of Météorites. — J.-H. Poynting : Récent Studies in 
gravitation. — Lord Kelvin : On Ether and Gravitational Matter through 
Infinité Space. — J.-J. Thomson : On Bodies Smaller than Atoms. 

Outre ces questions particulièrement mathématiques, le volume contient 
des mémoires non moins savants sur la Physique, la Chimie, les Sciences 
naturelles, etc.. 

F. Enriqi;es et Uco Amaldi. — Elementi di Geometria ad uso délie scuole 
secondaric superiori : i vol., in-i'2, XXII, -635 p. ; prix : L. j.DO ; Bologne, 
IN'. Zanichclli. igoJ. 

SoPHvs Lie. — Ueber Integralinvarianten und Differentialgleichungen 

Mémoii'C postluuue. 1903. i hrucluico in-/|'^' de 7 > passes. In Kouiinission 
bei J. Dybwad Christiania. 

G. Malpi.n. — Opinions et curiosités touchant la Mathématique, xvi, 
XVII, xviii'-* siècles. Deuxième série, i vol. in-8"^ de 332 pages. Prix ; 5 fr. 
Paris, C. Naud. 

E. Pascal. — I Gruppi COntinui di trasformazioni Parte générale délia 
Tcoria) . IS'^* 327-328 de la Collection Hoepli. lu vol. relié in-iG, 358 p., 
prix: 3 L. ; U. llocpli. Milan, igoj. 

H. PoiNCAiu':. — La Science et l'hypothèse, i vol., petit in-H*^ de 284 pages. 

Prix : 3 fr. 5o. Paris, 1^. Flanimaiion. 

H. PoiNCAKÉ. — Figures d'équilibre d une masse fluide animée d'un 
mouvement de rotation. Leçons professées à la Sorbonne en 1900, 
rédij'-fLs par- L. Un ylus. i vol. in-8° de 210 pages avec figures. Prix : 
7 l'r. l'aris, C. Naud. 

E. Stluy. — Géométrie der Dynamen Die Zusammenselzung von Kriillen 
und Verwaudti- < icgriishiiidr dt r < nonu'lrie. Zweile Lief'eruiig (p. 241 à Go3). 
Un vol. jr!-. iii-8", prix : .Mk. 1 J, 40; B. G. leuijuer, Leipzig, 1903. 

Bern. Riemann's gesammelte mathematische Werke. — .Nachtriigc 

llerausgcgeben von \L Aoether u. W. \\ihtin(.i;r. In \o\. in-8'^', iiG p.; 
prix : .Mk G; B. G. Teubner, Leipzig, 19U2. 

i\. V1VA.M1. Complementi di Matematica ad uso d<i Chimici «• dei 

Naturaiisti. N'"' 3j9-33o de la CoUiu-litm //'rjili. l n vol. r<'lii'', in-iG, 582 j).; 
prix ; 3 L. ; D. llœpli, Milan, iyo3. 

V. WiLiioT. — Etudes sur les nombres premiers. Première partie : La 

voie de Riemann. 1 brocli. gi-. in-H" de jo pages; ilermann. Pa!"is 1903. 
prix : 3 francs. 

ZiNDLEit (K(inrad). — Liniengeometrie mit Anwendungen. l'^rsier Teil. 

(t. XX.XIV de la Collcitioii Srliiihi-rlj i vol. in-ij." .îHn p. ; |irix : .Mk. 12; 
(i.-J. ( i|■l^(•lll•n. Leijizig. 1902. 

Le (icrnnt : C. NAUD. 

ÉVKKL'X, I Ml'ltl M El< I E DE C II A U I. K 8 II É H I 8 H P. Y 



L'ESPACE EST-IL EUCLIDIEN? 



La question des Géométries, où se rencontrent à titre égal la 
Mathématique et la Psychologie ou plutôt la science appelée par 
les Allemands la Théorie de la connaissance, partage avec les 
questions métaphysiques cette particularité, que la difficulté con- 
siste surtout à en déterminer la signification précise. 

Nous nous proposons de faire un exposé d'ensemble de la 
question, en nous attachant à lexamen de certains points, dont 
l'obscurité, exploitée par l'ignorance mathématique, a permis la 
production d'un flot abondant de sophismes. 

T 
Aperçu historique. 

Le meilleur moyen d'aborder une question obscure ou obscur- 
cie consiste à en faire un exposé historique. 

C'est ce que nous allons faire brièvement, en nous efforçant 
surtout de dégager l'unité de l'oeuvre accomplie par les illustres 
Géomètres dont nous rencontrerons les noms. 

Principes de la céomktiue. — Si l'on examine avec ([uehjuc 
attention les démonstrations des théorèmes fondamentaux de la 
Géométrie, on découvre bientôt qu'elles sont essentiellement 
basées sur les piopriélés des déplacements sans déformation, fait 
fondamental que les traités élémentaires ont peut-être le tort de 
ne pas mettre nettement en lumière. 

Les propriétés primortliales de ces déplacements constituent 
donc les vrais axiomes de la Géométrie, et les éléments mis en 
œuvre dans cette science sont ceux dont la notion est intimement 

Eiiseitfnomoiil nialh. ii 



i58 G. COMBFBIAC 

liée il celle de ces déplacements ou, dune manière plus précise, 
est invariante dans ces déplacements : un point reste un point, 
une lione reste une lis'iP, une surface reste une surlace : léira- 
lité, la perpendicularité se conservent, etc. 

Ce tait capital s'exprime en disant que la Géométrie est la t/iéoric 
(les propriétés invariantes dans les déplacements sans déformation. 

Enonçons les propriétés fondamentales des déplacements sans 
déformation sans tiop nous préoccuper des doubles emplois pos- 
sibles. 

L égalité des figures étant définie par leur superposabilité. 
c'est-ii-dire par la coïncidence au moyen de déplacements sans 
déformation, la proposition : deii.v /i<(itres égales à une troisième 
sont égales entre elles, exprime que le résultat de deux déplace- 
ments opérés successivement peut être obtenu par un seul dépla- 
cement, autrement dit que les déplacements constituent un 
i^ronpe d opérations. 

On peut toujours déplacer une ligure de manière a anuMier un 
de ses points en un point quelconque de l'espace i tra/isitii'ité du 
groupe). 

Si l'on fixe deux points A et B d'une figure, un iléplacement 
continu est encore possible, dans lecpiel demeurent fixes tous les 
points d une ligue passant pai- les [)oints A et D. On définit ainsi 
une cat('f'"(>i'ie de lifriies (lignes droites , dans huiuelle cbacune 
est déterminée par la connaissance de deux de ses points. 

Queiilt'ud-on par Gé'ométrie non-euclidienue .' 

On sait (|u un îles axiomes de la Géométrie occupe une place à 
pari dans cette science, c'est le postulat des paialli-les. connu 
aussi sous la désignation, plus ou moins légitiiur. di- XI' axi(»me 
d lùiclide et ainsi ciioncf p;ir iMiclidf : 

(' Lorsque deux ilroites sont rencontrées par une troisii'me, de 
manière (nie la somme des angles internes sitm-s il un même coté 
de celte dt'inière soit inléiieiii c a di-ux angles tli<iits, les «leiix 
droites, iutb-liniment prolongées, se c()ii|ifnl du cote où se liou- 
vcnt ces tleux angles ('). » 



^') « Ka'i iàv £•!; oJo ijr,i'.7.i s'jOiTa èiJir'.TTÏojTX tï; ivto; y.i\ IrÀ tî aJ^i 
(/iof, ^itmx; o'jo ôo^jÙjw é"/27ffova; ro'.f,, £x,'3ai'/.o;ji£va; Ta; oio e'joeîa; sn'àrs'.oov 



i:i:Sl>.lCE EST-IL ELCLIDIES'! 159 

Il résulte de là que. si par un point O extérieur à une droite D, 
on lui nii'ne une perpendiculaire et ii celle-ci également une per- 
pendiculaire, cette dernière est la seule droite menée par le 
point O qui puisse ne pas rencontrer la droite D, et elle ne la 
rencontreia pas en effet, si l'on ajoute Thypothèse que par un 
point quelconque^ on ne peut mener qu'une perpendiculaire à 
une ligne droite. 

TnAVAUX DivEiis. — De nombreux efforts ont été faits et sont 
faits encore pour démontrer le postulat des parallèles. Ce qui va 
suivre montrera clairement la vanité de ces recherches. 

Encouragés et sans doute guidés par Gauss, le Russe Lobat- 
chewski (1829) et le Hongrois Bolyai (i832) parvinrent, chacun 
de son côté, ti édifier synthétiquement une Géométrie parfaite- 
ment conséquente avec elle-même en laissant de côté cet axiome 
et en admettant au contraire que l'on peut, par un point extérieur 
il une droite, lui mener une infinité de parallèles comprises dans 
un certain angle. 

Il semble que Gauss lût déjà parvenu à des résultats ana- 
logues dans des recherches qui ne lurent publiées que beaucoup 
plus tard. 

Riemann (i8j4)i traitant la question analytiquement, fonda la 
Géométrie sur la notion de distance généralisée, ou plutôt sur 
l'expression de l'élément linéaire. 

Il parvint ainsi, non seulement à la Géométrie de Lobalchewski- 
Bolvai, dans laquelle la ligne droite a un seanient à l'infini, mais 
encore à une Géométrie dans laquelle la ligne droite n'a pas de 
points à l'infini. 

Cayley (1859) généralisa également 1 idée de distance, d'une 
manière moins abstraite, en la fondant sur des propriétés projec- 
tives. 

Nous désignerons, avec Beltrami et lielmollz, sous le nom de 
Géométrie sp/iériq//e, celle de Riemann, et sous le nom de (jéo- 
mctrie psendo-sp/iérique, celle de Lobatchewski-Bolyai. On dis- 
tingue aussi ces diverses Géométries au moyen des qualificatifs 
à-ltuperbolique (Lobatchewski), elliptique (Riemann) et parabo- 
lique (euclidienne). 

On doit aussi citer, dans le même oi'dre de recherches, les 



i6o G. COMBEBIAC 

remarquables travaux de Beltrami sur les surfaces à courbure 
constante. 

Les recherches de Riemann étant basées sur les propriétés 
dune expression différentielle, ne se prèlaient pas à rétablisse- 
ment dun système d'axiomes pouvant servir de base i» la Géomé- 
trie. 

Ilelmoltz (1868) (^) s'efîorça d'énoncer nettement les axiomes 
communs ii la Géométrie euclidienne et aux Géométries non- 
euclidiennes. c"est-ij-dire les propriétés des déplacements d'oii 
peuvent être déduites toutes les propriétés indépendantes du pos- 
tulat des parallèles. 

Axiomes de Sophus Lie. — Sophus Lie (1890) (",. utilisant ses 
admiral)les travaux sur les groupes de transformations, montra 
que les déductions d'IIelmoltz se trouvaient, en certains points, 
erronées, que son svstème d'axiomes présentait à la lois des insul- 
fisances et des superfluités, et enlin établit, d une manii're (pii 
paraît cette fois définitive, les propriétés des déplacements pouvant 
donner lieu indliréremment aux Géométries euclidienne et non- 
euclidienne, et pas à d'autres. 

Les principes posés par l^ie, pas plus que ceux d'Helmoltz, ne 
s'expriment pas avec toute la simplicité désirable dans le langage 
de la Géométrie constructive. 

Lie a énoncé deux systèmes é([uivalents de j)riiuip('s. présen- 
tant deux propositions communes, savoir : 

1. U espace est une iuiriê/é à (rois (H/ncr.sio/is. — La première 
partie de celte proposition constitue moins l'énoncé d'une pin- 
priélé (lu une délinitinii douiiaiit au nu)l rspdcc une signilicali<»n 
précise : rensemblc d«s points. 

IL /a's déplacenwiits seins c/i'/u//n<iti<>/i fornienl un i^roiipe réel 
et conlinii. — Dire fjue les déplacements lonuent un gioupe, 
c'est dire (pu- dfu\ (igures égales, c'est-à-dire supeiposables :i 
une Iroisirnif, sont cgalrs entre «'lies. 



") Hki,M<»I.T7., Uflu'f (lir Ttiiil siK'lu'ii. «lie (lor (icoiin-trio /uni (IriiiKli- lic^'i-n : Cicil- 
lin^iT Niirliriclili'ii. iHlW ; ^Vi«^sl■ll^.(•llllllli<•|l<• Altllilntllllll^'<•ll, u" 1><I. .S. (iiS ; Diulli. 
L<i|)/.ij,'. Trnduit «mi friunnix pm- lloilcl ; llonniinii. l'iiiis. 

(') Soi'tii's Lir , Lri|)/.ij;<T llfi-ii-lilc. 1890; Tliroiie lirr '/'rnn.^/'<>mialii>n:ff;rii/>/irn 
■{" AtjH.liiiill, S. ty } : Tcnbncr. Leipzig. 



L'ESPACE EST-IL EUCLIDIEN.' i6l 

Dans un premier système d'axiomes, Lie complète ces deux, 
propositions par la suivante : 

III. Le groupe des déplacements présente la propriété de la libre 
mobilité [freie Bewcglichkeit) dans V infinitésimal., en entendant 
par là que, un point étant maintenu fixe, ainsi qu'un élément 
linéaire passant par ce point, un déplacement continu est encore 
possible, mais que tout déplacement devient impossible, si l'on 
fixe en outre un élément superficiel contenant cet élément 
linéaire. 

Cette proposition pourrait, me semble-t-il, être remplacée 
par la suivante, qui a une signification constructive : 

On peut toujours fixer un point quelconque, ainsi C[u'un autre 
suffisamment voisin du premier, de manière qu'un déplacement 
continu soit encore possible ; mais on rend tout déplacement 
impossible en fixant un nouveau point convenablement choisi 
sur une surface quelconque passant par les deux premiers points. 

Dans un second système d'axiomes donné par Lie, l'axiome de 
la libre mobilité est remplacé par deux autres, que nous tradui- 
rons, dans le langage de la Géométrie constructive, de la manière 
suivante : 

1° Si Von maintient fixe un point quelconque, tous les points 
susceptibles d'être atteints par un autre point quelconque sont 
situés sur une surface contenant le second point et ne contenant 
pas le premier; 

2° Autour du point fixe il existe un domaine triplement étendu 
et de dimensions finies, dans lequel tout point peut atteindre, par 
un déplacement continu, tout autre point situé sur la surface cor- 
respondante, dé f nie ci-dessus. 

Chacun des deux systèmes d'axiomes de Lie exprime des pro- 
priétés appartenant à tout groupe continu de transformations 
projectives conservant unequadriquc, ordinaire ou dégénérée en 
une courbe plane, à condition toutefois de se limiter à un 
domaine convenablement choisi. 

Bien plus, il s'appli(|ue à tout groupe seniblable à un de ces 
groupes, c'est-à-dire à tout groupe obtenu par une transforma- 
tion générale opérée sur les variables, et il ne s'applicjue ([u"à de 
tels groupes. 



i62 C COMliEBIAC 

Telle est la proposition démontrée par Sophus Lie en se basant 
sur les propriétés, découvertes par lui-même, des groupes de 
transformations. 

Il résulte de là que, si Ton appelle « point « renscmble de trois 
coordonnées, et « déplacements sans déformation », les trans- 
formations de Tun des groupes ainsi définis, on pourra établir, 
par rapport à ce groupe, des définitions et des propriétés corres- 
pondantes à celles de la Géométrie oii n'intervient pas le postu- 
lat des parallèles. 

Quant à ce postulat, il devra être remplacé par d'autres pro- 
positions convenablement choisies suivant le groupe pris pour 
base. 

Enfin nous citerons les ouvrages de M. Klein ' ( i88c)-()o; sur la 
Géométrie non-euclidienne, où l'on trouvera, en plus d'un bol 
exposé des travaux indiqués ci-dessus (sauf ceux de Lie), des 
résultats personnels du plus haut intérêt, notamment sur les 
diverses formes d'espace susceptibles de correspondre i» une 
même détermination métrique. 

Des travaux illustres c[ue nous venons 'd'énumérer résulte sans 
conteste la posslljililé d'établir, en écartant le ])ostulat des jtaral- 
lèles,des Géométries conséquentes avec elles-mêmes et, par suite, 
l'impossibilité de démontrer ce postulat en sappuvant sur les 
autres axiomes. 

D'ailleurs, un simple regard jeté sur une surlace spliériquc 
montre (pi'on v peut réaliser une Géométrie salislais;inl, a l'inté- 
rieur d'un domaine convenablement limité, aux axiomes il'Kn- 
clide, i> l'exception du postulat des parallèles. 

Il 

Les Géométries et leurs relations. 

Du I i;i!i;.\Ti:s Gi';o.mkthii;s. — Nuus allons t'-tudii-r diin peu plus 
iti'i'S les (liH/'rrnIrs Gi'oiihI iH's il les i iliiJ ions (|iif 1 on prni <l;i- 
blir cnlic rllcs. 



(') Kl.i:i>. Nichl-EHcliilisilir Crnmcirlp \'i>r/r.iiiiii;i'ii , jiiis^''ciirl)iM-|cl \oii Vv. Srliil- 
liiig, (joUin^Tn, iHij'l. 



1/ ESI' ACE EST-IL EVCLIDIES'! i63 

y ani-:iil-ll autant do Géométries qu'il y a de groupes de 
transformations du type indiqué par Sophus Lie ? 

Nullement, pourvu que Ton n'envisage que l'enchaînement 
logi(jue des propositions, en faisant abstraction de la diversité 
des ligures susceptibles de leur correspondre. 

La Géométrie correspondante h un groupe ne dépend que des 
propriétés que présentent, par rapport à ce groupe, les notions 
fondamentales relatives à ce groupe : lignes jouant le rôle des 
lignes droites, fonction jouant le rôle de la distance, etc., de 
sorte qu'une seule Géométrie correspond à tous les groupes sus- 
ceptibles de se transformer l'un dans l'autre par un changement 
quelconque, toutefois réel, de variables. 

On peut donc se borner à considérer les groupes dans lesquels 
les lignes jouant le rôle des lignes droites sont edectivement les 
lignes droites de la Géométrie vulgaire, c'est-à-dire les groupes 
projectifs conservant les quadriques de cette dernière Géométrie, 
et, parmi ceux-cf, ne distinguer que trois cas (^certains cas étant 
éliminés par les conditions auxquelles doit satisfaire la mesure 
des angles), donnant lieu à trois Géométries, savoir : 

Quadrique réelle (domaine intérieur), Géométrie pseudo-sphé- 
rique ; 

Quadrique imaginaire à équation réelle, Géométrie sphérique; 

Quadrique dégénérée en une conique imaginaire, Géométrie 
euclidienne ; 

On est toutefois conduit, comme on le verra plus loin, à intro- 
duire dans les Géométries non-euclidiennes un paramètre, qui 
semblerait indiquer que ces Géométries forment une série sim- 
plement infinie. 

Nous verrons qu'en (ait ce paramètre est arbitraire, ([uand on 
ne considère que la Géométrie où il figure et (ju'il ne caracté- 
rise une propriété de celle-ci que lorsqu'on la compare à une 
autre présentant avec la première certaines relations. 

Distance gkxéhai.iski: siivant Cayi.ey. — Nous pouvons évi- 
demment nous servir de la Géométrie vulgaire comme svstème 
d'analyse pour étudier, au jioinl de vue qui nous occupe, un 
groupe conservant une quadri(pie. Soit l'équation de la quadricjue 



o. 



o, 



i64 G. COMBEBIAC 

le premier membre représentant une fonction du second degré 
des coordonnées x, y, z. 

Le groupe admet un invariant simultané relatif a deux points 
quelconques x, //, c ; x', y' , z' , savoir le rapport anharmonique 
formé par ce couple de points avec les points d'intersection de 
la quadrique et de la droite qui les joint. 

En posant 

1 r ôQ , , ôû , ôQ ,1 

''"■ = - L à? ■•■ + ^-'+-ôr-J 

ce rapport anharmonique a pour expression 



F [x, x') = 



Q,r' — [/i>-s.>—Q.^iîr 



et l'on peut choisir pour l'invariant une fonction quelconcjiie de 
cette quantité. 

Pour trois points, .r, i/. z ; x', i/\ :■' ; .r'', y' , z", en ligne droite 
et se succédant dans l'ordre où ils sont écrits, Ton a 

F [x, x'') = V {x, x') X F (.r', x"), 

formule que Ton vérifiera en remplaçant dans le second membre 
les coordonnées du second point par les expressions 

x' = tx -\-(lr" 

où / cl sont dos nomjjies ct)mprls rnlie /.( ii» el 1 niiite et a\an! 
leur somme éfjale u riinité. 

Si Ton veut que la distance soil nue foncllon satisfaisant, dans 
les conditions ci-dessus, à la rehition 

f[x,x") = f^x, x') -{-f(x', x"), 
son expression génerak* devra être ('-n ith-inniml 



L'ESPACE EST-IL EUCLIDIES; i65 

OU encore 



(2) f (j", x ) = 2 te arc cos — , — zrzi arc tang , 

où f est une constante arl:)itraiie. 

L'expression i) conviendra au cas de la ([uadrique réelle, et 
Ton devra alors choisir pour c une valeur réelle et positive ; 
l'expression (2) conviendra au cas de la quadrique imaginaire, 
et Ton devra alors donner à c une valeur imaginaire pure 



On voit qu'en Géométrie sphérique (ou riemannienne) la mesure 
des distances sur une ligne droite présente les mêmes caractères 
que la mesure des angles autour d un point dans la Géométrie 
plane ordinaire. 

PARAMÎiTRE DES Géométries xox-euclidiexxes. — Le paramètre c 
(paramètre k de Gauss et de Lobatchewski) représente une lon- 
gueur déterminée, savoir la distance de deux points dont le rap- 
port anharmonique relativement ii la quadrique fondamentale est 
égale à e. 

Donner une valeur déterminée à c revient h fixer l'unité de 
longueur. 

L'introduction du paramètre c présente l'avantage de rendre 
arbitraire l'unité de longueur et par suite homogènes les for- 
mules des Géométries non-euclidiennes ; mais la propriété con- 
sistant dans l'homogénéité des formules n'aura pas le même 
caractère que dans la Géométrie euclidienne. Dans cette dernière, 
la multiplication par un même nombre de toutes les longueurs 
figurant dans une formule peut être interprétée soit comme un 
changement d'unité, soit comme une modification par similitude 
des figures ; dans les Géométries non-euclidiennes, cette dernière 
interprétation n'est pas possible, car la longueur représentée par 
le paramètre c est liée à la Géométrie même et ne peut être 
modifiée par une transfoimation ponctuelle. 

Détehmixations MÉruiQtEs présentant un contact en un point. 
— Nous avons vu qu'il n'existait, à proprement parler, que trois 
Géométries différentes, en désignant par le mot Géométrie un 



i66 G. COMBEBIAC 

ensemble de propositions, susceptibles d'ailleurs de corres- 
pondre à des images géométriques diverses. Dans cet ordre 
d'idées, on ne distingue pas, par exemple, la Géométrie rieman- 
nienne sur le plan de la Géométrie sur la sphère, (juoicpie les 
propositions de l'une et de l'autre ne deviennent identiques 
qu'en remplaçant dans cette dernière les mots grand cercle par 
ligne droite. 

Une même Géométrie peut être obtenue en choisissant des 
opérations différentes pour définir l'égalité, c'est-à-dire la super- 
posabilité ; l'égalité aura les mêmes propriétés, mais les figures 
égales ne seront pas les mêmes dans les deux cas. 

iNIais rien n'empêche d'envisager h la fois dans l'espace, conçu 
simplement comme l'ensemble des points, les différents groupes 
de transformations susceptibles, suivant le théorème de Lie, de 
donner lieu à des systèmes de détermination métricjue. 

Les groupes dans les([uels les lignes jouant le rôle des dioiles 
sont les mêmes, donneront lieu aux mêmes propriétés projeciives 
des figures. Ces groupes sont compris dans un même groupe, 
savoir le groupe projectif général. 

11 peut exister entre deux de ces groupes une relation eonsis- 
lantence que les déterminations métri(|nes correspomlanlcs (h)n- 
nent lieu, en un j)oint déterminé de l'espace, aux mêmes 
j)ropriétés, aux infiniment petits prJ's d'ordre supt-rieur. 

M. Kleïn ^'j exprime cette rehition en disant i\\\c les cLmix 
déterminations métri(|ues (^Maa. s.s hcs 1 1 /n /n n // ^ c/i , [ncsentent un 
contact en un point. 

Considérons une délenuiiialion euclidienne el nue détermina- 
tion non-euclidienne pri-sentaiit un e(»iitact en un point (). 

En ce point, le cône isotrope eiuli(hen doit se conlondic avec 
le v.ùui'. tangent ii la <juadri([ue fondamentale non-euclidienne, 
c'esl-a-<lire ijiie le j»lan de l'infini et le cercle iinaginairi' de l'in- 
fini euclidiens se confond(>nt respectivement avec le plan p(daire 
du point () par rapport ii cette (|inulri([ue londamentale et avec 
1 intersection de ce |)l;in et <le cette <|Ua(lrique. 

Auli'einenl dit, l;i (|ua(lri(|iM- iunilanientale du svsl<'>nie non- 
euclidien considère <-st, dans le système euclidien considère, une 



Cj Ki.i IN. M((t/i. Annttliit, IJiJ. !V, S. "17 { ; triuliiil tii frnin ais |iiir I.;nif,'il, Piiris. 



LESPACE EST-IL EUCLIDIEN? 167 

sphère ayant pour centre le point O, et par suite de la forme : 

c étant réel ou purement imaginaire et de la forme / c' . 

On est conduit, d'après les idées de Riemann et de Beltrami,;i 
donner le nom de courbure à l'expression 

I 
"4^' 

la courbure étant positive pour une géométrie sphérique (qua- 
drique fondamentale imaginaire) et négative pour une géométrie 
pseudo-sphérique (quadrique fondamentale réelle). 

Il reste bien entendu qu'il ne faut associer à ce mot de cour- 
bure aucune des images géométriques qu'il éveille dans la théo- 
rie ordinaire des surfaces et des courbes. 

Formons, d'après la formule (i) ou (iZ'/s), l'expression de l'élé- 
ment linéaire ds relatif à la détermination non-euclidienne cor- 
respondante à la quadrique ci-dessus. 

Cette expression contient un paramètre arbitraire c, mais la 
condition de retrouver, pour x ^= y ^^ z = o, l'expression eucli- 
dienne de l'élément linéaire, conduit à l'égalité des deux para- 
mètres que nous avons désignés par la même lettre c en prévi- 
sion de ce résultat, et l'on a finalement : 

, ^c^-(dx''^ch'-+d-J]~{yd.r—xdyY-—{zdY — ydz'^—[xdz—zdxY 

(4c-— X-— J-— C.-;- 

On voit que cette expression se conlond avec l'expression habi- 
tuelle de l'élément linéaire, non-seulement pour .r = ?/ ^^ ^o, 
mais encore, x, y et c étant quelconques, pour c^ =: co. 

Par la condition que les deux géométries considérées donnent 
lieu à la même détermination métrique au point O, la longueur 
non euclidienne c a pris une signification par rapport à la 
géométrie euclidienne, et devient caraetérisli(pie de la géo- 
métrie non-euclidienne considérée parmi celles qui ont un con- 
tact en avec cette géométrie euclidienne. 

On remarque que, tandis qu'il existe une série simplement 
infinie de géométries non-euclidiennes ayant un contact en un 
point donné avec une géométrie eucidienne, il n'existe qu'une 



l68 G. COMBE BIAC 

géométrie euclidienne jouissant de cette propriété par rapport h 
une sféométrie non-euclidienne donnée. 

o 

Pour comparer les déterminations métriques sur une ligne 
droite, faisons dans la formule donnant l'expression de Télément 
linéaire : 



On a alors, x désignant la distance au point suivant la déter- 
mination euclidienne et s la même distance suivant la détermi- 
nation non-euclidienne : 

4cV.r 



ds 



4 c- — X- 



En géométrie pseudo-sphérique (lobalchowskienne) : 

,s=:2clos; — -. 

•^ (2C— x)- 

En géométrie sphériquc (riemannienne), l'on a pour c' = i c' , 

^c'-d.r .r 
as = — 7T — ; -,s=i2c arc lana; . r-- 

Nous venons de voir comment se présentent les tlélermina- 
tions métricjues non euclidiennes, dans Tanalvse eucliilicnno. 

Pour varier les points de vue, supposons, au contraire, ([u«', 
tout en employant des instruments de mesure non-euclidi»Mis, 
Ton continue à tenir pour exactes les formules et les raisonne- 
ments euclidiens. 

Dans ces conditions. Ton leniplace en elia([U(' point de lespace 
la (It'tcrmination métii([uc non-euclidienne j)ar la dctei-niinallon 
euclidicMinc ])résentant avec la prcniit'i'c un contact en ce jioint, 
de inéuKî (jue Ion emploie souvent, \\ la place d une pelile por- 
tion spherique une représentation plane obtiMiin' en projetant 
celte portion superficielle sur son |)lan langent. 

Toute détermination mélri(jue diiccte id'angh' on de dislance) 
se conlondra ainsi en cliarpié point avec la vraie, et la longueur 
d'une lign<" (d)tenne par la niensnralion successive de ses seg- 
ments élémentaires sera concordante avec la longueur (pii résul- 
tei'iiil (le hi (letertniii:it loii noii-enel iiliemie considérée. 



L'ESPACE EST-IL EUCLIDIEN? 169 

Mais la déterminatioM euclidienne employée différera d'un 
point à un autre, de sorte que les résultats ainsi obtenus par 
des mesures directes ne seront pas concordants avec les résultats 
calculés au moyen des Torniules euclidiennes. C'est ainsi que 
l'on constatera, par exemple, que la somme des angles d'un 
triangle est différente de deux angles droits. 

Géométrie euclidienne sur la sphîîre. — Pour associer quel- 
ques images géométriques aux considérations analytiques expo- 
sées dans ce paraphe, appliquons celles-ci à la Géométrie sur une 
sphère, c'est-à-dire à l'ensemble des propriétés invariantes 
dans les déplacements sans déformation conservant cette sur- 
face, déplacements qui sont les rotations autour du centre. 

Parmi les notions primordiales, l'on trouve le point et le 
grand cercle. 

On peut toujours, par un déplacement, amener un point en 
un autre point quelconque de la sphère. 

Un point de la surface étant fixe, on peut encore opérer un 
déplacement de manière à amener un autre point quelconque sur 
un grand cercle passant par le point fixe. 

Par un point on peut mener un grand cercle, et généralement 
un seul, perpendiculaire a un grand cercle donné. 

On déduit de ces propriétés tout un ensemble de propositions, 
qui deviendraient identiques aux propositions de la géométrie 
plane indépendantes du postulat des parallèles, moyennant le 
remplacement des mots grand cercde par ligne droite. 

Il y a lieu d'observer toutefois qu'on doit, pour cette équiva- 
lence, se limiter sur la sphère, à un certain domaine, en raison 
du fait suivant : 

Tous les grands cercles passant par un point passent par 
son opposé et sont perpendiculaires au grand cercle dont ces 
points sont les pôles. 

Nous reviendrons plus loin sur cette particularité. 

Pour comparer deux déterminations métriques au moven 
d'images sphériques, comme nous l'avons fait au moven d'imacres 
planes, prenons sur la sphère, pour système de référence, deux 
grands cercles rectangulaires se coupant en un point O, pris 
pour origine. 



G. COMBE BIAC 



Les coordonnées d'un point INI seront les longueurs X et Y 
des arcs de ces grands«cercles compris entre le point et les 
grands cercles menés par ^I perpendiculairement aux premiers. 

Les trois coordonnées du point M par rapport à un système 
trirectangulaire ayant pour origine le centre de la sphère, un des 
axes passant par le point 0, ont pour expression : 



Cos — bi„ _ 
R 



y/cos^ A+Cos^^ -Cos^^Cos^-l 



r ^ r ^' 
Cos -rjT- Cos 



V ^°^' ir + ^*'^' "K ~ ^°^' "ir ^°^'' K 



Cos — Sm — 



n — , . 

V i^ ' -"^ 1 r ^ ^ r ■' -"^ r •> ^ 
\/ Cos-—- — kCos- Cos- -——Cos-— - 

V il ^ Il U II 

On vérifiera que tout déplacement sans délormalion de la 
sphère, savoir une rotation autour de son centre, laisse invariante 
l'équation 

Cos^ -1 +Cos^ ^ -Cos-^ i;- Cos^ l^=o. 
ou 

Posons 

.r=RlK-j^, j-Rttî-j^. 

Tout déplacemenl sansdéfonnalioii tle la sphèie sera repiésenlé 
par une Iranslormalion piojcclive en .r cl y conscrvaiil Téipia- 
tioii quadratique : 

Un grand cercle de la spht-re a une é(|uati»)n di- la lorme 

n Cus -j-- Sin —- 1- h Cos -^ Sin -; (- <• (^os -^ (los —- rr o. 

Il 11 11 l\ li 11 

OU 

as -j- hy -j- c =: o. 

La position d un |miiit sur la sphère es! uiir loiiclioii jx'iicidi- 



L'ESPACE EST-IL EUCLIDIEN'.' 171 

que des coordonnées X et Y, de sorte que les systèmes de valeurs 
X, Y et X-f- 27:R, Y -f- :>. 7: R, représentent le même point. 

Les coordonnées x et y sont également des fonctions périodi- 
ques de X et Y, mais de période 7: R, de sorte qu'aux deux 
points X, Y et X -|- t: R., Y -|- t: R correspond le même systèm»> 
de valeurs x, y. 

En laissant de côté un des deux points correspondants à x et 
y, on ne considère, en faisant varier .r et y de — ^ oo à -f- oo , que 
la demi-sphère limitée par un grand cercle ayant pour pôle le 
point O. Le groupe euclidien ayant un contact en O avec le groupe 
des déplacements sphériques est représenté par le groupe pro- 
jectif continu en x, y, conservant l'équation 

La courbe de l'infini relatif à ee système euclidien est le grand 
cercle avant pour pôle le point O. 

Par un de ces déplacements euclidiens, un point quelcoiujui' 
de la demi-spère ne pourra jamais atteindre ce grand cercle. 

Les rotations euclidiennes autour du point O se confondent 
avec les rotations sphériques. 

Une translation euclidienne sera une transformation dans 
laquelle tous les points décrivent des grands cercles perpendicu- 
laires à un même grand cercle passant par le point O. On voil 
que ces grands cercles rencontrent le grand cercle de linfini an 
même point. Ils jouent le rôle des parallèles de la géométrie 
plane ordinaire. 

Ainsi se trouvent réalisées, sur la sphère, deux géométries : l'uni' 
non-euclidienne, qui est relative aux déplacements vulgaires do 
la sphère ; l'autre euclidienne, qui comprend un ensemble tle 
de propriétés susceptibles d'être exprimées par les mêmes pro- 
positions (pie les propriétés de la géométrie plane ordinaire. 

III 
Linfini géométrique. 

DlVEKSCS COCEPTIONS UE L.\ LIGNE DROITE ET DU PLAN. XoUS 

nous sommes eflbrcés, dans les pages précédentes, en variant 
les ligures que l'on peut (aire correspondre ii une même lelation 



172 G. COMBEBJAC 

lofrique. de détruire certaines associations d'idées, et de montrer 
notamment que la détermination métrique des longueurs et des 
ancrles constitue une idée indépendante de la conception même 
des figures. 

La conclusion qui s'en dégase est celle-ci : 

On peut, tout en maintenant les concepts vulgaires du point, 
de la droite et du plan, détenir des géométries conséquentes 
avec elles-mêmes en modifiant d'une certaine manière l'idée de 
la détermination métrique, de sorte que les propriétés où inter- 
vient ridée de mesure peuvent être très difléreutes de celles de 
la géométrie ordinaire. 

On comprend ([ue la somme des angles d'un triangle ne soit 
plus égale à deux angles droits, si la mesure des angles est tout 
autre ([u'en géométrie euclidienne et si les angles droits eux- 
mêmes ne sont pas ceux de cette géométrie. 

11 semble, dans ces conditions, ([u'on ne doive rencontrer au- 
cune diflicullé à admettre les conceptions nouvelles à côté des 
conceptions ordinaires. 

C'est pourtant dans les difficultés que l'esprit éprouve à créer 
des images géométriques correspondantes aux concepts des géo- 
métries non-euclidiennes <[iie l'on doit voir l'origine di' la répu- 
gnance qu'ils inspirent à certains esprits. 

C'est que, contrairement à nos prévisions, ce ne soni pas seu- 
lement nos conceptions de la mesure qui exigent des modifica- 
tions, mais encore nos conceptions de la droite et du plan et 
surtout de l'infini. 11 y a là un (ait inattendu qui doit être exa- 
miné. 

Nous pouvons nous borner au cas de la gt'ométrlc spln'rl([ue 
(ou ileniannlenne). 

(^oiisub-roMS d abord la '{('•oméirie sur la lljxne droite. 

()m a VII (|iii' la ({('terminal iiin iicmniinieiine .s- de la distance il 
un point O est lice à la ((('terminalion euclidienne x avant un 
contact avec la pi-cmlàre en O par la formule 



X ■=z -i (■' laiif; 



■}. r 



La présence dune lonclion Iriironoiiii! i niiic sii-jifcre 1 asslini- 
latloii (le la diDilc au (crcle, (î'cst-ii-dirc I li\ potlu'se (jue deux 



L'ESPACE EST-IL EUCLIDJES.' i;^ 

valeurs de —, ne représentent un même point de la droite f[ue 

lorsque ces valeurs différent d'un multiple de 2-, de sorte qu'on 
doit, à chaque point de la conception euclidienne déterminée 

par une valeur de — ; comprise entre et — , associer un 

* ic ^ 22' 

point étranger à cette conception et correspondant à la va- 
leur —— -A- 71. 
2 c 

Les points de la droite vers lesquels on tend par les déplace- 
ments euclidiens effectués dans les deux sens et qui, dans la con- 
ception ordinaire, se confondent, seraient séparés par un segment 
correspondant point par point au segment de cette dernière con- 
ception. 

Cette nouvelle conception de la ligne droite est tout aussi légi- 
time que la conception ordinaire comportant un point ît l'infini, 
vers lequel on tend en se déplaçant dans un sens ou dans 
l'autre. 

Mais on peut tout aussi légitimement admettre que les deux 
points correspondants à une valeur de a\ que nous avons séparés, 

soient de nouveau réunis et que les angles — ; et -^, -j- -repré- 
sentent le même point de la droite. 

Achacune de ces conceptions correspond une conception du plan 
et une conception de l'espace ; d'où deux sortes de géométries 
correspondantes à la même détermination métrique. 

Dans l'une de ces géométries, à laquelle M. Klein réserve la 
dénomination de Géométrie splièrique en raison de sa plus 
grande analogie avec la géométrie sur la sphère, l'on admet que 
l'espace comprend des points situés au-delà de l'infini euclidien. 

Dans l'autre Géométrie, appelée par M. Klein Géométrie 
elliptifjtie, l'espace ne comprend que les points de la conception 
vulgaire. 

Deguiî de conxexité du plan. — La question relative au 
nombre de points de l'espace qui correspondent à un même 
système de valeurs des coordonnées nous parait être indépen- 
dante de celle des parallèles, quoique ce soit l'étude de celte 
dernière qui nous y ait conduits. 

La question se pose, non seulement indépendamment de toute 

Eiiseignciiienl iiuith. 12 



174 G. COMBEBIAC 

particularisation de la détermination métrique, mais encore en 
l'absence de toute idée de détermination métrique. 

Nous nous en rendrons compte au moyen de la Géométrie 
projeclive sur la ligne droite. 

On sait ({ue Ton peut déterminer la position d'un point sur la 
lione droite, sans Tintervenlion de l'idée de distance, au moveu 
d'un système général de coordonnées projectives, le système 
étant caractérisé par le choix des points correspondants à trois 
valeurs de la coordonnée, par exemple o, i et oo . 

Chacun des points de la droite est déterminé univo(juement par 
un nombre compris entre — ce el -j- 3c , les nombres — ce et -|- ce 
correspondant au même point, et le point de rintini sur la droite 
correspondant à une valeur quelcon([ue. 

On peut d'ailleurs, par des translormations projectives, amener 
le point de l'infini en un point quelconque en lui faisant par- 
courir la droite dans un sens ou dans l'autre, et amener un point 
quelconque en un autre point quelconque en passant par le point 
de l'inliiii. 

Il résulte de là que les piopiiétés pr<>jecli\ i*s il une ligne 
droite sont celles d'une ligne fermée [certains tlisent illiinitèe\ 

Pour des raisons analogues, le |)laii tloit être considéré comme 
une surface fermée. 

Mais alors nous nous trouvons en présence <.le ce lait : Etant 
donnée une droite D (ligne fermée^ sur un plan (suilace fermée , 
un point peut, en suivant une ligne droitr, passeï' d Un côté à 
l'autre de la droite D sans traverser cette ligne, pr(q>riété ([ui 
indif[ue (juc le plan est une surface il double counexilc 

En outre, on peut obtenir le résultat indicpH' au moyen d due 
trajectoire dilï'érant aussi peu que l'on voudra de la droite D, ce 
([ui exige que le plan soit une surface dodble. ()m |ieul l«)rmer 
[)ai- exemple une surface double en réunissant les petits côtés 
d'une bande de papier, de nianieie ii séparer les angles (Uii 
seraiiMiL réunis si l'on voulait oijjenir une surlace c> lindiique. 

l)u lait (jue le plan est uni; surlace double résulte la pr»qirii-t«' 
'Suivante : 

Si lextreniile d un slvlet di-cril une ligne di'oile du plan dans 
loule son eteniliie, le .slylel. revenu au point de dej»arl, ser;i du 
côté (In phin opposé il celui ou il se trouvait au dej)arl. 



L'ESPACE EST-IL EUCLIDIES ! 175 

Mais on peiil iiitei'préler autrement les propriétés projectives. 

Rien n'empêche de concevoir, comme nons l'avons déjà men- 
tionné, que chaque système de valeurs des coordonnées projec- 
tives représente deux points de l'espace, savoir celui de la con- 
ception habituelle, et un autre situé au delii de liiilini euclidien. 

Dans cette dernière conception de lespace, le plan serait une 
surface fermée simple et à simple connexité, et deux lignes droites 
situées dans un même plan se couperaient en deux points, dont 
l'un situé au delà de 1 infini euclidien. 

Ou voit que des conceptions diverses de l'espace peuvent cor- 
respondre à la même forme analytique. 

Dissociation des idées d'espace et d'ixfixi, — Les propriétés 
projectives des figures doivent être les mêmes pour toutes les 
Géométries métriques que nous avons étudiées, puisque les 
lignes droites et les plans de ces Géométries sont les mêmes 
lignes de l'espace ; les considérations que nons venons de déve- 
lopper sont donc communes à ces Géométries. 

En se bornant aux deux formes d'espace envisagées ci-dessus, 
la ligne droite est une ligne fermée et le plan, une surface fei- 
mée. Ces conceptions de la droite et du plan, quoique d'origine 
projective, doivent évidemment s'accorder avec la conception 
euclidienne et par suite, en dépit de l'intuition vulgaire, l'idée 
de l'infini doit être compatible avec celle d'une ligne et d'une 
surface fermées. Il faut donc franchement nier cette incompati- 
bilité qui n'est qu'apparente. 

La difficulté d'obtenir une représentation visuelle d'un fait ne 
nous parait pas être une objection contre la réalité de ce fait. 

Quand nous nous représentons la sphéricité tle la terre, ce n'est 
pas avec des images de faits terrestres, telles que les impressions 
d'un voyageur qui parcourrait un méridien, mais bien avec 
l'image d'une boule de petites dimensions. 

Nous interprétons un fait nouveau pour nous au moven des 
images antérieurement acquises par notre esprit, et cela n'est pas 
toujours possible. 

D'ailleurs quelles images visuelles correspondent à l'idée di 
l'infini euclidien .' 

Ce point à l'infini sur une droite, qui coïncide avec celui vers 



176 G. COMBEBIAC 

lequel on tend en s'éloiguant dans l'autre sens ; ce plan de l'infini, 
que l'on rencontre en prenant n'importe quelle direction, ne 
sont pas plus concevables en somme qu'une idée de l'espace 
privée de celle de l'infini en tant que propriété intrinsèque. 

Résultant uniquement de la nature du mouvement au moven 
duquel on suppose l'espace parcouru, l'idée de l'intlni doit 
être séparée non seulement de l'idée d'espace, mais encore de 
celle des lignes que nous qualifions d'infinies ; on peut même la 
faire disparaître totalement movennant une modification de la 
notion de distance. 

N'est-il pas naturel d'ailleurs que 1 idée de l'infini, qui n'est 
autre que celle d'une opération indéfiniment répétée ou conti- 
nuée, soit liée ii la nature de cette opération elle-même .* 

D'ailleurs cette idée, ainsi ([ue 1 idée parente d'iiiliiiiiiiont petit, 
constituent-t-eilcs, dans la science mathémati(jue, autre chose que 
des procédés analytiques, remarquablement féconds, permettant de 
déduire de certaines propriétés particulières, tenues pour exactes 
dans un domaine déterminé, d'autres propriétés valables seule- 
ment pour ce domaine, mais procédés impuissants, comme l'ana- 
lyse malhémati([ue elle-même, ii lournir des idées légitimes sur 
les propriétés particulières d'un autre domaine, aut[uel peuvent 
ne pasêtre applicables les idées que cette analvse a prises comme 
point de départ .' 

C'est ainsi qu'il serait vain de vouloir, au movci» de 1 analvse 
infinitésimale et sans autres expériences que celles qui sappli- 
([uent aux corps de dimensions ordinaires, se faire des idées sur 
la constitution intime de ces corps et sur les pr(q)riélés des p;irti- 
cules présentant des dimensions d'un autre ortlic de grandeiii'. 

A plus forte raison, les idées de l'infini et tle l'inliniment petit, 
([ui sont d'origine mathématique, ne sauraient répondre ii aucune 
propriété intrinsèque d'un concept figuré. 

L'idée tlf 1 infini n est donc pas inlicrrnic ii celle d espace ; 
c(;tte deinière peut être en ellet séparée tle celle de détermina- 
tion mi'Iricjue, et par suite de celle de 1 infini, <[nl |)eul en résul- 
ter, l'^u parliciiliei'. celle-ci |)eut èlrc exclue de hi (leonn-liie 
j)rojeclive et a jilus forte raison dr ÏA/ia/i/sis sitns. 

Ce n <'sl pas seulement relativemi'ul ii I infini <[iie I on ;i dote 
l'idée d'espîice de pioj)i iélés intrinsèques cpi elle ne coniporle p;i.s. 



V ESPACE EST-IL EUCLIDIEN.' 177 

Que penser des idées illusoires de forme, ndtiire, slrnclurc de 
l'espace, notions inconsistantes, qu'il convient d'abandonner aux 
métaphysiciens, lesquels semblent se complaire, en mauvais archi- 
tectes, à construire des édifices d'autant plus élevés que les fon- 
dements en sont plus précaires ? 

Le mot espace doit perdre sa prétentieuse importance pour 
devenir l'expression vague de la faculté que nous avons de localiser 
les objets ou, ce qui revient au même, de la propriété qu'ont 
les objets d'être localisés. 

(.1 suivre.) G. Combebiac (Limoges;. 



ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT 

D UN SYSTÈME INVARIABLE A TROIS DIMENSIONS 1 

QUI PASSE D'UNE MANIÈRE QUELCONQUE 

D'UNE POSITION DONNÉE Sj A UNE AUTRE POSITION DONNÉE il, 



U , »3, ) 



v; , . — Soient ABCU, A^B,CjUj et A,B,CJ ., des pyramides homo- 
loo-ues appartenant rcspecllvement aux systèmes S, l^ et 1,; ce 
sont, en raison de riiivariabililé du système 1', des pyramides 
congruentes. 

Prenons un point fixe O 
de l'espace pour origine 
des rayons vecteurs des 
points des systèmes ï, l, 
et ï,. Soient donnés dans 
les systèmes 1, ïj et ï, les 
points respectivement ho- 
mologues A, B, C; A,, B,, 
CietA„B,,C,, avec (ABC 
=1!^ O. Soit U un point arbi- 
traire, vaiiable, de 1, de 
manière (pie [\ et l ,s(»ienl 
respectivement les |»oiiits 
correspondants de ï^ elï,, 
a\ec la condilioM 

(ABCUji^o. 
Si lions posons Ji}^- i 

âjb; = a., TJ:^ = ;-i,, A. = o + .., m, -- o + ?,, c. - o + o,, 

u, ^=0-1- p, ré(piation du système ponctuel X, ou l', sera 

p. - Pi 4- ma, + //[i, 4- y; | (a,,'î,l . 




i:q[/vale.\c/-: du molvemesi dus svstemr 17., 
ou encore 

?=?1 +'"(?J — ?l^+ "[?-i — ?l)+P\[{?i—?x) (?3 — Pj)j- 

OÙ ni, n q\. p sont des variables numériques, indépendantes Tune 
de l'autre. 

Si le système S passe de la position S^ à la position ^.,, les 
])oints A, B, C et L subissent les déplacements totaux 



de manière qu'il existe pour le système ponctuel I.,, si l'on ])ose 
l., = + '}. la relation 

■i. = p + = p, + Oi + m(p, 4- ^, — p^ — ^, 1 + „ (p^ _(_ 5^^ _ p^ _ a^; 

+ 7^ I [{?2 + ^^2 — ?1 — ^^l] (?:! + 5, — ?, — ^~ 1. 

ou 

.^ = p, + m-, -^ p^^ + "f?a - ?i) +/^ I [(?. - ?.) (?. - ?i) j 
+ 0, + ,«(0^ - 0^) + n%-l,) +p I [(?,-?,) a -5,) 
- (?3 - ?,) (^. - ^1) + (5. - oj (0, - 5,)]. 

ou, moyennant (0, — o,) = o„, (0., — o^] = o., 

'} = ,' + = p, + m,.^ +«S,+ p 1 [:,{p^ 

et, si nous posons 

[(?2 + ^^.^- '?i + ^\)] = â;b,= «„ {{0, + $3) - (p, + 5,)] ^ÂTc, = ;i,. 

l'équation polaire du système ponctuel S^ est encore 
<{. = p + 0, + /»7, + «^, ^ /? I (a/^,) . 

On en déduit pour le déplacement total du point variaide U 
du système !: 

= ('!> — p) = 5, + W0v, + «Oi + p I [ajOi — ,'iiOa -\- ô«Oij. 

(( Les déplacements totaux de quatre points et plus du système ii 
ne sont pas indépendants. Les déplacements totaux de tous les 
])oints U du système - sont déterminés, lorsque ceux de trois 
points du système non situé en ligne droite sont connus, le 
système S est passé de la position I^ à la position ^.,. lorsque 
trois points de ï non situés en ligne droite, qui coïncidant 



i8o 



/■. KRAFT 



auparavant avec les points correspondants de I^, coïncident avec 
les points homologues de I^ ^*- 

En prenant o comme radius vector, la dernière équation est 
celle de Thodographe des déplacements totaux des points du 
système -. 

La multiplication de cette équation par (o^o^) donne 

(o — Oj) (OaO^) = p 1 [a^Oj — JÎ^Oa + 6«0^] (o«Oj) . 

Présentement nous avons 

= «i|Oa OjilOa IPil^a 0« | 0« + 0» ] Sa 0;J | O» 

2tl 1 ^? h I °r I ?1 1 ^.^ 2« 1 0? Oa | 0? Ô^ f S? 

= ) («ilô<.)S??+ (15i|5,)o„!+ 8«.2 8^! j _ (0.10^) { a,|o. + ;i,|8. + 8.18^ ; 
:=— (o«|8?) } aj8^ + (j3. — 8?)I8a + 8al8/| 
= — (oa|8?)j «il 8,i 4-^,1 o« — 8«| S.a+8«|o^ j 



par suite 

I[ai8^ — ^jOa + o«8p] (8„o^)=o. 

Nous obtenons ainsi 

r(0 — 0,)(OaO.)J = O. 

« L'hodographe des déplacements totaux des points du système 
1 est un j)lan parallèle aux dillérences des déplacements totaux 
des extrémités des segments a et j^i ». 

Déduisant de la première équation de cet hodograplie les 
déplacements totaux de tiois autres points coplanaii »s du sys- 
tème et développant avec ces déplacements l'équation de Tliodo- 
graphe, nous obtenons de nouveau le même hodographe. 

« L'hodographe des déj>lacements totaux des points d'un sys- 
tème indcloi niable ii, lors<|ue celui-ci passe, d(; toutes les manières 
possibles, d une position l'j :i une aulic position 1,, est coiistain- 
nienl un plan ». 

Nous pouvons encore écrire 

'n^/^3 4- '-/>l + '■'fil) = ^fiA- 




ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN SYSTÈME i8i 

En prenant o^, o, cl o^ comme vecteurs de l'hodographe, le 
plan de cet hodographc passe par les extrémités de ces vec- 
teurs. 

Si nous transportons les déplacements o,, o^, o.^ des points 
A, B, C en Tespacc de manière que 
leurs origines coïncident avec le 
même point 0^ de l'espace, le plan 
déterminé par leurs extrémités D^, 
D.,, D., (fig. 2) est le plan de l'hodo- 
graphe du système des déplace- 
ments, 0^ étant le pôle de l'hodo- 
graphe, car on a (D^ — DJ = Z,^. 
(D3 — DJ ^ 0., et l'équation de ce 
plan est 

(0 — Oj) (o«o^)3ro. 

Le vecteur 

est, parce que ([j.o,^Ou) =^ o, parallèle au plan de l'hodographe 
et est une somme de multiples de 0^ et 0., de sorte que nous pou- 
vons poser 

Si £ désigne le vecteur déterminant la position du plan de 1 ho- 
dographe, on a 

et la multiplication de l'équation précédente par £ donne 

De cette équation résultent, par les valeurs des coefficients .v 
et y, 

a;(o3co«) =- (ojie) 1 l'XyO^ — fi^o„J, 

de sorte que moyennanl ces valeurs de .r et //, on a 

(o ,a£) l^a,o,. — ^,o..| . (£Oa)|[a,o,— p^^^] 

U. = ;r-K '^'j.-\ ^-^ Ûjj. 

•^ £0«0;i £OaO;j 



i8o 



/•. KRAIT 



Mais nous avons 



(o,E|l>,o,-^,o.]=:(o,s)Ka,o,)-(e.E] 

= I Oi I a^ e ] aj I — o_s 






I 0.3 Oa I Oi 






car 0^ et 0. sont rectangulaires avec î, de sorte que nous obtenons 
encore 

•^ = -i^ \i{^ 1 ^; (o« 1 2?) - (^ I ^i)o,l 0. + [(s i a,) (o« 1 0.) - (s ; ^,)8.2]^. ; . 

Avec cette valeur de a. ré(juation de Thodographe du svstèine 
des déplacements peut maintenant s'écrire 

+ ;« +TA-[^Ma.Mo«|2,)-(£|^;o^;;o,, 

formule au moyen de laquelle le déplacement o d un puinl (piel- 
conque du système I est représenté comme somme de nuilli|tles 
de trois déplacements donnés. 

Moyennant la valeur de s, l'équation de 1 liodonr;q)lic, en 
lorme d'un prodiill. nous conduit à l'importante relation 

(0-0,)|£=O 

ou 

isU) = (o.u;. 

« Les projections des déplacements totaux des points du 
système 1 sur la direction du vecteui- de position du phiii de 
1 hodographe sont égales culj'c elles ». 

.^^ i'. — Si les déplacements des points du svstème ï sont 
infiniment petits, si o, =//■:,. alors les équations de riioilograjiiie 
du svstcmc des (ItpliicciiHnts sont 

d'^ = </-., + mdx -j- //(/? + p\ %d'^ — 'pdi], 
car [d'j.il'y peut ici être néglige vis ;i-\i> ile^ autres (pianliles 



ÉqUIVALESCK DU M O L V E yi E S T DIX SYSTÈME i8; 

comme infiniment petit JOrdi-e supérieur et si les déphieements 
sont infînimenl petits en posant a^ = a, ,3^ = ^i, a, =7 -|- c^^-, 
.3.= ^ + ^/;^^; de plus 

dz = dp, + ; m -f -j£^ j I i; V/a I dp) — (t ] a) <6f ] ; ^Gt 

{dp — dp^) [d'xd'p) = ; 

{dp — dpi]\z = o, dp]t = dp,\z. z=[\ {d%d'^']: \J {d:>.dp-.. 

Nous obtenons ainsi, pour vitesses des points du svstètne ï. 

(7— Ûj |£=o. E= i:;t', — FJ (t~5— i~i)] : \'i^.i — v, (îTj— ^i)]-, 

et la formule donnant la vitesse v, déduite de l'écjuation encore 
inutilisée des déplacements totaux infiniment petits, peut aussi 
être écrite directement. 

Les dernières équations, en y prenant c comme radius vectoi', 
sont celles de Fhodographe des vitesses des points du système 1\ 
c'est un plan parallèle au plan de l'hodographe des déplacements. 

S;; 2. — Parmi les déplacements totaux des points du systi-me ï 
il en existe un qui est le plus petit il est égal à la perpendicu- 
laire abaissée du pôle de l'hodographe, égal à la projection du 
déplacement total d'un point quelconque du svstème I sur la 
direction du vecteur t. 

Pour ce déplacement, que nous désignons par o,,, existe la 
condition 

Oq = ^1 + '«^« + i^h + P I L^i-î'/. — îiiOa + l,.r.',\ 

Nous obtenons ainsi 
de sorte que 

l']n multipliant l'équation de condition par;, on obliml 



l84 /'. KHAI- T 

si nous multiplions cette équation d'abord par o,, ensuite par o,^, 
il vient 

(OïEOj) +/H(£5«0i) -\-p[h^) I Ko. — ^jO,,; = O, 
^O^EO,) + H (0„E0,3) +/J(0a£) | [a^Oi — .3/:„] = O, 



d'où 



'a"! 



£da0.i ' tOaOj 



p 



£0x0 3 £0o 



Si nous substituons ces valeurs de ni et de// dans ItM^uation 
qui donne o en (onction des déplacements donnés, nous obtenons 

OU 

équation par laquelle le déplacement minimun» est déterminé en 
(onction des trois déplacements donnés. 

^ 2'. — Si les déplacements totaux des points du système il 
sont infiniment petits, le déplacement minimum est évidem- 
ment 

, do\d'j.,dçi.. 

j ; '-'■* £, 



ou encore 



d?i,= .^f^jr. f {^dp,dp.,)dpi + [zdp.^ dp;;dp;. + [cdp^ dp^dp.^ j , 

de sorte que la plus petite vitesse est 
— v^ V, /;, 



VT'-. -'•■)>:,-»'.)]: 



ou 



S 3. — Il sa^il iiiaiiitriKiiil (II- (jilci MiiiMi :i (|ll(•l^ jii»iiit> (bi 
systènjc correspond le déplacenienl o„. 

L'é(juation des ratlii vectores cb's j)()ints au\(piels apparlinit 
le moindre déplacement s'obtiendra en substituant tians l'écpia- 



ÉQUIVALEXCE DU MOLVEMEXT DU S SYSTÈME i85 

tion des radii vectores des points du système ponctuel i les 
valeurs de m et n trouvées dans le vj 2, ce qui donne, en dési- 
gnant par Cj le radius vector de ce lieu, 






Ce lieu est donc une ligne droite, qui est parallèle au vecteur 

Si a désigne l'angle que cette droite (ait avec la direction du 
vecteur déposition £ du plan de l'hodographe, on a 

tanga = sj \^y)-. : ;s |r) . 
Quand nous usons d'abréviations, nous pouvons écrire 

d'où nous obtenons 

:îv: = «,ea,)+^(Ei,) + c[E|(a,|5,)]. 
On a donc aussi 

I (£v) ^ a[(o\5B) I «,] + ft[(a<.03) I ^ J + 4(5.03) (a,^,)] , 

I (£.) ^ «[(5, I aj 0. - (oa I a,)ô.] + t[(8. 1 %,)l, - (8, 1 3,^0 J 

I N = [«(Oal «ij + /'(Oal |i,) H-C(0aa,^i)]0i 

OU en abrégé 

Mais nous avons 

a = (£ 1 a,) orl- (e | P,) (5« | ô?) , A = (s | jj,) o«? - (c [ a,) (o« 1 8.,) , 

|E|Oa Oa|0« Oa|o. 

hi'^ ^^«1^1 ^;^i^ 

c(8.a,:i0 = a,?(aJo?)(c r^J + (E|a,)(8a|53)(o, | pj 
-{MPi)(^ilô«)(8,ia?)-(£la,)(pja,)o„J; 

C(0,j2,,'î^j = (E0„0?)(03a,P,) 

1 s Ifs, 0.J;;, SjIpJ 
c(ooa.:i,^ = (E I ?.) (a, I 0;,) (8„ 1 8,) + (s I «;, , 3, 1 8.) 8.,.^ 
- (M ^1) (^1 1 S«) 8?i- (E I cr,) (p, 1 8,,} (8„ 1 8,) : 



i86 /•• KHAFT 

et c'est pourquoi 

r:=\ (ela,)o.32_(s|p,)(8„l5.s) j (aj o«) + [(^l ^o,.; - (s|a,U5«!o,^ i (3,1 ^0 
+ (£ I P,) (a, I ^ 54 + (£ I a.) (^^ I ô«) (8« I .,) - (s I 6,) (a, ] a«) (ô, 1 8 =) 

'■ = (£ 1 fi J^^«: ; Pi 1 ^a + ^^i ! ^^? ' - 2 (^ I ^1) («1 1 Sa) (5« I a,.) , 

'■ = iM ?i) a^ ! ?, 1 a» + ^2 1 ^'. — ^« 1 ^î ] — <-\ Pi) (3tj 1 a«) ^a« i a.,) , 

;=:-(£|P,)(3«|a?)[(a,-a,)|a«]-2(s|?,)(aja„)(a,|8.s), 

,-^-(£|3,)(a,|a,) [a,|a„ + aja„-;, 
'•=-(£iPi)(3«|3?) 1 (^i + «.)|a,.(, 



de [)lus nous obtenons 

-^ = » ,s|ajo4-(Eisj(a„|a.) ; («ja^n-) (e|3,))a.^-(Eia..(a„ia,)| (li.ia,^ 

+ (£ip,)(a,|a,.)(a«ia3)+{£ia,)(:iii5.)a,j-(£ir5;(«il'^'>-)r^i 
-(M^i)(?iK?)(a,.ia,), 

le second membre de cette é([ualion peut être liailé ex;ictemenl 
de la inrme manière que le second membre de r(M|iiati(»ii v\\ r. 
ce qui donne 

.s =: O. 

Nous obtenons ainsi 

l(£V)-0. (£»•)-<•. 

c'esl-à-dire (|ue le lieu des points dont le tb-placemeiit est o„ est 
une li<^ne droite paiallMe à cf déplaeeincnl ainsi (jii au vecleur 
«b'icrmiiiaul laposiliou (bi plan tic I bodoj^rapbr. 

I'oury;»^o, le radius vector de celle dictilc est "'^al a 

de sorte ([ue rt'(|ualion ilu radius vccNtr ibi lnii en (pic>liou 
s'écrit (bius la forme la plus simple 

I)ans le cliaiiiîïMiK'iil (h' [)osilnMï <hi s\>lrmt' 1\ crllr liniir, 



KOLIVALi:.\CF. DU M O LV E M F. .\ T D L.\ SYSTEME 187 

envisagée comme appartenant à ce système, se déplace sur elle- 
même, chacun de ses points subissant le déplacement %. Deux 
droites homologues de ^^ et S., coïncident avec cette droite consi- 
dérée comme ligne de 1 espace absolu, elles constituent ainsi 
une ligne double de ^, et ï., sans points doubles, et lorsque o.^^^^o 
une ligne de points doubles. 

« Lorsque le système S passe de la position -^ à la position 
S.,, Si et ^2 ont toujours une ligne double, qui n"a généralement 
pas de points doubles, les points de - situés sur cette droit»- 
subissent le plus petit déplacement qui est possible dans le chan- 
gement de position de - ». 

^ 3'. — Si les déplacements des points de ï sont infiniment 
petits, l'équation du lieu des ])oints de déplacement minimum 
est évidemment 

ou encore 

?s = ?i H — — — ^^ — ^v~ ) '-'*'' ^"i)" + ^'^^ ^'i' > I + "^ • 

^ 4- — Vraisemblablement, les déplacements des points des 
droites du système ï qui sont parallèles à la ligne double de ï^ 
et -.,, présentent des propriétés particulières. 

L'équation d'une telle droite, j);uallèle à s. s écrit 

mais on a£^(0,,0;), o,y_ et o. sont des quantités invariables, donc 
os = o, de sorte que 

comme le second membre de cette équation est une quantité 
constante, les déplacements des points de cette droite sont égaux 
entre eux. 

« Les déplacements des points d'une droite du svstème ï, 
parallèle au vecteur déterminant la position du plan de l'hodo- 
graphe, de son système des déplacements parallèle à la ligne 
double de -^ et II.,) sont égaux entre eux et en génr-ral également 
inclinés sur cette droite ». 



i88 F. KRAFT 

Cherchons, s'il existe des droites du système ^ qui soient paral- 
lèles au vecteur déterminant la position du plan de Ihodographe 
el dont les points soient déplacés parallèlement à ce vecteur. 

L'équation d'une telle droite est 

p =: p, -(- «J^j -J- «|î, -\- Ut, 

le déplacement de ses points doit être donné par l'équation 
d'où résulte 

eSjO, + Hl{tOiOa) :=0, £OaOj -{- «(sOaOa) = o. 

Ces équations donnent pour/;? et n des valeurs réelles, qui n'ont 
qu'une seule signification, en les portant dans les équations 
donnant p el o, nous obtenons 

Il n'y a donc qu'une telle droite, les déplacements de ses 
points sont égaux au déplacement minimum possible, et cette 
droite coïncide avec la licrne double de ï, et ï,. 

Nous sommes ainsi parvenus indirectement à l'équation de la 
ligne double de ï, et ï, sans nous être engagés dans un calcul 
plus long f[ue poui- la détermination de sa direction. 

« Les points d'une droite <x de i parallèle à la ligne double u° 
de -j et I.., subissent le même déplacement, la projection de ce 
déplacement sur la direction de la droite est égale au déplacement 
0,^, lorsfjue y> passe de la position ï, ii la position ï,. Si nous 
déterminons dans le système - des sections planes, normales à 
<x^ c'est-ii-dire il t, ces sections j)lanes constituent des systèmes 
partiels congruentsde 1, les points correspondants de ces sections 
c «'st-à-dire les points situés sur la même droite jjl, ont le même 
déplacement ; il en résulte (jue les déplacements de ses sections 
planes, lorscpie i] passe de la position ï, ii la position -^, sont 
égaux entie eux ». 



EQilVALF.yCE U L MULVEMEST ULW SY.'iTEME i8y 

.^ 4- — Lorsque les déplacements des points de 1" sont infini- 
ment petits, le déplacement des points d'une droite -j. est 

leur vitesse 

— y, +/»! (y. — l'i) + //j ;i'3— u'i) , 

et léquation de la droite du système i! ayant le déplacement rfs^ 
est la même qu'au !;j 3'. 

§ 5. — Nous allons maintenant nous appliquer h la recherche 
des mouvements simples, par lesquels le système invariable - 
peut parvenir d'une position donnée -j à une autre position S., et 
à la détermination la plus simple de ces mouvements. Pour cela 
partons des cas spéciaux, que nous résoudrons directement. Le 
cas où l'on a 0^=0,^03 = 0, ne donne lieu h aucune considéra- 
tion, puisque l'on a alors = o, le système ^ n'a alors aucun dépla- 
cement. 

Soit premièrement 0, z=o^ = o, de sorte que les points A et B 
de - ne soient pas déplacés. 

Alors Aj = A^ et Bj =B., sont des points doubles de I, et ^, la 
droite A^B, =A^B^ est une ligne double de Ij et ï, n'avant que 
des points doubles. 

L'équation de 1 hodographe des déplacements des points de ï 
est maintenant 

Pour d'autres points qui n'auraient pas de déplacements on a 
la condition 

d'où il résulte, O3 et | (a,o^) étant des vecteurs non parallèles, 

// = o , p =ZO. 

valeurs (|ui, substituées dans l'équation du svstème ponctuel ï, 
donnent 

qui est l'équation de la ligne double de 1^ et I.,, laquelle aurait pu 
être écrite directement en raison de Ai = A^ etBj=B,. Il n'existe 
pas d'autres points sans déplacement. 

Enseignement math. t j 



igo /. KRAFT 

Comme Ion a, dans le cas général 

ou a Tnainlenaiit 

aj 1 0.. = o. 

d'où on déduit, en multipliant par a^ léqualion de l'hodograplu' 



de sorte que les déplacements des points de 1 sont rectangulaires 
avec la ligne double. 

o 

Pour le déplacement minimum ou a 

S— ^^ii-;- = *^- ^ = >i : V3t|r . 

mais, si l On a o = o,on a n^^=p = o et il en résulte que le lieu 
des points sans déplacement est la droite AB = A,B, du sys- 
tème ï. 

1/équation d une droite du système, dans ï,, parallèle ii a, 
s écrit 

les déplacements des points tle cette ligne soni 

^ = v^l + ''o;2:, : 

ils sont égaux i-utrr eux. 

o 

i< s'il existe deux points Ak\ système 1 sans déplacement, la 
droite qui réunit ces points est sans déplacement. Les déplace- 
monts de tous les points du système sont noiiuaux a celle ligne 
et directement proportionnels aux distances des points ii la droite 
sans déplacement. Les déplacements des points (pii appartiennent 
il une droite parallèle au lieu des points sans déplacement sont 
égaux mire eux ». 

(!omme A,lî, -- .V,iJ, est une ligne doid)lf de 1^ tl 1, u'ayani 
<|ue des points doubles, les points hoiu<d(igu<'s de l^ cl 1, sont 
également «doignés <lr clKKjUe «démeut ^\^• cflti' ligue. Il eu 
résulte, en tenaul compte île la pro|iosition preceileiite. que le 
système passe de la position Ij ;i la position ï, de la manière la 
ijIus siniple par une rotation autour de la doid)le ligne. I ampli- 



Éqi'IVALE.\CE DU M O iV E M E S T D'UN SYSTÈME 191 

liide de la rotation étant égale à langle de deux plans homologues 
de ^j et I., se coupant sur la double ligne, ou encore égale ii 
Tangle des perpendiculaires abaissées des jjoints (], et C^ sur la 
double ligne, où elles se rencontrent d'ailleurs. 

Pour le déplacement du point C. nous obtenons ainsi 

%= (Eirjj)ç_[_cOS u-(£,^,)U + sil. ^V\y?i). 

K = % — ?! = (i — cos .r)[([3, 1 £)e - f5 J + sin sv\ i^:.,] . 

Si nous posons 
il vient 

/ \ '^^ cos iry ' -|- sin ir | 'î/ ,') . 

03 = (cos w—i) f'^ + sin If i (£7_^) , 

•X sm II' ^ t' 0..; : rt, . 

Nous obtenons maintenant pour un point quelconque U du 
système S, siy, et y, désignent les distances normales des points 
Uj et U., à Taxe de rotation, 

y, r3 cos w'/ ^ -(- sin w\ (sjr ,) . 
— -/, — / 1 = (cos U' — I ;>■/ , 4- sin (.■ ! ^zf2 . 

valeurs, par lesquelles le mouvement du svstème S est pleine- 
ment déterminé. (Ihaque point de - décrit, dans le passage de la 
position ^j à la position 1\ par rotation autour de la ligne double 
de Sj et 2!.,, un arc de cercle dans un plan perpendiculaire à Taxe 
de rotation, dont le centre est situé sur cet axe. 

« Lorsqu'un système invariable 1' possède deux points sans 
déplacement, il a également une droite sans déplacement, savoir 
celle qui réunit les deux points ; le système ï parvient de la posi- 
tion Sj à la position ï^ de la manièie la plus simple par une 
rotation autour de cette ligne comme axe. en prenant Tamplitude 
de la rotation égale à Tangle de deux plans homologues quel- 
conques de -j et i], ». 

§ 5'. — Si les déplacements des points de ï sont infiniment 
petits, l'équation de Thodographe des déplacements des points 
du système ï est, en conséquence du >; ."). si t/;| = o, do.,= Oy 



192 F. KRAFT 

et. par suite, les vitesses de ses points sont 

V = nv.,-^p\[%i\) : 

le lieu des points sans déplacement, c'est-à-dire sans vitesse, est 
donné par 

L'angle de la rotation autour de la ligne double de ï, et ï^ est 
et la vitesse angulaire du système - est alors 

Pour un point cjuclconque U du système ï nous avons 

Zî = Xi + '^"'l(-/£)' 

dp = dtf I (e/i) , V = 10 1 (£/,'* . 

J^ 6. — Nous considérons maintenant le cas où l'on a 0, =^ o, 

Alors le point A de - est sans déplacement, A^^A^ est un 
point double de ï, et -.,, et les déplacements des points 13 et C 
sont éffaux entre eux. 

r) 

L'équation de 1 hodographe des déplacements des points de ï 
s'écrit 

=z {m + n]?j,-j- p\[{x^— [ii)o.;]. 

Pour le lieu des autres points pour lescjucls on pttuvail avoir 
=^0, on doit avoir 

m -\- Il ^ o , ])■=. o, 

d Où il résulte, en vertu de l'éf^ualion du système ponctuel ï^^^ï,, 

? = pi+"'(ai — n)- 

Donc le lieu des points sans déphici-mrnl est une dioiU' 
passant ])ar le point A, = A, = A cl paralli'leii la droite joignant 
jfs points n, <'l (]| ; (-'('st une ligne double de ï, et ï.eoinposee 
uiiM|uemeiit de points doubles. 

I.es dej)lacenienls des points P et (! elaiil <'gau\. les déplace- 



ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN SYSTÈME 19^ 

ments des points de la droite AB sont à cause de cela égaux 
entre eux. Donc la double-ligne de 2Lj et 1'^ est parallèle à la droite 
BjC, et le déplacement du point A étant égal à zéro, elle passe 
par le point Aj = A, et est entièrement composée de points 
doubles, comme cela résulte directement de son écjuatioii. 
D'une manière générale, on a 

d'où il résulte, pour notre cas spécial, 

qui donne, avec l'équation de l'hodographe, 

c'est-à-dire que les déplacements de points de ï sont normaux à 
la ligne double de I^ et ï,. 

L'équation dune ligne droite de Si parallèle au vecteur (a^ — |jj 
peut être écrite 

d'où nous obtenons, pour les déplacements des points de cette 
ligne, 

= (/«i + «i)0.2 +P1I [K— pl)0,], 

de sorte que les déplacements des points d'une telle droite sont 
égaux entre eux. 

« Lorsque le système ï possède un point sans déplacement et 
que les déplacements de deux autres points du système sont 
égaux, il présente une droite sans déplacement, qui passe par le 
premier point et est parallèle au vecteur déterminé par les deux 
autres points. Les déplacements des points d'une droite du sys- 
tème parallèle à la ligne sans déplacement sont égaux entre eux. 
Les déplacements de tous les points de IS sont normaux à la droite 
fixe du système et sont, en grandeur, directement proportion- 
nels aux distances des points ii la droite fixe. » 

Si nous remplaçons la ligne double du cas déjà traité par la 
ligne double actuelle des systèmes S, et S.,, nous reconnaissons 
que le système ï peut être transporté de la manière la plus simple 



194 f KliAIT 

de la position ïj ii la position 1., par une rolation autour de cette 
lione, mojvemont pour lequel sont valables, avec 



les formules coi resjiondantes du .^ j, laniplitude de la rotation 
doit être déterminée par l'équation 

2 Slil ■ If ^ \\ 0,; ". «1 . 

t^ 6'. — Si les déplacements des points de ï sont inliniineiit 
petits, et si do^ = o, th., = dz.^, réc^ualioii de Ihoilortiaphc du 
svstème des déplacements est 

et, par suite, 1 écjuation de lliodograplie du svstème des vitesses 
de ï est 

V ^ m -j- //) \lU-\- p\[',oc — ,5) i\\ , 

le lieu des points sans déplacement^ c'est-a-dire sans vitesse, est 
donn('' par 

p =: p, + I» yi — ,j; ; 

on a encore 

(a — fi; i rfp = o . ;a — .j) I i' rz: o . 
. rftr =z {\/dpJ~ h'i — ds., : /«(), W = {l\ : li'i). 

'i, r. — Supposons «pie le deplacrmeiil du svsicme in vaiuihlr 1 
soit tel, que Ton ait seidement 0,;= o. 

Alors les svsli'mes 1, et 1, possèdent un ponil d(»id)le A^ -=^ A,, 
qui est donné. 

L éqiiation de Ihodof^raplie des tlejdacenienls (lr> puints de 1 
s'écrit maintenant 

ou 

l'our le |)lu^ petit d<-|da('eiii en t lions idileiioiis 

''« = ". 



/■OUI VA LE. \ ci: du molvi:mi:.\i dis s)stème 19') 

les points du sytème iiyanl ce déplaceiiieiit sont siliu'-s sur la 
droite 

«'(juatioii que l'on obtient en Taisant o^ = o dans réqualion de la 
lione double, ([ui a été développée dans le J^ 3, cette ligne passe 
par le point double A^ = A, de 1^ et ï.^ : c'est aussi l'équation 
de la ligne double qui est composée uniquement de points 
doubles. 

On a maintenant 

I /équation d'une droite quelconque de ï = -^ parallèle au vec- 
teur î qui détermine la position du plan de Ihodographe du 
svstènie des déplacements peut être écrite 

il en résulte, pour les déplacements de ses points, 



ils son égaux entre eux. 

« Lorsqu'un point du système invariable S reste en repos dans 
le passage de ce svstème de la position I^ à la position -.,, celui-ci 
possède toujours une droite en repos, elle passe par le point fixe 
donné, est perpendiculaire au plan de l'hodographe du système 
des déplacements des points de ï, plan qui passe par le pôle de 
l'hodographe, avec chaque point de cette ligne coïncide une paire 
de points homologues de '^^ et ï,, elle coïncide avec la ligne 
double de ï^ et ï^ composée uniquement de points doubles. Les 
déplacements des points de ï sont normaux à cette ligne, aucun 
point de ï ne se déplace dans sa direction, les déplacements des 
points sont, quand à leurs grandeurs, directement proportion- 
nels aux distances de points a cette ligne. Les points homologues 
de ïj et ï., sont à égale distance de la ligne double. » 

Le système - peut donc être transporté de la position ïj ii la 
position l'j par une rotation autour de la ligne double de ï, et i!,. 

Les distances en grandeur de deux points quelconques homo- 
logues de ï, et ï, à un point quelconque de la ligne double sont 
égales entr'elles puisque l'on a ï^ »--^- ï,. Les projections de 



196 /•'. KRAFT 

S, et S., sur un plan perpendiculaire ii leur ligne double lornient 
deux systèmes plans congruents ayant un point double à l'inter- 
section du plan et de la ligne double. Chaque plan perpendicu- 
laire à la ligne double de S, et S^ coupe ces systèmes en des 
systèmes plans S', et 5', congruents, dont le point double coïncide 
avec le point d'intersection de ce plan et de la ligne double ; les 
systèmes S', et aussi les systèmes S'^ dans des plans perpendicu- 
laires h la ligne double sont congruents entr'eux. Le déplace- 
ment d'un point du système S :^ -, est égal au déplacement de 
sa projection sur un plan perpendiculaire à la ligne double. 
Lorsque - passe de la position ^1 h la position ï^, ^' va de la posi- 
tion -', à la position 1'.,, ce qui a lieu de la manière la plus 
simple par rotation autour du point double de ï'j et '!^'., situé sur 
la ligne double. Si ce passage s'exécute en une section plane, il 
s'exécute aussi dans toutes sections planes et, par suite, le sys- 
tème il passe de la manière la plus simple de la position i], h la 
position ï, par sa rotation autour de la ligne double de ï, et ^.,. 
La orandeur de l'angle de la rotation résulte directement, en 
maintenant les relations déjii posées et en considéiant les dépla- 
cements des points B et C, de lu lornuilc 

•2 sin II' = ' , -^ =z -^rr^ ' 

2 II II 

« Le mouvement d'un système invaiiable ï <[ui possètle un 
point fixe en passant, d'une maiiif-ie ([uelcontpie d'une position 1, 
à une autre position i],, est équivalent à une lotation aut()ur île 
l'axe passant par ce point et perpendiculaire au plan dr I liodo- 
graphe de son système des déplacements, et c'est la nianicic la 
plus simple de réaliser son déplacement. » 

>^ y'. — Si les di'placemenfs des points du systèinr ï s(»iil iiilini- 
niciils petits et <[ue Ton ail fiz^ -^ o, Ir p(»iiil A riant ainsi m 
repos, l'écpiation <!<• rin)(l(»^ra|)li<' du svslfnic des (l«'|»hi<i'nit'nls 

est 

dz = mdz, 4- //</o,, + p 1 1 arfp3 — Jit/paJ, 
ou encoif 



^ ££/p,</p3 






equiv.Il/:nc/: or molvemext dus système 19- 

Les équations de riiotlooraphe de sou système des vitesses 
sont doue 



, ^^^ ^ (s|a)t'3-- (e|lî)C«;,U,) (- 

( 



V = . m — p - • ■ - " ^ l:' ^ -^ — ^ > (,., 



, ^' „ , „ (;la)(i;2l^^3)— (MI^)V / - 
On a maintenant dz^ = o, i'o = o, et 



?0= Pl + "^' 



V/K^2<03)i \/(^3^3)' ' 



est l'équation de la ligne double de S^ et ï,. 

Pour le passage de ï de la position S^ à la position ï, par une 
rotation autour de la ligne double comme axe, le déplacement 
angulaire et la vitesse angulaire sont 

— v'"'/2- _ y/f/p^ . _ vi _ V,. 
"■ - ir~ - v[~ ' *' - T~ - ~/^ ' 

Si U est un point quelconque du système ï, A^U^ = p, on a, 
comme le point A est en repos, ajt/a = o, |jjflf[i ^ o, ainsi 
p|û?p = o, et, comme do est en outre perpendiculaire à s, nous 
pouvons poser 

doz:^ x\[z^), 

de plus le déplacement d'un autre point X du système ï esl, 
d'après cela, en posant A^X^ = -]/, 

Mais on a aussi 

I d'b + 'I I d^ = o, 

de manière que 1 on a aussi, en combinant les Irois dernières 
équations 

?l[-*-,l(-4)] + '^i[-^-|(¥)]=o. 

ou 

•*l(?î'w+-^(']'£?) =0» 

d'où il résulte 

_ _ ^9 _ </'î^ 



19^ /•'. KRAFT 

V.n posant 
i! suit 

les dépiacemcnts des points U de ï sont, (jnanl ii leurs gian- 
deurs, directement proportionnels à leurs distances à Taxe ; pas- 
sant par le point A, = A,. 

D'après tout ce qui précède, les déplacements des points de 1 
(orment un système de déplacements qui peut être obtenu par 
une rotation autour de cet axe, de sorte que, ])ai'ce que x est infi- 
niment petit, l'amplitude de cette rotation est 

</.<• — r — ^'^ ^'^ 



Nous obtenons ainsi les équations valables pour tous les points 
du svsti'me X 

rfp ^ dw I (ep) = (i«r 1 [zy) , 
y =r w I (sp) = W I (£/J . 

Les di'placements inlinimcnt petits d:, et dv.. des jxiints R cl (", 
sont donnés, on a donc 

. c/p., d'j.. V., I\^ 



i^?) \{'^^] l(^?) 



Nous »)btenons maintenant, pour le ratlius vector 'l — ^ A^l ., 
du point U après la rotation 

■1 = +f/ir| -z). 

^ 8. — .Vppli(pions-nous niainlfnant au cas }^<Mieral, savoir celui 
oii, dans le passage du svstème ï d une position donnée ï^ :i uiu- 
autre |iosilion donnée -^, aucun poiril du système nr demeure en 
repos. 

L équation (b' 1 bodoj^raplie du système îles (b'placemenis des 
points de ï sCciit 

= 0, -h ; /«V. + //O, -|-/> I [a,0^ — .3,0. -I- OaOj j . 

].<■ (b-plaeiMni-nl de I<miI j>oint (!<• 1 si- compose d apiès cela de 



i:qii\'ALi:.\(i: uu m o u if: .y r: .\ r D'r.\ système i<j9 

<leux parties ou composantes, (ruiic lianslation commun»- a tous 
les points du système 

^1 = '^1- 



égale au déplacement AjA, du poinl A et du déplacement 

0, = /»o,. + iiZ, + p I [y. fi, — '^fi.,. -[- Oc^Oi] . 

([ul est parallèle au plan de l'hodographe, de sorte que le sys- 
tème des déplacements o,. est réalisable au moyen dune rotation. 
Les déplacements des éléments dune droite du système 1 
])arallèle à i sont égaux entr'eux, il existe dans i une droite 
dont les points sont déplacés dans sa propre direction d un 
vecteur 

elle se conjoint avec la ligne double sans points doubles de 
^, et -2, leur é([uation est de la forme 

'^' ~ '^^ "^ y,^' ^1 + ly^^ ?i + « 1 {^■"'^■'ii ■ 

Les projections des déplacements des points du système 1' sur 
les droites du faisceau parallèle à î sont égales au déplacement 
minimum o^, de sorte que, dans le passage du système - de la 
position !Lj à la position 2^ chaque point du svstème ï est 
déplacé dans la direction de t du vecteur o„. 

Comme Ion a 

P' p> _]_ ■> ^ i_ > 

le système - peut être conduit de la position -^ à la position ï, 
par une translation et une rotation, ou par une rotation et une 
lianslation. Tous les points du système ï ont une translation 
commune, qui est égale au déplacement total o^ du poinl A, la 
rotation doit avoir lieu autour ilc Taxe ; passant par le poinl 
A :^ A,, l'équation de cet axe est 

p = ?i -\-iit. 
Si nous considérons les déplacements de B et C dans ce 



200 F. KRAFT 

mouvement, nous obtenons pour lamplitude de la rotation 



1 sin 






Si un système invariable - possède une rotation autour d'un 
axe et une translation inclinée sur cet axe, son mouvement est 
équivalent h une rotation de la même amplitude autour d un 
autre axe parallèle au premier et ii une translation parallèle ii cet 
axe, translation qui est égale au déplacement total dun point 
quelconque du système dans la direction de cet axe. 

Maintenant si o^ est la translation du cas précédent et si nous 
choisissons l'axe en question comme axe de rotation, comme les 
points du système situés sur cet axe se déplacent seulement du 
vecteur o^ dans le passage de -^ à -.,, le nouvel axe coïncide avec 
la ligne double de ï^ et S^, son équation est donc 

,-s — -, + .;; ;. 2, + -77— ?i + "=•• 

-OaO^Ï £0«0i 

(( Lorsqu'un système invariable ï passe d'une manière quel- 
conque dune position donnée -^ à une autre position donnée -.,, 
son mouvement est toujours équivalent ii un mouvement héli- 
coïdal et c'est le mouvement le plus simple possible réalisant le 
déplacement donné, » 

Si nous partons de la réduction du système des déplacements 
des points du système - au point A -^^ Aj, respectivement pour 
la direction î passant par le point A = A^, les déplacements des 
points d'une droite du système - parallèles à z étant égaux 
entr'eux, si ). désigne la distance Av laxf (hi iiioiivcinciit héli- 
coïdal au point A =^ Aj, l'on a 

■i\ — (eo,) |£ -f-colaiig ~ "'liso,) 
et, par conséquent, l'écpiation de cet axe 

?. = P. + -f ; (s5,)|£ +cotanK ^ «Kç.:,) 5 + «£. 

[/«'■({ualion du radius xcctor (hi phin cuntmaiil 1rs points A,, H, 
«•t (^, est 



ÉQUIVALEyCE DU M O U V E M i: .\T DU S SYSTEME iOi 

Pour le point crintersection de l'axe du mouvement hélicoïdal 
et de ce plan, on doit donc avoir 

OU, en multipliant cette équation par e, 

•'•K') +y(Pi^) = -f ; 1^1^) + cotg -1 »'l[o,- (£lo.)£] J . 

Il en résulte, en multipliant successivement cette relation 
par !iij et a^, 

a-ia,E?,) = -i-|(5,E3J + cotg -^u.[(pjo,)-(£lo.)(s|.30] j- , 
y(r5)£»i) = "7 ^ (^^i^^.) + cotg-^n'[(a,loi) — (£lo,)(£|aj)] J , 

formules qui donnent les valeurs des coefficients x et y pour le 
point d'intersection de Taxe du mouvement hélicoïdal et du plan 
contenant les points Aj, B^ et Cj. 

Par ce moyen on a aussi une équation de cet axe 



'^"•iHi 



De deux équations relatives à la ligne double de ïj et Z., résul- 
tant les relations numériques 



0,0j£ 







On détermine encore la dislance de Taxe du mouvement 
hélicoïdal au point A, au moyen de sa première équation. 
On doit avoir 

À = -^> j «. + 4^ :i, + -r^, (MA) = o. 



202 F. KRAFT 

de sorte que Ton a aussi 



(1 Oii nous obtenons 

>. ^ -77=^=- ; (Oa5,H>,+ ,^,o,s;3,-[(o3Ôie) (a. | s) + (o,o.')(?.U)> f • 

et l'équation de l'axe est de nouveau 

L"é(|uation de Ihodographe du système des déplaeenients des 
points de X s'écrit 

Le déplacement total d'un point quelconque X de - se déduit 
de là comme composé de deux parties, dont 1 une est égale au 
déplacement total d'un autre point quelconque U du système et 
dont l'autre est parallèle au plan de l'iiodograplie. 

Si nous posons 

on a 

Or = Oj + 111,0.,, 4- Il :0i + /), 'X . 

De e«'llc é<[iia1 ion léstille. [jar rcliniiiiat ion de o^, 

^.; = 4- {'"j — "0^" + {iix — 11]'^:. + \p, — // ;-i 

ou 

Oj = + 0,.,, — 0,,j + 0. 

On «Ml dcduil. en posant .r -:=^ i , :<, !i..., 

0, = + Or.i = 'î — ; ""îa + "^i + /';■<• ; . 

oj — + o,.,3 = -i — ; "'0., + v" — '/"■"? +/':•' I • 

0^ — 0-1- 0, , — ?j—\ m — w.Jô» -\- (" — "v)^^;J + [p — />.' |Ji ! . 



I,is («Miqxtsanlfs 0, |, 0, .J, 0,,,... drs dcpliiccnn-nls 0,, 0,. o_,.. , 
rr-st-ii-ilirf 0^1» ''=1, '<, .5... loinn-nl. |>ui>><[ii rllcs sont paial- 



ÉQCivALLWcr: Di: Morvj:.v/:\r /j[.\ systèmi: io'i 

lèles au plan de riiodographe, dans leur enseinble, un déplace- 
ment résultant dune rotation, elles sont éffales à la diirérence 
entre le déplacement total ù, du point du système i] et le dépla- 
cement total tl un point du système ailjilrairement choisi U, 
commun par conséquent ii tous les points au système et perpen- 
diculaire au vecteur déterminant la position du plan de l'hodo- 
^raphe. 

De là et en se reportant au cours de notre développement, on 
déduit directement la proposition : 

« Lorsqu'un système invariable ï passe dune position donnée 1 
d'une manière quelconque à une autre position donnée i^.,, son 
mouvement est équivalent à une translation du système, qui est 
ésjale au déplacement total d'un point quelconque du svstème 1 
et il une rotation de ï autour de l'axe passant par ce point du 
svstème et parallèle au vecteur qui détermine la position du plan 
de 1 hodographe du système des déplacements des points de 1\ 
Comme par la translation li reste parallèle à lui-même, quelque 
soit le point dont le déplacement ait été choisi comme déplace- 
ment total, et (jue l'hodographe reste là même pour chaque point 
de réduction, l'amplitude de la rotation et la direction de Taxe 
de rotation restent les mêmes pour toute réduction du système 
de déplacement. L'ordre suivant, par lequel sont opérées la trans- 
lation et la rotation est indifférent, et elles peuvent être simul- 
tanées ». 

Si nous choisissons le moindre déplacement o^, comme vecteur 
de translation du svstème on a 



l'axe de rotation coïncide alors avec la ligne double des sys- 
tèmes Ij et I.,, tous les points de ï possèdent alors en commun, 
quand ï passe de ^^ ii -.,, la moindre translation, et si la rotation 
et la translation s'effectuent uniformément, les points du svs- 
tème 1 décrivent des arcs d'hélices de même pas autour de la 
ligne double comme axe. 

« Le mouvement d un système invariable 1 passant d une 
manière quelconque dune position ïj i» une autre position 1!^ est 
équivalent à un mouvement hélicoïdal, qui est son mouvement le 
plus simple. » 



uo4 l- KRAFT 

Si nous prenons un point ([uelconque O de Taxe des hélices 
comme pôle des coordonnées, l'on a pour le déplacement d'un 
point quelconque U du système S, en posant L\ = + p, Uj 

= + 6, 

'l' = (- 1 ?)^ + cos u{(£p) I £] + sin ..'l [lo] + o„, 

et le déplacement total de ce point du système est 

o='i' — 0= (i — cosir)[(pc)i£] + siii.fj(Ep)+Oo. 

Les formules correspondantes, quand on prend un autre axe 
quelconque pour faire passer le système ï de la position ï, a la 
position ^2 s*J"^ 1^^ mêmes moyennant le remplacement de % 
par le déplacement de cette droite considéré comme droite du 
système ï!. 

!;; 8'. — Si les déplacements des points du système - sont inli- 
iiiuient petits, l'équation de l'hodographe des déplacements des 
points du système est 

dz = do^ -\- indot. -\- nd'p + /; 1 [arfi. — ,3rfa], 

le système des déplacements infiniment petits se décompose en les 
deux systèmes partiels 

t/p^ rr do^ 

dp,- =. nid -À -f- "d}-^ p I l^d} — i^dx], 

de sorte que Ton a 

dp =:dp^-\- dp,- := dpr -\- dp, . 

L'hodo<Traphe des yitesses des points du s\ sli-me - a e\ idem- 
nient ré([uation 

le système des vitesses se d(''((»mj)osf dans les tlcux svstnncs 
partiels 

r, = m% + //[i' + p 1 1 a,'5'— ,3a'] . 
!.<' dfplacemciil du svsicinc 1 est <*(iui\ ;il(iit :i uiu* 1 1 aushil lou 



EQUIVALEXCE Dr M O U V E M E ST D'US SYSTEME ao5 

infiniment petite do^ de ses points et à une rotation infiniment 
petite autour de Taxe passant par le point A = A^ et ayant pour 
équation 

l'angle de la rotation est 



d^v = 



\{do^ — d^J^]'r \ l^dor^— do^ 



et la vitesse ançrulaire 



V/(r,— Vi,;- _ V (^3 — î^i)- 



Si nous choisissons comme axe de rotation la droite qui coïn- 
cide avec la ligne double de ï, et S,, l'équation de cette dernière 
est 

ps = p, + -j^ J [tdp,,dp,''X-\-{ldpidp,''^ [ +//£. 

ou encore 

le système - se déplace alors parallèlement à lui-même suivant le 
vecteur 

, do.do.do^ 

dp^ = •■ / ' ' - ' - £ 
\/,doid'i)l 

avec la vitesse 



et le même déplacement angulaire et la même vitesse angulaire 
que précédemment, son mouvement consiste donc dans un mou- 
vement hélicoïdal infiniment petit. 

En prenant le pôle des coordonnées sur l'axe des hélices, on a 
pour le point U du système S 

<h = p -\- diK'l (sp) -j- i/ûfl. 
dp = div I (co) -f dpQ, V = w I (ep) -|- Vq. 
Enseignement math. 14 



ao6 /'. KRAFT 

§ Q. — Les cas généraux développés dans les paragraphes 8 
et 8' comprennent tous les cas particuliers. Nous allons pour- 
tant examiner difFérentes acceptions relatives à des déplace- 
ments Oj, ô., et 0.J ou (h^, do., et r/p., déjà traitées comme cas parti- 
culiers. 

§ lo. — Il nous reste d'abord h exprimer les résultats généraux 
habituels en coordonnées rectangulaires, il s'agit notamment de 
l'équation de Thodographe du système des déplacements, de 
Taxe hélicoïdal, de lamplitude et de la translation du mouve- 
ment de torsion. 

Soit 

A, = + p, = O +.r,£j + j,E, + c,E3, 0, = j;,^ + j;',. 4- ,/;-£,, 

B, = O + p, = O + .r,£i + j,£2 + =-2h^ 0, = rf,'£: + d^'i, + d^''% . 
Ci = O + ?:! — O + •^•.■i=i + y-s-î -\- '■■A-'.v ^:t = d,;^^ + d,,"t., + (/.,'"£., , 

Nous en déduisons 

ai=r: (•/., — .f,;£i + [y., —ri)h + [-i —^i)h = "i^i + "i^J +"a'3' 
Pi = (•''•:î — ■'^-i)^i + (rs — ri)£2 + (-3 •-- =1)^3 = '■'l^l + f'i^i + ''3^3^ 

Oa = ((/,' — c/i')Ei + (rf./' — rf,")£.,+ (c/./"— rfi"')£,, = «/Sj + a.,'£,+ «./Ej, 

Le radius vector d'un point ([uelconque U de i! = 1!^, ou 
l'équation du système ponctuel ï = ïj^, est maintenant 

p=:.*£, -|-r£2+ :^3 
= •''i^i + Ji^i + =1^3 + "' ("i^i + "iH + "3-3) + " [f'i^i 4- 1>J-^ + /'3O 

ou 

p — j:£i + r£o+:£., 

= [.fj -f- /»",-t" "''i ~\- P \"J':\ — '^'3''2)]^i"l" [jl ~f~ "'"ï~H "''; 4"/' "./'i — "i''3^]-j 
+ [-1 + '""3 + "^i + /^ "l'^'j — "J'i) l^f 

Les cooithjniK'cs de ce poiiil soiil donc 

X rr .Tj -f- '""1 + "''1 ~t~ p["J':\ — "s''*) = •''i 4" '""i "1' "''i 4" /"'l» 
r = .Ti 4- '""s + "'':; 4- p{'ij>i — "j^i) = Ji 4- '""i 4- "''ï +/"'j, 
5 r= c, -}- /Hf/ , -(- ///>.| -|- p\<tj>., — ".i/'|) = :, + /«'/., -|- ///'., 4"/"'3- 

On dcdiiil (le lit les valeurs des (((cllic jcnls ///, ii.j». exprime 
en lonction df j , y, z et des (juanlilés dcuiiiefs. 



ÉQUIVALENCE DU MOUVE.MEXT D'UN SYSTÈME 207 

Nous écrivons, pour résoudre ces équations par rapport à 
m, n et /;, 

nut^e^^ltb^(■^ -\'pc^e^— [x — x^e^, 
ma^e^-\-iib.,e:,-\- pc.,e.,^{y — ri)^^» (^i^^i^a) = *> 

l'addition de ces équations donne 

et nous en déduisons, par la multiplication extérieure, pour //?, n 
et p les relations 



"1 


"■> 


"■^ 




.r — X, 


, J— ri 


- ^ 


l>i 


h'. 


/>3 


= 


l^ 


h. 


h 


'"l 


c. 


'■3 




Cl 


^2 


^3 


w., 


h.. 


/'. 




.r — .r^ 


' J— ri 


: — 


'"l 


i\ 


«•3 


= 


t^i 


f. 


C3 


"J 


('i 


^'3 




«1 


«2 


"3 


^1 


c, 


^■3 




a— a-^. 


7— Ji' 


= — 


", 


f(. 


^'3 


= 


=<i 


"> 


"3 


/•. 


l'i 


A., 




/': 


''1 


h 



Ces équations donnent directement les valeurs de m, n- et p. 
Pour le développement ultérieur il faudra toujours prendre les 
valeurs précédentes pour /«, 11 et p. 

Nous obtenons maintenant pour le déplacement du point U^ U^ 
du système - de coordonnées jr, y et c : 



{^>i('3—"J'^-i — 'J>:flî- 



[h^a.y — b.,a^')e.^ 



+ if'i'^-.i — <':^l>î)^i. + «/>/ — a,'A3>^ + [a;b.: — a:b^)i.^ j , 
OU, en ordonnant par l'apport ii s^, î,, £3» 

= ; ^1' + '""/ + 'ii>i+p\fii>î—"J>î—i>i(i^+h/t..;-\-a.^b,^—(i.^b.:] J £i 

+ ) ^^i"+ ''>"î + l^l>î-\-p[a■J>^'—»il>^ — l>■i(lv+b^a,•+n.;b;—a^b^] | s, 
+ ; (fî"+"><'î-\-"^'î+p{'^J>> — rto/^'— /yia,'+/'.rti'+«i7>.'— Oo'fti'] '£3. 



208 



/'. KRAFT 



Cette équation donne directement les composantes du déplace- 
ment total d'un point quelconque du système - parallèles aux 
axes des coordonnées. 

Avec comme rayon vecteur, d' , d' et d'' sont les coordonnées 
courantes du plan de Thodograplie du svstème des déplacements 
des points de S. 

La seconde des équations de l'hodographe nous donne 

{ 'd' - d\) z, + [d" - d,"} s, + {d"' - d-) s,; 

l'équation de l'hodographe est donc, avec les coordonnées d', d' 
et d'", 

d' — d,', d" — d ," , d'" — d ,'" 









K' 



Pour le déplacement minimum, nous obtenons au moven de la 
preuiière formule, qui donne o„, 

dy d^' d"' 

d.: d.:' dr 

d-î d,^" d.J" 

(«/-'+ «r + «3'-) (/'i'-'+ -!•/-+ />:,")-(''i'/>.'+ «V/>2'-f <V)' ' 

équation dont nous pouvons tirer directement les composantes 
de Og parallèles aux axes de coordonnées, la graiult-ui' tle ce 
déplacement est 

d: d," d,'" 
^^= 

\ ("i'- + "■'--h»3'-)'J'i- + /'..'- + l'.r' — ("l'/^'-f "t''i + "..'/'.tr ( - ' 

I/é(pialion du radius veclor de l'axe de rotation, quand on 
prend le point A = A, comme point de réduction du système des 
déplacements, est 

P = Pi T " I l'^^O;,) , 

ou 

(? — Pi) l(5«^?) = o, 



I "1 

</; d:' d^'" I : 

d,' d.," d.'" 



■ :l " .) " -.i 



ÉQUIVALENCE DU MOUVEMENT D'UN SYSTÈME 209 

d'où Ton a encore 

j {X — X^] E, + ( J — 1-,; £_, + (3 — J J63 ] 

d'où résultent tllreelement, comme équations de cet axe en coor- 
données habituelles 



((.yl^-s — a^'h.,' ('.i'/'i — ^'1^3' «i'^>' — '^i>'f>i 



L'équation du radius vector de l'axe pour le mouvement héli- 
coïdal du système X s'écrit 

Nous posons pour abréger, 

= fl'^l -i-C.,'£2+C3'£3, 

moyennant quoi, le vecteur fixant la position du plan de l'hodo- 
graphe est 

ou 

£ = (c/£j + C.^Z, + f3'£.,) : c', c'- = c^'- + c,'- + c./- . 

Nous en déduisons d'abord 



I c,' c," C.j'" 

rf; </;' d.r 
'•,' <•.,' f..' 



(^1^2) I {^'-^^^.^ 



= \, 



= A,. 



Maintenant il résulte de ré([uation du radius vector de l'axe 
hélicoïdal 

{x — Xi)z^-\- {y — Yi)t.,-\-{z— Z^)b,, = —^ (r/l£^+ ,/.£, -f ^/.,£,,) 

+ lÂ- i^ih + l'-h + ^■'3 h) + «(^V--i + <^ih + '-■s'Sa) > 



aïo F. KRAFT 

d'où 






rr.A, h. S., 



en multipliant cette relation par yc^'cjc^'c'" il vient 

= ! ^'-(j— Ji) — "--^1 — M' ' ^v*-.' 

et, en exprimant encore a^, «,, a^, h^, />.,. //.^ en fonction 
de quantités données, on obtient comme équations en coor- 
données habituelles de l'axe du mouvement hélicoïdal de ï 

I c''-[x — .r^) _ Ai(j-,— j-j) — A,i>-,, — X,) ( r/r,' 
= ) '^"(J — ri) — \(r,-ri)-A,,v,-r,) J 'V'V 

= j c'^(z-.j-A.(c,-.j-A,(.,-c,) ; r,v;. 

Il reste encore à déterminer l'angle de rotation n'. 
Pour cela nous possédons l'équation 



^ sin- 



ce ([ui doune 



^ sm- 



/'l'+ "/ + ".i-)f'- — '"|<'l'+ "i'V + ":.0- 



et cette écjualion détermine 1 ainpliluib- ih' la rotation. 

Faisons maintenant passer le système ï île ï, ;i 1, au moyen 
d une rotalioii autour ib- 1 axe de toision «'t de \.\ hauslaliou 0,,. 

Va\ choisissant un point de cet axe comme oiij^iiie îles 
coordonnées, les axes du nouveau svstJ'mi- de coordonnées 
élaul parallèles à ceux du svstémc jti iiuilil. <»n a, si = .r^ £, 
~l~ Vi 't "~^~ "1 -1 ^'^' '*' ••'^'•" vecteur d un point <[u«dcon(jue 
U T^ U, de ï -== i], et 'l — ^ .f £,-+-//-, -\- '■ '3 b: rayon vecl«'ur 
tlu point correspondant dans S = -,, après le déplacement de 1, 

'i/=: (e| p)eH-co8«i'(ep) |e + Hin«r| (ep) + Oo, 



ÉQUIVALEXCE DU MOL'VEMIWT DUS SYSTEME 211 

d'où, en posant 

£ = — (c/£i + c^z, 4- c.,'î.,) = e^ty + e,E. + e,t.^, 

•r^i + r£. 4- -£;, = (i — cos ir) [o.x, -\-e.j^ + e,=i) {e^-.^-\- e^t, + e.,£.,) 
+ cos ir(x£i + j£^ + :;£3) 
4- sin .<■ ; (e,3i — e,r^)s^ + (e^Xj — ^i-^îs, + (<?i V, — ejXi)£.j { 

OU 

.r£^ 4~ .■''ïj + --:i =^ î (^ cos If) (^/''^i + «"i^j)'! + ^■i'^i'i) + COS iVX\ 

H-siiiK^c,-! — <'.,ri)+</,/ ; £i 
+ ; (i — cos tr) (eiCoA-^ + e^^)\ + e/.,=i) + cos u j^ 

+ sin ..'((-..ri — e^z^) + ^q" ^ s- 
+ I (i — cos ir) (e.jp^.r^ + eof.^Vi + e.;-:J + cos irC; + siu ^^'leji — e^r,} + d^'" { £3. 

De cette équation on déduit directement les coordonnées du 
point U (.r, //, -) du système S après le déplacement. 

Si l'on fait coïncider Taxe de z du deuxième système de coor- 
données avec Taxe de torsion, l'on a î = î,, e^ = ^., = 0,^3=1, 
dg' = dj' = o, dj" = d^, ce qui entraîne 

'''•h+y-i-'r'h= ) costi-/.^— sinH-r^j £1+ J cos ht, + siiiuv-j | £,+ ; Cj+^o ! h^ 
doù 

X =; cos u'.r, — sin njj y =: cos ny^ -|- sin n'.*^, Z — z^ -\- d^. 

§ II. — Par ce moyen est résolu le problème du déplace- 
ment d'un système invariable ^, qui passe d'une manière quel- 
conque d'une position donnée ï^ dans une autre position don- 
née -^, en ce qui concerne son mouvement le plus simple et son 
système de vitesses. 

On peut aussi effectuer la solution de ce problème au moven 
de la multiplication algébrique du facteur de déplacement. La 
publication de cette dernière solution est réservée pour une 
autre époque. 

f'Kiu)ix.\M) KiiAiT (Zurich). 



NOTES ET DOCUMENTS 



Cours universitaires [suite). 
Semestre dété i9ni 

ALLEMAGNE 

Berlin. {Universitcit). — SciiAVAiiZ : Integralrechn, 4; Ueb. hierzu ; 
An\\ . d. Ellipt. Funktionen ; ^ ariationsrechn., 4 ; Kolloquien; Seniiiuir. 

— Sciiuu : Einl. in d. Th. der gew. Diff. gleiolign, 1. — Land.vu : 
Zahlentheorie. /, ; Einl. i. d. Funktionenth., '» ; Th. dcr Riemann'schen 
Zetafunktionen, 1. — Frobenius : Théorie der alg. Gleichungen, 4; 
Seminar. — Sciiottky : Théorie der Abel'schenfunklionen, 4 ', Senii- 
nar. — Hettxek : Potentialtiieorie, -i. — Knoblalcii : Anal. Géomé- 
trie, 4; Th. der part. Diir.-gleichgn., 'i ; Th. der Strahlensysleme, i. 

— LEiiMANX-FiLiiiis : Dili". rechng., 4 : Ueb., 1. — Foiisriiu : Gesch. 
der griechischen Astronomie, 2 ; Théorie der Zeitmessung, a; Fehler- 
theorie, i. — Bauschingek : Einl. in die Mechanik des Ilimmels, '^ ; 
Doppelsterne, i ; Seminar. — ^^'EI^•s■rEl^• : l*^iiil. in die math, Physik, 
i ; Grundlagen dcrphys. Wissenschalten. — ^^'AUl(UIu; : l''x[)('rimeii- 
talphysik; .Math. ICrgiinzungen zur l'^xpcMiiiHiit.ilphvsik. — Ni;i:si:n : 
Elementare Mechanik, i. 

Berlin-Charlottenburg. (Tcchn. I/or/tsc/iulc,. — DzioiiiK : llohcre 
Maliiciiiatik, Ici), dazii. — Hak.ntzsciiei. : l'^lementc dcr .Mcchanik 
(l. Chemiker). — IIamuuikjeu : Varialionsreclmg., l'niiklidiiciillictii-ie ; 
Aiedere Analysis u. Algebra. — Hauck : Darst. Gcomclrii'. — lli:iir/.Kii : 
Darsl. Géométrie. — IIettmvH : llTihei-e Mathniiatik : r<'l). dazu ; 
Théorie der Uaumkurvcn iind l'Iiiclicri; — .loi. 1. es : Darsl. GiMHiictrie. 

— Lami'E : Il(>iier(! .Matiiciiiatik ; l.'tb. dazii ; lîeslimmte liilcgrale u. 
Diir. gleichgn. — I'aai.zow : .\lalh. IMivsik. — Giioss : Médian. 
Warmetin-oric; I"'.itd. in ilicMalh. Physik; \Au\. in die Puti-ntiailheorie. 

— IIessemieiu; : Darsl. Géométrie; Aiisgew. Kapitel ans der Théorie 
der Kegelschnilte. — .Iaii.n'ke : l'iinl. in die N'cktoranalysis ; H<'pelil. 
iiltcr l'ilemcnlarmalhemalik. — l\. .Miii.i.Eii : Dill". u. lui. rechng. — Sti:i- 
.Miz : Syntheliscli«.' Géométrie; Elcm. d. darsl. Gcomelrie; Anal. 
Géométrie. — K<Vrri:ii : .Mechanik; aiisgtw . K.i|tilii u. Gcschichic. — 
PlETSCH : .Mechanik. — E. Mi;vEli :. Mechanik. 



yOTES ET DOCVME.yTS ii'i 

Bonn. {Universitut). ■ — Lihschitz : Anw. der Infinit, rechn. auf die 
ïlicorie des Raumes, .',. — Kohtlm : Unendl. Reihen, 2; Ditf. u. Int. 
rechn., .', ; Ueb. ira math. Seminar, .*. — Hefftkr : Analyt. Géométrie 
des Rauuies, /, ; Ueb., 1; Darst. Géométrie (vorzugsweise Perspektive) 
mit Zeiclieniibungen, 2. — Sommer : Elemente der Idealtheorie, -i. — 
M()iiMiCHMEYEU : Gescllichte der Astronomie, i. — Kûstner : Delini- 
tive Balinbestimmung der Kometen u. Planeten, 3 ; Prakt. Ueb.; Kol- 
loquium. — Deichmiiller : Bestimmung der Figur der Erde, i ; Aus- 
gleichungsberechnung, 1 ; Astron. geod. Arbeiten, j.. 

Breslau. (Univcrsitàt). — Sturm : Théorie der geom. Ver^vandt- 
schaften, 4; Darst. Géométrie u. graph. Statik, 3; Seminar, -i. — 
RosAXES : Anal. Géométrie der Ebene, /( ; Determinanten, -2 ; Seminar, 
I. — LoxDox : Th. der best. Intégrale u. der Fourier'sclien Reihen, 3. 
— Franz : Variations-u. Storungsrechnung, 3 ; Geogr. Ortsbestim- 
mung, '2 ; Uebersicht iiber die Astron. Theorien, 2; Astr. Praktikum, 
•2. — Xeumaxx : Eiastizitiitstheorie, 3 ; Ausgew. Kap. der Potential- 
theorie, 2; Ueb. in math.-phvs. Seminar. 

Erlangen. (t'/«'iC7'SiV«7). — Gordax : Raumgeometrie, \; Zahlentheo- 
rie, ', ; Seminar, 3. — Xoether : Diff. u. Int. rechng., 'i ; Dilf. Géomé- 
trie, \\ geom. u. analyt. Uebungen. — Schmidt : Math. Physik, ', ; 
math.-phys. Ueb., 2; mit ^^'EHXELT. 

Freiburg i. Br. — LiiROTH : Hôhere analyt. Géométrie der Kurven 
u. Flachen, \; Theoretische Astronomie, 3. — Stickelberger : Inte- 
gralrechn,, 5 ; Ellipt. Funktionen, 3 ; ^lath. -Seminar. — Lœ\vy : 
Théorie der alg. Gleithungen, 4j Ueber die Grundlagen der Geonie- 
trie, 1. — Seith : Kegelschnitte in elementargeometrischer Behand- 
lung. 

Giessen. (^Univcrsiiat). — Pasch : Anal. Géométrie der Ebene, \ ; 
allgemeine Hilfsmittel der Funktionentheorie, 2 ; Seminar, 2. — Netto : 
Einl. in die Algebra, \; DifF. Gleithungen, 2; Seminar, 1. — ^^'EI.LS- 
TEix : Darst. Geumetrie mit Ueb., G; VÀxû. in die Géométrie der Lage, 
2 ; arilhm. Théorie der h'ornjen, 2. 

Gœttingen. (Universitiit). — Ki.ei.n : Encyclopadie der Géométrie, 
', ; math. Seminar, 2. — IIiluert : Diff. gleichungen, i; Mechanik der 
Continua, 2; Malii. Seminar, 2. — Mixkowski : Algebra, '1 ; Miiiimal- 
flachen, 2; Funktioneiilheoretische Uebungen, 2. — Brexdei, : ^'ersi- 
cherungsrechn, 2; Uebungen dazu, 2; Ueb. f. d. Intégration v. Diff. 
gleichgn, 2; specielle Storungen, 2. — ScHii.i.ixr, : Dilf. u. Integral- 
rechn, \; Graphische Statik, i ; Ueb. dazu, 2. — Zer.mei.o : Anal. Creo- 
metrie, 4; Uebungen (mit Brexdel), 2. — Blu.mexthai. : EUipl. u. 
ModuUunktionen, 3 ; Uebungen (mit Brexdel), 2. — Voict : Théorie u. 



3i4 y or ES et DociMEyrs 

Anwendung des Potentials, 4; Ueb. 4; Anisg. Kap, d. Meclianik, i. — 
RiECKE ; Seminar, geom. Optik. — Ambroxx : Théorie und Gebrauoh 
der astronom. Instrumente, -i ; ^lethode der kleinsten Quadrate, i ; 
Uebungen ; Ueber das Kalenderwesen, i. 

Halle. (JJnwersitàt). — G. Caxtor : Dilf.-u. Integralreohn, 5; math. 
Seminar. — Waxgerix : DifTerentialgleich., \; Analyt. Géométrie der 
Ebene, mit Ueb, 3 ; sphiir. Trigonométrie u. math. Géographie, 3 ; 
math. Seminar. — Ebehii.vrd : Théorie des hoheren Gleichungen, ', ; 
Uebcii. — Grassmaxx : Analyt. Mechanik, mit Ueb. , 4; Anw. d. darst. 
Géométrie auf die Flachen zweiten Grades, a. — Buchiiolz : Wahr- 
scheiniichkeitsrechnung u. Méthode der kleinstein Quadrate, i ; prakt. 
Uebungen in geographischer Ortsbestimmung. — Berxsteix : Grund- 
lagen der Géométrie, mit Uebungen, î. 

Kiel, (Unû'crsitat). — Pocuham.mer : Anal. Géométrie der l'bene, 4; 
Théorie der bestimmlen Intégrale, ', ; Einl. in die Wahrscheinlich- 
keitsrechnung, i ; math. Seminar. — St.eckel : Dilferenlialreehn, u. 
Einl. in die Analysis, 4; analyt. ^lechanik, 4; Biegung krummer Fla- 
chen, 1 ; math. Seminar (iiber Meclianik). — Weixhoi.dt : Grapiï. Sta- 
tik mit l'eb.. jl. — Weber : Electro statik und Potcnlialtheorie, -jl. — 
IIarzer : Rotationsprobleme der Mechanik der HimmeU, î ; astronom. 
Uebgn. — Kreutz : Bahnbestiramung der Kometen u. Planeten, 3 ; 
Théorie des Ring-und Kreuzstabmikrometers, i. — Kobod : Xiedere 
Geodiisie, i ; Uebungen. — Grossmaxx : Geogr. Orlsbeslimiiiung, v. ; 
die noueren Ergebnisse der Astronomie, i . 

Konigsberg. (^Unii'crsilat) . — ^^ . lu. Mevkr : Anal. Gconicirie, 4 '• 
Uebgn., i; Einl. in die hohere Géométrie, i ; Uebgn., i. — Sciiox- 
Fi.iES : Théorie der Dilferentialgleichungen, 4 ; nialh. Seminar, i. — 
Saalschïjtz : Determinanten, 'j.; Gausssche und anilei-e intéressante 
lieiiien, |. — Vahlex : Dillt-rentialrechn. mit l eb., '). — Struvk : 
liimmel-.Mechanik, 3; Ueb., •/. — (]oiix : Aiuvetulgn. lU-v l'olenlial- 
tlieoi'ie, ). — \\)i.k.MAN.\ : i'.lasliciliitstlieorie, \ ; l cb. in ni.ilb. phys. 
Seminar. 

Marburg. ( tV//i'c/'.s7V//n. — IIkss : Gcomctrif ilcr Ebfiir in analyt. 
und synthelische Behafidlung, 'i ; .\iisge\v. Kapilel diT htilirrni .\iiaiy- 
sis, ', ; Unter-u. OixM'seminai-. — IIensei. : DiUVrenlialrcchniing, i; 
Théorie dcralg. l''unktionen und ihi'e .\n\vciidutig aul die 'I'iuM»i'ii' der 
alg. Kurvfii u. der Abelschen lutegrah;. \\ Math. Seminar, i. — 
V. Dai.wk.k : l'unktii)nnenthe(irie, *» ; Geodiisie, -x. — .\\:sv. : Zahlen- 
theorie, \ ; Algebra, -i. 

MUnchen. [UniversiliU). — Baleu : Alg(;bra; .Sciuinai-. — ElNDK- 
MANN : 'Iheorie der ellipi l'iinkliunrn ; Théorie der alg. l-'unct.; Semi- 
nar. — N'oss : Théorie dt;r l)ill'. gbiciign. ; Thct)rie der alg. Ivurven ; 



NOTES ET DOCUMENTS 21 5 

Séminal'. — Piuncsiieim : Integralrec^liri. ; Krgilnzungen u. Ueb. zur 
Differeiilialrechn. — Dohlkmann : Darst. Géométrie (Axonomelrie, 
l'erspektive), Uebungen dazii ; Grapli. Statik mit Uebgn. — Bitu.vx : 
Elorri. dcr holiercn matli. f. Stiidierende aller Fakullaten. — v. \\'k1{Eii : 
Analyt. Géométrie der Raumes mit Ueburigen ; Determinanten, mit 
Uebungen. — v. Seeligeu : Theoretische Stellarastronomie. — 
Axi)iN(; : l''.lem. der Astronomie. — Graetz : !Mech. ^^'armetheorie ; 
Ausgew. Kapitel ans der Hoheren Meehanik. — Koun : Potentialtheo- 
rie u. Kugellunktionen. 

Strassburg. (Universitât). — Reye : Ausgew. Kapitel der hoheren 
synthetischen Géométrie, 5; Théorie der Krilfte die nach Newtons 
Gesetz wirken (Potentialtheorie), 3 ; math. Seminar, 2. — Becker : 
Sphiirische Astronomie mit Anw., 3; Théorie der Ausgleichung der 
Beobachtungsfehler, '2 ; Astr. Uebungen aufder Sternwarte. — Weisek : 
Bestimmte Intégrale und Einl. in die Funktionentheorie, 4 ; Hohere 
Algebra, 4; niath. Oberseminar, 2. — Roth : Ditl". u. Integralreclm., 
3; Ueb dazu, 2; Analyt. Geom. der Ebene, 3. — Wislicenus : Ilisto- 
rische Einl. in die Astronomie, i ; Dioptrik, 1 ; Besprechungder neues- 
ten literarischen Erscheinnngen auf astronomischem Gebiete, i . — 
])isTELi : Analyt. Géométrie des Raumes, 3; Darst. Géométrie mit 
Ueb. 4; math. Seminar, 2. — Epstein : Théorie und Anwendung der 
Determinanten, 2. 

Tûbingen. (Unà'crsitât). — v. Brill : Analyt. Géométrie des 
Raumes, 3; Théorie der Kriimmung der Fliichen, 4; niath. Seminar, u. 
— Stahl : Niedere Analysis, 2; Ueb. dazu, i ; Hohere Analysis, 3; Ueb. 
dazu, I. — Maurer : Darst. Géométrie, 2; Ueb. dazu, 2; lunwertige 
J''unktionen einer komplexen Variabeln, 2; Ueb. dazu, 1. — Waitz : 
Populiire Astronomie, 2; Théorie der Liehtes, 3; Ueb. dazu, 2. 

"Wiirzburg. (Univrrsitât). — Phvm : Integi-alreehn., (j ; Uebungen 
dazu, 2; Ausgew. Ivapilel der l^'unklioneiitheorie, 2. — Selmx<; : Sphii- 
risfhe Astronomie, 2; Wahrscheinlichkeitsrechnung, Eehlerausglei- 
chung, Versicherungswescn, 2. — Rosx : Darst. Géométrie, \ ; Analyt. 
u. synlh. Géométrie der Kegelschnitte, 4; Anw. der Inlinitesimalanalv- 
sis auf Géométrie, 4; Seminar, 2. 



AUTRICHE 

Graz. [Univcrsildl). — Friscuaui- : Dill'.-u. Inlegralrechn. u. deren 
Anwendung auf Géométrie, >. — v. Dantscher : Anal. ii. projckl 
Géométrie der Ebene, à»; math. Seminar, 2. — Hii.i.erram) : Meilia- 
nik des llimmels, 2; Théorie der astronom. Instrumente, 3. 



2i6 ^'O^FS ET DOCUMESTS 

Innsbruck. {Unii-crsiUit). — O. Stolz : Théorie der Funktion von 
komplexen Verànderlichen, mit Ueb., 3 ; Arithinetik, die Lehre von den 
reellen Zahlen, mit Ueb., 4. — A^'iiîtincer : Ilohere Algebra, 3; 
Abel sche Funktionen, 3 ; math. Seminar, 2. — Zixdleu : xVnalyt. Creo- 
metrie der Ebene et der Raumes, i.; Liniengeometrie, i; math. Semi- 
nar, I . — V. Oppolzei! : Spharische Astronomie. 

Prag. K. (k. Karl Ferdinands Univcrsitai). — PiCK : Diff. gleichun- 
gen, 3; Diif.-u. Integralrechnung, 2; math. Seminar, 1. — Gmeixeu : 
Analyt. Géométrie, 3; Ueber Zahlenkongruenzen, 2. — Weiss : Elem. 
d. darst. Géométrie. — \\'kixeck : Théorie der Passagen-lnstrnmon- 
ten,3; Ueb. im astron. Beohachlen, 2; Finslernisse, i. — Oppeuhei.m : 
Prâzession, Xiitalioii u. \ eranderiing der geogr. Breite, \. 

Wien. i i'n(\'crsilat). — v. Escheuich : Elem. der Dill'.-ii. Iiili'gral- 
rechnung (unter besonderer lîerucksichtigung der liediirliiissc der 
Xaturhistoriker, Physiker, Chemiker, Mediziner und ^'ersi(•henlngs- 
malhemaliker), j; Ueimngen dazu, 2; Proseminar 1. math., i ; Seminar 
f. Malh., 2. — CiECENBAUEit 1 List nic'ht. — Meutens : Zahlentlieorie, 
.j ; Uebungen im math. Seminai', 2; matii. Proseminar, i ; Wahrschein- 
lichkeitsrechiuuig, 3 ; malhem. Stalistik, 3. — Kohn : Synthelische 
Géométrie, i; Uebungren dazu, i ; Invariantentheorie mit 2;ei)m. Anw., 
2. — IjL.vsciike : luniïihrung in die malh. Stalistik, ». — Zsic.mondy : 
List nicht. — D.vunLEnsKY v. Stekneck : Algelira, 3. — Cvituv : Aus- 
gew. Kapitel aus dem Gebiete der Beriihrungstransformalionen, 2. — 
Ple.mei..! : Potentialtheorie, 2. — ^^'Klss : Prakt. Astronomie, \. — 
V. Hkppergku : Théorie der speziellen Sloriingen, 3; 13ahid)eslimmung 
der Doppelslerne, 2. — Scmt.vM : Inlerpohitionsreclinung und mecha- 
nisclie (^uadi'alur, 2. — I^rev : Théorie des Salurnringes, 1 ; Das geo- 
metrische ^\ivelh■lllerlt. — ll.viiii. : Kartograpiiie mil koiisl niklions- 
iihungen, 'j . 



SUISSE 

Basel. { l'iiù'crsi/tit). — II. Kinkiii.in : .\lg. .\iialysis, 3; Gcom. .\n- 
wenduiigeii der Dilf. I irriing. , 3 ; IJcsiimmIe Integi'ale, 2; \\ arsciiciii- 
lichkiilsrcihri, 3. — K. \<>N iti.it Minii.i. : Eiidlg. in die malh. Piiysik 
mil l cl)., "j ; Ausgcw . Kap. der hkiIIi. Phvs., ', ; rcliimgen, 2. — 
E. llAUENitACM-nisciioi I : lîchatiill pli\s. .\ulgidiiri im malh. Seminar. 
2. — H. Fl.Air : Eiriicngcomelrii'. 

Lausanne. ^ l'uurrsiir). — .Vmsiiiin : (iair. diir. t\ iiilcgral. » ; Exf-r- 
rircH, 2; Th. des liimi cllipl , 3; lllrm. du cah-. dill" «l iiil. (rours 
destiné aux élèves en sciiMices pliys. cl nal., 3; Gale, iiil., intégrales 
délinifs cl séries, 2. — .loi.v : {îe«)m. anal., 2; Geom. drscr., 2; 



SOT ES ET DOCUMEyrS 217 

Epures. 4; Th. des nombres, u. — Mayor : Mécanique rat., /, ; 
Exercices, 1 ; Phys. math,, '2 ; Statique graph., 11 2 ; iv 2. — Maillard : 
Astronomie, '2; Mécanique céleste, i ; Cale, des prob., i. 

Zurich. {Ecole polytechnique, section normale). — HinscH : Integral- 
rechnung, 4 ; Repet., \ ; Uebungen, 2. — Franel : Calcul intégral, \ ; 
Répét., I ; Exercices, 2. — Herzog : Mechanik, I Teil, 6; Repet., i ; 
Uebungen, 2. — W, Fiedler : Darst. Gef)raetrie, 2; Répét., i ; 
Uebungen, ». — Lacomre : Géométrie descriptive, 2 ; Répét., i ; Exer- 
cices, '(. — ^^ . Fiedler : Anal. Géométrie der Lage, 2. — Geiser : 
Ausgewiihlte Problème der analyt. Géométrie; Ebene Kurven, ', . — 
HuRwiTZ : Ellipt. Funkt., 4; P^unktionentheoretische Uebungen, 2. — 
RuDio : Zahlenlheorie. — IIiiîsch : Th. der lin. Diff. gleichungen, 2. 
— Werer : Zylinderimd Kugelfunktionen und ihre Verwendung in 
der Physik, 2. — Wolfer : Geographische Ortsbestimmung, 3; Ueb, 
iin astronomischen Beobachten ; Einleitung in die Astrophysik. — 
Beyel : Schattenlehre, 2; Perspektive, 2. — J, Keller : Repet. der 
darst. Geom., 2; Repet. der Diff. u. Integrah'echnung, 2. — Kraft : 
Angewandte Mechanik, Bewegungsmechanismen. — Rebsïeix : Ver- 
sicherungsmatheniatik. 

Zurich. [Universitàt). — Buukhardt : Lin. Diif.-gleicliungen, 4; 
Vektoranalysis, 2; Math. Behandl. period. Xaturerscheinungen, 2; 
Math. Seminar, 2. — Weiler : Anal. Géométrie, 11, 2; Darst. Geom., 
Il, 3; Math. Géographie, 2; Kartenprojektion 2. — Kraft : Allg. 
Mannigfaltigkeitstheorie, 4. — Gubler: Zahlentheorie, 2 ; Polit. Arithm. 
mit Ueb., 2; Math. Unterricht in der ^littelschule. 2. 



CHRONIQUE 



Congrès des mathématiciens allemands. 

La prochaine assemblée annuelle de l'Association allemande des 
mathématiciens {Deutsche Matheinntikcr-Vereinigung) aura lieu à Cassel, 
du -li) au '^G septembre prochain, en même temps que la soixante- 
quinzième réunion des naturalistes et médecins allemands. Les com- 
munications ligureront à Tordre du jour de la section 1 (Mathématiques, 
Astronomie et Géodésie) de ladite réunion. Elles devront être emprun- 
tées, le plus possible, à la théorie des fonctions ahcliennrs d une part, ou 
à la inccanifjue théorique d'autre part. 

La (( Gaceta de Matematicas elementales » 

Sors ce titre paraît une nouvelle publication périodique espagnole, à 
laquelle la rédaction de \ Enseignement Mathématique envoie ses vœux 
de prospérité les plus sincères. Elle est dirigée par ^L le Docteur 
A.-O. 01)ejero et paraît mensuellement depuis le début de l'année i<)oi. 

Ernest Duporcq. 

C'est avec une douloureuse stupeur que nous avons appris la moit 
d'Ernest Duporcq. Je suis un de ceux qui sont allés, il y a deu.x mois à 
peine, le saluer dans l'église Saint-François-Xavier, lors d une union 
qui semblait être pour lui la garantie d'un bonheur durable et mérité. 
Qui pouvait prévoir (ju il nr serait plus, si peu de tenqts après cette 
belle journée ! 

Duporcq était un géomètre dans la vérilable acception du inni, un 
disciple de Chasles et du colonel A. Mannh(ii:i. Il nous laisse un Iraili- 
de géométrie moderne, un grand nombre d articles séparés ayant pri's- 
que tous trait à la géométrie et nolaminenl un important uiémoire sur 
le déplacement des ligures dont les dilTérents points décrivent des 
courbes sphériques. Celte dernière étude a été mise réceniinenl au citti- 
cours par l'Académie des Sciences et la lutte pour le |)i'ix pai'aissait 
déjà se cantnnner entre deux candidats tout au plus, dont était |)up()rc(|. 

ila|i[)flons aussi (pie Duporcq a élé secrétaire du dernier Congrès 
des Mathématiciens et que, lors de la moi't d -Vntomari, il reprit la jjart 
qu'avait ce dernier à la direction des Nouvelles Annales. 

N'(.'st-ce pas une étrange fatalité que de voir Dujtorcci mourir >>i pru 
dt; temps après son prédécesseur. 

La llédaclion d<; 1 /in.srignc/nmt inathr/natiqi/c oliVc res|iectu)'nsem<-nt 
à sa veuve et aux siens ses alleclueuses et siiu'ères condolTanccs. 

A. \',y m. 



CORRESPONDANCE 



A propos dune note récente sur la Géométrie générale. 

Un correspondant de l L'/isci^neiticnt inathéinatique a fait observer, 
en sappuyant sur un exemple, que c'est à tort que certains géomètres 
p(;nsent que la géométrie projective est indépendante de Ja théorie des 
parallèles et que ses théorèmes doivent subsister sans modification 
dans la géoujétrie non-euclidienne. 

Il me seuible que les géomètres ainsi visés pourraient peut-être 
opposer à l'objection élevée la réponse suivante : 

La conception de linfini géométrique comporte une grande part 
d'arbitraire. Rien n'empêche, par exemple, de concevoir l'espace 
comme constitué par des points, les uns situés à distance finie, les 
autres à distance infinie, ceux-ci étant définis comme étant inaccessibles 
au moyen de déplacements sans déformation. 

Dès lors, deux lignes droites situées dans un même plan se rencontrent 
toujours à distance finie ou infinie ; une ligne droite peut être considérée 
comme une ligne i'ermée ; les plans, ainsi que les surfaces algébriques 
à bi"anches infinies, doivent être considérées comme des surlaces 
fermées. 

Cette conception (et n'est-ce pas la plus satisfaisante au point de vue 
de la généralité des propositions, tant en Analysis situs qu en géométrie 
projective '.') revient à admettre que, si l'on considère un système de 
coordonnées projectives dans l'espace (et Ton sait que de tels sjstèmes 
peuvent être établis indépendamment de toute idée de distance), à tout 
groupe .r, y, :; de trois valeurs réelles de ces coordonnées, y compris 
±30 , correspond un point de l'espace, et réciproquement. 

Les s^-stèmes de coordonnées vulgaires, basées sur la distance eucli- 
dienne, sont des cas particuliers des systèmes projectifs et jouissent 
par conséquent des mêmes propriétés. 

Mais il n'en est pas de même des systèmes qui seraient basés sur la 
notion de distance Iobatche^vskienne. Celle-ci est efTectivcnient une 
fonction logarithmique des coordonnées projectives et peut, pour des 
valeurs réelles de ces coordonnées, prendre des valeurs inuiginaires, 
de sorte que, avec un système de coordonnées lobatchewskiennes, la 
solution commune aux équations de deux lignes droites situées dans 
un même phui, mais ne se rencontrant pas (au sens lobatchewskien), 



220 CORRESPO.yDAyCE 

est représentée par des valeurs imaginaires (représentant des points de 
1 infini lobatcliewskien), fait analytique qui n est en rien contradictoire 
avec la conception de l'espace exposée plus haut. 

Ce fait est corrélatif de la propriété de log .r de prendre une série 
de valeurs imaginaires, pour passer de -f- x à — a:; , .?■ variant dune 
manière continue de — oc à o. 

En résumé, les hypothèses métriques n interviennent dans la concep- 
tion même de 1 espace ponctuel, considéré comme une variété numérique, 
que parce qu il s établit une confusion entre les pi'opriétés de l'espace 
et celles de certaines coordonnées — du moins cest ainsi que nous 
nous représentons l'état de cette question. G. Comiîei!Iac. 



Lettre à M. Laisant. à propos de son article sur les bissectrices 

d'un angle. 

L'nivcrsito d'Edinburgh, le 12 novembre 1902. 

Cher Monsieur, 
J'ai pris beaucoup d intérêt à la lecture de vos Remarques sur les 
bissectrices d'un angle publiées dans le numéro de juillet 1902, de 
Y Enseignement mathématique. Le sujet se rattache aux travaux qui parais- 
sent de temps en temps sur l'introduction des quantités négatives en 
géométrie, question appelée à jouer un rôle de plus en plus important 
"dans renseignement des mathématiques élémentaires. Une attention 
soutenue portée sur les grandeurs géométriques négatives éviterait 
souvent, je crois, beaucoup de difficultés qui se présentent dans la pra- 
tique. Plusieurs soi-disant démonstrations de la géométrie analytique 
élémentaire ne sont pas du tout des démonstrations mais bien d'heureu- 
ses coïncidences avec les formules algébi"i(jues qui s'appliquent néces- 
sairement à tous les cas. Comme exemple, je citerai seulement quelques- 
unes des démonstrations qu'on donne pour l'expression de l'aire du 
triangle en fonction des coordonnées de ses sommets. Dans la plus 
élémentaire, fondée sur la distance entre deux points (.r) et (.r') prise 

sous la forme 1/ v ( j; x' r ^^^ introduit la possibilité d'un signe 

moins qui dans certaines circonstances paraît laisser un doute. 

Kn premier lieu qu'entend-on par l'angle de 
deux droites ? Avant do pouvoir considérer 
l'angle nous devons préalablement diriger les 
' dnùtcs et en choisir une comiiie base. 

Ainsi l'inclitiaison de ()(^ sur Oi* où 1 angle 



l*OQest la rotation nécessaire peut amenerP'Ur sur la direclion Q'CX^). 
Les cosinus direclt.'urs d'une droite fournissent un moyeu jiarlait 
d'interpréter la direction de celte droite. Pour abréger je me borne 
au cas de droites situées dans un plan passant par l'origine. 



CO R I{ E s P o y D A y C E 




Si OP est le sens positif de lu droite, c'est-k-dire qu'une mesure faite 
sur cette droite soit prise avec le 
signe -|- dans la direction OP et avec 
le signe — dans la direction OP'. 

Alors les cosinus directeurs de la 
droite sont 



où (;, T,) est un point quelconque 11 
pris sur la droite et o la longueur dirigée OFi. 
Ainsi 

— ? "H ? ' 

Pour la droite POP', ces cosinus directeurs sont changés de signe. 
On a de semblables résultats dans 1 espace à trois dimensions. 

A ce point de vue rien ne pourrait être plus élégant que votre recher- 
che des cosinus directeurs des bissectrices des angles de deux droites, 
mais je crois que vous y êtes forcément amené en discutant la question 
de savoir si c'est l'angle aigu ou l'angle obtus que nous bissectons. 

Les droites étant dirigées par les cosinus directeurs, nous n'avons 
par la liberté de choisir l'angle compris entre ces droites. 

Il est déjà donné par les lignes dirigées de O 
vers P (a^iy) et Q (a',^',-;'). 

Il y a plus : si le dénominateur dans les rapports 
(a -f- a'j : (^ + ^'j ; r; + y') est pris positivement, la 
bissectrice est, elle aussi, dirigée et sa direction est 
celle que nous prendrions- naturellement pour direction 
positive de cette bissectrice. Les trois autres bissectrices correspon- 
dent à — (a-fx'j : — fSÎ+ ^i') : — (y + v'); (— a + oc') : {~~ <^-\-^') : 
( — V + V 'î (^ — ^') '• (r* — r') • (".' — v'j' ^^ dénominateur pour les cosi- 
nus directeurs étant pris positivement. 

Ainsi ( — x-\-x'): (— ^ -j- ^'j : ( — V~^V') correspond à la bissectrice 
entre OP' et OQ. Si la direction de la bissectrice OU n'ost pas essen- 
tielle, le même problème se résout aisément comme il suit. Soient 

(ç, r,, ç.) les cosinus directeurs; puisque cos POH = cos ROQ on a 

ça + 7,6 -h '£•; = ^ùcol' 
c est-à-dire 

-î (x — a') ^ o. (i) 

En outre les trois directions sont coplanaires 




7. [1 y 

I ^' i'^' f 



(•^) 



Eiiseig-ncmeiil luulli. 



222 CORRESPOXDA.XCE 

Les équations (i) et (2) fournissent les rapports pour ;, y), ^, 

a + «': .3+ [i'-.T + Y'. 

mais les équations (i) et (2) sont égaleineul vérifiées par la droite avant 
pour direction KO; de là l'incertitude en direction. 

Pour la bissectrice de l'angle supplémentaire, nous changerions les 
signes de a', ^', ^f , pour obtenir l'angle P'OQ. 

Les cosinus directeurs sont donnés par 

(a_a') :(|î-^'): (y - y') • 

Le problème le plus général de déterminer les cosinus directeurs de 

OU lorsque P()li::= P()() peut être résolu coiiime suit. C'est une 

^ n ^ 

question de trigonométrie et de théorie des équations d(> déterminer 
« = aç -j- ^T, +7^ de sorte que 



X ^z eus ; 

L " 



u-c cos (ax'+ ,'3?' + yy'; 



De là 



x^l.\^- 



(ïa;)^. 



(') 



L'équation (a) est la même que plus haut. Ces deux équations corres- 
pondent à deux droites et la droite demandée doit être telle (jue 

cos non — \ eus ^« — 1) l'( )î{ * ■ 

Dans tout problème sur la ligne droite- dans un plan rcrilcrmant des 
mesures d angles, 1 équation d une droil<; sous la lorme // = //// -j- c est 
d un faible usage parcefpiunc; telh; droite ik; peut j)as éti'e un<' droite 
dirigée et 1 é({ualion représente également une certaine droite dans une 
direction donnée ou la même droilfî dans la direction op[K)sée. C'est 
dû à ce fait (pie tang (--j-0) = tang 0. 

I.,ors([ue par consé([uerit nous clici-chons à mesurer 1 angle entre 
deux droites // -^ iiix -y- c et // — ; iii'x -f- <■' et ([ue nous obtiMnms 



iiic laiu 



1 -f- tiiiii' 



raml)iguïlé est due à ce fait qiir 1rs dioili-s ne s» ml |>as dirigiis. I Icurt-u- 
sement dans b.-s cas inqiorlaiils du parallélismr cl ilc la pcrpindicularité 
ci;lte dilfiiiilté ne s élève pas. <^hiaii(l 1 é(pi;il imi de hi pcipcndiciilain' à 
um- droite dans un plan ou à un plan dans I rspare se présente, c'est, ]<' 
crois, une erreur d imaginer que la perpendiculaire issue ili' I oi'igine 



c o n l{ K s V O >V D A .V C E -i. i. ^ 

doive toujours être prise ccniirne positive, car cela enlève aux considéra- 
tions développées ci-dessus les avaiila<>-es quelles présentent au point de 
vue des expressions algébriques. 
LéqualioM de géouiélrie })lane 

X cos -j- y sin — p =z o, 

signifie : la ligne telle" qu'en considérant la perpendiculaire qu'on lui 
abaisse de l'origine, celle-ci est inclinée de l'angle 6 sur Taxe des x, tan- 
dis que la distance de l'origine au pied de cette perpendiculaire est p en 
grandeur et en signe. Avec cette interprétation il n y a plus de confusion 
possible entre les deux droites 

X cos -\- y slu — p :^ o. 
X cos 4~ J sin () -\- p z:z o, 

car l'essentiel est le sens ou la direction de la perpendiculaire. 
Remarquons aussi que 

X cos -|- 1" sin — ^ r= o 

X cos (f) -j- -) 4" J si"! C H~ ■^) 4" Z' = o 

représentent concureniment la même droite. Les deux perpendiculai- 
res ont des sens opposés sur la même droite de base. La droite elle- 
même dans ce cas est non dirigée mais ceci est dû à cette particularité 
qu elle est perpendiculaire à la droite menée par l'origine. Si au lieu 
d'être perpendiculaire à la droite menée par l'origine, la droite est 
inclinée de l'angle 0, cette dernière est encore dirigée et son équation 
est 

X sin (0 -|- o) — y cos ^0 -\- o] — p sin ( — o) ^ o. 

Cette équation est toujours distincte de 

X sin (0 — o) — r ces (0 • — o) — p sin ( — o^ = o 

sauf lorsque -i'^ := ~. 

De semblables considérations s'aj)pliquent dans l'espace à l'équation 

X cos -\- y cos o -}- z cos 'b — p -= o. 

Cliarles Twi:edie ( I-'dinbui'gh). 



Réponse à M. Cailler au sujet du calcul des probabilités. 

Nous remercions vivement M. Cailler, de rallenlion ([u'il a bien 
voulu donner à l'article trc^s audacieux qu'a publié de nous cette revue 
exclusivement mathématique, alors que nous ne sommes pas des 



224 CORRESPO.\DA.\CE 

mathématiciens. Mais, nous lavons montré, cette partie des mathéma- 
tiques, le calcul des probabilités, a pris une très grande valeur dans 
tous les ordres de sciences. Or nous craignons que parfois, en restant 
trop près des formules, on ne s'élève pas assez au-dessus délies pour 
en bien pénétrer le sens plus lointain, à laide du bon sens et de la 
raison. Nous nous excusons des erreurs que nous avons pu faire. 
Cependant il semble que les objections de M. Cailler ne portent pas 
entièrement. 

1° M. Cailler montre, contre nous, dit-il, que les deux formules 

ii- 

(i) p, = . (>~~ -"'J"J cl (2) P. = e 



Y i-nipr/ ' \[' 2iiip(j 

n'ont pas l)esoin d être équivalentes, puisqu elles signiiicnt deux choses 
très différentes, la première, la probabilité d'un écart égal à /i, la 
deuxième, la probabilité d'un écart moindre. 

Mais nous n'avons jamais prétendu que ces deux formules dussent 
être identiques. 

C est à 1 équivalence de la formule {'i) 



(3) I — e [—^= 



h_ 
'I 



et de la formule (i) que nous nous sommes attaqués, cette formule (3) 
étant inverse de la formule (2) et mesurant la probabilité d'un écart égal 
ou supérieur à //. 

Et nous n'inventons pas cet usage de la formule 1 — 6 il) puisque 
M. Bertrand l'enqiloie couramment. 

A vrai dire la formule (i) ne doit y)as être iilcnliquc à la formule (i) 
puisque la pi'emiere mesure seulement la probabilité d un écai'l égal, la 
seconde la probabilité d un écart égal ou supérieur à //. Va là a été noire 
négligence. Nous avons considéré la première formule comme mesurant 
la probabilité d un écart au moins égal à //, et non tout à lait égal à //. 

11 reste cependant que la formule (i ) qu on a enqdoyée dans les appli- 
cations, n'a guère d'intéi'èt et cpie, seules, les formules (•/) et ( i) sont 
fécondes. Nos conclusions sont maintenues, mais nous avions fait une 
remarque erronée, nous le reconnaissons franchement. 

•j." Pour ce qui est de la probabilité du joueur, nous maiiilciioiis 
entièrement nos conclusions, non que le joueui' ail raison, car, el cCst 
là lObjeclion la plus forte à son calcul, on ne jx-ut parler de probabilité 
pour un ca",. 

M. Cailler l'eproduil tout siMq)lemeiil 1 argummlaliou de .M. l'oiiu are 
sur les séries également pi'obaides de six rouges el une noire il uiir 
part, el de; sej)t rouges d autre j)arl. 

Raisontions un peu. Nous supposons une successiun illimitée de 



CORIiESPOyD.iyC E 22"> 

rouges et de noires. Nous voulons dans cette succession déterminer 
une série. Il y a deux procédés : ou je vais prendre sept coups consé- 
cutifs, les considérer comme une série et en chercher la probabilité, et 
alors nos adversaires ont raison. Ou je vais, au lieu de ce procédé 
arbitraire, chercher une série dans cette succession. Qu'est-ce qu'une 
se/ve pour la raison? C'est une consécution d'éléments homogènes. 
Qu'y a-t-il dhoniogèiie dans cette succession ? ou des éléments rouges 
ou des éléments noirs. Alors, je m'en vais prendre une consécution de 
rouges, par exemple une série de 7 rouges. Comment ma série est-elle 
définie, à l'origine ? par l'apparition d'une rouge après une noire ; à la 
fin ? par l'apparition d'une noire après une rouge. INIa série ne jieut 
comprendre que des rouges, la noire précède l'ouverture de la série et 
la clôture. Dire donc série de six rouges et une noii'e, c'est dire série 
de six rouges et série de noires commençante (pouvant ne comprendre 
qu un terme, ou plus). 

Si l'on ne procède pas ainsi, il n'y a qu'arbitraire et irrationnel. Par 
quoi est précédée la série donnée par M. Cailler : Rouge, noire, noire, 
noire, rouge, noire, rouge ? Par quoi est-elle continuée ? Pourquoi con- 
sidérer cette série ? Il n'y a pas de raison, il n'y a pas de série unique. 
Il y a là une série d'une rouge, une série de trois noires, une série d une 
rouge, une d'une noire, une d'une rouge (bien qu'en général on con- 
serve le mot série pour une consécution multiple). 

Il nous semble qu'il y a là un exemple de préoccupation tout à fait 
exclusive pour les formules empêchant la réflexion d'examiner la ma- 
tière même de ces formules, ici la notion de série. 

N. Vaschide et II. Piéuox. 



BIBLIOGRAPHIE 



Em. Borel. — Leçons sur les séries à termes positifs. Professce» au 

Collège de Frtuice. /leciieillics et rédigées pur lialicii il Adhéiuar . — Lu 
volume gr. in-8", 91 p.; prix : 3 Ir. )0 ; (Jauthicr-Villars, Paris, 190-2. 

En lisant ce livre on a 1 impression que le i-édaclcur n a pas su rendre avec 
assez de précision lidéc du professeur. Bien souvent, en effet, on désire 
plus de rigueur dans le développement des théories. Les démonstrations ne 
sont pas toujours exactes et la forme laisse quelquefois à désirer. 

Ce que le livre a de nouveau, c'est principalement l'usage de symboles 
propres à représenter les degrés d inlinitude des fonctions croissant plus 
rapidement que 1 e.vponentielle <>'. ou moins rapidement que la fonction loga- 
i-ithmique log .r . 

Il y a cependant, une question fondamentale qui demeui'e irrésolue, à 
savoir : les critères sur lesquelles li^s auteurs s'appuienl pour délinir 1 éga- 
lité ou la majorité de la croissance des fonctions. Ces criliM-es peuvent èli"e 
c-tahlis d ime induite de façons différentes indépendamment de la représenta- 
tion symbolique des degrés d"in(initude. Mais, lorsiju (Ui ne dit jias expres- 
sément le contraire, il semble toujours sous-entendu que Ion se rajiporle à 
la méthode classique t[ui se rattache à la considération tlu quotient des fonc- 
tions qu'on veut comparer. 

M. Borel parait, au premici- aitord, ne pas vouloir sécarlerde cette mé- 
liiode. Non seulement, en elfet, il ne s occupe jjas exprès de la i|ueslion, mais 
<lans plusieurs endroits il sembli? bien accepter la solution gé-nérale ipie je 
viens de rappeler. 

.le citei-ai les pliras<'s : 

(1 Notre but est d'étendre la théorie des oi'di-es d inlinitude à dis cas 
oii la valeur (|uc rons<>rail conduit à leur attribuer serait zéro ou linlini. 

» Dans ce but, nous conviendrons de dire (|ni-. .v ('lanl I inliniment pclil 
principal. . . {') . 

<( Dans tout ceci, certains coedlcirnts ccjustants sont sans impcjrlance. Ainsi 
ey, ou 'ic', c'est p(jur nous la même chose, cai" c'est le même mode de crois- 
sance M (-^ . 

Vax laissant don:' <le côti' la nature et le.s loi> de tornialion des symboles 
qniin introdnil <l;ins le livre, on pi-nse loujonr> que deii\ lonetions au\qnidles 



(') Cf. Sur les ordrvu il'lnfinitinlr. Nnle |.ulili.e |i.ii !.■ //////. ./<■ lu Suc. Mail,. ,!,■ 
France. 1 ;)<)•. p. l'ij. 

(•; Cf. In note l'i la p. i") ilu lixl.'. 



liinLioGnAPiiiE 227 

va êtr(> attribiU' un même symbole, seront censées avoir un rapport fini et 
réciproquement. 

Il n'en est rien. Dès la première notation qu'il propose, c'csl-à-dirc, lor.s- 
qu il délinit l'ordre (tji) par la condition que Ion aie, quel que soit le nombre 

positif £, 

lim =r o, lim = = ce , 



(p. 36) on se représente des fonctions comme : 



— jc^+^i^-, y^ = x^-~^^.-^)- 



( lim z [x] = o I 



qui ont même ordre (p.), et dont le rapport -=-^ est infini toutes les fois que 
la fonction t [x) décroît assez lentement pour que 
lim log X. z (.r) = ce . 

L'introduction des symboles co'^ ne fait qu'augmenter celte indétermination. 
On le voit très aisément et je n'insiste pas là-dessus. Je veu.x: seulement si- 
gnaler la lieinarfjue II (p. 43), à la suite de laquelle le degré i* de la fonction 

.»■- se trouve différencié du degré — «0? de la fonction ex-, et la différence 

CD 

des degrés de deux fonctions telles que z et y = •/-)- lest mise en évidence 

— 3 2 — I 
par les symboles m, ojt'co. 

Cette remarque, en évidente contradiction avec la noie à la page 3^ que j'ai 
citée, ne pourrait s'expliquer sinon en admettant que : Deux fonctions ont 
même degré alors et alors seulement si l'on peut leur attribuer un même 
symbole. 

A pari lai-liiti-aire d'une ti'llc d(''finitioii. il faut observer en premier lieu 
que : Les lois de compositions des symboles de M. Borel ne donnent aucun 
critère pour ordonner l ensemble de ces symboles, et que pourtant la question 
de savoir laquelle entre deux fonctions données a la plus grande croissance, 
demeure irrésolue même lorsqu'on connaît les symboles qu'il faut leur attri- 
buer. 

En outre, dans le courant de l'œuvre, eu voulant donner des critères pour 
l'assigiuition de ces svinboles, voire même les délerminer dans des cas parti- 
culiers ; on se sert de la connaissance du symbole atlribué à une autre fonc- 
tion à laquelle la fonction à étudier est dite comparable ou du même degré, 
ce qui nous porte à un cercle vicieu.K. 

D autant plus que maintes fois les fonctions dont il s agit ne sont nullement 
comparables, si avec ce mot on se rapporte à la théorie ordinaire des 
in Uni s : 

Je citerai les pages 64. 82. où l'on lit : 

en remarquant que n! est comparable à n", donc (n I)i' à n"P 

puisque pP est asymplotiquement peu différent de p ! 

Et je ferai observer (juc le rapport — - croît plus rapidement t/ue toute 

puissance finie ni' de u. 



2^8 BIBLIOGRAPHIE 

En somme, dans ce livre, on n'a pas conservé les définitions classiques 
d'égalité et d'inégalité dans les ordres d'infinitude, on n'en a pas donné des 
nouvelles, et l'on a, avec cela, introduit de? symboles avant de bien préciser 
les idées qu'ils doivent représenter. 

I/utilité de ces symboles est donc bien douteuse, et les propositions où ils 
sont employés demandent à être éclaircies. 

Par exemple, lorsqu'on trouve à la page 58, la proposition : 
Le degré de f (x), en fonction de f (x) est moindre que : 

iH h— r+ ■•• -f . (^^ o) 



.... f.a limite est la croissance de la fonction idéale 

et à la page 70 : 

.... Si k est très ^toisin de un. le degré '■> ( j— j est très grand 

On ne connaît pas le sens des mots moindre, limite, très-grand, etc. 

Peut-être ces incobércnccs, seraient-elles moins évidentes avec une rédac- 
tion plus soigneuse. 

Par exemple, à la page 45, ou veut (irer des critères, qu ou dit très utiles 
pour la détermination des ordres d'infinitude, de la considération, uianites- 

/ V d.> 
temenl fausse, que si —r est intiniment \'rand, sera de même degré . 

y \ y 

(Il sufiit de prendre j =: log x pour voir tomber en défaut celte assertion). 

Encore : la démonstration qui se trouve à la page 19 et qui a une impor- 
tance capitale pour la belle méthode du terme maximum de M. lioreL n est 
pas complète. 

On n'a pas tenu compte du fait ((ue la i(uautité î"'. dans la foruiulc 



^ + ^!i__^y""^, .'"-"")" + 



est négative el variable avec m — m' . 

1 

A la page Gi. ou n a pas (jl)serv<'- (jui- si on fait, /m-I o (;/) :=: n ^ ""' 



lim 



ft log (log II) J 

— P~il> 
et (jne la somme i -\- C -\- e -\- . . . . n isl pins lime. 

Ajoutons pour terminer cjue. quant à la foiMue de I exposé-, on renconli»- uu 
certain nombre d'incorrections et que les fautes d iuqiressions sont assez uom- 
briMises |)onr té-nujigner de la liàte avec laquelle ce livi'e a é-té- rédigé et publié. 

Ivrroiii; Hohtolotti (Modena). 

.M M iti<:i <;oi<i 1 it(ii . Théorie élémentaire des séries, l H \olMiiie de 

vGG p. gr. iii-K", prix : 8 francs. ( i;iiilliier-\'illars. Paris H(o ! , 

En groupant ]<■» points |irincipaux Ai' la tlié-oi-ie îles sé'i-ies, .\l . (ioilelroy 
a «''cril un livre utile (|ui si-ra apprt'-cié- . ( >n ne sani'ail assez, reccjmiminder 



m lif.ioGRA r m E 2-19 

1 étude des questions ([ui y sont traitées. Les séries interviennent dans presque 
tous les problèmes posés par l'analyse, elles sont d'un usage constant en 
astronomie et en physique. 

Dans le premier chapitre de son livi-c .M. Godefroy délinit les notions si 
imporlanlos de limite et de continuité : limite d'une variable, limite dune 
fonction, fonction continue dans un intervalle, à droite, à gauche, etc., fonc- 
tion dérivable. Ce chapitre sert d'introduction. 

Les principes de la théorie des séries et les propriétés des séries à termes 
constants sont exposés dans le chapitre suivant. 11 contient les définitions 
des notions fondamentales, les règles de convergence les plus usuelles et les 
points principaux de la théorie des séries alternées et des séries de séries. 

On y remarquera quelques exemples curieux (entre autres la série de 
C^ésàro et celle de Lambei-t). L'auteur passe ensuite à la théorie des séries à 
termes vai-iables et plus particulièrement à celle des séries entières. La notion 
si délicate de convergence uniforme est élucidée par un exemple que l'on doit 
à Paul du Bois-Reymond. 

A la théorie des séries entières est rattachée celle des polynômes de Le- 
gendre et delà série hypergéométrique. Lauteur établit ensuite les formules 
de Taylor et de Mac-Laurin. 

Les trois derniers chapitres, qui forment les deux tiers du livre, sont 
consacrés à l'étude détaillée de la fonction exponentielle, d-es fonctions cir- 
culaires et de la fonction gamma. La fonction exponentielle et les fonctions 
circulaires sont définies au moyen de leurs développements en série, ce qui 
n'est pas nouveau, mais la façon dont l'auteur en déduit les propriétés carac- 
téristiques de ces fonctions, la clarté de Icxposition, le grand intérêt des 
questions qui sont traitées dans cette partie du livre, eu rendent la lecture 
particulièrement attachante. Comme application, l'auteur étudie les poly- 
nômes de Hermite, les fonctions de Bessel, les polynômes de BernouUi . 
Signalons encore une théorie des logarithmes et des fonctions hyperholicjiies 
et la démonstration de la transcendance du nombre e. 

Le dernier chapitre est consacré à la fonction gamma définie comme limite 
d'un produit. Ce chapitre est curieux et sera lu avec intérêt. 

On trouve à la fin des chapitres de précieuses indicalioiis bibliographiques 
et des exercices. 

Ajoutons que l'auteur se ijorne à la considération du domaine réel. Malgré 
cela l'ouvrage de M. Godefroy est moderne. Son caractère dislinclif est la 
clarté et il pourra être lu par tous ceux qui connaissent les éléments du 
Calcul différentiel. Le livre est précédé d'une belle préface de M. Sauvage. 

T). MiKiM.vNOir (Genève). 

Enou.uiD Cannwil. — La rotation de la terre démontrée par le pen- 
dule de Foucault; appareil des écoles, in-S", i'i p.; chez l'auteur, 

Levallois-l'erret ^Si'iue) . 

Cette petite brochure accompagne l'appareil imaginé et consiruit par 
M. Cannwel, pour reproduire l'expérience de Foucault dans la plus [modeste 
école et même chez soi. Ce pendule de Foucault réiluit, ce qui permet cepen- 
dant de constater parfaitement la rotation apparente du plan d'oscillation, a 
été présenté par AL d'Arsonval, le 17 novembre igou. à l'Académie des 
sciences. Le problème prati([ue n'était pas facile à résoudre, caria ciuestiou 
de la suspension du fil surtout est chose fort délicate. AL Cannwel y est 



■2io BIBLIOGRAPHIE 

parvenu par des moyens très simples et qui n'exigent qu'un peu dalteution 
et de soin, sans aucune habileté spéciale d expérimentation. 

La brochure, où figure en tète un portrait de Foucault, contient les notices 
consacrées à cet illustre physicien, par J. Bertrand et M. Gariel; la commu- 
nication de Foucault sur le pendule, lue par Arago à lAcadémie des Sciences 
le i février i85i: celle de M. d'Arsonval, du 17 novembi-e 1902, rappelée 
ci-dessus; des extraits des discours de M. Flammarion et de M. Chauniié. 
ministre de llnstructiou publique, prononcés lors de la réinstallation dw 
pendule de Foucault au Panthéon, le -ii octobre 1902: une note très claire 
de 1 auteur sur son appareil et quelques documents complémentaires : le tout 
accompagné de nombreuses ligures ([ui aclièvent de faciliter la lecture. 

Grâce à l'appareil de M. Caunwel, il devient possible à tout instituteur.de 
montrer à ses élèves la rotation de la terre, en plaçant sous leurs yeux la 
reproduction d une expérience célèbre, qui semblait possible seulement jus- 
<[u"iei dans des conditions très exceptionnelles et très onéreuses. Nous esti- 
mons t[u'il a rendu de la sorte un important service à renseignement éh'- 
mentaire de 1 astronomie. L'installation de ce petit pendule, dans toutes les 
écoles, serait une juste glorilication du génie de Cialilée et de celui de Léon 
Foucault. C.-.\. L. 

C. Alasi\. — I complementi di Geometrica elementare. i vol. .\V-i ; i p.. 

117 lig. ; j)iM>: L. ].')(); .Milan, llupli. i<|o>. 

Ce petit volume appartient à la collection des manuels llœpli. V(»iei les 
litres des divers chapitres qui le composent : 

\ ecteurs. — Généralités sur les polyèdres. — Mesure des polygones et 
des polyèdres. — Syméti-ie. — Superposition des ligures. — lloinothétie. 
— Similitude. — Maximum et minimum eu géométrie. — Transveisales. — 
Puissance d un point par rapport à un cerch» ; axes radicaux, centres radi- 
caux. — Involulions. — Pôles et polaires. — luvcrsiou. — Les sections 
coniques. 

(]etle «'niimi'i-ation sommaire sullll à donner une idée des ressources que 
pri'senlera pour tout bon élève moyen la lecture de cet ouvrage modeste, et 
lort utile. L'exposition est claire, l'ordonnance est très mélhodii]ue, <>t plus 
d un pr(jfesseur n'aui'a qu à v gagner. 

C.-A. L. 



BULLETIN lUlîLlOGRAPHlOUE 



Archiv der Mathematik und Physik, gegrûndc-t i8.li. diuchJ.-A. Gru- 

NERT. Drilte Reihc. llerausgegebeu von E. Lami'E, W. Fka.nz Meyer, 
E. Jahxke. Band IV, 1903 ; B.-G. Tcubner, Leipzig und Berlin. 

lleftc 3 und 4- — H. Weber : Théorie der reellcn quadratischen Irralio- 
nalzahleu. — J. Horn : Untersuchung der Intégrale einen linearen Dilferen- 
lialgleiehung in der Uragebung ciner Unbestimmtheitsstello vermiltelst suc- 
cessivcr Anniiherungen. — J.-H. Graf : Enlwicklung der Funktion Log V [a] 
nach fallenden Poteuzen des Arguments. — C. Beyel: Ueber Axonometrie 
und schiefe Parallelprojektionen. — G. Wallexberg : Ueber die Yertausch- 
barkeit homogcncr linearen DifFerentialausdriicke. — E. Jah>he : Auszùge 
aus drei Briefen Steiners an Jacobi. — E. Jahnhe : Schreibcn Jacobis an den 
Staatsminister V. Eiclihoni betrefTend Jakob Steiner. — J. Neuberg : Regel- 
schnilte aus der Dreiecksgeometrie. — H. Guradze : Riiumliche geometrische 
^'er^vaudlschaften und Système. — P. Appell (lettre à M. M. Krause) : Sur 
les fonctions de BernouUi à deux variables. — M. Krause (lettre à M. Appell) : 
Ueber die Bernoullischen Funklionen zweier verandorliehen Grôssen. — 
Ph. Maennchen : Ein neucs Schliessungsproblem. — G. Majcex : Xeuc 
Bcitriige fur Dreiecksgeometrie. — II. Kûune : Die Grundgleichungen 
eincr beliebigcn Mannigfalligkcit. — G. Kohx : Ueber das Priuzip von der 
l^^rhaltuug der Auzalil. — E. Pri-xcsheim : Ueber Brecliung und Dispersion 
des Lichts auf der Sonne. — Rezensionen. — Yermischle Milteilungeu. — 
Sitzungsbericht(^ dov Berlincr mathemalischen Gescllschaft. 

Atti de la Reale Accademia dei Lincei. Comptes rendus publiés par 

l'Académie des Lincei. Année 299, 5'' série, 1902. E. Loeschcr et C'"^. 

Rome. 

16 novemlire. — Cai'i;lli : Sulle relazioni algchi-iche tVa le (nnzioni di 
una variabile e sul leorema di addizione. — Glgliel.mo : lulorno a due modi 
per determiuare ilraggio di curvatura délia supcriicie dello spigolo nei coltelli 
tielle bilaucie e dei pendoli. 

7 décembre. — Mii.i.oskwicu : Ultime osservazioui délia comefa 1902 B 
Perrine e osservazioue délia niiova comela 190-2 D Giacobini. — Niccoi.inri : 
Sull<> proprieta arilmetiche dcUe fuuzioni analiliche. 

21 décembre. — Niccoii-rri : (Suite de la communication précédente). 
Année 3oo, 5° série, 1903, 4 janvier. — ?sic(:oletti : (idem\ — Pk^ciati : 
Campo electromagnetico generato da una carica elletrica lu molo circolare 
unilorme. 

18 janvier. — Pascal : I probleuii di riduzioue di Ptall" e di Jacobi nel caso 
dei second ordine. — Kratti.m : Diuu gtuppo cuntinuo di trasformazioni. 



232 BL'LLETIX BIBLIOGRAPHIQUE 

i" Février. — Morek.v : SuUa trasformazione délia oquazioni diffcrenziali 
di Hamillon. — Frattim : Di un gruppo continuo di trasformazioni dccom- 
ponibili fraitamente. 

i5 février. — Morera. : (idem). — Burgatti : SuUe condizioui d'iiitograbi- 
lita di un particolare sistema d'cquazioni aile derivate parziali c loro 
applicazione a un problcma di gcoraotria. — Dall' Acqua : Siillc lorneorto- 
gonali di coiigruenze a invarianti costanli. 

Bibliotheca Mathematica. ZiMlselirltt tïir rioschichlodcr nialhemalischon 
Wissenschatleu, horausgogebcu vou Cjustav I'Ixestkom in Slocklu)lni. 
Folge 3, Band 3, B. G. Teubner, Leipzig 1902. 

Hoft 3. — P. Taxxery : Sur la sommation des cubes entiers dans lanti- 
quité. — H. Slter : Ueber die Géométrie der Sohne des Musa ben Schakir. 

— T. Hayxshi : The values of — uscd by the Japanese malhemalicians of the 
17 th. and 18 th. centuries. — G. Loria : I/œuvre scionlilique d Ernest de 
Jonquières (avec un portrait). 

Hcf't 4- — W. SciiMiDT : Zur Gcschiclilo tics Dampfkessels iin Allerlunie. 

— P. Tanxery : Simplicius et la quadrature du cercle. — H. Sutkr : Ueber 
die ira « Liber augnienti et diminutionis » vorkommeuden Autoren. — 
G. Enestrôm : Ein verschoUenor deulsclier Cossist aus dem Ant'anj^c des 
sechzehulen Jahrhundcrls. — E. WoLtrixc. : Boricht liber den gegenwiirtigon 
Stand der Lehre vou der Fresnelschcn \Vcllenll;iciie. — A. Favaro : Intorno 
ad alcune anomalie presentate dal « BuUettino » dol Principe Boncompagui. 

— S. (JÙNTUKR : Augusl lieller. — G. Enestro.m : (îustav \Vertlu'im. — - 

A. von Brau.n.muhl : Mathematisch-historisclie Vorlesuugeu uud Setniuar- 
ûbungen an der technischen Hochschule in Miincheu 1897-1902. — G. Enes- 
TKii.M : Kleiue Bemerkuugeu zur zweiten Auflage von Cantors « Vorlesungen 
ùber Geschichte der Malhematik ». — Veimischle liistorisclie Xoli/.eu tind 
verschiedene Sachen. 

Comptes Rendus des Séances de 1 Académie des Sciences de Paris. 

publi<'-s par les Secrétaires piM-pétuels. Chaîner.-; heljiloniadai l'es in- j". Paris, 
Gauthier-Villars, t. CXX.WI, 191.3. 

5 janviei'. — A. Korn : Sur les louclions uuivers'^lles dans l'espace. — 
M. u Ocagm: : Sur une classilicatiou nouvelle des modes de représentation 
noniograpliique des équations à un nombre quelconque de varial)les. — 

B. Mayor : Sur une représentation plane de l'espace et sou application à la 
statique graphi([uc. 

12 janvier. — P.-J. Suciiak : Sur une transformation réciprocjue en méca- 
nique. — (^h. RiQUiER . Sur l'existence, dans certains systèmes «lilfereutiels, 
des intégrales lépondant à des conditions initiales données. — 1'. Li;vi-Givita : 
Sur les trajectoires singulières du |)roblèine restreint «les li-ois corps. — 
B. Mavok : Sur la statique graphique dans l'espace. 

i9Janvier. — P. Duue.m : Sur ([ueUpies formules «le ( '.ini'nialique nliles 
dans la théorie générale d«' l Elasticité-. — K. Liouvii.i.e : Sur la iédn<lil>ililé- 
des étpiations (lilf'i'renlielles. — A.K(u«N:Sur les fondions universelles du 
plan et des surfaces de Kiemann. - G. ( iuicuAiin : Sur les surfaces qui se 
correspondent avec piMallilisme des plans taiigi'uls et ecmservaliiin des 
aires. 

u<> janvier. — 1'. .\ 111 11 : Sur i|ii(lqnes fondions et vecteurs de point dans 



BlI.LETiy inilLIOGRAPHiqUE 233 

le mouvemcMil d un fluide. — P. Painlkvé : Sur la réductibililc des tniuations 
difTércnlielles. — J. Boussinesq : Théorie de l'absorptiou de la lumière par 
les cristaux symétriques. — Ch. Riquiek : Sur les systèmes différentiels 
réguliers. — T. Lkvi-Civita. : Condition du choc dans le problème restreint 
des trois corps. 

a février. — J. Boussi.nesq : Sur l'absorption de la lumière par les cris- 
taux symétriques et par certains milieux dissymétriques, tels que les corps 
actuellement isotropes solides ou fluides, sensibles au magnétisme et qu'on 
soumet à son action. — J.-A.]S'or.mand : Expressions algébriques approxima- 
tives des transcendantes logarithmiques et exponentielles. — E. Fekko.n : 
Essai de solution complète du problème de l'équilibre d'un corps rigide, 
présentant deux points fixes. — G. -A. Miller : Sur les groupes de substi- 
tutions. — D. Andké : Sur les couples actifs des permutations. — E. Borel : 
Sur l'approximation les uns par les autres des nombres formant un ensem- 
ble dénombrable. — J. H.\da.mard : Sur les glissements dans les fluides. 

9 février. — J. Boussinesq : Sur lextinction graduelle du mouvement à 
larrière d'une onde isolée, dans un milieu élastique éprouvant une résistance 
proportionnelle ou à la vitesse, ou au déplacement. — P. Duhem : Sur les 
équations du mouvement et la relation supplémentaire au sein d'un milieu 
vitreux. — E. Maillet : Sur les fonctions entières d'ordre infini et les 
équations différentielles. - — J. Hada.mard : Sur les opérations fonctionnelles. 

— G. Kœmgs : Sur le théorème analogue à celui de Bobillicr, dans le cas du 
roulement d'une surface sur une surface applicable. 

i6 février. — J. Boussinesq : Calcul direct et simple de la vitesse de pro- 
pagation du front ou de la tèle d'une onde, dans un milieu ayant des équa- 
tions de mouvement compliquées. — J.-A. ^Normand : Expressions algé- 
briques approximatives des transcendantes logarithmiqu3s et exponentielles. 

— J. Mascart : Perturbations indépendantes de 1 excentricité. 

23 février. — C. Gliguaku : Sur une classe particulière de systèmes tri- 
ples orthogonaux. — L. Jacob : Sur la résistance des gaz parfaits au mou- 
vement des solides. — ■ L. Crelier : Sur les i*ayons rectangulaires des 
faisceaux homographiques. 

'2 mars. — J. Boussixesq : Sur l'absorption de la lumière par un corps, 
naturellement hélérotrope, auquel un champ magnétique assez intense 
iu)prime un fort pouvoir rotatoire et par un corps isotrope, qu'un tel champ 
rend à la fois biréfringent et dissymétrique. — G. Mittag-Leffler : Une 
généralisation de 1 intégrale de Laplace-Abel. — ■ J. Mascart : Perturbations 
qui ne dépendent que de l'élongaliou. — J. Hadamaku : PvcctKicaliou à la 
note du -x février. 

q mars. — .1. Boussixesq : Théorie générale de la translucidité. — 
P. Dliiem : Sur le mouvement des milieux vitreux affectés de viscosité et très 
[)eu déformés. — C. Glichard : Sur une transformation d une classe parti- 
culière de systèmes triples orthogonaux. — W. de Tannexberg ; Sur la 
déformation des surfaces. — L. Autonne : Sur Ihypcrhermitieu. 

i6 mars. — H. Lebesgue : Sur l'exislance des dérivées. — A. Boulanger : 
Sur les géodésiques des variétés à trois dimensions. 

23 mars. — G. IIu.mkert : Sur les fonctions abéliennes à multiplication 
complexe. — P. Duiu.m : Sur les ondes au sein d'un milieu vitreux allecté de 
viscosité et très peu déformé. — .\. de la Bau.me-Pllvi.xel : Sur le spectre 
de la comète 1902 b. 



234 BLLLETIS BIBLIOGRAPHIQUE 

3o mars. — M. Tkoncet : Sur un oalculaloiir iiK-caniqno appolt' Arithnio- 
graphe. 

Jornal de Sciencias mathematicas e astronomicas, pulilicaclo polo 
F, GoMEs Teixeik.v, Vol. XV. Co Impronsa du Uuivorsidatlo. Coïinbra. 
1902. 
X'5 I. — J.-B. d'Ai.meid.\ Arcz : Diias classes de unmeros. 

Monatshefte fur Matlieniatik und Physik. herausu-egebeu von Prof, 
(i. V. l^scluM'ich iiud F'rot. L. ( !e^eii!)ati('r. XA . Jalirii'aiiir içio'j. Eisensleiii 
uiid Co. in Wien. 

I, 1. u. 3. Vierteljahr. — H. II.^h.n : Ziir Tlieorie dc>r zweilen Variation 
einfaclier Intégrale. — E. Kohl : Ueber die Hcrlcitbarkcit einiger Hanpt- 
siitze der Potenlialtlieorie aus der Sletan'schen Enlwicklung der Ma.vwell' 
schen Gleichiingen. — - Ij. Klvo : Desmische Vicrseiten-und Kegelschnill- 
svsteme ; Einige Siilze iiber die Kegel zweitei- Ordiuing. — \V. Lewicki : 
Beilrag zur Théorie der Modulgruppe. — L. H.v.nm : /nriicklidirung der 
allgenieinen ^liltclbildung Borei's aul' MiUag-Lefller's «-facli iinendliclie 
Keiben. — - F.-J. Stl'dxicka : Ueber binomische Facnlliiten nnd deren (^oefli- 
cienten. — E. Kob.vld : Znr malhcniatischen Tlieorie der Verzweigiing voii 
Wcchselstromkreisen mit Inductanz. — fî. Huuer : Die Conchoideniliiche. 
— E. MiiLLER : Die einem Steiner'schen Satzc entsprechende algebraische 
Idenlitiit. — F.-J. Obexr.vvcii : Die crslc Raunicurve der Pythagoraischen 
Schule, ihre orthogonale und iniaginare Projection. — O. Biekm.vnx : Kine- 
matische Deulungder additiven Periodicital ; Ueber niiherungsweisc Cubatu- 
ren ; Zur niiherungswcisen QuadraUir und Cubatur. — J. Vai.yi : Ueber die 
Fusspunktdreiecke. — R. D. Vo.\ Stekxeck ; Ueber die zu den Cou(iguratio- 
nen la.j ziigehorigen (iruppeu von Substitutioneu. — J.-A. (i.Ml;I.^EK : (^onvei-- 
genzsiilze tùr allernierendc unendliclie Kettenbriiche. — \V. Kaptey.n: Eiuige 
Bemerkungen ùljer Bessel'sche Fiinclionen. — W. Lewicki : Zur Laplaci-' 
schen Tlieorie der Saturnringe. — W. Pexider : Noti/ id)er Funelional- 
tlieoreinc. — (i. Koii.n : Beweis eines Satzes ùber zwei eubische Raïuncur- 
veu, welclie dasselbc Tetraeder in gleiclu i- W'eise /nui Schniii-ginigsletrae- 
lii-r halxii. — r,ilteratur-Beriehle. 

PeriodicO di Matematica ; public par (\. Lazzeki. organe de l'assoiiatidu 
Malhesis », paraissant Ions les deux mois. Livourne, U. <iiusli. Abou- 
nrnient annuel : L. 9. 17'' ainn'-e. 1902. F.isr. i. j, 3, j. 

.luillel-Aoùt . — TiiAVERso ; Sullc principaii opera/ioni dill' analisi conibi- 
natoiia forraale <• su alcuno loro a|)plieazioni nlalive allô ssiiuppo rapidu 
dei iletenninaiiti et degli ipenleleriniuauli. — l'itAiiiM : Di un lerlo algo- 
rilino per lo svilujjpo liilla radiée (piadrata di un numéro iulero in i'razione 
continua. — Pksci : Sopra uiir» degli erroii prixlolli dalla interpolazione 
seiuplice. — PiccioLi : Sulla luiniiua dislaiiza <li <lm' iper>pa/i. — Ta(;ilui : 
Generalizzazii»ni rignardanli la divisibilila dei uuuieri e 1 • le.jria »lelle li-a- 
/.ioiii derimali periodiclie. — PrroM : Hiccardo l'eliri. 

Srplfiiibre-Oclobre. — Tkavekso : (Voir rasrienle pn-o-dci!). — .Mici.Nosi: 
Un piolilc ma sulla parlizione di'i uuuieri. — Dei.iiai.a : Nuo.c piopriel.'i dei 
puuli notevoli dei triaiigolo. — (Questions et solulions. I>;l>lii>.îrap!iii'. 

.Noveinbre-Di'coiubre. — Tuam.hso : (Voir l'aseieule anleprrci'deiil). — 



BLLLI:TI.\ BIlSLIUGliAPlIlQUE 'iVi 

Delitala : (Voir fascicule précédent^». — Bkusotti : Dimoslrazione di un 
tcorema di calcolo combiualorio. 

Janvier-Février. — Lazzari.m : Sui iiuineri perfetti e sui numeri di Mer- 
senne. — PiTOxi : Sopra rcquazione caratterislica dei gas. — Coktksi : Kqua- 
zioni a radici in progressione aritmetica. — Cattaneo : Sulla risoluzione 
simmcti'ica del si.stema 

3 3 

Srt,„ j",..rs r=o, S/^,x,-=:o. 

1 1 

Ckepas : Uiia successione di numeri interi. — Petites notes et Bibliographie. 

Suppleineiito al Peviodico di Malenialica. Ce supplément est rédigé plus 
particulièrement en vue de l'enseignement des mathématiques élémentaires. 
Il fuiirnil uicnsuellemeut de nombreux exercices résolus et à résoudre. 

Unterrichtsblaetter fur Mathematik und Naturwissenschaften. Organ 

des Yereiiis zui' Forticruiis^ di's L iitcrrichts iu der Mallieinatik und den 
Xaturwissenschal'ten, Begrùndet unlcr ^litwij'kung von Beru. Scmwalbk, 
herausgegeben von F. Pietzker. Jahrg. VIII, 1902 ; O. Salle, Berlin. 

rs'*^^ 5 et 6. — Ueber den Plan eiiier Encyklopiidie Fiir die Elementar- 
Malhematik. — E. Gri.\isi;hl : Xeue Apparate und A ersuchsanordnuugen. — 
Iv. Bocuow : Zur Behaudlung der regelmiissigen Vielccke. — J.-E. BOttcher : 
Anschaiiliche Kreisberechnung. 

"Wiadomosci matematyczne, recueil polonais publié par M. S. Dickstein; 

t. W. 1902; J. Sikorskie, Varsovie. 

Fasc. .'\. — F. BisKE : Essai sur l'application de 1" Hydrodynamique à la 
théorie des protubérances solaires — Gosiewski : Sur le problème de Saint 
Pélersbourg. — • G. Peaxo ; Les définitions mathématiques. — Lopuszaxski ; 
Essai sur la théorie des nombres relatifs. — Cwojdzixski : Sur les coordon- 
nées polaires d un point et d'une droite. • — • A. Dexizot : J.-L. Fuchs. 

Fasc. 5. — B. XiEWENGLOwsKi, S. Dickstein : Sur la théorie élémentaire 
des nombres. — B. Xiewe-nglowski : Un problème sur l'hyperbole. — 
S. DicKSTEi.x : Sur les manuscrits de T. Harriot ; Table des courbes paiial- 
gébri([ues. — M. Bro.nska : Expression des coedicients dans les développe- 
ments de lanomalie vraie, de lanomalie excentrique et du rayon vecteur de 
l'orbite d un corps céleste. 

Fasc. 6. — L. Sylow ; Discours prononcé à la fête du centenaire de nais- 
sauce d .\bcl à Christiania le > septembre 1902. — T. Hlber : Sur la théo- 
rie des déterminants. — F. Osgood : Sur les fonctions définies par des 
séries infinies dont les termes sont fonctions analytiques d'une variable 
complexe avec des théorèmes correspondants pour les inti'-grales définies. — 
Mélanges. 

Zeitschrift fur mathematischen und naturwissenscliaftliclieii Unter- 

richt Begiiindet 1869 von (i.-(' .-V. Hoff.manx uud gt-genwarlig heraus- 
gegeben von H. ScnoTTE.N. B.-ti .Teubner, Leipzig und Berlin. .Vbounemenl 
annuel 12 ^L 3J Jahrgang. 1902. 

^\" 7 . — Ed. ScHUMANN : Die iiohere Mathematik in den wiirttembergis- 
chen Oberrealschulen. — E. Egkiiakdt : Elementare Abteilung der llealiliits 



236 BlLLETI.y BinLIOGRAPIIIQUE 

bedinfuno-en fiir die Gleichungen drilten Grades ohne Auflosuiig dieser 
Gleiehungeu. — K. ^VoLLF-Tz : Ueber die Leitlinie der Kegelschnitte. — 
Kleiucrc Mitteilungen . — Litterarischc Berichte. 

;\ù 8. — E. FiNK : Die scheinbarc Yergrosserimg der Sonne und des 
Mondes am Horizont. — H. Thieme : Die Parallclcnlehre ini Unlei-iicht. — 
W. J.vNiscH : Die formelaruic und logaritlimcnlose Méthode der Auflosung 
trigonomctrischcr Aufgaben. — Fr. Graefe : Die Euler'schc C^urve i tv 
= TTsin t ist einc Inverse der Quadratrix. — Litterarischc Berichte. — Piida- 
gogische Zeitung. 

34. Jahrgang, n'^ i. — R. Heuttek : Der Potenzkreis. — J. Stekba : Ueber 
einige gonionietrische Relationen. — R. Guntsche : Die quadratische Glci- 
chuDgin geomelrographischen Behandlung. — Poske : Der ArbeitsbegrifTim 
L'nlcrricht in der Matheniatik. — Litterarischc Berichte. — Padagogisohc 
Zeitung. 

Zeitscbrift fiir das Realschulwesen, herausgegebcn und redigirt von 
l^.M. CzLBi K. Al). r.iciniL und Mou. Glosek ; 27*^ année, 1902; Alt". Holdek, 
Vienne. 
N"^ II et II. — Euw. DixTZL : Der grusste gemeinsame 'IViier ganzer 

positiver Zahlcu. — E. Czubek : Die Abcl-t'eier in Christiania. 

I>. Décombe. — La compressibilité des gaz réels. 1 vol. in-8" df ijcj pages 
avec figures. ((Collection Scicntia.) Prix : 2 t'raucs. (]. Naud, Paris, 1903. 

A. 11. FoKSYxn. — A Treatise on Differential Equations. 3*' édition. Un 

vol. gr. in-S", 5ii p. ; Macniillan and Co. Londres, 1903. 

C. DE Fkevgi.net. — De lexpérience en Géométrie, i vol. in-t>" de xx- 

17) p. Prix : I IVaucs. ( iaulliicr-\ illar.~ , l'ai'is, 190J. 

G. IUmbekt. — Cours d Analyse professé à l'École Polytechnique. 

Deux volumes grand in-8". i*^^' vol. : Calcul tlill'ércntiel, Principi-s du cal- 
cul intégral, Applications géométriques. Prix : iG IVancs. Gaiilhier-A'iliars, 
Paris, 1902. 

E. JoLiiKET. — Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions. 

i vol. gr. in-8' de \xix-'2i i p.igrs d G') ligures. Prix : 7 fr. "xi. (iaulhier- 
\'illai"s, l'aris, 1903. 

F. RouciiÉ et L. Lévy. — Analyse infinitésimale à l usage d«s ing.nieurs. 
Tome second : Calcul inli'gral, luli'graU s (li'liuics el indélinies, Séries de 
l*'oui-ricr, l-'onclions elliptiques, 1-C(|nali<)ns dillérentielles ordinaires el aux 
dérivt'es partielles. Calcul des variations. 1 fort vol. gr. iu-8'^ de 8.io p. 
Prix de <-e tome ri du pn'ci'di-ut ; io IVaiu's. ( iaiithier- \ illars. l'aris, 1903. 



I.v Crnifit : C. N.MD. 



t N H I. L X , 1 .\l !• H 1 M I K I i: I) l. i; U \ Il I. i; s M E 11 I s s 1; Y 



L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE EX RUSSIE (') 

ÉTAT ACTUEL. — ENSEIGNEMENT SECONDAIRE 



Les établissements secondaires qui se trouvent le plus étroite- 
ment liés aux écoles primaires sont représentés par des institu- 
tions spécialement pédagogiques ayant pour but de préparer 
leurs élèves à donner l'instruction primaire. La Russie actuelle 
possède deux sortes de ces établissements, conformément aux 
deux types principaux de l'école primaire russe. 

Séminaires de Maîtres. 

Afin de préparer des maîtres pour le degré inférieur de ces 
deux types, celui de l'école de village, le jNIinistère de l'Instruc- 
tion publique a fondé dans différentes villes et même dans des 
yillucres des sê/ninaires de maîtres^ dont le nombre montait a 6S, 
en 1891. Le contingent en est formé d'élèves qui ont terminé un 
cours complet de lécole primaire. Suivant les décrets du Minis- 
tère adressés aux arrondissements, l'enseionement de l'Arithmé- 
tique y a pour but : i" d'élargir et de compléter, en les svstéma- 
tisant, les connaissances antérieurement acquises ; ii° de développer 
la lacilité des élèves à calculer et à résoudre des problèmes et 
3° de préparer à l'étude des méthodes d'enseignement de l'Arith- 
métique élémentaire. Dans ce but, J'arrondissement de Moscou 
a élaboré, en 1892, \e plan d'études i]\.ns\x\.l ^ comprenant un cours 
de trois ans et une subdivision de trois classes. 

Programme d'Arilhnu'titjiœ. — Première classe, (trois leçons 
par semaine). Opérations sur les nombres entiers abstraits et con- 



(') Voir dans le t. I de cette Remie. sous ce même litre, YAper^u /lisluriijue (p. 77- 
100) et U Etat actuel ; enseignement primaire, t^. 420-44(5. 

Enseignement matb. 16 



238 BOBy.\i.\ 

crets. Fractions ordinaires et fractions décimales. Seconde classe. 
(trois leçons par semaine). Rapports et proportions. Résolution 
de problèmes relatifs aux grandeurs proportionelles. Extraction 
delà racine carrée d'un nombre entier ou fractionnaire. Méthode 
d'enseignement de l'Arithmétique élémentaire. Troisième classe. 
(deux leçons par semaine). Equations du premier degré h coelli- 
cieiits numériques. Extraction de la racine cubique d'un nombre 
entier ou fractionnaire. Méthode d'enseignement de l'Arithmé- 
tique élémentaire (fin). Répétition de tout le cours d'Arithmé- 
tique. 

Le programme, confirmé par le curateur de rari'ondissement 
de Moscou le i :> mai 1892, revu et complété en iHc^a, nous donne 
les détails nécessaires sur ce plan d'études. 

Connaissances préliminaires. Numération. Théorie des opéra- 
tions arithmétiques. Opérations surlcs nombres entiers abstraits. 
Nombres concrets. Divisibilité des nombres. Fractions ordinaires. 
Fractions décimales. Rapports et proportions. Règles de la réso- 
lution des problèmes relatifs aux grandeurs proportionnelles. 
Equations du premier degré à coeflicients numériques. Extinc- 
tion des racines carrées et culiiques des nombres. Exercices 
oraux. Exercices écrits. 

Cinq manuels sont recommandés comme sulfisanf ii accomplir 
ce programme. Ils diffèrent très peu entre eux et comprennent 
la traduction russe du Traité d\irit/i/néiif/iic, par J.-A. Skhhkt. 
Quatre recueils d'exercices sur l'Arithmétique appropriés au 
cours du gymnase sont indiqués en onlie pour la ri'sohilion drs 
problèmes et des exemples. 

Les luturs maîtres des écoles de vilhme suivenl un coi/rs des 
méthodes d'ensei^/iemefil de l Arit/i/t/é/i//ne clé/ne//liiire LViiy>r'rs le 
])rogramme suivant, revu et appit)uv(' en même tiMups (juc celui 
d'Arithmétique. 

(c Contenu du cours d'Arithméti(jue ('■Icmentaire et sa division 
par sections ; a) numération et opérations dans les limites de la 
j)remi«'re dizaine; ù) numération et opérations dans les limites 
dr hi centaine ; c] numération et opérations dans 1rs limites d'un 
millier;^/) numé-ialion et op<'rations sur les noiubris de toutes 
b'S grandeurs ; cj opérations sur les nombres coniplexes. l'oiub'- 
ments de cet ordre du cours et buts atteints dans l'élude de 



L'ESSEIGyEMF.XT M AT IIÉ M AT I Q U E EX RUSSIE ■i'i<j 

chaf[ue section. Parallélisme dans l'ordre des matériaux d'études ; 
son importance. Division exemplaire du cours par les années 
d'études dans 1 école d'une classe. Secours intuitifs dans l'ensei- 
gnement de l'Arithmétique élémentaire. Méthode d'enseigne- 
ment. — Numération et opérations dans les limites de la première 
dizaine. Ordre des exercices oraux. Marche des exercices dans le 
calcul direct et inverse. Recherche des résultats des quatre opé- 
rations à l'aide des secours intuitifs et exercices pour les appren- 
dre. Résolution de problèmes. Connaissance des chiffres et des 
signes des opérations. Exercices écrits ; leur importance. Devoirs 
écrits indépendants. — Numération et opérations dans les 
limites de la première centaine. Connaissance de la dizaine, 
comm^ unité numérique. Notation écrite des dizaines. Exercices 
oraux et écrits avec des dizaines (répétition du cours précédent 
sur les dizaines). Numération écrite et numération parlée. Exer- 
cices d'assimilation de la numération. Quatre opérations. Forma- 
tion des tables des opérations. Déduction du procédé normal de 
l'exécution orale des opérations. Résolution de problèmes sur 
toutes les opérations. — Numération et opérations dans les 
limites d'un millier. Connaissance de la centaine comme unité 
numérique. Notation écrite des centaines. Numération parlée et 
numération écrite. Procédés normaux de l'exécution orale des 
quatre opérations. Connaissance des termes. Procédés particu- 
liers d'exécution des opérations. Résolution d'exemples et de 
problèmes. Connaissance des fractions les plus simples. — Numé- 
ration et opérations sur les nombres de toutes les grandeurs. 
Unités numériques d'un millier jusqu'à un billion. Numération 
parlée et numération écrite jusqu'à un billion. Exercices d'assi- 
milation delà numération. Multiplication et division d'un nombre 
par lo, loo, etc. Quatre opérations sur les nombres de toutes les 
grandeurs. Définition de chaque opération. Déduction de la règle 
de l'exécution par écrit de chaque opération. Exercices d'assimi- 
lation du mécanisme des quatre opérations. Méthodes des preuves 
des opérations. Manières particulières d'exécuter les opérations. 
Addition et soustraction sur les bouliers ; exercices. Problèmes 
avec des nombres de toutes les grandeurs : problèmes purement 
arithmétiques ; leur résolution conjointement avec le maître ou 
comme travail indépendant. Quelques problèmes typiques de 



24o BOByyi.x 

nature algébrique, leur résolution. — Opérations sin- les nom- 
bi-es complexes. Notions sur la mesure des grandeurs autant que 
possible h laide des secours intuitifs. Déduction des notions de 
nombre concret et de nombre complexe. Etude des tables des 
mesures de longueur, de poids, des matières sèches, des li<[uides, 
de papier, du temps. Réduction descendante et réduction ascen- 
dante des nombres complexes. Déduction des règles de l'exécu- 
tion écrite des quatre opérations sur les nombres complexes. Exer- 
ciceo d'opérations sur les nombres concrets : résolution d'exem- 
ples et de problèmes ; disposition des inscriptions. Résolution 
de problèmes sur le calcul du temps. Déduction des notions géo- 
métriques fondamentales, résultant de la considération des solides. 
Mesure intuitive de l'aire du rectangle. Mesure indirecte de l'aire 
du rectangle; exercices. ^léthode de mesure directe du volume du 
prisme régulier (juadrangulaire; mesure de capacité. Mesure 
indirecte du volume ; exercices. Résolution de problèmes. Connais- 
sance des fractions les plus simples. — Cours de la seconde classe 
de l'école à deux classes. Répétition de la numération et des quatre 
opérations sur les nombres entiers abstraits et concrets. Déduction 
des caractères de divisibilité par les nombres 2, 3, 4» 5, G, 8, 9. 
Décomposition du nombre non premier en facteurs premiers. Dé- 
duction des règles de détermination du plus grand commun diviseur 
et du plus petit commun multiple de deux ou plusieurs nombres 
à l'aide de la décomposition des nombres eu iactcurs premiers. 
Cours svslématique des Iractions. (Connaissance des liacllons 
décimales. Déduction des règles des quatre opérations sur les 
fractions décimales. Conversion d'une fraction ordinaire en trac- 
tion décimale et vice versa. Résolution de pioblèmes sur les règles 
de trois, d'intérêt, de change, de société et dalliage sans avoir 
recours aux proportions. » 

C'est surtout ce programme ([ui nous lait voir la lenteur éner- 
vante adoptée par les pédagogues russes pour 1 cnseignenicnt 
du Calcul suivant la méthode concentii({U(! ilans 1 éluile i\v la 
nuincialion cl des opérations. Il est ii craindre, ([u'en s'accordanl 
sous ce lapporl ;ivec la nietlHule île ( lioube, celle-ci ne vienne en 
répéter en pratique les résultais man(|ués. 

Kn même temps <|ue les programmes que iu)us venons d exj)o- 
ser, l'arrondisscnicnl de Moscou a inlioduil dans les séminaires 



VKNSEIGNEMKXT M ATII É M AT I QU E E .\ RUSSIE i^i 

ceux de la (jèoinélrie^ de V Arpentage et de leurs méthodes d'en- 
seigncinent. 

Programme de Géométrie. — Introduction. Ligne droite. Posi- 
tion mutuelle des lignes droites. Circonférence de cercle. Figu- 
res. Lignes proportionnelles et similitude des figures. Polygones 
inscrits dans un cercle et polygones circonscrits à un cercle. 
Mesure des aires. Lignes droites et plans dans l'espace. Polyèdres. 
Mesure des volumes. Exercices (i. Problèmes de calcul ; :i. Pro- 
blèmes de construction. 3. Démonstrations des théorèmes, qui 
n'entrent pas dans le cours. 4. Formation des théorèmes réci- 
proques et contraires ; 5. Démonstration analytique des théo- 
rèmes). 

Programme d'Arpentage. — Notions sur le plan et sur le profil 
des localités. Classification des plans d'après leur destination. 
Échelle linéaire simple. Echelle composée. — Indication des 
points sur la surface de la Terre et alignement. Cas divers d'ali- 
gnement. — Mesure des lignes ; chaîne d'arpenteur, roulette, 
corde. Superposition de lignes sur un plan horizontal. — Cons- 
truction des lignes parallèles et perpendiculaires, à l'aide de la 
chaîne ou de l'équerre d'arpenteur. — Instruments destinés à 
mesurer les angles : boussole et astrolabe. Mesure des angles sur 
le terrain. Tracé des lignes droites formant un angle déterminé sur 
le terrain. Mesure de l'anefle h l'aide de la corde. — Détermina- 
tion des distances inaccessibles. — Levé de plans : i" à 
l'aide de la chaîne et de l'équerre d'arpenteur ; ?.'' à l'aide 
de la chaîne et de la boussole ; 3" à l'aide de la chaîne 
et de l'astrolabe. — Planchette; ses accessoires. Insertion des 
angles à la planchette. Détermination de la position des points à 
l'aide de la méthode d'intersection. Triangrulation. Levée de 

o 

détail. — Règles générales du tracé de plans. Signes convention- 
nels. Evaluation des aires d'après le plan. Division d'un champ 
en arpents et en portions. — Notion sur le nivellement. Niveaux 
les plus simples. Nivellement simple. Tracé du profil. 

Connaissances abrégées de la méthode d'enscii^nomcnt de la 
Géométrie élémentaire. — Contenu du cours primaire de Géo- 
métrie dans les écoles de deux classes et son caractère. Secours 



24:2 BOB}\\iy 

intuitifs et méthode irenseignenient. — Déduction des notions 
géométriques. Contenu et étude des articles traitant des lignes 
droites, des angles, des figures et de la mesure des aires. — 
Exercices au dessin linéaire et h la mesure. Problèmes de calcul 
et de constructions. Devoirs écrits en classe et hors de classe. — 
Opérations sur le terrain. Instruments les plus simples s'em- 
ployant dans ces opérations. Marche des travaux de levé et de 
tracé de plans. 

Le plan d'éludés qui suit en explique la répartition dans les 
classes : « Preinièî-e classe (2 leçons par semaine!. Ligne droite. 
Angles. Circonférence. Figures. Arpentage. Seconde classe 
(2 leçons par semaine). Lignes proportionnelles. Similitude des 
fioures. Polvpones inscrits dans le cercle. Polvoones circonscrits 
à un cercle. ^lesure des aires. Arpentage. Troisième classe. 
(2 leçons par semaine). Lignes droites et plans dans lespace. 
Polyèdres. Mesure des surfaces et des volumes. Arpentage. Con- 
naissances abrégées de la méthode d'enseignement de la Géomé- 
trie élémentaire. Répétition de tout le cours. » 

Ce qui saute aux yeux à la lecture de ces programmes, c'est 
tout d'abord le manque d harmonie entre leur étendue et le temps 
réservé a l'étude. Si le cours des méthodes d'enseiornement de 
l'Arithmétique nous frappe par sa lenteur surprenante, celui de 
la Géométrie se distingue au contraire par une rapidité vertigi- 
neuse. On est tenté de croire que les auteurs des programmes 
possèdent des procédés spéciaux pour faciliter et simplifier l'en- 
seignement et l'étude de la Géométrie. Mais il n'en est rien, et la 
note explicative accompagnant les programmes se résume en 
deux indications méthodologiques lort peu définies : i° « Le cours 
systématique est précédé d'un examen des solides géométri(|uos. 
Cette introduction a en vue la minorité des élèves qui n'ont 
point du tout appris la Géométrie ; elle profite aussi à la majorité 
en lui donnant le modèle des leçons futures dans l'école » ; 
2° « Quand il s'agit d'un théorème nouveau le professeur emploie 
assez souvent le procédé analvticjue de démonstration en y fai- 
sant participer toute la classe. Au contraire, quand il démontre 
un théorème déjii étudié en classe ou donné préalablement comme 
thème, il peut s'en tenir à la synthèse, la forme analylicjue 



V ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE EN RUSSIE 24 i 

présentant plus de dillicullés aux élèves surtout au début de leurs 
études. Us ne sauraient même s'y exercer avec profit (ainsi que 
dans la démonstration exposée sous la l'orme d'un syllogisme 
complet) que dans un but purement instructif et en dernière 
classe ». Si, pour avoir plus de détails sur la premii're indication, 
nous nous adressons ii la note explicative accompacrnant le pro- 
gramme de Géométrie pour les écoles de deux classes, nous ne 
pouvons en extraire que ces quelques renseignements définissant 
jusqu'à un certain point cette partie du cours, mais sans donner 
1 exposé des méthodes employées dans l'enseignement scolaire : 
« Le cours commence par l'examen du cube, des prismes, des 
pyramides, du cylindre, du cône et de la sphère. L'examen de ces 
corps lait connaître les iormes les plus simples, il aide à déduire 
les notions indiquées dans le programme et dénote la position 
mutuelle des lig-nes, les difTérentes sortes d'angles et de 
figures. » 

Le manque de données méthodologiques positives noté dans 
la première indication s'allie dans la deuxième aux données pure- 
ment négatives. Par exemple, c'est un fait anormal que la méthode 
analytique y soit envisagée comme présentant le plus de didicultés 
aux élèves, et l'histoire de la science ne saurait l'admettre. On en 
arrive à la conclusion suivante : l'enseignement contemporain 
ignore les formes d'analyse simples et primitives. Il n'en connaît 
que la forme définitive et complète, représentée dans le progrès 
successif de l'intelligence humaine par Platon et son école. Et 
c'est ce degré supérieur qu'il applique à un milieu intellectuel 
inférieur. On comprend donc qu'il ne réussit point. Il en appelle 
alors a la méthode synthétique, mais celle-ci n'ét.ml qu'un ren- 
versement de l'analyse dont elle se trouve inévitablement précé- 
dée, ne vaut pas grand'chose dans une étude élémentaire. De 
cette manière l'enseignement contemporain réduit la méthode 
démonstrative de l'exposé des vérités scientifiques presque à 
l'ancienne méthode dogmatique. En effet, autrefois on apprenait 
par cœur les règles, maintenant on cherche à apprendre par cœur 
la marche de démonstration du théorème. Mais comme il n y a 
que l'analyse pour découvrir les démonstrations des nouvelles 
vérités, on est réduit à l'arbitraire et au hasard, du moment qu'on 
en évite les procédés. Autrefois l'oubli des règles mettait l'élève 



244 BOBV.xrix 

dans une impasse, maintenant si la mémoire lui fait défaut, il 
n'est point en état de suppléer par ses propres combinaisons a ce 
que le manuel ou le professeur lui auront appris. 

L'étendue du programme et le manque des moyens rationnels 
pour l'accomplir obtiennent des résultats en conséquence : les 
élèves des séminaires ne sont point a même ni d'acquérir les con- 
naissances géométriques, ni de les faire passer aux autres. Le 
témoignage de Ratchinsky cité dans l'article précédent ne nous 
l'affirme que trop. 

Nous ne possédons point de cours de Géométrie et d'Arpen- 
tage spécialement composé pour les séminaires en question. 
C'est pourquoi on y a introduit les mêmes livres d'étude que dans 
les établissements secondaires ; tous ont exclusivement recours à 
la synthèse. Les programmes cités plus haut en indiquent quatre. 
N'y trouvant rien d'original, nous nous abstenons de détails 
bibliographiques, mais voici l'observation que fait sur les livres 
de ce genre la « Note explicative » dont nous avons déjà parlé : 
« Deux tendances se manifestent dans nos cours élémentaires 
de Géométrie et cela dans la manière d'en disposer les bases ; 
partois la planimétrie est distinctement divisée en deux parties 
comprenant les lignes et les figures ; certains manuels au con- 
traire se hâtent de doniier la notion du triangle et basent là-des- 
sus les démonstrations qui suivent ». 

Tout en admettant les deux groupes de manuels, les auteurs 
de la « Note » préfèrent cependant la tendance du premier ainsi 
qu'ils nous le font voir dans le programme. Celui-ci indique, 
outre les cours de Géométrie, quatre recueils de problèmes géo- 
métriques, trois manuels d'Arpentage et trois auxiliaires pour 
l'enseignement de la « Géométrie intuitive ». Au nombre des pre- 
miers se trouve le livre d'ALEXAXDROiF, compilé suivant les idées 
de Peteusen : « Les méthodes pour la résolution des problèmes 
de constructions géométriques )),etun recueil de problèmes géo- 
métriques. 

Pour en finir avec les cours de mathématiques (Géométrie, 
Algèbre, Trigonométrie) appropriés en Russie aux établissements 
secondaires, observons qu'ils sont très nombreux. Cela s'explique 
tout d'abord par la simplicité des procédés mis en pratique 
par les auteurs. On ne va point au delà des compilations des 



L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE EN RUSSIE 24s 

manuels étrangers, le plus souvent français et allemands. Si l'au- 
teur ne possède aucune de ces langues, force lui est de s'en 
tenir aux manuels russes. 

L'Ecole modèle. — A chaque séminaire se rattache une « école 
modèle » afin que les élèves puissent s'initier à la pédagogie, la di- 
dactique et la méthodique dans leur application pratique, et plus 
tard s'y exercer eux-mêmes. Suivant les ordres du ministère de 
l'Instruction publique, le maître de l'école doit être expérimenté 
dans l'enseignement pour savoir guider les élèves-régents dans 
leurs occupationspratiques. Lesséminaristes visitentl'école modèle 
à partir du deuxième semestre de la seconde année. En troisième 
ils donnent eux-mêmes des leçons d'essai de toutes les branches 
enseignées à l'école; chacun d'eux doit servir d'aide au maître pen- 
dant une semaine et assister à toutes ses leçons. Tout séminariste 
de la troisième a au moins une leçon <^'ess«i à donner pour les sec- 
tions principales suivantes de l'Arithmétique. Section inférieure 
de la première classe de t école. Calcul et opérations dans les limi- 
tes de la première dizaine. Opérations sur les dizaines. Addition et 
soustraction dans les limites de la première centaine. Section 
moyenne de la même classe. Opérations sur les nombres de la 
première centaine. Numération et opérations dans les limites du 
premier millier. Section supérieure de la même classe. Numéra- 
tion et opérations sur les nombres jusqu'à un million. Opérations 
sur les nombres complexes. Opérations sur les fractions les plus 
simples. Quant aux leçons d'essai pour la Géométrie, ni le Minis- 
tère, ni les arrondissements n'en font mention. 



Institut de maîtres. 

Les établissements destinés à former des maîtres pour les écoles 
de ville ont été fondés en même temps que ces dernières, sous le 
nom à Instituts de muttres. Ils n'étaient que deux au début, 
en i8ja (à Saint-Pétersbourg et à Moscou^. Dans la suite, iuiit 
villes eurent les leurs : Kazan, Orenbourg, Belgorod (gouverne- 
ment de Ivoursk), Théodosie (en Crimée), Glouchof (gouverne- 
ment de Tchernigof), Tilliss et Vilna. Cette dernière ville en a 
même deux : l'un pour les chrétiens, l'autre pour les juils. Les 



246 BOBYyiy 

élèves qui ont fini le cours complet de l'école de ville y entrent 
sans examen; les autres sont soumis à un examen d'entrée. Le 
cours des Instituts est subdivisé en trois classes et dure trois ans. 
Le programme embrasse l'ensemble de ce qu'on enseigne dans 
les écoles de ville, et tait particulièrement attention aux sections 
des sciences qui entrent dans leur programme. On y étudie 
théoriquement et pratiquement (ne fiit-ce qu'en appendice) la 
Pédagogie, la Didactique et la Méthodique des différentes bran- 
ches d'étude. 

Au cours d'Arithmétique et de Géométrie professés à l'école 
de ville, l'Institut ajoute l'Algèbre élémentaire. Les trois sciences 
y sont enseignées d'après les programmes suivants, approuvés 
par le Ministère le i3 novembre 18-6 pour trois ans et gardés 
intacts jusqu'à aujourd'hui. 

Programme d'Arithmétique (extrait). — Première classe. « Répé- 
tition des quatre opérations sur les nombres entiers et fraction- 
naires (au moyen de la résolution des problèmes oraux et écrits). 
INIéthode synthétique et méthode analvtique de la résolution de 
problèmes. Grandeur, unité, nombre. Numération. Quatre opé- 
rations sur les nombres entiers et sur les fractions décimales. 
Mesures. Nombres concrets. Divisibilité des nombres. Nombres 
premiers et non premiers. Fractions ordinaires. Fractions déci- 
males. Fractions continues. Rapports et proportions. Résolution de 
problèmes relatifs à la règle de trois, à la règle de société, etc., en 
employant les proportions et la méthode de réduction à l'unité. » 

Programme Géométrique (extrait). — Première classe. Cours 
préparatoire. — « Entretiens sur les solides géométriques. Ligue 
droite et ses propriétés. Position mutuelle des deux lignes 
droites. Perpendiculaires et oblicjues. Circonférence et les lignes 
droites qui s'y rattachent. Résolution de problèmes. Rectangle. 
Mesure des aires. Parallélipipède droit rectangle. — Cours théo- 
rique. La notion d'axiome et de théorème. Démonstration d'un 
théorème. Triangles. Lignes parallèles. Circonférence. Poly- 
gones. Quadrilatères. Aires des figures rectilignes. Lignes pro- 
portionnelles. Similitude des triangles. Similitude des polygones. 
Lignes proportionnelles dans le cercle. — Seconde classe. — 



LLWSE/G.MJMEyT M A T II K M Al I QU E EN RUSSIE -^^'^ 

Répétition d'une partie du cours précédent (lignes propor- 
tionnelles et similitude des figures;. Polygones inscrits dans 
un cercle et polygones circonscrits à un cercle. Longueur de 
la circonférence et aire du cercle. Plans et lignes droites 
dans l'espace. Angles dièdres. Angles polyèdres. Polyèdres. 
Mesure des volumes des polvèdres. Trois corps ronds. Polyèdres 
semblables. Courbes les plus usuelles et leurs propriétés princi- 
pales. Applications pratiques de la Géométrie aux opérations sur 
le terrain à laide de la chaîne, des jalons et des instruments des- 
tinés à mesurer les angles. Connaissance des instruments d'ar- 
pentage principaux. Notions fondamentales sur le levé de plans 
et sur le nivellement. Résolution des problèmes de construction, m 

Proi^ramnie (£ Algèbre fextrait^. — Preniiëre classe. « i. Com- 
position d'un problème: conditions données et nombre cherché. 
Sens de ces parties du problème. Inconnues auxiliaires dans le 
problème. Décomposition d'un problème composé en problèmes 
simples résolus par une seule opération. 2. Généralisation des 
problèmes. Sens du problème général. Nombre général et son 
expression littérale. Formule. Composition des formules dans les 
problèmes. Résolution de problèmes a l'aide des tormules. 

3. Simplifications algébriques : le coetficientet l'exposant. Réduc- 
tion. Emploi des parenthèses. Calcul des formules composées. 
Composition de problèmes résolus par les formules données. 

4. Analyse de la formule ^ = « — b et des problèmes résolus 
par cette formule. Nombres négatifs. Sens des solutions néga- 
tives dans les problèmes. Généralisation des problèmes a 1 aide 
des nombres négatifs. 5. Opérations sur les nombres négatifs. 
6. Opérations sur les monômes, j. Résolution des problèmes a 
l'aide des équations. Résolution des équations il une seule incon- 
nue. 8. Résolution des équations déterminées a deux et à plu- 
sieurs inconnues. 9. Proportions arithmétiques et géométriques. 
— Seconde classe. — Opérations sur les polynômes. Résolution 
des équations déterminées littérales du premier degré. Puissance 
et racine. Extraction de la racine des monômes. Extraction de la 
racine carrée des pulvnômos. Extraction de la racine carrée ou 
cubique des nombres entiers ou Iractionnaires. j'iquations du 
second degré. Discussion des équations déterminées du premier 



248 BOBy.\IN 

degré h une seule ou à deux inconnues. Discussion de l'équation 
quadratique à une seule inconnue. Résolution des équations des 
degrés supérieurs résoluble à l'aide de léquation du second de- 
gré. Inégalités, leurs propriétés. Résolution des équations indé- 
terminées du premier degré à deux inconnues. » 

Il y a sept leçons hebdomadaires pour l'enseignement des 
mathématiques en première, il ven a six dans le premier semestre 
de la classe suivante. Le deuxième semestre de la seconde et 
toute l'année de la troisième disposent de trois leçons seulement, 
consacrées à l'étude théorique et pratique des méthodes de l'en- 
seignement géométrique et arithmétique. Il est à regretter que 
les « Programmes et plans d'études des cours professés aux Ins- 
tituts de maîtres », approuvés par le Ministère, ne nous don- 
nent que ces brèves indications mal définies : 

« Le deuxième semestre (de la seconde) se passe à expliquer 
les principes fondementaux des méthodes de l'enseignement 
arithmétique et géométrique en connexion avec les leçons modèles 
du précepteur et les leçons d'essai des élèves, si ceux-là en ont 
le temps. Le troisième semestre (trois leçons par semaine). 
Etude des manuels théoriques et pratiques d'Arithmétique et de 
Géométrie. Répétition du cours d'Algèbre accompagnée de la 
résolution des plus dilliciles parmi les problèmes qui se rappor- 
tent à toutes les sections des mathématiques antérieurement 
apprises. L'étude des méthodes de l'enseignement arithmétique 
et géométrique est jointe aux leçons modèles des élèves, ainsi 
que le demande le programme du diplôme du maître de ville. 
Les élèves doivent faire connaissance avec les plus remarquables 
d'entre les livres et les articles qui se rapportent à l'enseignement 
primaire des mathématiques ». 

Pour ce <jui concerne l'épreuve subie dans le but de devenir 
un maître d'école de ville, le Ministre de l'Instruction publique 
nous donne les programmes suivants. 

ProgrniHjne de la mèthodifjiie de V Arit}iniôti(jue (extrait). — 
« I. Importance des Mathématiques et en particulier de l'Arithmé- 
tique dans l'ensemble des matières du cours secondaire. Simplicité 
et précision du contenu de l'yVrithmétique. Liaison logi(jue des 
vérités arithmétiques. Possibilité de la résolution des problèmes 



l'ejvseiGj\emi;st mathématique en Russie 249 

au commencement du cours. 2. Aperçu historique succint sur le 
développement de la méthodique de 1 Arithmétique. Son état 
jusqu'à Pestalozzi. Réformes de Pestalozzi. Méthodes des Kran- 
qué, Diesterweg, Guentschel et Cirouhé (comme principale). 3. 
Thèses principales de l'enseignement mathématique secondaire 
et leur analyse. 4- Remarques méthodiques sur la résolution des 
problèmes oraux et écrits. 5. Etude des nombres de la première 
dizaine. Changements de la méthode de Groubé, proposés par 
Evtouchevski. Secours intuitifs. Exercices écrits avec des nom- 
bres de la première dizaine. 6. Etudes des nombres de la seconde 
dizaine. Exercices et leur ordre. 7. Etude des nombres 20-100. 
Problèmes oraux et écrits. Calcul des formules. Quatre opéra- 
tions arithmétiques. Travaux des écoliers hors de classe. 8, 
Nombres complexes. Etude des mesures russes. Quatre opéra- 
tions sur les nombres complexes. 9. Numération dans les limites 
d'un millier. Numération et opérations jusqu'à un million. 
Secours intuitifs. 10. Cours élémentaire des fractions ordinaires. 
Secours intuitifs, ii. Cours systématique de l'Arithmétique. 
Caractères de divisibilité. Décomposition dun nombre en fac- 
teurs premiers. Recherche du plus petit commun multiple de 
plusieurs nombres. Addition, soustraction, multiplication et 
division des fractions. 12. Méthodique des fractions décimales. 
i3. Méthodes de la résolution de problèmes sur les règles de 
trois, etc. 14. Division du cours de lécole de ville. « 

Pvoiiramme de méthodique de la Géométrie. — « i. Importance 
de la Géométrie dans l'ensemble des matières du cours secondaire. 
Moyens que l'homme emploie pour mettre en évidence les véri- 
tés géométriques : i) observation directe, 2) mesurage, 3) dé- 
duction. Leur place dans l'enseignement primaire. Contenu 
du cours élémentaire. Sa division. 2. Entretiens intuitifs sur les 
corps géométriques. Objets et buts de ces entretiens. Exercices 
de dessin linéaire. 3. Notes méthodiques sur renseignement des 
théorèmes géométriques. Problèmes numériques et problèmes 
de construction. Leurs buts. 4- Lignes droites. Angles. Lignes 
parallèles. Circonférence. Exercices de dessin linéaire, 5. Trian- 
gles et polygones. Mesure des aires. Secours intuitifs. 6. Mesure 
des volumes. Secours intuitifs, 'j . Applications pratiques de 



25o no II y MX 

Géométrie. Leur place dans le cours de Géométrie. 8. Systènie 
de géométrie d'EucUde. Système du cours secondaire de Géomé- 
trie de Le^endre. Systèmes de renseignement primaire de géo- 
métrie, proposés par Diesterweg et Falqué. » 

Il est aisé de voir que le programme de la méthodique de 
l'Arithmétique est composé d'après Groubé sans exclure toute- 
fois la méthode concentrique pour la numération et les règles. 
Nous nous en assurons en v trouvant parmi les manuels 
recommandés, la « Méthodique de l'Arithmétique primaire » 
de A.-J. Goldenbej-g basée justement sur la méthode concen- 
trique. 

L'institut de maîtres et l'école de ville, tout en formant des 
types supérieurs au séminaire et à l'école de village, ont cepen- 
dant moins de différence entre eux que ne nous en présentent 
leurs programmes de méthodique de la Géométrie. 

Les deux types de l'école russe secondaire que nous venons 
d'examiner appartiennent au vaste groupe des écoles spéciales, 
et cela, malgré le caractère d'instruction générale qui y prédo- 
mine. Les autres écoles du même genre : écoles techniques, 
industrielles, celles de commerce et d'économie rurale, etc., 
sont encore plus spécialisées, nous ne nous y arrêterons pas. 
Nous passerons donc au groupe d'instruction générale des 
écoles secondaires. Il comprend les établissements d'étude 
pour les jeunes filles et les jeunes garçons. Nous commencerons 
par les premiers dont le cours de mathématiques est moins 
étendu. 



Etablissements secondaires des jeunes filles. 

Les établissements secondaires de jeunes filles sont répartis 
entre trois ministères. La plupart des gymnases et progymnases 
sont attachés à celui de l'Instruction publique ; les gynuiases des 
capitales, quelques-uns de la province et tous les instituts de 
demoiselles appartiennent aux établissements de Llmpératrice 
Marie ; enfin le clergé a ses « écoles de diocèse ». Afin d'éviter 
les répétitions nous donnons un programme d'ensembh> pour tous 
ces établissements. 



/. ' /; .Y s K I G N E M E N T M A T II É M A 7" / Q C E EN R U S S I E > j i 

Arithmétique. — « Classe élémentaire [E. D. (') ; quatre 
leçons par semaine, (r. M.). Calculs oraux et résolution des pro- 
blèmes dans les limitos de la première centaine. Numération 
écrite jusqu à cent. (Connaissance des mesures russes les plus 
usitées. 

Première classe [E. Z>., /. D. ; quatre leçons par semaine. 
G. 1. />., G, M. ; trois leçons par semaine). Etude des nombres 
dans les limites de la première centaine {G. J. p,. I. D.). Numé- 
ration. Opérations sur les nombres entiers abstraits. Opérations 
arithmétiques sur les bouliers (6'. /. p.]. Connaissance des mon- 
naies et des mesures russes de longueur, de poids, etc. [G. I. p., 
I. D.). Résolution orale et écrite de problèmes. 

Seconde classe (G. /. p., G.M.,I. D. ; 3 {^\-E.D.) leçons par 
semaine). Opérations sur les nombres entiers abstraits (suite et 
fin). Opérations sur les nombres concrets et complexes. Pro- 
blèmes sur le calcul du temps {E. D.). Cours élémentaire des 
fractions (G. i/., /. D.). 

Troisième classe [G. I. p., G. il/., I. D. ; 3 [^-E. D.) leçons par 
semaine). Nombres premiers et non premiers. Caractères de 
divisibilité. Décomposition d'un nombre en facteurs premiers. 
Plus grand commun diviseur. Plus petit commun multiple. Frac- 
tions ordinaires. Fractions décimales •G./.p.^. 

Quatrième classe [E. D., G. I. p., G. M., I. D. ; trois leçons 
par semaine). Multiplication et division des fractions ordinaires 
[E. D.). Fractions décimales [E. /)., G. M., L D.). 1^'ractions 
décimales périodiques (Z?. D., G. M. , /. /).). Résolution de pro- 
blèmes relatifs à la mesure des aires et des volumes [G. J/.). 
Rapports et proportions [G. l. p., G. M., I. D.). Résolution de 
problèmes relatifs à la règle de trois, aux intérêts, à l'escompte, 
à la règle de société et aux alliages [G. 1. y;., G. il/., /. D.). Sys- 
tèmes les plus remarquables des mesures et des monnaies des 
pays étrangers [G. I. p.). Application de rArilhméli(|ue » hi 
tenue de livres (G. /. /;.). 



(') Alyrcvlalioits cuin'vittioiincllcs employées pour desii^iier les eitil'/isseirienis 
d'eluile : E.D. Ecole de dioeèse ; G. I. p., Gvmnases et progyiiuiiises ilii ininistôro 
de l'Instruction publique; G. M., Gymnases des établissements du rimpéralrice 
Marie; /. D., Instituts de demoiselles. 



a52 BOBYNIN 

Cinquième classe [E. /)., /. D. ; trois leçons par semaine). 
Rapports et proportions. Résolution de problèmes relatifs h la 
règle de trois, aux intérêts, à la règle de société et aux alliages. 
Répétition de tout le cours d'Arithmétique [E. D.). Règle con- 
jointe (/. D,). Généralisation des problèmes (/. Z).). Passage de 
l'Arithmétique à l'Algèbre (/. D.). 

Septième classe. G, I. p. Hevis'ion de tout le cours d'Arithmé- 
tique, avec additions nécessaires. » 

Algèbre. — « Ci/Kjidème classe (^G. I. p., G. il/., I. D.; i 1/2 
leçons par semaine). — Exercices servant de passage de l'Arith- 
métique à l'Algèbre [G. M. à Moscou, quatrième classe ; à 
Saint-Pétersbourg, sixième classe). Caractères algébriques 
(G. M. à Moscou, quatrième classe ; h Saint-Pétersbourg, 
sixième classe). Détermination de la valeur numérique des quan- 
tités algébriques (G. M. à Moscou, quatrième classe ; à Saint- 
Pétersbourg, sixième classe) . Réduction des termes semblables. 
Addition, soustraction, multiplication et division des monômes. 
Opérations sur les polynômes ((y. M. à ^Moscou). Fractions algé- 
briques les plus simples (ibidem). Equations du premier degré à 
une seule inconnue (ibidem). 

Sixième classe (6\ /. p. ; 2 (i 1/2 G. M.) leçons par semaine). 
Opérations sur les polynômes (G. /. p.). Elévation des monômes 
aux puissances deuxième et troisième. Elévation des polynômes 
à la puissance deuxième. Extraction de la racine carrée des 
nombres. Résolution des équations déterminées du premier 
degré à une seule ou à plusieurs inconnues. Résolution des 
équations du second degré ii une seule inconnue [G. I. p.). 

Septième classe {^G. I. p- ; 2(1 1/2 G. M.) leçons par semaine). 
Mise en équation de problèmes du premier degré et leur réso- 
lution [G. M. à Saint-Pétersbourg). Notions sur les expressions 
irrationnelles [G. M. h Moscou). Disparition des radicaux de 
l'équation [G. M. à Moscou). Équations du second degré (6'. M. 
à Moscou). Elévation des polynômes ii la puissance troisième 
(G. I. p.). Extraction de la racine cubique des nombres [(j. /. 
p.). Progressions arithmétiques et géométriques [G. /./>., G. M. 
\x Moscou). Logarithmes et leurs applications les phis imporlanlos 
{G.I. p.). 



L ENSEIGNEMENT MATHEMATIQUE EN RUSSIE iVi 

GÉOMÉTRIE. — Première classe {(j. I. p.). Etude intuitive des 
propriétés des lignes. Ligne droite. Circonférence. Angle. 
Lignes parallèles. Mesure des lignes droites, des arcs et des 
angles. 

Seconde classe [G. I.p.). Étude intuitive des figures. Triangles. 
Quadrangles. Polygones. Figures régulières. Mesures de super- 
ficie. Mesure des aires des figures rectilignes (carré et rec- 
tangle). 

Troisième classe [G. I. />.). Etude intuitive des corps géomé- 
triques. Mesures de volume. Mesure des surfaces et des volumes 
des solides les plus simples. Exercices de tracé des figures et 
des solides. 

Cinquième classe [G. I. p., G. M., I. D. ; i 1/2 leçons par 
semaine. E. D. sixième classe). Notions géométriques fondamen- 
tales. Théorèmes sur les liornes droites et les angles. Egalité des 
triangles. Relations entre les côtés et les angles du triangle. 
Propriétés de la perpendiculaire et des obliques. Applications 
numériques des théorèmes et des problèmes de cette partie du 
cours. Résolution de problèmes de construction. 

Sixième classe [E. Z)., G. I. p. ; 2 (i 1/2 G. AI.) leçons par 
semaine). Similitude des figures et leurs applications à la réso- 
lution des problèmes pratiques. Mesure des aires des figures 
rectilignes. Cercles. Droites, angles et figures dans le cercle. 
Mesure de la circonférence. Aire du cercle. Applications numé- 
riques à la mesure des aires des figures (G. /. p.). Solides : cube, 
prisme, pyramide, cylindre, cône, sphère {E. D.). Mesure des 
surfaces et des volumes des solides (^E. D.). » 

Septième classe [G. I. p.; i[i iji G. M.) leçons par semaine). 
Stéréométrie, Applications numériques à la mesure des surfaces 
et des volumes des solides. 

Nous ajouterons que l'école de diocèse n'a que six classes, la 
préparatoire (élémentaire) exceptée, et que les cours mathéma- 
tiques des deux dernières classes de l'institut de demoiselles ne 
présente presque pas de diflerence avec les mêmes classes du 
gymnase de Tlmpératrice Marie. 

Enseignement matb. i- 



2^4 BOBYMN 



Établissements secondaires des jeunes gens. 

Les établissements d'instruction générale de jeunes gens 
sont aussi répartis entre trois ministères : celui des Cultes (les 
écoles et séminaires ecclésiasticjues), celui de l'Instruction pu- 
blique (les progymnases, les gymnases et les écoles réaies) et 
celui de la Guerre (les corps de cadets). Voici les parties fonda- 
mentales du programme de leurs cours de mathématiques. 

Arithmétique. — Classe élémentaire {Pg., C (^), E. f. ; six 
leçons par semaine). Quatre opérations sur les nombres entiers. 
Emploi des bouliers russes. Addition et soustraction sur les bou- 
liers. Résolution écrite et orale de problèmes. 

Première classe [E. e., Pg. et G., C. c. ; 4 (3 E. r.) leçons 
par semaine). Numération. Opérations sur les nombres entiers. 
Tables des mesures russes. Opérations sur les nombres com- 
plexes. Connaissance des fractions les plus simples {Pg. et G.). 

Seconde classe. [E. e., Pg. et G.. E. /•., C. c. ; 4 (3 E. e.) 
leçons par semaine). Nombres premiers et non premiers. Théo- 
rèmes les plus importants sur la divisibilité des nombres. Carac- 
tères de divisibilité par 2, 3, 4i 5, 6, 8, g, lo, aS. Décomposi- 
tion d'un nombre en ses facteurs premiers. Plus grand commun 
diviseur et plus petit commun multiple. Opérations sur les frac- 
tions ordinaires, abstraites et concrètes. Opérations sur les frac- 
tions décimales, abstraites et concrètes (£". e. ; troisième classe). 
Système métrique de mesures. Fractions décimales périodiques 
[E. e., C. c. ; troisième classe). Résolution écrite et orale de 
problèmes. 

Troisième classe [E. e., E. r.; y (4 C. c, i Pg. et (j.) leçons 
par semaine). Rapports et proportions. Résolution de problèmes 
relatifs a la règle de trois, aux intérêts, à l'escompte, h la règle 
conjointe, à la règle de société et aux alliages [E.c.; (jualriènie 



(') Abréviations coni'cnlionncilcs : £. e.. Écoles ecclésiasliques ; 5. c, Sciuiiiuires 
ecclésiastiques ; Pg. et C. Progymnases et gymnases; E. r., Ecoles réa es ; C. c, 
Corps de cadets. 



VESSEIGNEMEyT MATHEMATIQUE E .\ RUSSIE 255 

classe), employant les proportions et la méthode de réduction à 
l'unité. Répétition de tout le cours d'Arithmétique (E. r.). 

Quatrième classe [E. e. ; deux leçons par semaine). Résolution 
de problèmes relatifs à la règle de trois, aux intérêts, à l'es- 
compte, à la règle de société et aux alliages. Répétition de tout 
le cours d'Arithmétique. 

Septième classe [C. c). Répétition de tout le cours d'Arithmé- 
tique avec additions nécessaires. 

Algèbre. — Troisième classe iPi'. et G., E. r., C. c. : deux 
leçons par semaine). Exercices servant de passage de l'Arithmé- 
tique à l'Algèbre. Caractères algébriques. Détermination de la 
valeur numérique des quantités algébriques. Quatre opérations 
sur les monômes et sur les polynômes (C. c. ; quatrième classe). 

Quatrième classe [E. r.. C. c.\ 3 (2 Pg. et G.) leçons par 
semaine). Décomposition d'une expression algébrique en fac- 
teurs. Plus petit commun multiple et plus grand commun divi- 
seur de plusieurs monômes ou polynômes. Opérations sur les 
fractions algébriques. Opérations sur les puissances à exposants 
négatifs. Rapports et proportions. Résolution de l'équation du 
premier degré à une inconnue. Mise en équation de problèmes 
du premier degré à une inconnue. Résolution d'un système 
de deux \^C.c. ; cinquième classe) ou de plusieurs {Pg. G., C. c. ; 
cinquième classe) équations simultanées du premier degré. Mise 
en équations de problèmes du premier degré (C c. ; cinquième 
classe). Elévation des monômes aux puissances et extraction des 
racines {C. c. ; cinquième classe). Élévation des polynômes au 
carré [C. c. ; cinquième classe). Extraction de la racine carrée 
d'un polynôme [C. c. ; cinquième classe). Extraction de la racine 
carrée {C. c. ; cinquième classe) ou cubique [Pg. et G. ; cinquième 
classe) d'un nombre. 

Cinquième classe (E. /•., C. c. ; 3 [•> Pg. et G.) leçons par 
semaine). Résolution de l'équation du second degré à une incon- 
nue. Mise en équations de problèmes du second degré. Rela- 
tions entre les coefiicients et les racines de l'équation du second 
degré. Propriétés du trinôme du second degré. Résolution des 
svstèmes les plus simples de deux équations simultanées du 



•256 BOBYMN 

second degré à deux inconnues. Calcul des radicaux. Opérations 
sur les puissances à exposants fractionnaires. Propriétés des 
inéquations du premier degré [E. r. ; sixième classe, Pg. et 6. ; 
septième classe). Résolution de l'inéquation du premier degré à 
une inconnue [E. ?•. ; sixième classe; Pg. et G. ; septième classe). 
Résolution de Téquation indéterminée du premier degré à deux 
inconnues (£'. /•. ; sixième classe; Pg. et 6^.; septième classe). 
Progressions [S. e. ; fin du programme d'Algèbre) et logarithmes 
(C. c, Pg. et G. ; sixième classe). 

Sixième classe [E. /•., Pg. et G., G. c. ; deux leçons par 
semaine). Discussion de l'équation du premier degré à une et à 
deux inconnues [Pg. et G.; VIP classe). Discussion de l'équa- 
tion du second degré [C. c). Analyse combinatoire [Pg. et G. ; 
VIP classe) Binôme de Newton (exposant entier positif) [Pg. 
et G. ; VIP classe). Fractions continues. Leurs applications au 
calcul des logarithmes et à Textraction de la racine carrée d'un 
nombre avec une approximation donnée [E. 7-., Pg. et G.-, 
VIP classe). 

Septième classe [C. c). Revision de tout le cours d'Algèbre. 

Géométrie. — Quatrième classe. [E. r. ; 5 leçons par semaine, 
P<i. et G. 2 leçons, C. c. 3 leçons). Notions sur les corps géomé- 
triques, les surfaces, les lignes et le point. Ligne droite. Angles. 
Perpendiculaires et obliques. Lignes parallèles. Egalité des 
triangles. Propriétés des triangles. Quadrilatères et polygones. 
Cercle. Propriétés des cordes, des sécantes et des tangentes. 
Positions mutuelles de deux circonlerences. Mesure des angles 
[Pg. et G., C. c. ; V^ classe). Les principaux problèmes de cons- 
truction. Exemples et problèmes numériques. Lignes propor- 
tionnelles [Pg. et 6'., C. c- ; V classe). Similitude des triangles 
ou des polygones [Pg. et (J., C. c. ; Y" classe). 

Cinquième classe. [E. r. ; 4 leçons par semaine, Pg. et (j. 
1 leçons, C. c. 3 leçons). Relations les plus importantes entre 
les côtés et les autres lignes des triangles et des (juadrilalères. 
Droites proportionnelles dans le cercle. Triangles et polygones 
réguliers inscrits dans le cercle et circonscrits à un cercle. 
Notions sur la méthode des limites. Longueur de la circonfé- 



LENSEICyEMEST MATIJÉMATIQLE E.X RUSSIE -lï-j 

rence. Notions sur le calcul du nombre ?:. Mesure des aires des 
fiçrures rectiliffnes et du cercle. Comparaison des aires, l^ro- 
blêmes de construction. Problèmes numériques. Position respec- 
tive des droites et des plans dans l'espace. Propriétés princi- 
pales des angles dièdres et polyèdres. Egalité des angles 
trièdres. 

Sixième classe. (E. r. ; 4 leçons par semaine ; Pg. et ^^., 
C. c. 2 leçons). Notions sur les polyèdres réguliers. ^lesure des 
surfaces et des volumes des prismes et des pyramides. Egalité 
et similitude des prismes et des pyramides. Mesure des surfaces 
et des volumes des trois corps ronds. Cylindres et cônes sem- 
blables. Résolution de problèmes numériques. (^S". e. ; fin du 
programme de Géométrie). Répétition de tout le cours de 
géométrie i^E. r.). 

Septième classe [C. c). Répétition de tout le cours de géo- 
métrie. 

Huitième classe (G.). Répétition de tout le cours de Mathéma- 
tiques avec additions nécessaires. 

Trigonométrie rectilicne. — Sixième classe [E. /•., C. f. ; 
2 leçons par semaine). Septième classe. [G. ; i -j- leçons par 
semaine). Objet de la trigonométrie rectiligne. Rapports trigo- 
nométriques. Variation des rapports trigonométriques. Relations 
entre les fonctions trigonométriques d'un même arc. Expressions 
du sinus, du cosinus et de la tangente, de la somme ou de la 
dilTérence de deux angles, d'un demi-angle, et du multiple d'un 
angle. Rapport entre la somme des sinus de deux angles et leur 
dillerence. Notion sur le calcul des tables trigonométriques. Usage 
des tables trigonométriques. Relations entre les angles et les côtés 
d'un trianirle rectano;le. Résolution des triangles rectanoles. Rela- 
tions entre les angles et les côtés d'un triangle obliquangle. Réso- 
lution des triangles obliquangles. Calcul des aires. Transformation 
des formules en expressions calculables par logarithmes. [E. r.). 
Résolution des équations trigonométriques les plus simples 
[E. /•.). Mesure des ligues et des angles sur la surface terrestre 
{G.). Instruments destinés i» mesurer les angles (6^.). Application 
de la trigonométrie rectiligne aux opérations sur le terrain (G.). 



258 BOBYNIN 

Partie complémentaire des programmes. — Dessin linéaire. 
E. r. — Classes quatrième, cinquième et sixième. 

Dessin teclinique. E. r. — Troisième classe : 2 leçons par 
semaine. 

Dessin pi'ojectif. E. r. — Classe complémentaire : 2 leçons 
par semaine. 

Ali>èbre. E. /•. — Classe complémentaire : 3 leçons par 
semaine. Expressions imaginaires. Opérations sur les expressions 
imaginaires. Résolution des inéquations du second degré. Maxi- 
mum et minimum du trinôme du second degré. Résolution des 
équations binômes les plus simples. Résolution des équations 
trinômes (a x^'' -j~ ^ u:''-|-c = o). Théorèmes sur la divisibilité 
des polynômes entiers. Abaissement de l'ordre d'une équation. 
Équations équivalentes. Solutions étrangères. 

Application de V Algèbre à la Géométrie. E. r. — Classe com- 
plémentaire, C. c. — Sixième classe. Objet de lapplication de 
l'Algèbre à la Géométrie. Nombre linéaire. Expression linéaire. 
Quantités et expressions de deux ou trois dimensions. Quantité 
de dimension nulle. Exemples. Homogénéité des équations. 
Comment l'homogénéité peut cesser d'être apparente. Rétablis- 
sement de l'homogénéité. Construction des formules algébriques, 
rationnelles et irrationnelles. Discussion et construction des 
racines de l'équation du second degré. Construction des formules 
contenant les rapports trigonométriques. Exemples et pro- 
blèmes. 

Eléments de Géométrie analytique. C. c. — Septième classe : 
2 leçons par semaine. Coordonnées rectilignes. Equations d'un 
point. Expression de la distance entre deux points. Equation 
d'un lieu géométrique. Equation de la ligne droite. Discussion 
de cette équation. Problèmes généraux relatifs à la ligne droite. 
Circonférence. Ellipse. Hyperbole. Asymptotes de l'hyperbole. 
Parabole. Transformation des coordonnées. Discussion des 
courbes représentées par l'équation générale du second degré à 
deux vai'iables. Tangentes et normales aux coniques. Exemples 
et problèmes. — Compal pascal S. e. 



V ENSEIGNEMEyr MATHÉMATIQUE EN RUSSIE 219 

Certains programmes sont accortipagnés de notes explicatives 
do!it il est difficile de comprendre le but, vu le caractère vague 
et suranné des thèses qu'ils renferment. Dans la note destinée 
aux gymnases et aux écoles réaies nous rencontrons par exemple 
les réflexions suivantes citées comme vérités immuables. 

« Les mathématiques sont Tune des bases de Finstruction 
générale, étant une science précise et abstraite et offrant à ceux 
qui les étudient un moyen simple et commode pour développer 
régulièrement leur pensée. L'enseignement des gymnases (mais 
non celui des écoles réaies à ce quil parait puisque leur pro- 
gramme omet toute cette citation) doit surtout songer au progrès 
intellectuel des élèves. Il s'en suit qu'en enseignant les mathé- 
matiques on fait particulièrement attention à la partie théorique 
du cours », 

« En Algèbre on doit chercher à élargir la conception que les 
élèves ont du nombre, car il ne faut pas oublier que l'esprit de 
généralisation domine dans cette science et que c'est là la raison 
qui en rend si grave le rôle dans le cours d un établissement 
secondaire. Il faut expliquer aux élèves que les opérations algé- 
briques ne sont que des transformations équivalentes des formules 
des opérations en d'autres formules possédant la forme désirée. 
Les nombres négatifs doivent être envisagés comme des nombres 
généralisés et il est nécessaire d'expliquer qu'ils sont introduits 
dans l'Algèbre pour rendre possibles tous les cas de soustrac- 
tion ». 

« En Géométrie on doit avoir pour but principal de faire 
étudier systématiquement les vérités géométriques. Mais comme 
la Géométrie nous présente les exercices les plus simples et les 
plus variés pour l'appropriation de la logique formelle, nous 
agirons selon le but de son étude en éclaircissant les méthodes 
de démonstration des vérités géométriques et en ayant soin que 
les élèves possèdent à fond les méthodes ou formes de discussion 
employées pour ces méthodes de démonstration ». 

On ne laisse pas de faire des emprunts aux manuels ; je cite par 
exemple cette assertion : « l'enseignement de la Trigonométrie a 
pour but de résoudre les triangles et c'est dans ce but seulement 
qu'il faut se servir des fonctions trigonométriques ». 

Ce que nous venons d'en faire voir montre suffisamment que 



26o BOBYMN 

les notes explicatives ne sauraient être de quelque utilité pour un 
professeur, et pourtant l'état des choses est tel que leur secours 
serait très désirable. 

Ainsi que le montrent les programmes cités, les établissements 
secondaires en Russie, les séminaires ecclésiastiques exceptés, 
présentent une espèce de tusion de l'école primaire avec l'école 
secondaire. La préparatoire et les trois classes inférieures appar- 
tiennent à la primaire. Les notes explicatives nous parlent ainsi 
du cours d'Arithmétique dans ces classes. Dans les écoles de 
diocèse de filles « le cours systématique d'Arithmétique poursuit 
un double but, spécialement pratique et généralement instructif. 
Le premier cherche à habituer les enlants à un calcul prompt, 
juste et facile, le second à penser logiquement, à s'approprier 
d'utiles procédés de réflexion et à les appliquer avec conscience 
aux calculs donnés. » Dans les gvmnases et les écoles réaies 
« l'enseignement arithmétique vise, dans les trois premières 
classes, à ce que les quatre règles soient opérées sur les nombres 
entiers et fractionnaires d'une manière consciente, rapide et élé- 
gante ». En exposant ensuite les moyens pour arriver à ces buts 
(un exposé rappelant une ordonnance de médecin !) on passe sous 
silence les méthodes d'enseignement ; mais le contenu des pro- 
grammes et surtout quelques auxiliaires qui y sont cités (les 
recueils de problèmes et les manuels composés par Evtouchevsky 
et Goldenberg) montrent assez que celles-ci ne diffèrent point 
des méthodes employées dans les écoles de ville et de village. 
Aucune différence ne saurait donc être constatée entre les deux 
types de l'école primaire d'une part et son troisième type réuni 
h l'école secondaire de l'autre. C'est pourquoi nous pouvons nous 
dispenser de revenir à l'enseignement arithmétique qui s'y donne. 

Ainsi l'école secondaire russe a pour objets principaux de son 
enseignement mathématique : l'Algèbre et la Géométrie élémen- 
taires. Les établissements de garçons y ajoutent encore la Trigo- 
nométrie rectiligne (à l'exception des séminaires ecclésiastiques). 
La courte durée de l'année scolaire, réduite à sept mois si l'on en 
exclut les vacances et la période des examens, rend tout à lait 
insuffisant le nombre des leçons destinées à donner le cours 
établi par les programmes. Dans l'absence des méthodes d'ensei- 
gnement pouvant faciliter la tâche du professeur, celui-ci voit 



LEySEIGSEMEST M AT II É M ATI qU E ES RUSSIE 



261 



échouer ses meilleures intentions et ses plus chères espérances 
manquent de succès. Force lui est de se renfermer dans un accom- 
plissement formel de ses devoirs. L'étude de la science se trouve 
alors remplacée par l'étude des manuels satisfaisant aux exi- 
gences des programmes et de leurs notes explicatives. La leçon 
se passe à expliquer le contenu des manuels en y ajoutant parlois 
la solution des problèmes en guise d'illustration. Hors de la 
classe les élèves cherchent à retenir les questions expliquées afin 
de pouvoir les réciter et en tirer parti aux leçons suivantes. Les 
manuels étant exclusivement basés sur la synthèse, les élèves 
pour des raisons citées plus haut (pages 243-244; doivent fatiguer 
leur mémoire bien davantage que ne le demandait l'ancienne 
méthode dogmatique. Celle-ci avait exigé que les élèves retinssent 
mot à mot le contenu des théorèmes, des règles et des procédés 
dans leur application aux problèmes à résoudre. La méthode 
actuelle, exige de plus qu'on retienne la démonstration dans sa 
marche précise, et dans tous ses détails. Il est aisé de prévoir où 
l'on en arrive en surchargeant tellement la mémoire des élèves. 
Ce qui a été appris par cœur s'échappe aussitôt qu'on n'en a plus 
besoin. Et les meilleurs élèves des écoles secondaires, en entrant 
aux Facultés mathématiques des universités ou aux écoles supé- 
rieures, techniques et de génie, se sentent insullisamment pré- 
parés pour suivre les cours de mathématiques supérieures. 

Le tout offre en somme un triste état de choses. L'Histoire 
des mathématiques peut seule l'améliorer quand elle aura réussi 
à étudier en détails le développement des méthodes en Mathé- 
matiques. 

V.-V. BoBYxiN (Moscou). 



L'ESPACE EST-IL EUCLIDIEN? 

(Suite). 



IV 
Géométrie physique. 

Déplacements des corps solides naturels. — Une théorie 
peut être appréciée à deux points de vue : au point de vue de sa 
valeur en tant que système logique et au point de vue de sa con- 
cordance avec une catégorie de laits physiques. 

Nous croyons avoir montré que les Géométries non-euclidiennes 
constituent des systèmes logiques aussi rigoureux que la Géo- 
métrie euclidienne. 

Existe-t-il des faits physiques dont la Géométrie soit la théorie ? 

Nous avons vu que la Géométrie était la théorie des déplace- 
ments sans déformation. 

En tant que notion idéale, un déplacement sans déformation 
peut être légitimement conçu comme euclidien ou non-euclidien 
à notre gré. 

C'est là un siège commode pour l'analyste. Mais une notion 
subjective a toujours ansu/jsiratii?n objectif et empirique, et celle 
de déplacement sans déformation n'a pas été conçue sans germe 
extérieur par le cerveau humain. 

En fait, la notion de déplacement sans déiormation n'est pas 
autre chose que la notion empirique du déplacement des coips 
solides, notion qui résulte directement, dans tout esprit humain, 
de l'observation inconsciente du monde extérieur et qui persiste 
telle quelle chez l'ignorant, tandis (ju'elle se transforme chez le 
savant en notion purement abstraite, ne correspondant (piapproxi- 



L'ESPACE EST-IL EUCLIDIEN.' 263 

mativenient aux faits physiques, tenus par lui pour plus com- 
pliqués. 

Nous voici donc conduits à cette question un peu bizarre : 
« Les corps solides naturels sont-ils ou non-euclidiens? » 

M. Poincaré (^) nous donne le moyen de nous débarrasser de 
cette question par les considérations suivantes : 

(( La Géométrie euclidienne serait dès aujourd'hui con- 
vaincue d'erreur, puisque nous savons qu'il n'existe pas de 
solides rigoureusement invariables. 

« Les axiomes géométriques ne sont donc ni des jugements 
synthétiques a priori, ni des laits expérimentaux. 

« Ce sont donc des conveiitiotis ; notre choix est guidé par des 
faits expérimentaux, mais il reste libre et n'est limité que par la 
nécessité d'éviter toute contradiction ». 

Nous nous permettrons de présenter une objection èi cette 
manière de voir les choses. 

Les propriétés réelles des déplacements des corps solides 
naturels dépendent de multiples circonstances physiques : tem- 
pérature, pression, usure, etc. Mais, quelque nombreuses que 
soient les causes susceptibles d'influer sur les propriétés des 
déplacements, on peut concevoir qu'elles aient été déterminées, 
et par suite, parvenir à l'idée des déplacements qui auraient lieu, 
si les causes perturbatrices n'agissaient pas. 

Bref, on pourra distinguer les circonstances topogènes des cir- 
constances Jiylogënes, suivant l'expression d'Helmholtz, et il sera 
permis de parler des propriétés géométriques des corps solides 
naturels, pourvu que la manière dont se déplacent ces corps 
soit indépendante de leur substance. Quant aux efl'ets dus soit à 
l'usure, soit aux variations de la température et de la pression, 
on peut concevoir la possibilité de s'en garantir ou d'en tenir 
compte, puisqu'ils sont dus à des causes non topogènes. 

Toute détermination expérimentale des lois d'une catégorie de 
phénomènes serait impossible, si on ne pouvait se soustraire, 
dans une large mesure, à rinMucnce des causes indépenilantes 
de celles que l'on étudie, ou bien calculer, avec une approxima- 
tion connue, les efl'ets de ces dernières. 



(*) PoiNCAKi':. lU'i'tit' gcncralf des Svicme.i, p. 7r)()-774. 1891, 



a64 COMBEBIAC 

L'existence de la pesanteur et sa variation avec le lieu erapê- 
chent-eiles la détermination des lois des forces électriques et, ces 
lois acquises, suppriment-elles la possibilité de les corriger au 
moyen d'expériences plus précises, comme le fait s'est produit 
dans certaines branches de la science ? 

Cette possibilité de déterminer les lois de chaque catégorie de 
phénomènes tient précisément à notre manière de classer les phé- 
nomènes par catégories dont chacune correspond h des causes 
indépendantes des autres. 

Nous croyons donc qu'il n'y a aucune absurdité à se demander 
si les corps solides sont euclidiens ou non-euclidiens. 

C'est cette question et pas d'autre qui est en jeu, lorsqu'on 
suppose que des mesures astronomiques pourraient venir con- 
tredire les formules euclidiennes. 

Imaginons, par exemple, qu'on ait pu connaître (par quels 
procédés de communications interplanétaires?...) le résultat de la 
mesure directe d'un angle astronomique ayant son sommet sur 
Mars et que ce résultat différât de la valeur calculée d'autre 
part par les formules euclidiennes sur des données résultant de 
mesures faites par les habitants de la Terre. 

Supposons que l'on ait d'autre part d'excellentes raisons pour 
écarter toute explication relative à la propagation de la lumière 
ou h un ordre de faits analooues. 

Devra-t-on conclure que Vespace nest pas euclidien ? 

Nullement, l'espace n'a pas de propriétés intrinsèques. 

La seule conclusion compatible avec le bon sens est que les 
instruments goniométriques emplovés, ou plutôt les instruments 
qui ont servi à leur graduation, ne satislont pas aux axiomes 
euclidiens. 

S'ils satisfont à tous ces axiomes, sauf a celui des parallèles, 
tous les instruments goniométriques, construits indépendamment 
les uns des autres en des points quelconques de l'espace, doivent 
donner le même résultat si on s'en sert pour la mesure d'un 
même angle. 

o 

(>ela tient aux propriétés suivantes : 

i" L'angle a- est le même en tous les points de l'espace ; 
■j.° Deux grandeurs supei'posables en un lieu de l'espace le 
sont en un lieu quelconque et <[uel que soit le trajet employé 



L'ESPACE EST-IL EUC LIDTEN'.' 260 

pour chacune d'elles (propiùété des déplacements de constituer 
un groupe d'opérations, ce qui est nécessaire pour établir conve- 
nablement ridée d'égalité) ; 

3° Le tout ne peut pas être égal à la partie(') (restriction réalisée 
par l'existence dun invariant relatif à deux points et entraînant 

cette conséquence que, si (7 = ^, — a^=— h 1 . 

Si l'on admet ces diverses hypothèses, l'on devra conclure de 
l'expérience imaginaire relatée plus haut que les déplacements 
des corps solides sont non-euclidiens, et l'on voit clairement que, 
si cette conclusion peut être tirée sans qu'aucun corps solide soit 
transporté de Mars sur la Terre ou inversement, c'est eu raison 
des propriétés admises pour ce déplacement en dehors du postulat 
des parallèles, propriétés dont les conséquences sont particulière- 
ment importantes en ce qui concerne la mesure des angles. 

On peut d'ailleurs se poser bien d'autres questions sur la 
vraie nature des déplacements des corps solides, car le postulat 
des parallèles n'est pas le seul axiome qu'on puisse abandonner 
sans compromettre l'ordonnance logique de la géométrie. On 
lira avec intérêt, sur cette question des axiomes indépendants, 
le remarquable mémoire de M. Hilbert ('). 

Mais, qu'il s'agisse du postulat des parallèles ou de tout autre 
axiome, ce n'est pas dans les propriétés des corps solides naturels 
que nous voyons le principal intérêt de la question relative à la 
portée physique de la géométrie. 

La Géométrie et les Sciences physiques. — En lait, la 
Géométrie domine toute notre analyse de la nature par suite du 
l'ait que tout phénomène est indépendant du lieu où il se produit; 
ou, d'une manière plus précise, qu'on peut, sans rien changer à 
un phénomène, opérer un déplacement sans délormation de 
l'ensemble des corps qu'il intéresse, toutes autres circonstances 
(la température notamment) restant les mêmes. 

11 en résulte ([lie les consé(|uences dune inodilication aux 
axiomes de la géométrie peuvent sétendre à des laits dun ordre 
tout dilTérent de celui des propriétés des corps solides. 



t') PoiNCARÉ. liei'iie (le mcluj>/ti/xi(/iie et de morale, 1899. 

(*) Hilbert. Grundla<^eii der Géométrie, Tcubner, Leipzig-, iSgy ; Inuiuit en fran- 
çais ])ar M. Laiifjfol. Gaiilhior-Vilhirs, Paris, 1900. 



u66 COM BEBIAC 

La Mécanique, c'est-a-clire la science du mouvement, est essen- 
tiellement relative aux déplacements sans déformation, comme 
si un lait ne nous intéressait qu'en ce qu'il trouble la configura- 
tion d'un ensemble de corps ; les énergies potentielles relatives 
aux diverses forces naturelles s'expriment en fonction des posi- 
tions relatives des corps mis enjeu (ou, ce qui revient au même, 
en fonction des distances des points de ces divers corps, car la 
distance de deux points est le seul invariant indépendant que 
présente le groupe des déplacements). 

Pour pouvoir déterminer clairement le rôle de la Géométrie 
dans la Mécanique, il faudrait qu'on fût parvenu d'abord à 
donner aux fondements de cette dernière science une structure 
logique plus satisfaisante, ensuite à distinguer, dans ces fonde- 
ments, la partie rationnelle de la partie expérimentale. Ces deux 
résultats ne paraissent pas près d'être obtenus. 

Précisément en raison de cette obscurité, qui s'étend aux 
principes de la science astronomique, une des principales tribu- 
taires de la Mécanique, on peut regarder comme possible 
l'éventualité qu'une modification de la notion de distance ait 
pour effet de simplifier certaines lois de l'univers. Cette éven- 
tualité est fort bien acceptée par notre esprit, lorsqu'on songe à 
l'origine précaire de la notion de distance. 

Si elle venait à se produire, il n'y a aucun doute qu'on 
s'empresserait d'adopter cette modification féconde dans les 
question où elle aurait sa raison d'être. 

Cette adoption n'aurait d'ailleurs nullement pour conséquence 
la disparition de la Géométrie euclidienne, celle-ci conservant 
tout son intérêt dans le domaine où elle continuerait à être 
exacte : la Mécanique des corps indéformables n'a-t-elle pas, 
dans l'état actuel de la science, sa place à côté de la tbéorie de 
l'élasticité, qui contredit la réalité de pareils corps ? 

Nous croyons donc qu'un examen du rôle joué dans la Méca- 
nique par les principes de la Géométrie présente le plus grand 
intérêt. 

L'édification d'une statique non-euclidienne a été tentée par 
M. Andrade (') ; parmi les résultats obtenus, nous citerons 



(*) Andrade. Leçons de mecanit/up />/n/sit/iir. Sociclt!- <l rdilimis sr!('iilirM|iii 
Paris. 1808. 



L'ESPACE EST-IL EUCLIDIEN' -267 

rîmpossihilité paraJoxah; de réaliser le niéeanisine particulière- 
ment simple, constitué par un fil flexible et inextensible. Mais 
on doit remarquer qu'une telle théorie suppose la généralisation 
préalable des notions fondamentales : force, équilibre, travail, 
et que la manière dont peut se faire cette généralisation est en 
partie arbitraire. 

Ces quelques observations, quoique fort imprécises, suffisent 
à montrer (|ue la portée des questions relatives aux déplacements 
sans déformation s'étend bien au delà des propriétés des corps 
solides. 

L'iXFixi PHYSIQUE. — Nous avous VU quc l'idée de l'infini 
géométrique était essentiellement relative à la notion de distance 
et pouvait disparaître moyennant certains systèmes de détermi- 
nation métrique. 

De même que nous nous sommes demandé s'il existe une 
géométrie physique, nous pouvons nous demander si l'idée de 
l'infini correspond h un fait physique. 

On imagine généralement que, si l'on parcourait indéfiniment 
une ligne droite, on traverserait indéfiniment des mondes plus 
ou moins semblables à celui dont nous faisons partie. 

Il semblerait dès lors que cette idée de l'infini cosmique 
doive disparaître en même temps que celle de l'infini géométrique. 

Cette façon de voir les choses résulte, suivant nous, d'un faux 
point de vue : 

Il est évident d'abord que des considérations sur la notion de 
distance ne peuvent avoir aucune conséquence pour nos connais- 
sances cosmiques. Celles-ci doivent donc être examinées d'une 
manière tout à lait indépendante. 

Nous avons déjà observé que, dans la science mathématique, 
les expressions telles que : infini, infiniment petit, croissant on 
décroissant indéfiniment ^ ont des significations rigoureusement 
et positivement définies, liées à l'importante notion de limite, et 
qu'elles ne peuvent pas correspondre à des propriétés intrin- 
sèques d'un concept objectif. 

L'idée de l'infini cosmique, tout à fait analogue, réside dans 
celle de la persistance de nos perceptions familii'res dans un 
voyage supposé indéfiniment continué dans l'espace. 



268 COMBE BIAC 

Cette idée ne repose évidemment sur aucun fait expérimental. 

Une notion n'étant plus valable en dehors du domaine de 
l'observation qui lui a donné naissance, nous ne croyons pas que 
Ton puisse légitimement donner au mot infini une valeur 
physique qu'il ne saurait avoir. 

La conception de l'univers comme la répétition indéfinie de ce 
qu'une expérience restreinte nous a lait connaître nous parait 
aussi inacceptable que celle qui consisterait à croire que dans 
un examen des corps solides qui porterait sur des particules de 
plus en plus petites, persisteraient les propriétés de continuité, 
d'élasticité, de couleur, etc., relatives à l'observation courante. 

Le prolo?igeme?it de nos images représentatives au delà du 
domaine empirique est une opération familière à l'esprit humain ; 
mais on sent tout l'arbitraire de ces généralisations trans- 
naturelles, qui sont, je crois, les procédés de création des idées 
métaphysiques. 

V 

La Ligne droite . 

Définition de la ligne droite. — On a souvent confondu la 
définition de la ligne droite avec l'énoncé de ses propriétés 
fondamentales, c'est-à-dire de celles d'où se déduisent rationnel- 
lement toutes les autres. 

Cette confusion est une erreur. 

Nous montrerons en effet qu'on peut créer des géomé tries en 
prenant pour base des systèmes de lignes choisis arbitrairement 
dans une large mesure, auxquels nous attribuerons les propriétés 
du svstème des liones droites. 

A la base de toute science rationnelle se trouvent des notions 
primordiales, qu'il est impossible de définir autrement ([ue par 
le procédé consistant à montrer un objet pour indiquer la signi-" 
fication du mot qu'il représente. 

J-*our la Géométrie, si l'on conserve les procédés habituels de 
démonstration des premiers théorèmes, la notion primordiale 
est évidemment celle du déplacement sans déformation. 

On peut bien en énoncer les propriétés iondanientales, 
comme a cru le faire llelmholtz, comme l'a fait Soplius Lie; mais 



L'ESPACE EST-IL EiCLJDIEy.' 1(69 

cela ne suHit pas à la définir. Il existe en cfrel une inlinité de 
groupes tle translorniations ponctuelles de 1 espace jouissant des 
mêmes propriétés que le groupe des déplacements. Chacun de 
ces groupes est ce que devient le groupe des déplacements dans 
une transformation ponctuelle univoque de Tespace. 

Les lignes droites sont alors transformées en d'autres lignes 
qui jouissent de toutes leurs propriétés. 

Toutes les propositions de la Géométrie restent exactes, ;» 
condition de représenter par les mots : égalité, ligne droite, 
plan, etc., des choses autres que celles que ces mots repré- 
sentent habituellement. 

Une fois acquise la notion primordiale de déplacement sans 
déformation, la ligne droite peut être définie, ou plutôt la notion 
de ligne droite est comprise dans celle de déplacement sans 
déformation. 

En effet une des propriétés des déplacements sans déformation 
consiste en ce que, lorsqu'on maintient fixes deux points dune 
figure, tous les points d'une certaine ligne passant par ces deux 
points restent également fixes. 

On obtient ainsi des lignes déterminées par deux points, par 
suite dépendant de quatre paramètres : ce sont les lignes 
droites. 

Au moyen d un des groupes de transformations dont il vient 
d être question, nous obtiendrons de la même manière des 
lignes déterminées également par deux points, qui ne seraient 
pas des lignes droites. 

Détermination de la ligxe droite par deux points. — On vient 
de voir que la propriété d'être déterminée par deux points ne 
peut pas constituer une définition de la ligne droite. Cela 
résulte encore plus clairement, si cela était nécessaire, de la 
signification du mol « déterminé ». 

Une ligne droite est déterminée par la connaissance de deux 
de ses points et par le fait d'être une ligne droite., c'est-à-dire 
que deux points la déterminent parmi les lignes droites. 

Le fait pour une ligne d'être déterminée par deux points ne 
constitue évidemment pas une propriété de cette ligne mais bien 
une propriété d'un système de lignes, dont elle fait partie. 

Enseignement math. ijj 



■i-o COMBEBIAC 

Mais si le (ait d'être déterminée par deux points ne peut pas 
être une définition de la ligne droite, il peut, dans une certaine 
manière d'édifier la Géométiie, constituer une propriété fonda- 
mentale, autrement dit un axiome. 

On sait que la Géométrie projective peut être établie indépen- 
damment de la Géométrie métrique, celle-ci venant alors la com- 
pléter par rintroduction du plan et du cercle imaginaire de 
l'infini. Mais, tandis que les déplacements sans déformation ont 
paru constituer une notion si naturelle qu on a couramment 
appliqué leurs propriétés sans éprouver le besoin de les 
énoncer, les transformations projectives au contraire sont loin 
de se prêter facilement à une conception intuitive, et on ne 
peut guère les placer en qualité de notion fondamentale à la 
base de la Géométrie. 

Il faut alors recourir, pour ce rôle, à la ligne droite. 

Dans ces conditious, sans se demander quelle est l'origine 
empirique de la notion de ligne droite, on la prendra comme 
notion londainentale, et on devra alors commencer par énoncer 
ses propriétés fondamentales. 

Observons encore, et pour ne plus y revenir, qu'une transfor- 
mation ponctuelle de l'espace transformerait le svstème des 
lignes droites en un système jouissant des mêmes propriétés et 
par conséquent susceptible de servir de base à une géométrie, 
ou plutôt A un ensemble de faits susceptibles d'être exprimés 
par les propositions de la géométrie projective (puisqu il ne 
s'agit, pour le moment, que de cette dernière). 

La première propriété fondamentale est que les lignes droites 
constituent un système à quatre paramètres. L'on doit ajouter, 
si l'on adopte l'hypothèse admise dans cette étude (§ III), (pie la 
condition de passer par deux points fjitelcu/Kjiics donne loujouis 
lieu à une détermination et à une seule. 

Cette propriété des lignes droites ne <u)nslituc pas une base 
suffisante pour la géométrie projective. 11 faut en outre (piil 
existe des plans, c'est-à-dire des surfaces à trois paramètres 
telles que, si une ligne droite a deux de ses points sur l'une 
d'elles, elle y soit contenue tout entière. 

L'examen de la question montre facilemciii (pic l'existence des 
plans est liée à la propriété suivante des lignes droites : 



[.'ESPACE EST-IL EUCLIDIEN? 271 

Si trois lignes droites se rencontrent deux à deux, et qu'une 
quatrième rencontre les deux premières, elle rencontre aussi la 
troisième. 

La recherche de l'expression analytique de cette condition 
constitue une étude des plus intéressantes, qui se rattache aux 
travaux de M. Kœnigs sur les équations différentielles exprimant 
la condition de rencontre de deux lignes infiniment voisines 
faisant partie d'un système à un certain nombre de para- 
mètres. 

Ce n'est pas ici le lieu de pénétrer plus avant dans cette 
question. 

Remarquons enfin que l'on peut rattacher la détermination 
d'une ligne droite par deux de ses points à la notion de distance, 
qui, elle, dépend incontestablement de celle de déplacement 
sans déformation. 

On peut en effet construire une ligne droite déterminée par 
deux de ses points A et B, en effectuant uniquement des mesures 
de distance. Il suffît pour cela d'observer que, sauf sur la droite 
AB, il n'existe pas de point C qui soit le seul à être distant des 
points A et B des longueurs AC et BC. 

On peut, au moyen d'une propriété analogue, déterminer les 
points d'un plan dont on connaît trois points. 

Lignes minimales. — Il faut citer, parmi les propriétés de la 
ligne droite que l'on a voulu utiliser comme définition, celle 
d'être le plus court chemin d'un point à un autre. (On remar- 
quera que cette propriété occupe une place à part dans la 
géométrie et n'est pas utilisée dans les démonstrations). 

Cette propriété est démontrable, puisqu'il suifit d'appliquer le 
calcul des variations à l'intégrale qui représente la longueur d'une 
courbe, et cela en prenant, pour l'élément linéaire, l'expression 
euclidienne ou non-euclidienne. 

Dans l'ignorance où je suis d'une démonstration svnthétiquo, 
qui doit probablement exister, j'en esquisserai une dans le but 
surtout de montrer les éléments de la question. 

Il suffit évidemment de prouver que, dans un triangle, un 
côté est plus petit que la somme des deux autres et, en abaissant 
du sommet une perpendiculaire sur le côté opposé, on voit faci- 



272 COMBEBIAC 

leineiit qu il sufllt de démontrer que la perpendiculaire est plus 
courte que les obliques. 

Si l'on mène à une droite A une perpendiculaire issue dun 
point extérieur 0, et deux obliques issues du même point et abou- 
tissant à des points équidistants du pied de la perpendiculaire, 
ces obliques seront égales comme côtés homologues de deux 
triangles égaux. 

En outre, si on s'éloigne d une manière continue de la perpen- 
diculaire, les longueurs des obliques varient dans un sens perma- 
nent. Car, sans cela, on rencontrerait deux obliques égales, et 
enjoio-nant le point au milieu de la distance de leur pied, on 
iormerait deux triangles, qui seraient égaux comme ayant leurs 
côtés égaux deux à deux. De l'égalité des angles homologues, il 
résulterait qu'on aurait construit une seconde perpendiculaire, ce 
qui est contraire à un théorème connu. 

Il résulte delà que la longueur de la perpendiculaire est mini- 
mum ou maximum, ou bien que toutes les droites issues du 
point et arrêtées à la droite A sont égales et sont des perpen- 
diculaires à cette dernière. 

Pour décider entre ces trois cas, il est nécessaire de faire inter- 
venir les propriétés particulières des trois Géométries. 

Cette étude étant déjà fort longue, nous laisserons au lecteur 
le soin de terminer la démonstration, en faisant observer toute- 
fois qu'en Géométrie sphérique, il faut préciser que la propriété 
du minimum appartient au plus petit des deux segments déter- 
minés par deux points sur une droite. 

RectilinéaritÉ du rayon llmixelx. — Nous avons vu qu'une 
lione droite peut être déterminée matériellement comme axe de 
rotation d'un corps solide, ou encore au moyen de mesures 
directes de distances, c'est-à-dire, dans les deux méthoih^s, en uti- 
lisant les propriétés des corps solides. 

Pratiquement, on emploie souvent l;i propriété des rayons 
lumineux d'être rectillgnes, et l'on a parfois voulu voir dans cette 
propriété la base de l'idée de ligne droite. 

La rectilinéarité du rayon lumineux est, comme l'observe Ilelm- 
holtz, un f;iit physiquement démontrable. 

Si un raytui lumineux issu d'un point A passe par un j)oiul B, 



L'ESPACE EST-IL EUCLIDIEN.' 273 

sa rectilinéarité se vérifiera en constatant ([u'il continue à passer 
par ce dernier point. lorsqu'on faittourner autour de la droite AB 
l'appareil solide qui le produit. La ligne droite, dans cette expé- 
rience, est déterminée, ainsi qu'il convient, comme axe de rota- 
tion d'un corj)s solide. 

Au point de vue rationnel, la rectilinéarité d'un ravon lumi- 
neux dans un milieu homogène tient évidemment aux deux pro- 
positions suivantes : 

1° Un milieu est dit homogène, lorsque les propriétés physi- 
ques en nn point de l'espace situé dans le milieu, ne changent 
pas dans tout déplacement sans déformation du milieu; 

2° Les lois physiques sont indépendantes du lieu, c'est-à-dire 
sont invariantes par rapport aux déplacements sans déforma- 
tion. 

A propos de l'homogénéité, nous ferons une observation. 

On dit quelquefois que V espace est homogène. 

Cette façon de s'exprimer est évidemment défectueuse, si l'on 
prend le mot « espace » dans le sens très-restreint où nous avons 
dû l'employer dans une question qui exigeait une précision 
aljsolue des termes. Mais il n'y a pas grand inconvénient, à con- 
dition de ne pas se laisser duper par les mots, à s'exprimer 
comme si les propositions géométriques représentaient les pro- 
priétés d'une entité, qui serait l'espace. 

Dans cette manière de parler, purement métaphorique, l'ho- 
mogénéité de l'espace n'exprime pas une propriété objective, 
mais est seulement une constatation résultant de la définition de 
l'homogénéité. 

L'homogénéité non-euclidienne ne constitue pas évidemment 
la même propriété physique que l'homogénéité euclidienne, et 
c'est une des raisons pour lesquelles nous disions que les prin- 
cipes de la Géométrie ont une portée physique. 

Dans tous les cas, les lignes droites sont les mêmes lignes 
dans les trois Géométries, et c'est pour cela ([u'on ne doit pas 
parler de la ligne droite euclidienne; l'incorrection est du même 
ordre que celle de l'expression : l'espace euclidien. 

Comme l'observe Ilelmholtz, il est probable ([uo, si l'on était 
conduit à modifier certaines lois physiques en raison de faits non- 
euclidiens, le ravon lumineux n'en conserverait pas moins la pro- 



■i-j.l COMBEBIAC 

priété de suivre le plus court chemin et, par suite, dans les 
milieux homogènes (au nouveau sens que prendrait ce mot), de 
parcourir des lignes droites. 



VI 
Qu est-ce que la Géométrie? 

Le présent article allait être terminé, lorsqu'à paru le numéro 
de V Enseii^nejnent mathématique., contenant la lumineuse vue 
d'ensemble de jNI. H. Laurent sur les fondements de la Géométrie. 
Sa lecture me lait ajouter ce paragraphe à un article déjà 
long. 

Il est un point, beaucoup plus psychologique que mathéma- 
tique d'ailleurs, sur lequel des géomètres éminents s'expliquent 
au moyen d'expressions que je ne puis comprendre, c'est celui 
qui est relatif à la nature même de la Géométrie. 

Il s'agit au fond d'une question de mots, notamment des signi- 
fications difl'érentes que l'on peut donner à certaines expressions 
telles que : Géométrie, convention, science expérimentale. 

Suivant M. II. Laurent, la Géométrie serait un langage, un 
système d'analyse ayant pour objet de classet\ coordonner, expli- 
quer les pliénomèmes ohser{>és dans le domaine de la Géométrie, 
cest-h-dire les faits géométriques, par conséquent, choisir entre 
les types possibles de géométries serait u/ie question dénuée de 
se/is. 

On a dit, dans le même courant d'idées, que, parmi les Géo- 
métries, on avait simplement à se préoccuper de choisir la plus 
commode, et encore « que les axiomes de la Géométrie sont des 
conventions ». 

Enfin, nous citerons les deux affirmations contradictoires : 

« Il faut se résigner à faire de la Géométrie une science phy- 
sique et expérimentale (') ». 

« La Géométrie n'est pas une science expérimentale (') ». 



(') II. Laurent. Les principes fondaincntaux de la théorie des inmityres el de la 
Géométrie, Collcclioii Sciciilia, Naud, 1902, Paris. 

(*) H. PoiNCARÉ. .' ur Couiirage de M. Ililbcrt Griiiidtai^^eii iter Géométrie, IJiillc- 
lin (les s<nfcnces mathématiques. i()09., Paris. 



LES/'ACE EST-IL EUCLJDlEy? 27$ 

Pour que la Géouiétric tùl un simple casier de coordination 
pour les laits géométriques (il ne s'agit pas, bien entendu, du 
système d'aualvse ([ui porte le nom Incorrect de Géométrie ana- 
lytique au lieu de s'appeler, comme il conviendrait, analyse géo- 
métrique), il faudrait que ceux-ci existassent en dehors d'elle. 
Or c'est ce qui n'est pas, et la preuve la plus directe, c'est que 
M. H. Laurent, pour qualifier leur domaine, n'a pas trouvé d'autre 
épilhète que le mot « géométrique ». 

Par cela seul que M. II. Laurent sait quels sont les faits qu'il 
qualifie de géométriques, il a déjà fait choix d'une géométrie : en 
particulier, la science de l'égalité euclidienne ne peut pas se con- 
fondre avec celle de l'égalité lobatchewskienne. 

Et d'ailleurs, qu'on essaie de préciser l'idée de la géométrie 
jouant le rôle d un langage par un exemple concret en donnant 
les représentations (?) d'un iait géométrique dans des systèmes 
différents de géométries ! 

La Géométrie euclidienne n'est pas la plus commode (qu'on 
essaie d'exprimer pour quel objet), mais bien celle qui étudie 
des faits d'une catégorie particulière, constitués (comme tout 
fait) par l'association de notions déterminées, parmi lesquelles 
certaines se rapportent à des relations possibles entre les autres ; 
ces notions sont celles de point, ligne, surface, intersection, con- 
tact, droites, plan, etc., sans oublier l'importante notion de 
l'égalité géométrique. 

Ces notions (et il en est, par suite, de même des faits géomé- 
triques) sont précisément caractérisés par la propriété d'être 
indépendantes de tout déplacement sans déformation. 

On voit donc que, en changeant l'idée de déplacement sans 
déformation, ce n'est pas seulement un système d'analyse que 
l'on change, mais bien les faits eux-mêmes qu'il s'agit d'étudier. 

Les axiomes de la Géométrie, c'est-à-dire les propriétés fonda- 
mentales des notions qui constituent l'objet de cette science sont- 
ils conventionnels? 

Si l'on entend exprimer par lii que l'esprit humain est libre de 
construire des édifices logiques sur des bases très dillérentes 
entre elles, c'est une naïveté, applicable à toute science ration- 
nelle : à la Mécanique rationnelle et aux diverses branches de la 
Physique mathématique, par exemple. 



■>.-:6 COMBEUIAC 

Si Ion veut dire que l'on peut arbitrairement changer les 
axiomes de la Géométrie, tout en conservant le nom de cette 
science, j'estime quil n'est pas raisonnable de prendre le mot 
« Géométrie » dans cette acception. 

L'esprit humain ne crée une idée, un mot que poussé par un 
mobile, un intérêt. Supprimer le mobile et conserver le mot est 
absurde, antinaturel. Or 1 intérêt spécial qui caractérise la Géo- 
métrie disparaît si l'on remplace certains axiomes, c'est-à-dire 
certaines notions, par d'autres. 

Au surplus, cju'on essaie d'expliquer d'une manière vraiment 
positive ce que 1 on peut entendre par cette proposition : les 
principes de la Géométrie sont des conventions. 

Il reste h examiner si la Géométrie est une science phvsique, 
une science expérimentale. 

Ce qui nous importe n'est pas de savoir comment on doit s'ex- 
primer sur ce point, mais bien comment on doit classer la Géo- 
métrie parmi les autres sciences. 

Je dis quelle ne se différencie pas, au point de vue qui nous 
occupe, de la Mécanique rationnelle et des diverses branches de 
la Physique mathématique. 

Je m'élève tout d'abord contre la distinction laite souvent entre 
les étJ'es de raison et les objets réels. 

En somme, ce qu'atteint notre connaissance, ce sont toujours, 
des idées, des images : l'idée du corps solide indéformable n'est 
pas moins réelle (?) que celle du corps solide élastique, elle 
appartient à un domaine d'observation moins attentive, voilà 
tout. 

L'Optique élémentaire est tout aussi physique, expérimentale 
— si l'on veut employer ces expressions — que l'Optique de 
Fresnel et celle de Maxwell. 

Le point matériel de la Mécanique rationnelle n'est pas plus un 
être de raison qu'un objet quelconque. 

Les notions qui sont à la base des sciences rationnelles sont 
soumises aux mêmes lois de lormation que celles de nos notions 
<jue nous qualitierions le plus volontiers de réelles — si ce mol 
pouvait avoir un sens dans l'espèce. Elles ne résultent pas d'une 
opération d'abstraction, elles sont simplement le résultat du pre- 
mier regard maladroit encore (pie nous jetons sur la nature, et 



LE SI' .{(!•: EST -IL EICLIDIEN'! 277 

elles constituent les matériiiiix avec lesquels notre esprit coiistiiiil 
les idées compliquées <|ui devront s accorder avec des expériences 
plus précises. 

Cela admis, on ne voit pas en quoi la théorie de l'égalité des 
longueurs, des surfaces et des volumes indéformables est d'une 
autre nature que la théorie élémentaire des actions électriques, 
rOptique élémentaire ou toute autre science déductive ayant 
des principes provenant directement ou indirectement de l'expé- 
rience. 

Knfin la Gométrie reste justiciable de l'expérience. 

La mesure des objets sensiblement indélormables a sullisam- 
ment intéressé l'humanité pour donner lieu à la science impor- 
tante qu'est la Géométrie élémentaire et il est très remarquable 
que les lois relativement récentes de la Mécanique et de la Phy- 
sique soient intimement liées à l'idée du déplacement sans défor- 
mation, laquelle intervient dans cCs lois par la distance, repré- 
sentant numérique de cette idée comme étant le seul invariant 
indépendant relatif au groupe des déplacements. 

Il ne saurait être indifférent, au point de vue des conséquences 
phvsiques, que la distance qui figure dans les lois de la Dyna- 
mique ou dans l'expression de l'énergie potentielle due à des 
forces cosmiques, électriques, électrodynamiques, etc., soiteucli- 
dienne ou non-euclidienne. 

Or l'unité de plus en plus probable de la conception que l'hu- 
manité est appelée ii se faire de la Nature nous lait penser que 
des modifications fondamentales dans laMécanique entraîneraient 
des modifications concordantes dans la Géométrie. 

A vrai dire, une hypothèse reste à envisager, c'est celle suivant 
laquelle le rôle essentiel joué par la mesure des distances dans 
la plupart des branches de la science résulterait d'un phénomène 
purement subjectif, c'est-à-dire que l'esprit humain, hypnotisé 
par ridée du corps solide, en aurait fait l'élément de toute son 
analyse de la nature et le repère auquel il rapporte toutes les 
modifications d'ordre niécani([ne 

Mais alors on devrait pouvoir, par de simples définitions de 
mots, déduire rationnellement de nos conceptions géométriques 
les notions et les lois fondamentales de la Mécanique, qui d'ab- 
solues deviendraient relatives, j'entends anthropomorphiques. 



■i-S COMBE BIAC 

Notre cei'veau, libéré de sa polarisation vers l'idée d indélorma- 
bilité, pourrait alors établir une Mécanique qui conserverait sans 
doute les notions de point et de position, mais qui ne serait pas 
liée à ridée exclusive de distance. 

Pure hypothèse d'ailleurs, que nencourage guère l'insuccès 
des tentatives faites jusqu'ici pour réduire à un clair assemblage 
ce svstème à liaisons surabondantes que constituent les principes 
de la Mécanique, hypothèse très séduisante pour l'analyste en ce 
qu'elle réduirait le nombre des principes échappant à la pure 
logique, encore plus séduisante pour le philosophe positif, qui 
verrait ainsi se dissiper une bonne partie du caractère mystérieux 
présenté par certaines lois fondamentales de la ^lécanique et de 
la Physique, pour lesquelles aucune explication ne se présente à 
notre esprit. 

G. CoMBEBiAc (Limoges.) 



PHILOLOGUES ET PSYCHOLOGUES 
EN FACE DU PROBLÈME DES PARALLÈLES {') 



PREMIERE PARTIE 
Contributions philologiques à l'étude des parallèles. 

Les parallèles n'ont pas été ainsi nommées parce qu'elles sont 
incapables de se rencontrer, si loin qu'on les prolonge. Leur 
nom, et du même coup leur définition, indiquent qu'elles ton! 
avec une transversale des angles alternes égaux. On en déduit 
l'égalité ou la supplémentarité des autres angles. 

On considère comme cas particulier les 2 droites perpendicu- 
laires à une troisième. 

Une lois ces déductions prochaines établies, on passe de l'hy- 
pothèse à la construction effective, en remarquant précisément 
la différence entre les parallèles définies par la non-rencontre 
et les parallèles définies par le sens étymologique pur et direct. 
Deux segments rectilignes qui se coupent par le milieu donnent 
la clef de la construction cherchée, de sorte que les deux paral- 
lèles se trouvent d'emblée obtenues, sans postuler la translorma- 
tlon progressive des droites sécantes ou non sécantes (cela est 
très important.) En vertu de l'axiome ([ui déclai-e que dcn.v droifes 



(') Sous ce lilrc, nolfe disliiigm- <-oll;ib()riitciir M. R;iuul Baron nous avait pré- 
senté uu manuscrit un peu trop étendu pour pouvoir trouver place utilement dans 
L' Enseigiiernenl Mathématique. Sur la prière de la Rédaction, il l'a réduit, peui-ètre 
en y mettant cette fois un peu trop de réserve. Malgré celle brièveté, les Ici-leurs 
seront assurément intéressés par la thèse de l'auteur; elle est nouvelle, originale, 
et à notre avis d'une profonde justesse. 

Note de i.a Rédaction. 



•28o R. BAIiOX 

ne peuvent se couper quen un point, on démontre que les paral- 
lèles ne se rencontrent nulle part, puisqu'elles se rencontreraient 
en deux points symétriques, après une demi- rotation du système 
autour du point médian de la transversale incluse. 

C'est une erreur historique que de prendre comme théorème 
fondamental celui-ci: « Quand deux droites sont parallèles, elles 
font avec une transversale des angles alternes égaux, etc.. » Et 
Ton souligne l'erreur en disant : « Réciproquement , si deux 
droites font avec une transversale des angles. .. ces droites sont 
parallèles ». — C'est cela au contraire qui est le point de départ, 
et qui se démontre immédiatement sans postulat. Le desideratum 
euclidien gît en ceci, savoir : que l'on peut conclure du parallé- 
lisme à la non rencontre, tandis que l'on ne peut pas se donner 
// priori des droites non-sécantes pour en conclure ii leur paral- 
lélisme (étymologiquement parlant. 

La linguistique ne se borne pas it des réiormes. Elle condamne 
encore la dénaturation du mot as>//ii[)tote et l'hypothèse gratuite 
de deu.v droites se rencontrant à l infini sans se couper. Il y a dans 
tout ce langage un parti pris d'embrouiller les questions ! Ety- 
mologiquement, deux lignes sont <( asvmptotes », lorsqu'elles 
ne tombent pas l'une sur l'autre. Asvmptote est composé de 
si/mptote et de a privatif. Le prétendu postulatum d'RucHde, en 
réalité son desideratum^ consiste à savoir si la parallèle propre 
jouit du monopole de rasvmj)totisme propre. En d autres 
termes : « Par un point pris en dehors d'une droite, on ne peut 
mener i\n une parallèle » ; mais il n'est pas prouvé du même 
coup que la parallèle dérangée de sa position unicjue (v/ rencon- 
trer l'autre droite. 

Réservant pour la partie philosophique ce second point, je me 
borne à chercher comment nous pourrions exprimci' le Likl' de 
la première rencontre, entre deux droites ([ul tout d'aliord ne se 
rencontraient pas ? 

Pouvons - n(»us supposer avec Lobalschedskv (pie. entre la 
sécante et la non sécante, il v a une position limite commune (|ui 
est une simple rencftnirc, ou n;i asvmptotisinc intermédiaire 



l'Ill LOLOGI ES El rSYCIIULOGLES 281 

entre couper et ne pas couper une droite .' — Mais cmi cela a- 
t-il lieu ? — A l'infini .' mais TIxi im n est pas un i.iel' et à t infini 
n'est pas une locution adverbiale de lieu î 

Dira-t-on, avec certain apùtre de la néo-géométrie, « que deux 
droites qui se rencontrent au bord du plan, se rencontrent pré- 
cisément à Finfini, sans se couper ? » Mais le plan n'a pas de 
bord. — Reprenons la preuve à rebours et voyons comment deux 
droites sécantes pourraient devenir non sécantes en passant pai* 
une position limite commune entre les deux états. 

Par une incorrection nouvelle les non-euclidiens diront que 
l'on chasse le point de rencontre à V infini et qu'il s'évanouit en 
cet endroit ? ? :' 

Le grammairien analyste ne peut tolérer ce puéril jeu de 
mots: « Vous chassez un point à l'infini... » Cela signifie que 
vous répétez indéfiniment l'opération qui consiste a faire reculer 
le point de rencontre. Le plan étant illimité, \olre processus est 
éternel et vous n'aboutissez jamais à acculer le point dans ses 
derniers retranchements. L expression « à l'infini » est un adverbe 
de manière ou de temps, mais non un adverbe de lieu, ainsi que 
je le disais plus haut. 

Somme toute : une sécante ne devient pas non sécante, dans 
un endroit défini, ni à un endroit défini. — C'est une looomachie 
abusive ! La mathématique ainsi conçue loin d'être une langue 
bien faite, aurait pour véhicule l'argot le plus inintelligible. — 
Voilà ce que disent les philologues. 

Le philologue enfin pourrait ajouter, mais à titre d'idée direc- 
trice seulement, que le mot parallélogramme n'est pas autre 
chose qu'une réduction abrégée de « diagramme des parallèles ». 
— En tous cas, ce qui est certain et fécond, c'est que le paral- 
lélogramme étant défini et construit par le moyen de deux ser- 
ments rectilignes qui se coupent par le milieu, on en déduit 
toutes les propriétés de cette figure sans avoir recours à aucun 
postulat. Suivant que les diagonales sont égales ou inégales, 
obliques ou perpendiculaires, et en combinant ces cas entre eux, 
on a de quoi définir le rectangle, le losange et le carré d'une 
façon admirablement générale, même sur des surfaces non 
planes. 



iS-i R. IIAHOA 

DEUXIÈME PARTIE 
Contributions psychologiques à l'étude des parallèles. 

Les astronomes ont découvert et fait admettre Véfji/ation ])er- 
sonnelle. — Les géomètres auraient pu les devancer de bien des 
siècles, si toutefois la géométrie est antérieure h l'astronomie. 
L'intuition géométrique n'est déjà pas identique ponr tout le 
monde. — Le raisonnement géométrique, la preuve géométrique 
ne signifient rien, en général, c'est-à-dire abstraction faite de la 
culture intellectuelle des gens et de leur tournure personnelle 
d'esprit. Cela est la revanche des non-euclidiens : mauvais ter- 
minologistes, mauvais logiciens, ils se relèvent aux yeux de tous 
par le côté empirique et le relati^'isme de leur Psychologie. — 
Mais c'est tout, ou plutôt non, ce n'est pas tout ! Si les Eucli- 
diens eussent tenu la main aux définitions exactes et bien serrées, 
jamais leurs adversaires n'auraient osé mettre en avant la notion 
de « deux droites se rencontrant sous un angle nul! ». 

(]eci d'ailleurs sera une transition entre la philologie et la psy- 
chologie : qu'est-ce qu'un Ancle ? 

Il y a, ce me semble, un vestige de la négligence ici dénoncée, 
lorsque nous cherchons à comprendre ce que les gens veulent 
dire en parlant d'un arc de cercle ^ Il y a des arcs de circonfé- 
rence et des secteurs de cercle, mais il ne faut en aucun cas con- 
fondre l'angle biradial avec Tangle-espace. Le psychologue 
accuse hautement cette amphibologie : « L'angle est-il une situa- 
tion relative de deux demi-droites, ou bien une portion définie 
de l'espace plan absolu? » — Répondez. Et comme personne ne 
consent h répondre franchement, le psychologue continue sa 
grêle de questions : 

1° Que voulez-vous dire en annonçant (pie deux angles adja- 
cents égalent deux droits? 

2° Qu'est-ce que ces deux angles adjacents dont les côtés di.s- 
tincts sont en ligne droite ? 

3° Qu'est-ce que cette somme des angles autour d'un sommet 
commun et égale à ([ualre di-oits? 



l'iii i.o LOGiics Kl rsyciiot.ooiEs ^81 

4° Qu'est-ce enfin et surtout (!j ([ue V espace-bande compris 
entre deux parallèles ? 

Et, comme personne encore ne veut se compromettre là-des- 
sus, nous dirons ceci: 

1° L'espace-bande compris entre deux parallèles n'est point 
un angle nul, c'est un incomparakle ii la façon dont Leibniz a 
cherché ses infiniment petits. 

2° Une bande-espace est double ou triple d une autre, comme 
la difTérentielle [dy] est double ou triple de l'accroissement uni- 
taire et étalon (f/j) . 

3° Une bande, si large qu'elle soit, ne peut en se répétant 
devenir une partie aliqnote de l'espace plan. 

4° Aucun angle-espace, dans le sens véritable, ne peut rester 
contenu dans une bande. (Bertrand de Genève). 

Nous voici au cœur du sujet psychologique. (Théorie de la 
connaissance). On peut faire de la géométrie bidimensionnelle 
sur trois faces principales, ayant avant tout cette propriété, 
savoir : « Que l'on transportera les figures, d'un endroit en un 
autre, sans plissement ». (Je traduis une phrase de Gauss). 
L'axiome des axiomes est donc celui-ci : <( Transportabilité et 
supei-posabilité des figures ». — C'est le principe majeur de la 
technicité géométrique . 

Le psychologue est enchanté devoir cette hiérarchie introduite 
dans les vieux axiomes jaloux les uns des autres, oligarchistes 
et faussement démocrates ! Il est certain que les axiomes ne se 
valent pas... [apodictiquement parlant). — Ce serait trop facile ! 

L'Euclidien comprendra que sa géométrie n'est iii plus ni 
moins vraie que les autres géométries... mais qu'elle est plus 
commode ! (Poincaré). 

L'Euclidien admettra même, en y mettant un peu de bonne 
volonté, que sa géométrie esl plane, c'esl-à-dire plate, liomaloï- 
dale, bourgeoise, opportuniste, tempérée, comme une foule im- 
mense de choses en ce bas mode ! — Psvcholooiauement lEu- 

•1 o 1 

CLiDiAMSME est eucorc conforme h son étymologie, c'est la bonnk 
CLEF pour ouvrir les serrures moyennes, sans aucune ironie ! — 
Mais il pourrait très bien se faire que le nom d' « iMiclide » fût 
symbolique en tout cela ? 



uS.i li. liAiiuy 

A ce point de vue : Eucliclianisme = Transigeance = Succès! 
Revenons h la géométrie pure. 

Il y a cerlaineinent une surface sur laquelle la géométrie 
euclidienne est fraie. — Cela sulïlt au psychologue. Si Ton veut 
que cette surface se nomme « Ilorisphëre », nous la nommerons 
ainsi afin d'apaiser les passions. Et puis après ? 

THÉORiiME, — Par un point P pris en dehors d'une droite et 
par rapport h une transversale donnée, on peut mener autant de 
parallèles ((u'on sait géométriquement en construire, c'est-à-dire 
une seule. Nous y insistons h dessein : une seule : 

i"^ Si le point P est pris sur la transversale même, l'unicité de 
la parallèle est évidente, puisque toute autre droite ne ferait pas 
les angles voulus au point P avec la transversale donnée. 

2° Si le point P est à la fois en dehors de la droite et de la 
transversale, il faut démontrer que du point P on ne peut mener 
à la transversale (\i\une droite faisant un angle défini en gran- 
deur et en direction. — Or, cette démonstration est facile. 

Théorème. — Par un point pris en dehors d'une droite, on 
peut mener autant de droites asymptotes que l'on sait en 
construire, c'est-à-dire une seule. 

Et en eflTet ce n'est là qu'un corollaire du théorème précédent, 
si l'on veut bien se rappeler que la parallèle est la seule droite 
asymptote, dans le sens propre des termes. 

Mais le philosophe fera remarquer que si la seule droite 
asvmptote que nous sachions construire est une parallèle, rien 
ne prouve qu'il n'y ait pas d'autres droites non parallèles et 
pourtant asymptotes dont la construction nous échappe? 

J'avoue que cette dialectique donne envie de jeter par terre 
toute la géométrie et même toute géométrie ! — Exemple. 

1° Par un point pris sur une droite on peut élever une perpen- 
diculaire, ou. plusieurs ou pas du iout. 

2" Par un point pris en dehors d'une droite on peut abaisser 
une perpendiculaire, ou plusieurs ou aucune. 

Le géomètre se révolte aussitôt et demande au nom de ([ucl 
absurde libéralisme on détruit l'unicité ou la réaiilc même de la 
perpendiculaire ? 



PHILOIAJGUFS ET PSYCHOLOGUES 285 

Ce libéralisme n'est pourtant pas si absurde que cela, attendu 
que notre procédé pour élever une perpendiculaire est issu de la 
croyance que l'espace plan est exactement divisible en deux moi- 
tiés et chacune d'elles encore en deux moitiés. I^orsqu'on disait 
jadis, pour établir la possibilité de la quadrature du cercle, qu un 
carré inscrit, grandissant jusqu'à devenir un carré circonscrit, 
devait à un moment critique passer tout juste par une aire égale 
à celle du cercle, on oubliait que cette croissance continue est 
une superstition ; et ([uc en réalité, l'aire croissante du carré 
saute par-dessus la valeur incommensurable de l'aire circulaire. 
L'instant précédent donne un carré encore trop petit, l'instant 
suivant donne un carré déjà trop grand. 

Chacun de nous attribue au principe de continuité des vertus 
diverses. Ainsi, au nom de la continitué absolue on élèvera, je 
suppose, une première perpendiculaire sur une droite. Or, au 
nom de la même continuité, je défie le géomètre d'en élever 
une seconde, à côté. Et voilà pourquoi : votre procédé de cons- 
truction consistant à faire tourner la future perpendiculaire 
autour de son pied, vous ne parviendrez pas à chasser le point 
de rencontre à l'infini (voy. plus haut), vous n'atteindrez pas 
l'angle aigu de parallélisme et encore moins l'angle droit ! Voilà 
où l'on arrive en usant d une dialectique à outrance. La géomé- 
trie finit par être pleine de desiderata. 

Conclusions provisoires. 

La linguistique et la psychologie nous conduisent à déclarer 
incorrecte, dans la forme et dans le fond, toute la théorie des 
parallèles. Il faudrait pouvoir faire abstraction de tout notre 
psittacisme à l'endroit de ce trop fameux chapitre. Au lieu de 
rabâcher aulomaticjuement les mots, les phrases et les para- 
graphes, il taudrait loyalement se demander à quel résullat on 
prétend arriver soit par la raison pure, soit par rintuition empi- 
rique, soit par l'emploi simultané de la logique et des notions 
expérimentales directes. 

l'Si l'on admet notre première rectification, savoir : que deux 
droites coplanaires sont parallèles dès qu'elles font des angles 
définis avec une transversale définie et imposée au constructeur; 

Enseignement math. ly 



-i86 R. liAROy 

2° Si l'on admet que le parallélisme est la seule condition 
actuellement réalisable cVasi/mplotisme ou de non rencontre ; 

3" Si l'on veut bien songer que la constructihilité des figures 
est strictement obligatoire en géométrie propre ; 

4" Si l'on veut bien se souvenir que deux lignes se rencontrant 
sous un angle nul coïncident dans toute leur étendue ; 

Alors on abandonnera sans aucun regret le postulat euclidien, 
pour toujours, et sans vouloir combler le desidei'atum au moyen 
d'une géométrie non euclidienne. 

En revanche, on saura mieux exprimer ce desideratum^ en 
remarquant que, par rapport à une transversale définie, deux 
droites parallèles à une troisième sont parallèles entre elles, 
c'est-à-dire incapables de passer par un même point. Il ne reste 
donc qu'une lacune véritable, savoir : que deux droites pourraient 
être parallèles à une troisième, mais pas par rapport à la même 
transversale. 

Dans ce cas, le démonstrateur (?) essayera de faire pivoter ses 
transversales autour des points milieux de la partie incluse, afin 
de les amener dans le prolongement l'une de l'autre. Bref: il 
ramènera ce cas au précédent et il en déduira « triomphalement » ! 
que par un point P pris en dehors d'une droite on ne peut cons- 
truire qu'une parallèle, par rapport i» une transversale quelconque. 

Cela irait à dire que lorsque deux droites sont parallèles par 
rapport à une transversale, elles le sont encore par rapport à 
toute autre transversale. 

Et maintenant il n'est pas sûr du tout que les non-Euclidiens 
renonceraient à leur système favori, parce que ce système con- 
siste h se passer du critérium de la constructihilité, en fondant de 
toutes pièces une géométrie exempte de contradictions... jus- 
qu'à présent... du moins. Or cet appel à la non-contradiction est 
un hors-d'œuvre dialecticpie. 

Deux hommes tels que Bertrand de Genève et Lobatschcflsky 
sont psychologiquement irréductibles. Leurs grammaires sont 
même incompatibles et je n'ose suivre ]M. Poincaré dans son 
audacieux lexique destiné censément ii traduire les propositions 
du système S en celles du système ï. 



PIIII.OLOGLES ET PSYCHOLOGUES 



■287 



J'aimerais mieux, pour mon compte, démontrer d'emblée que 
la somme des trois angles d'un triangle ne peut être inférieure à 
deux droits fon sait <[ue cette somme ne peut être supérieure à 
deux droits). Je me servirais, toujours à l'usage des gens qui ont 
ma psychologie, de la notion de Taxgle tronqué. 

L'angle tronqué est un espace non fermé et néanmoins déli- 
mité par 3 droites. Par le fait, c'est un angle-espace diminué 
d'un triangle plus ou moins grand. Que 
cet espace triangulaire soit négligeable 
ou non, il est évident que l'angle tronqué 
ne saurait être plus grand que l'angle non 
tronqué dont il dérive. 

Dans de telles conditions, la somme des 
espaces FAD + DACE + ECG ne saurait 
être supérieure à FAD + DBE -{- ECG et il en résulte que la 
somme des angles A-f-B -|- C égale au moins deux angles droits 
(angles-espace). 




Telle est la tournure de mon propre esprit : je ne vois pas la 
faute de logique que je puis commettre en ceci, savoir : « Que la 
somme des angles-espace d'un triangle, n'étant ni supérieure, ni 
inférieure à deux droits, elle est forcément égale à deux droits. » 
Je suis évidemment un vulgaire euclidien, puisque cette preuve 
me suiïît. — ]Mais il est probable que je ne serai pas le seul. 



P. -S. — Il se dégage de tout ce qui précède que les définitions 
fondamentales des angles, des parallèles^ des espaces-bandes, des 
asymptotes en général, et d'une foule d'idées géométriques telles 
que I'angle troxqué, gagneraient beaucoup h un procès impartial 
en revision. 

J'ai négligé de parti pris des questions curieuses sur les cercles 
parallèles de la sphère, les méridiens et la loxodromie, les hélices 
du cylindre et du cône, la spirale logarithmique. 

Ce que je viens d'exposer rapidement doit sufllre pour exciter 
l'attention des géomètres désireux d'appuyer leur science sur la 
double base d'une terminologie impeccable et d'une psychologie 



au contraire très large. 



Raoul Baron (Paris). 



SUR LA NECESSITE DU POSTULAT D'EUGLIDE 



La question du « postulat d'Euclide » semblait élucidée il y a 
vingt ans; l'acceptation totale des idées kantiennes, la considé- 
ration de l'espace comme notion // priori fournissait une expli- 
cation complète. Il est même étonnant que, dès cette époque, 
quelque philosophe n'ait point exprimé cette idée si forte que 
formula depuis M. Poincaré : « Il n y a que des géométries plus 
ou moins commodes. » 

Depuis quelques années, par suite, peut-être, d'un certain 
retour à l'impressionnisme, les polémiques ont repris ; il se 
trouve encore des géomètres — si on peut donner ce nom à tous 
ceux qui s'occupent de géométrie — qui veulent, sinon démon- 
trer le postulat de la parallèle unique, tout au moins lui trouver 
une réalité physique. Leur sentiment est-il absurde ? je ne crois 
pas, et la réponse qui consiste à leur montrer la représentation 
spatiale phvsique comme possible dans un système géométrique 
quelconque est peut-être un peu simpliste. Cet argument ne les 
satisfera pas parce que, malgré tout, ils rapprocheront l'image de la 
nature, et que quelque chose les choquera qui sera pour eux peut- 
être mal défini et à quoi l'on ne saura répondre. Ils délontlront 
leur sentiment, en quoi il est possible ([u'ils aient raison, mais 
par des arguments en général peu satisfaisants. 

Cherchons quel est le point où ils pèchent. 

Le géomètre crée ses postidats par l'observation de certains 
éléments fixes ov\ coordonnés dans l'espace où il agit. Il étend 
ces propriétés à un espace indéfiniment étendu, et leur donne 
ainsi la forme géométrique ; puis il les développe par combi- 
naison, Induction et syllogisme et crée ainsi une science ([u il 
applique à l'espace physique. C'est lii l'emploi rationnel d un 
mode de correspondance bien défini, et l'usage de toute science. 



SUR LA SliCESSITÊ DU POSTULAT D'EUCLIDK 289 

Mais ce qu'on doit se garder de faire, c'est après avoir applitjué 
cette géoinélrie à l'espace, de vouloir faire rentrer 1 espace dans 
cette géométrie, et de ne lui point voir d'existence en dehors. 
• C'est là une des erreurs fréquentes chez les géomètres. Je leur 
dirai en passant qu'ils ne sont point seuls it la faire; il nous arrive 
souvent de prendre nos représentations pour des réalités : je lis 
cette phrase d un géomètre : « Nous ne pouvons imaginer une 
courbe sans tangente ». Avons-nous donc à le faire ? S'il existe 
des fonctions ne présentant point de dérivées, il est probable que 
ces fonctions ne sont point représentables par une courbe gra- 
phique ou que la tangente a de telles courbes si elle existe, n'est 
point représentable par la dérivée. De même, une géométrie doit- 
elle représenter tout l'espace ? Elle a été créée sur un nombre fini 
de postulats ; la réalité n'a aucune raison de n'en point demander 
un nombre indéfini. Pourtant, parmi ces représentations géomé- 
triques, il en est qui nous représentent plus ou moins bien les 
objets extérieurs ; en somme, il v a une géométrie sinon plus 
i'raie, tout au moins plus satisfaisante. Est-ce éducation, ata- 
visme ? il se trouve que cette géométrie est celle d'Euclide. 

Personne n'oserait dire pourtant que le postulat de la parallèle 
ait une réalité ; ni que cette géométrie soit plus simple puisque 
la simplicité n'est point sur ce point définie. Mais on peut dire 
qu elle conduit à des résultats bien en rapport avec les phéno- 
mènes de l'espace ambiant, cela pour la majorité des intelligences. 

Chaque géomètre pourrait former sa géométrie : partant de 
certains postulats, la développer jusqu ii un certain résultat qui 
le surprenne ; particulariser alors ce résultat s'il trouve ainsi 
satislaction et en former un postulat ou bien transformer une 
des notions antérieurement admises. On pourrait dans ce sens 
développer le beau mémoire de M. de Tilly fondé sur la notion 
de distance ; cette méthode suivrait peu le développement didac- 
tique d'Euclide, c'est pourquoi j'en proposerai une autre. 

Nous aurions pour premier ol)jet de créer sur une surface une 
ligne géométrique susceptible de mesure, ligne que nous nom- 
merons droite. On devra alors satisfaire aux 3 postulats suivants : 
1° Le plan est superposable à lui-même par glissements; 2° La 
droite est définie par un point de départ et un point d'arrivée; 
3° La droite est superposable ii elle-même pai" glissements. 



iLjO LUCAS DE PESLOUAN 

De ces trois postulats découlerait la mesure de la droite, puis 
la définition et la mesure de l'angle. On verrait ensuite qu'une 
telle géométrie ne permet pas en général de former deux angles 
adjacents ayant leurs côtés sur une même droite et égaux, c'est- 
à-dire ne permet pas Texistence de la perpendiculaire, ce qui 
nous amènerait alors à créer un quatrième postulat, 

4^* La droite est superposable à elle-même par rotation dans 
le plan autour d'un de ses points. 

Ayant vérifié que ce postulat ne contenait aucun des précé- 
dents, nous continuerons le développement : nous définirons la 
figure symétrique d'une figure donnée (ce qui nous évitera 
d'admettre la rotation du plan autour d'une droite) et les rela- 
tions entre une figure A et la symétrique B' d une figure B, — 
Passant alors au quadrilatère trirectangle, nous démontrerons 
que son angle non droit, aigu ou obtus se conserve pour tout 
quadrilatère du plan, restant positif en diminuant (juand les 
côtés augmentent s'il est aigu, augmentant et toujours inférieur 
à 3 droits s'il est obtus. 

Nous admettrons alors la notion d'aire ; nous ne pouvons en 
général mesurer une aire sans passer par des notions infinitési- 
males, mais nous pouvons connaître l'aire d'un triangle en fonction 
des angles; si cette fonction est linéaire, nous aurons mesuré Taire. 
Toute la mesure de l'aire est basée sur ce lemme : deux (Qua- 
drilatères trirectangles qui ont l'angle non droit et un côté adja- 
cent égaux chacun à chacun sont superposables. 

Ce lemme n'est point vrai si les quatre angles sont droits. On 
démontre pour le cas de l'angle aigu ou obtus ([ue l'aire du qua- 
drilatère trirectangle dangle non droit égal à A est mesurée par 
K (i — A). Il en résulte donc dans les deux cas que l'aire totale du 
plan est finie. C'est là un résultat qui présenté ainsi brusquement 
surprend; si on ne peut point l'admettre, on se trouve amené 
à faire de la géométrie Euclidienne. La géométrie dans l'espace 
ne demandera que l'admission du postulat de libre mouvement. 
Ce qui a été fait a consisté en somme ;i leinplaccr le postulai 
de la parallèle unique par un autre d'allure plus intuitive. On 
eut pu choisir une marche différente et admetlie comme néces- 
saire la similitude. Le (ait de pouvoir cousti iiir»; une image 
r«''duite d'une liuiiie semble un iiiit iiiluitil. Cette i rdiu-liou avec 



SUIi LA NÉCESSITÉ DU POSTULAT D'EUCLIDE 291 

rapport de grandeur constant n'est possible que dans le système 
Euclidien. Il est vrai que l'on peut considérer que cette constance 
du rapport ne soit pas une condition nécessaire dans la possibilité 
d'une représentation réduite. Mais on admettra qu'il faut tout au 
moins que ces rapports ne soient point très écartés les uns des 
autres. Cela se peut-il dans un système de géométrie générale. Il 
y a là un problème d'analyse que je n'ai point résolu. Il se pose 
aisément en considérant les relations de M. de Tilly entre les 10 dis- 
tances de 5 points dans l'espace, soit/(aj, è^,...) = ocette relation, 
elle devient /"(a^ a^ \^ ^'i---) = o. Se peut-il que quelle que soit la 
valeur des Aon n'ait jamais par exemple Aj = 2X2. H semble bien par 
les considérations des surfaces sphériques qu'il n'en soit pas ainsi. 

Quel que soit d'ailleurs le résultat, les géomètres ne sauraient 
y voir un argument en faveur du postulat d'Euclide, La question 
est toute de sentiment. Il ny a pas à savoir si f espace est 
Euclidien, mais seulement si les esprits le sont. 

Cette forme d'esprit me semble d'ailleurs générale parce 
qu'elle se lie à la faiblesse de nos organes sensitifs : nous ne per- 
cevons par la vue que des espaces très restreints, nous ne voyons 
point les grandeurs dès qu'elles dépassent un certain ordre, 
elles n'existent alors que par leur représentation numérique ; les 
effets de perspective et de coloration ne sauraient tenir lieu dun 
chilï're. Au point de vue de leur forme géométrique : ou bien ce 
sont des éléments qui se reproduisent par addition, et alors nous 
les transportons en pensée par glissement les uns à la suite des 
autres. C'est de cette façon que nous imaginons le plan comme 
infini. Ou bien nous imaginons une représentation des objets par 
réduction de rapport, jusqu'à les mettre à même d'être perçus 
par nous. C'est dans ce sens que nous sommes Euclidiens, que 
seule nous satisfait la géométrie d'Euclide. «Qu'importe, disons- 
nous, de savoir que les planètes décrivent une ellipse, si nous 
ne pouvons nous représenter une telle ellipse. » 

Tels sont les arguments que devraient donner les délenseurs 
du postulat d'Euclide ; je ne sais s'ils l'ont fait. Mais ils ont aussi 
voulu s'appuyer sur l'expérience, et en cela, je crois qu'ils ont 
absolument tort. On a déjà vu plus haut, de cette opinion, une 
raison très générale. M. Poincaré en a donné une fort belle à 
laquelle il (autlrait ajouler (juel([ues mots : 



292 LUCAS DE PESLOUAA 

Je crois dabord quil peut y avoir confusion sur le sens du 
mot expérience. Une expérience, dit-on, ne saurait donner un 
résultat absolu, elle ne fournit qu'une approximation. Ceci n'est 
point si le résultat cherché est qualitatif. Bessel a fait cette 
remarque que la définition du plan par la ligne droite n'était pas 
a priori cohérente : il a donc fallu que l'existence du plan fut 
expérimentale. Il est vrai que l'expérience est pour ainsi dire 
intérieure, que l'on n'aurait point l'idée delà matérialiser, parce 
que tout résultat obtenu physiquement ne saurait changer notre 
notion, et même en dépendrait probablement. De même, les rai- 
sonnements faits tout à l'heure sur les figures symétriques à 
l'aide des quatre premiers postulats donnaient une géométrie de 
la sphère. Nous aurions pu les faire en opérant le retournement 
de cette sphère autour d'un de ses grands cercles. C'est lîi un 
procédé qui serait peut-être choquant a priori si le maniement 
des sphères en tissus élastiques ne nous l'avait montré pos- 
sible (^). C'est encore là un résultat expérimental tout à fait absolu. 
Nous pourrions dire que c'est un résultat expérimental a priori. 

On ne saurait raisonner de même au sujet du postulat d'Euclide 
(ou du moins de celui que l'on nomme ainsi) parce que, sous 
quelque forme qu'on le présente, il offre un caractère quantita- 
tif : alors, il est vrai qu'une expérience ne saurait donner un 
résultat absolu par suite de la nature même de l'expérience. 
Mais je crois aussi qu'il existe une autre raison, c'est que l'expé- 
rience ne saurait donner de résultat. La connaissance qu'elle 
amènerait au sujet de l'infinité de l'espace, au sujet de sa forme, 
est trop élevée pour nos esprits. Le fait d'acquérir de telles certi- 
tudes de l'extérieur devrait entraîner dans nos idées cosmogo- 
niques une transformation qui ne saurait être aussi brusque. C'est 
en nous et non en dehors de nous que nous devons trouver la 
raison d'être de tels faits. Peut-être dira-t-on que cette raison 
naît d'une métaphysique bien sentimentale. Je n'en discon- 
viendrai pas. 

Resterait à traiter une question : le rôle donné aux postulats 



(')Il est vrai qiic la superposilion ne so fait pas alors sans (léfoi'inalion. D'ailleurs 
les raisonnements géométriques ne supjiosent pas V indcformabi/ilc mais seulement 
la superposa bi filé. La notion d'indéformable n'entre que dans lu représentation 
graphique du raisonnement. 



SLR LA yKCESSITK DU POSTULAT U'EUCLIDK i^Z 

dans l'enseignement de la géoniéti-ie. Nous n'avons point à voir 
s'il faut enseigner cette science, mais comment on le pourrait 
laire. Faut-il déplorer cette suite de théorèmes du premier et 
du deuxième livre, que les enfants savent par cœur? Jai vu plus 
tard que, dans la plupart des ouvrages secondaires, ils n'avaient 
même point lexcuse de la précision. Je me rappelle aussi com- 
bien d'enfants révèrent la gloire de transformer en théorème ce 
« postulatum d'Euclide, que l'on admet sans démonstration », 
ainsi qu il était écrit en italique. Cela est làcheux ; le seul sys- 
tème serait de ramener ces postulats à des notions intuitives sans 
chercher à les expliciter. Y parviendra-t-on pour le postulat 
d'Euclide? Je n'ai pu parvenir à le faire, et la méthode employée 
plus haut serait mauvaise, car le postulat y agit par négation. 
Telle qu'elle est, je la crois plus satisfaisante que celle qu'on 
m'enseigna. En dehors de toute transformation, je crois la forme 
suivante meilleure que celle que l'on donne habituellement : Le 
postulat suivant : « Le lieu des points équidistants d'une droite est 
une droite » répond a notre expérience journalière, grossièrement 
du moins. Je crois qu'il est plus profitable en ce sens de mas- 
quer aux enfants les fondements de la science; tout au moins est- 
ce aussi honnête que de leur en dire la moitié. Si d'autre part on 
leur ouvrait l'esprit à la géométrie générale, la notion d'un 
espace replié sur lui-même ou seulement d'un plan fermé a la 
façon d'une surface cvlindrique leur semblerait tout à fait bar- 
roque. Il n'v a pour eux qu'une géométrie vraie. 

Dans un cerveau de dix-huit ans les raisons d'agir ainsi dispa- 
raissent et je ne juge point mauvais que l'abord des situations 
dans notre société exige une certaine précision dans les con- 
naissances géométriques. On peut v apprendre au moins ii dill'é- 
rencier parmi des sensations ([ui semblent n avoir pas de lion. 
celles (jui (K'-rivenl d'un même principe, c est là un utile travail 
d'induction. 

Ce qu'il faudrait pouvoir apprendre aussi, ce sont les raisons 
qui amenèrent Euclide à développer ce seul svslème. Répondait- 
il nécessairement ii ce sens admiiable de beauté et d équilibre 
qui, dans l'art, créa une periectlon ? Quelque Helléniste nous le 
dira-t-il ? 

C. LicAs i)F. Pksi.oi'ivn ^Paris]. 



CHRONIQUE 



M. L. Cremona. 

La science mathématique vient de faire une perte immense en la per- 
sonne de l'un des plus illustres géomètres italiens. M. L. Cremona est 
décédé à Rome dans le courant du mois de juin dernier. 

M. Cremona donne 1 exemple d'une brillante carrière. Il restera 
célèbre non seulement par ses travaux scientifiques, mais aussi par les 
hautes fonctions qu il a occupées avec une rare distinction dans rensei- 
gnement supérieur et dans les affaires publiques; il était sénateur et 
fut ministre de llnstructioii publique. 

Né à Pavie en i83o, il débuta dans l'enseignement en qualité de pro- 
fesseur au lycée de Crémone, puis à celui de Milan. Ses travaux dans 
le domaine de la Géométrie ne tardèrent pas à lui faire obtenir une 
chaire universitaire, celle de Géométrie supérieure à l'Université de 
Bologne. Il fut ensuite appelé à Rome pour travailler, en qualité de 
Directeur, à la réorganisation de 1 Ecole d'application des Ingénieurs: 
il fut également professeur à l'Université de Rome. M. Cremona était 
membre de toutes les académies importantes d'Italie; en outre, la plu- 
part des grandes académies de l'étranger lui avaient conféré le titre de 
Membre correspondant. D'autre part nous ne saurions oublier que lors 
de la création de cette Revue, il nous donna son précieux appui moral 
en honorant V Enseignement Matliématiquc de son patronage. 

Les travaux de Cremona se rattachent principalement à la Géométrie 
supérieure, pure et appliquée, et à l'Analyse. Doué d'une remarquable 
habileté dans la Géométrie, il laisse une série de travaux fondamentaux 
d'une grande valeur, notamment dans la Géométrie projeclive et dans 
la théorie des courbes et des sui'faces. Sa carrière scientifique demande 
des études approfondies qui vont sans doute être entreprises de diffé- 
rents côtés; dans cette notice hâtive nous ne pouvons tenir compte des 
nombreux mémoires insérés dans les périodiques nialhématiques; nous 
devons nous borner à signaler les principales monographies. 

I. Introduction à une théorie générale des courbes planes (en italien), 
Bologne, i8(J2, édil. allcm. i8()i. 

■±. Sur les transforuKilions des courbes planes (en italien), Bologne, 
i8()i-r,j. 



( lIHOSiqUF 291 

>. Fréliiiiinair^s d'une théorie géométrique des surfaces (en italienj, 
Bologne, i^&'j; édit. allem., 1870. 

4. Les figures réciproques dans la Statique graphique (en italien), 
1872; édit. Iranç., i885. 

5. Eléments de Géométrie projective, édit. ital. 187^; édit. franc., 
1875; édit., alleui., 1882; édit. angl., 1894. 

6. Eléments de Calcul graphique (en ital.); édit. franc., i87'>. 

Voici donc qu'en quelques années l'Italie perd trois de ses plus 
grands savants Brioschi, Beltra.mi et Cremoxa. Toutefois ce dernier 
a encore pu collaborer à la remarquable publication des « Opère Mate- 
matiche » de ses deux illustres compatriotes. 

H. Fehr. 



N. Bougaiev. 

La Russie vient à son tour de perdre lun de ses plus illustres mathé- 
maticiens, M. Bougaiev, professeur à 1 Université de Moscou. Xé à 
Douchet (Gouvernement de Titlis), en 1837. Nicolas Bougaiev est mort 
le 29 mai (11 juin) 1903 à Moscou. Après avoir suivi les cours de 
l'Université de Moscou et de l'Académie des Ingénieurs à Saint-Pétei's- 
bourg, il fut reçu docteur es sciences mathématiques et nommé profes- 
seur à l'Université de Moscou en 1866. Président de la Société mathé- 
matique de Moscou, depuis 1891, il fut élu en 1897 'ûembre correspon- 
dant de l'Académie Impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg. Sa 
disparition laissera un grand vide, non seulement en Russie, mais dans 
le monde des mathématiques de tous les pays. Comme M. Cremona, 
M. Bougaiev a fait partie du comité de Patronage de L' Enseignement 
Mathématique, qui se trouve donc cruellement frappé par la perte de 
deux de ses plus illustres membres. 

Ses principaux travaux, insérés presque tous dans le Recueil mathé- 
matique de Moscou, ont porté plus particulièrement sur la théorie des 
nombres et l'analyse. Citons d'abord ses deux thèses : « Convergence 
des séries » et u Identités numériques se rattachant aux propriétés du 
symbole E » (thèse de doctorat). Signalons ensuite sa « théorie des 
dérivées numériques » et ses travaux relatifs aux applications de la 
théorie des fonctions elleptiques (Recueil math., t. XI et XIIj. 

On lui doit une série d'articles et d'analyses insérés dans les C. R. de 
l'Académie des Sciences de Paris et dans le Bulletin des Sciences mathé- 
matiques et astronomiques. 

A côté de ses travaux purement mathématiques, Bougaiev s'est aussi 
occupé de questions philosophiques. Mais il ne fut pas seulement un 
savant aux idées larges, il fut également un excellent professeur. Il 
laisse aussi un certain nombre d'ouvrages élémentaires, dont un traité 
d"Ai-ithniéti(iue et un recueil de problèmes d'.Vrillinii'ti(inr. 



296 CHROMO LE 



L. Gegenbauer. 

Le 3 juin 1903 est mort à Vienne un mathématicien de grande valeur, 
M. L. Gegenbauer. Né en 1849, M. Léopold Gegenbauer était profes- 
seur à l'Université de Vienne : il y enseignait plus particulièrement 
certains chapitres de la théorie des fonctions et donnait, ces dernièi'es 
années, le cours général de calcul différentiel et intégral destiné aux 
étudiants en sciences physiques, chimiques et naturelles et aux actuai- 
res. Ses travaux appartiennent principalement à F Algèbre supérieure et 
à l'Analyse. 

M. Gegenbauer dirigeait, avec MM. G. v. EscHERicnet F. Mertexs, 
les yionatshefte fiir Mathematik und Physik. Sa mort préujaturée 
est une perte sérieuse pour ce journal, comme pour la science mathé- 
matique en général. Que nos confrères reçoivent nos plus sincères 
condoléances. 

3'' Congrès international des mathématiciens. 

Nos lecteurs savent que le prochain congrès international des mathé- 
maticiens aura lieu en 1904 i Heidelberg et qn il sera préparé par 
les soins de Y Association des inathcinaticiens allemands. Le comité 
quelle a constitué à cet effet vient d'arrêter, dans ses grandes lignes, 
le programme du Congrès. 

I. — Le Congrès aura lieu du 8 au i3 août 1904- H ^■eva. présidé par 
M. le professeur H. ^VEBER (Strasbourg). Il comprendra six sections 
qui seront présidées comme suit : 

1° Arithmétique et Algèbre : par MM. Kxeser et Luroth ; 

0.° Analyse : par MM. Hilbert et Schwarz; 

3° Géométrie : par M^L Brill, Meyer et Schur; 

40 Mathématiques appliquées : par MM. Hauck, Klein et Uunge ; 

5° Histoire des raathémathiques : par M^L Cantor et Staeckel ; 

6"^ Enseignement : par Schubert et Treutlein. 

En même temps que ce Congrès le Comité organisera la célcbi-alion 
du centenaire de Jacobi. 

II. — Le Comité local se cotnpose provisoirement de MM. les pro- 
fesseurs Cantor et Koni(;sber(;er et de MM. les Conseillers Ellmer, 
Fucus, Kram. et Krieckb 

III. — Finances. Le Gouvernement l)adois a promis son appui iinan- 
cier pour une somme de Mk. 3 000. 

La carte de membre du Congrès sei'a délivrée muyeiiiiant W paiement 
de Mk. jio ; il y aura, en outre, des cartes spéciales, au prix d<; .Mk. id. 
pour les peisoniu's accoinpagnant nii inçiiil)!'e du ('oiigres. 



cil no.MQi i: 297 

La commission des finances se compose de MM. Klein, Schwahz, 
Webek et Ku.vzkr; ce dernier fonctionne en qualité de trésorier du 
Congrès. 

IV. — Prograinmc : Lundi, 8 août 1901; 5 li. soir, séance du Comité; 
8 h. soir, séance de réception. — Mardi, 9 aovlt; lo-i h. première 
séance générale, discours de ^L Kônigsberger ; 4 li-, oiganisalion des 
sections; G h. banquet. — Mercredi 10 août, 9-1 1 et \x-jl h. : séances 
des sections; après-midi et soir, réunion familière libre. — Jeudi 1 1 août, 
lo-i h. ; '2^ séance générale ('2 ou 3 conférences); G h. illumination du 
château. — Vendredi 12 août; 9-11 et ii-i h. séances des sections; 
après-midi et soir, réunion familière libre. — Samedi li août; 9 h. 
séance administrative; lo-i, 3*^ séance générale {'i conférences, clô- 
ture du Congrès). 

Pendant le Congrès il pai'aîtra, tous les matins, un journal du con- 
grès contenant la liste et ladresse des participants et le programme de 
la journée. 

Pour tout ce qui concerne le Congrès, s'adresser à ^L le Professeur 
Docteur A Krazer, /t«r/sr«/ie, 1, B., Westendstr. ^7. 

V. — Expositions. Le Comité a décidé d'organiser à 1 occasion des 
congrès une exposition de modèles mathématiques et une exposition des 
publications mathématiques. iJans les deux on se bornera, le plus pos- 
sible, aux travaux présentés aux cours des dix dernières années. 

Ces expositions seront organisées, lune, par M^L Disteli, v. Dyck 
et Mehmke ; l'autre par ^L>L Gutzmer et Krazer. 

Nous ne pouvons que féliciter le comité de l'excellente résolution de 
ces deux expositions ; nous le faisons avec d'autant plus de plaisir que 
nous avons nous-mêmes été de ceux qui ont proposé l'organisation 
d'une exposition de modèles et instruments mathématiques. Il est à 
désirer que ces expositions restent ouvertes au moins pendant toul 
le mois d'août afin qu'elles puissent être visitées par le plus grand 
nombre possible de professeurs des divers degrés de l'enseignement 
mathématique. 

Congrès internatioiial de Philosophie. 

Sur la demande de la Commission d organisation nommée au Congrès 
de Paris, en 1900, le deuxième Congrès international de Philosophie 
aura lieu à Genève en 190'!, dans la première semaine de septembre, 
sous la présidence d'honneur de M. Krnest Xaville, et sous la prési- 
dence ellective de >L le prolesseur J.-J. Gourd. Les thèmes [iroposés 
à la discussion seront publiés ultérieurement. Toutes les communica- 
tions concernant le Congrès doivent être adressées au secrétaire 
général, M. VA. Claparède, 11, Chanjpel, Genève. 



CORRESPONDANCE 



Sur la formule du binôme. 

Généralement (surtout parmi les élèves) on s imagine qu'il est impos- 
sible d'établir la formule du binôme sans connaître la théorie des com- 
binaisons. Or, ce sont là deux choses tout à fait indépendantes l'une de 
l'autre. En effet, laissant de côté certaine démonstration de la formule 
de Newton, fondée sur la méthode d'induction, et par conséquent peu 
propre à figurer dans un cours — je prétends qu'on peut réussir, avec 
des débutants, en procédant comme il suit. 

Appelons, comme tout le monde, dérivée d'un polynôme entier /(t), 
la limite vers laquelle tend. 

f{.r-}-h)-f{x) 



quand // tend vers zéro, et cherchons, en particulier, la dérivée de 
a'", y. désignant une constante, et >n un entier positif. De l'identité 

a(a;-l-/i)"' — xr'" rr a// [(.r + //)'" - ' + (x + A)'»--\r4- . . . +,r''' - '] 
on déduit 



;) = »i — t 

ocix-{-h'i"' — oL.r'" \^ 
::r y. y i ,r 



_j_/jV»-i- PxP. 



Or, quand // tend vers zéro, chaque terme écrit sous le signe S a la 
même limite,./"'""*; et comme ces termes sont au nombi-e de iti, leur 
somme a pour limite /tu:'" " * . Donc la dérivée cherchée est //iax"' ~ *, 

Ensuite, la dérivée du polynôme /"(.r) étant la somme des dérivées 
de ses termes, on en déduira, 

f'{x) = nioox'"-^ + {m — i) ai.r'«- 2 -f . . . -|- «„, _ , 
et pour les expressions des dérivées suivantes : 

f'(x) = m (m — i)rto,T'" - 2 -f . . . -{- Ml,,, - 2 

/■'"(.r) r= m{m — i) . . . j..i . </„ ; 



( O H R E S l> U iV U A A' CE 299 

Puis : 

/"W = /•(«)+ 7 f'(») + ^J\'A + . . . + -1^ /'"(o). 

En particulier, si f{.i-) est le développement de (a -|- .r)"', ce qui pré- 
cède montre que l'on a, en changeant .r en a-)- ^ : 

f{x) = m {a -\- x)>"- - 1, f'{o)= ma'» - ' 

f'i[x) — in[m — i)(rt -|-,r)"' -^, /""(o) =m(m — i)«"'-2, etc. 

et par conséquent 

/■(.r) = a,n + — a'" - 1 .r + ""^'" ~ '^ a'" - s.r^ + . . . + x»» 

V. Jamet (Marseille). 



A propos d'un article sur le calcul des probabilités. 

Je demande pardon aux lecteurs de la Revue de prolonger devant eux 
un débat qui touche à peine aux mathématiques bien qu'il y soit ques- 
tion de probabilités, assez simple d'ailleurs pour que c-hacun puisse se 
faire une opinion personnelle après quelques minutes de réflexion. Mais 
MM. \ AscHiDE et PiÉRON Semblant induire de notre discussion que la 
fréquentation des formules est un obstacle nécessaire à l'intelligence 
des choses, les mathématiciens ne sauraient m'en vouloir de protester 
doucement contre cet arrêt de déchéance un peu brutal. En défendant 
une dernière fois mon point de vue, je n'aurai pas d'arguments nou- 
veaux à présenter; il suffira de soumettre à un examen attentif ceux 
qui ont été produits de part et d'autre. 

Je laisse de côté le premier point visé dans ma lettre puisque aussi 
bien nous sommes maintenant d'accord et j'arrive de suite à l'argument 
du joueur à rouge et noire. 

Nos auteurs consacrent plusieurs lignes à la délinition, qu'ils jugent 
décisive, du mot série. Une série, c'est, d'après eux, une succession do 
coups d'une même couleur précédés et suivis d un coup de couleur 
différente. Pour être plus ou moins heureuse une délinitit)n n'en est 
pas moins essentiellement arbitraire; elle est quelquefois indiquée par 
cet ensemble d'actions et de réactions qu'exercent les uns sur les 
autres les mots d'une langue et qui constitue son génie, mais elle n'est 
jamais imposée par la raison et son seul objet est de préciser et d'allé- 
ger le langage. A moins que, connue il arrive (pielquefois, le choix d'un 
mot n'ait justement pour but d'égarer la l'aison en lui suggérant cer- 
taines idées préconçues et irraisonnées sur le rôle spécial de l'objet 
dénommé par rapport aux objets analogues non dénommés ; ici, par 



3oo CORRE Sl>0?sUA.\CE 

exemple, dinsinuer que lapparition dune série nombreuse donne sur 
les événements futurs des renseignements qui manquent lorsque la 
série fait défaut. Mais ceci n est qu'un sophisme ; en bonne logique, 
ce n'est pas en discutant sur la légitimité dune convention verbale, que 
j'accepte d'ailleurs comme j'accepterais toute autre, qu'on peut élucider 
n importe quel point de fond, la thèse du joueur par exemple. 

On peut présenter cette thèse sous la forme suivante. Un joueur 
assiste au jeu de rouge et noire et voit sortir une noire et six l'ouges 
de suite. Si à ce moment il entre au jeu il doit mettre sur la noire, car 
les séries de plus de six rouges sont fort peu problables. 

Pour rétorquer l'argument, il ne suffit pas de dire avec mes hono- 
l'ables contradicteurs que la notion de probabilité s'évanouit pour un 
cas unique. L'assertion est contestable ; d ailleurs si l'avantage, bien 
qu aléatoire, existe pour un coup unique, il se manifestera certainement 
lorsqu on répétera 1 épreuve. 11 n'y a donc là ([u un semblant de réfuta- 
tion. 

Voici ma réponse. Toute question de probabilité repose en dernière 
anal3se sur une convention plus ou moins déguisée, parfois si natu- 
relle qu elle passe inaperçue, et relative à lénumération des cas regar- 
dés comme également vraisemblables. Il enti*e ainsi dans la notion 
même de probabilité, en tant que grandeur, un élément irrationnel ne 
relevant que du sens commun. De là résulte qu'à moins d être incohé- 
rente, aucune affirmation sur la probabilité ne peut être qualifiée 
d'impossible ou d absurde ; tout au plus pourra-t-on l'appeler bizarre 
et contraire au bon sens. 

Devant le sens commun le joueur a tort. Si le hasard règle seul 
l'arrivée des couleurs et que, pour éviter toute supercherie, on suppose 
aveugle et sourde la personne chargée de le consulter, il est impossi- 
ble d'imaginer par quel moyen s'exercerait l'influence supposée des 
coups joués sur les coups à jouer et, en réalité, l'apparition d une série 
si prolongée soit-elle ne donne pas le moindre indice sur la couleur qui 
va sortir. La répugnance qu'éprouve un cerveau bien fait à admettre le 
contraire me paraît même empêcher seule nos contradicteurs de se 
l'anger purement et simplement à l'avis du joueur. \\n tout cas si 1 on 
adoptait le point de vuedece dernier, on ne pourrait plus supposer cons- 
tante, connue l'ont fait par inadvertance MM. Vaschide et Piéron p. id, 
la probabilité de l'apparition d une noire cpiels ([ue soient les coups 
déjà joués. 

Dans la supposition invei'se, ([ui est la nôtre, la probabilité de 

chaque couleur est — à chaque coup. D'où résulte par les principes 

du calcul des probabilités, que les séries homogènes sont a priori 
d'autant moins vraisemblables qu'elles sont plus longues. Le seul motif 
invoqué pour démontrer la thèse est justement la rai'eté de ces séries; 
mais on ne peut faire état en faveur de la thèse il une propriété qui est 
une conséquence de la négative. 



COHRESPOyDASCE iOi 

Quant à l'analyse employée par MM. \'aschide et Piéron pour mettre 
en évidence une contradiction inhérente à notre théorie et d'après 
laquelle les séries de 7, 8, y rouges devraient être aussi probables que 
celles de 6, elle n est pas exacte. 

On a déjà joué 7 coups; si l'on amène noire au <S" coup, événement de 

probabilité — , la série sera de six rouges; si c est rouge, événement 

dont la probabilité est aussi — , la série sera de plus de 6 rouges, on 

ne saura de combien au juste qu'en continuant la partie. La probabi- 
lité de faire une série de - rouges sera celle d'amener d abord rouge 

puis noire, on égale à — . De même, la probabilité de faire une série 

4 
de 8 rouges sera celle d'amener deux rouges de suite, puis noire, ou 

égale à -^ . La probabilité de faire une série de 9, 10... rouges sera 

donnée par les nombres , , etc. Ainsi la probabilité de faire 

■ •111- 1,1 I, I 

une série de plus de six rougres est A -[- . . r= — et se 

trouve égale, comme il fallait, à la probabilité d amener rouge au 
8* coup. 

En résumé la thèse et sa négative sont deux affirmations aussi justes 
lune que l'autre au point de vue purement logique. La thèse n'est 
accompagnée d'aucune preuve, la négative seule satisfait cette obscure 
intuition du vrai qui est le bon sens. Le bon sens, il est vrai, peut se 
tromper et doit s'incliner devant les arrêts de l'expérience. Jusqu à 
quel point peut-on parler d'expérience en matière de probabilité et 
quelle est la valeur démonstrative de cette expérience ? C'est là une 
question délicate d'un haut intérêt pratique et philosophique à peine 
abordée dans les traités classiques. En attendant la solution délînitive 
de cette question, à laquelle M^L Vaschide et Piéron nous ont apporté 
une intéressante contribution, il reste au joueur, s il veut faire triom- 
pher son dire, à instituer des essais où 1 on comparera les successions 
de 6 rouges suivies d une noire aux successions de six rouges suivies 
d'une rouge. Je doute fort pour ma part (pie ces dernières soient moins 
fréquentes que les autres. 

C. C.MLLKii (Genève). 



Enseigncnicnl math. 



BIBLIOGRAPHIE 



F. BoHNERT. — Elementare Stéréométrie. — Un vol. cartonné, i83 p.. 
Collection SchuOej-t : prix : !Mk. 2,40; G. -F. Goescheu, Leipzig. 1902. 

]Nous recommandons cet ouvrage à tous ceux qui enseignent la Géométrie 
dans l'Espace . Ils y trouveront, présentés sous une forme à la fois simple 
et claire, un certain nombre de problèmes, qui, malgré leur utilité immé- 
diate, n'ont pas encore reçu, dans l'enseignement secondaire supérieur, la 
place qu'ils méritent. 

L'auteur divise son ouvrage en deux parties. Dans la première, après avoir 
étudié les théorèmes concernant la droite et le plan et qu'il a réunis sous le 
titre de Stéréométrie de position, il passe à l'étude des angles polyèdres, 
puis il examine le calcul du volume des solides géométriques les plus simples 
en se basant sur le principe de Cavalieri. Sont encore étudiés les propriétés 
les plus importantes et les problèmes fondamentau.x concernant la sphère et 
les polyèdres réguliers. 

La seconde partie contient le calcul du volume des solides géométriques 
groupés d'après la classification de Heinze, puis les règles de Si.mpson et de 
GuLDix et leurs applications. L'ouvrage se termine par un court aperçu des 
sections coniques envisagées comme sections planes d'un cône de révo- 
lution. H. F. 

J. BoussiNESQ. — Théorie analytique delà chaleur mise eu harmonie 
avec la thermodynamique et avec la théorie mécanique de la lumière. 
Tome i*'''. Problèmes généraux. — Un vol. gr. in-8'^, XXYII-33'J p. ; prix : 
lo francs ; Gauthicr-Yillars, Paris, igo'i. 

Au début du xix*^ siècle, Fourier, en découvrant la manière de mettre en 
équation les problèmes de la théorie analytique de la clialeur et la méthodi^ 
d'intégration la plus convenable, a fondé 1 une des branches les plus simples 
de la Physique mathématique. 

Fourier et tous ceux qui l'ont suivi ont assimilé la chaleur à une substance 
indestructible sans cesse en mouvement pour passer des corps chauds aux 
corps froids ; et il a encore envisagé les corps solides comme étant com- 
posés d'un nombre immense de molécules, maintenues à d'imperceplibles 
distances et à des températures diverses et qui se céderaient les unes aux 
autres de la chaleur suivant la loi de Newton. C'est l'hypothèse du rayon- 
nement particulaire. Les principes de la théorie mécanique de la chah'ur 
ont montré, au contraire, que la chaleur est de la nature d'un travail; 
c'est donc en partie de l'énergie actuelle, ou cinétique, du mouvement vibia- 
toire invisible des molécules des corps, et en partie de l'énergie potentielle 
développée par les forces en jeu dans ce mouvement. 



lilBLlOGHAPlUE 3o3 

Dans cette nouvelle manière d'envisager la chaleur, chaque molécule, dans 
un instant infiniment petit de son mouvement vibratoire, affectera les phases 
et les vitesses les plus diverses ; la température d'une molécule, qui est 
quelque chose d'indépendant de ces phases, ne peut avoir une valeur dis- 
tincte pour chaque point matériel et il n'est plus possible d'attribuer une 
température propre à chaque molécule ; l'hypothèse du rayonnement parti- 
culaire ne saurait plus subsister. 

M. Boussinesq sest proposé d'exposer, dans un traité, dont le premier 
volume seulement a paru, la théorie de la propagation de la chaleur en se 
fondant sur les principes de la thermodynamique. 

Il faut avant tout préciser la signilicalion de quelques expressions; définir 
le flux de chaleur, la température d'un corps, etc. 

Les molécules des corps sont animées de mouvements visibles quelconques 
et, de plus, soumises à des vifs mouvements vibratoires ii-réguliers, mais 
invisibles, en tant que mouvements, d'amplitude très faibles et de périodes 
extrêmement courtes autour d'une position moyenne. L'énergie d'un petit 
élément de volume, à cause de la non-participation des centres de gravité 
des particules au mouvement invisible, se compose seulement de l'énergie du 
mouvement visible et de lénergie (évaluée en calories) du mouvement invi- 
sible ou calorifique, dite chaleur sensible du corps. Elle pourra se rappor- 
ter à l'unité de volume. 

Envisageons l'énergie potentielle : la partie qui correspond aux actions 
mutuelles, qui s'e.xercent à des distances perceptibles, est constante ; la 
partie qui correspond aux actions moléculaires (énergie potentielle interne) 
s exprime par simple addition des valeurs qu'elle a dans les divers éléments 
de \olume du corps considérés séparé\ient. Elle comprend l'énergie pure- 
ment élastique et celle dépendant de l'agitation calorifique. C est la chaleur 
potentielle, qui jiourra aussi se rapporter à l'unité de volume. 

La somme de la chaleur sensible et de la chaleur potentielle, par unité 
de volume, sera la chaleur totale. 

Le travail élémentaire des forces extérieures comprend le travail des pres- 
sions ou des actions physiques exercées à la surface du corps dans son 
mouvement visible et le travail de ces mêmes actions dans le mouvement 
calorifique. 

Ce dernier est, par définition, le flux de chaleur entré dans le corps par 
les divers éléments de sa surface dans l'instant dt. 

Si les mouvements visibles sont très faibles, l'énergie actuelle ou poten- 
tielle ne comprend à très peu près que la partie calori(i(.[ue. Alors le prin- 
cipe de la conservation de l'énergie nous donnera, eu commun avec l'ancienne 
théorie, les principes fondamenlau.x de 1 égalité entre les flux de chaleur 
qui pénètrent dans le corps par sa surface et l'accroissement de la chaleur 
totale d'un instant à l'autre; et de l'égalité entre la chaleur gagnée par un 
corps à travers une partie quelconque de sa surface et celle perdue par la 
matière extérieure contiguë. 

Mais avant d'en développer les conséquences, ^L Boussinesq veut appro- 
fondir la nature de cette agitation moléculaire invisible et très rapide qui 
constitue la chaleur; pour cela il examine, d'une manière qui n est pas la 
chose la moins originale de son livre, les phénomènes de la ohalour rayon- 
nante et de la lumière dans léther libre. 

Qu'est-ce que l'élhcr, cl cjuellos propriétés devons-nous hil allribuer ? 



3o4 BIBLIOGRAPHIE 

La résistance extrêmement faible que l'éther oppose aux mouvements des 
corps célestes nous oblige à le considérer comme un fluide d'une extrême 
mobilité et d'une densité presque nulle. Lord Kelvin a calculé que la den- 
sité de l'éther n'est pas moindre que lo^-" de celle de l'eau, et peut atteindre 
io~ ** ou un peu plus. 

Mais cette fluidité est-elle conciliable avec la Iransversalité des vibrations 
qui constituent la lumièi-e ou la chaleur, puisque les fluides, doués seule- 
ment de l'élasticité de volume, ne peuvent jias transmettre des vibrations 
transversales comme les solides ? 

L'excessive brièveté des vibrations lumineuses, qui se succèdent de près 
dun quatrillion par seconde, explique l'apparente anomalie. En effet, dès 
qu'un liquide ou un gaz est agité, sa fluidité est détruite ; des pressions 
obliques, comme dans un corps isotrope déformé, s'y développent. Les 
liquides et les gaz, grâce à une évolution imperceptible et appropriée des 
molécules, reforment sans cesse d'eux-mêmes la parité de constitution ; mais 
cela exige un certain temps et cette évolution n'est plus possible lorsque les 
molécules doivent exécuter plus d'un trillion d'imperceptibles vibrations par 
seconde. Donc, pour ces vibrations, l'éther se comporte comme un solide 
isotrope. Mais il y a plus : l'uniformité de la propagation des mouvements 
ondulatoires exige que le milieu où ils se transmettent se comporte comme 
une masse déformablc et continue. On doit encore admettre que les inter- 
valles séparant les molécules d'éther et les distances auxquelles s exercent 
les actions en jeu dans le mouvement vibratoire, se réduisent à des fractions 
extrêmement faibles de la longueur d'ondulation X; sans cela les équations 
aux dérivées partielles de la propagation cesseraient d'être homogènes 
comme le supposent les lois simples de la physique et elles ne seraient non 
plus du second ordre. 

Le phénomène de la dispersion dans tous les milieux où l'éther est par- 
semé de molécules pondérables, prouve au contraire qu'il n'en est pas de 
même de la matière pondérable. 

Dans toute théorie de la dispersion, on doit découper dans les corps 
transparents de petits volumes constitués de même à côté les uns des autres 
et de dimensions comparables à X. Alors les variations des déplacements 
vibratoires sont des différences finies ; leur développement en série de Tay- 
lor introduit dans les équations du mouvement des dérivées d'ordre supé- 
rieur ; les équations ne sont plus homogènes, ce qui entraîne la variabilité 
de la vitesse de propagation avec X, c'est-à-dire la dispersion. 

Donc, malgré l'extrême faiblesse de sa densité, l'éther renferme j)ar unité 
de volume incomparablement plus de particuhïs que n'importe quelle matière 
pondérable. 

Cela exige que nous nous représentions l'éther comme une poussière ato- 
mique de points matériels presque sans masse, assez petits et assez rappro- 
chés pour qu'on puisse le considérer comme un fluide continu. Son action 
sur une molécule pondérable en repos ou en mouvement restera toujours 
peu sensible pour la mouvoir ou pour la retenir; il sera très élastique pour 
1 ('-norme intensité des actions atomiques, à la manière d'un solide isotrop-î: 
il pourra propager les vibrations transversales qui constituent la lumière ou 
la chaleur rayonnante avec une prodigieuse vitesse, grâce à l'extrême fai- 
blesse de sa densité qui le rend presque dépourvu d'inertie; mais il ne pourra 
transmettre des ondes à vibrations longitudinales, surtout si elles sont dam- 



BIBLIOGRAI'IIIE 3o5 

plilude appréciable, comme celles qui constituent le son dans l'air ou dans 
l'eau. 

L'équation qui régit, à une première approximation, la propagation des 
vibrations transversales de l'éther et dont M. Boussinesq donne aussi une 
démonstration directe sans rien emprunter à la théorie de l'élasticité, montre 
a posteriori les propriétés déjà admises. 

Qu'arrivera-t-il lorsque les ondulations lumineuses ou caloriûques pro- 
pagées dans l'éther libre arrivent à la surface d'un corps et pénètrent dans 
ses espaces intermoléculaires ? 

L'hypothèse la plus naturelle est de supposer l'éther où baignent les molé- 
cules des corps solides ayant la même densité et, par suite, la même élasti- 
cité de l'éther libre de même que 1 air ou l'eau ne subissent aucune 
modification appréciable par le fait des poussières qui s'y trouvent dissé- 
minées. Les molécules du corps, énormément plus denses que léther, et 
qu'on pourra considérer comme absolument fixes, opposeront une résistance 
aux vibrations de l'éther lorsqu'il sera animé par une série d'ondes. La résis- 
tance opposée par des corps fixes à un fluide qui les entoure et dont les 
mouvements sont à courte période, se compose de deux parties dont l'une 
est proportionnelle à l'accélération, l'autre à la vitesse du fluide. Si un pro- 
jectile traverse lair ou l'eau, c'est cette seconde partie qui est prépondé- 
rante ; tandis que dans le mouvement d'un pendule de faible longueur, c'est 
la première et sa mise en compte dans l'équation du mouvement ne pro- 
duit qu'un accroissement fictif de la moipse. Pour l'éther, l'accélération 

absolue moyenne est de l'ordre de — —, tandis que la vitesse est de 1 ordre 

de — , si -: est la période du mouvement vibratoire; la résistance est donc 

proportionnelle à l'accélération. Les équations du mouvement ondulatoire 
de l'éther d'un corps isotrope transparent ou diathermane se déduisent aus- 
sitôt, et l'on arrive, comme pour le pendule, à la conclusion que la résistance 
des molécules pondérables portera fictivement la densité p de l'éther à la 
valeur p (i -f- a), et de là se motive, d'une manière toute naturelle, l'hypo- 
thèse de Fresnel des inégales densités de l'éther dans les divers corps trans- 
parents, malgré la constance de son élasticité. La longueur d'ondulation est 
réduite dans le rapport de y'i +a à i, et comme elle est encore très grande 
par rapport aux intervalles moléculaires, ■x ne doit pas être trop grand ; 
c'est une première condition pour la transparence ou diathermanéité d'un 
corps. Une autre condition se trouve en considérant que les molécules pon- 
dérables, dans ces corps, n'ont aucune action mutuelle ; c'est-à-dire que 
chaque molécule se comporte comme si elle était soustraite à l'action des 
autres ; alors la matière pondérable ne reçoit de l'éther que des quantités 
absolument négligeables d'énergie actuelle ou de chaleur sensible ; c'est la 
deuxième condition. 

Si ces deux conditions ne se vérifient pas, le corps acquiert opacité ou 
athermanéité ; le mouvement cesse d'être ondulatoire et devient une agitation 
irrégulière. Les équations du mouvement ne sont plus linéaires, homogènes 
et à coefficients constants ; le fait capital de la composition et do la simple 
superposition des déplacements, leur indépendance mutuelle, cessent d avoir 
lieu. L'agitation calorifique est rebelle à notre analyse. Elle est encore pos- 
sible dans les mêmes hypothèses des corps transparents, c'est-à-dire si le 



3o6 BIBLIOGRAPHIE 

rayon d'activité des actions moléculaires est assez court et les molécules pon- 
dérables assez rapprochées, pour que l'énergie actuelle puisse se communi- 
quer largement à ces molécules sans perdre son caractère ondulatoire. 

L'intensité de cette agitation irrégulière est mesurée par l'énergie vibra- 
toire totale, car on ne peut parler non plus, comme pour le son et la lumière, 
de la hauteur et de la couleur. Voyons si elle produit quelque effet sensible. 

Si dans une particule en repos les molécules viennent à osciller calorifl- 
quement, nous aurons des rapprochements et des écartements entre les molé- 
cules, qui produiront des répulsions et des attractions. Mais les premières, 
qui assurent l'impénétrabilité, sont beaucoup plus intenses que les secondes, 
qui assurent la cohésion ; alors il y aura, sur tout élément plan, un excédent 
des répulsions et une pression notable intérieure qui produira un mouve- 
ment sensible d'e.Kpansion, c est-à-dire une dilatation. Cette dilatation, qui 
donne une mesure de l'intensité de l'énergie, n'est pas aisément mesurable 
dans tous les corps ; on ne pourrait même comparer que les intensités d'un 
même corps sans avoir une échelle unique. La loi physique de 1 équilibre de 
température, par laquelle un corps communique une partie de sa chaleur à 
ceux qui le touchent et qui sont à 1 étal de repos interne, jusqu'à ce que l'agi- 
tation de ceux-ci ait atteint une certaine limite, permet de faire servir un 
seul corps pour établir les degrés d'agitation calorifique des corps. En effet, 
si les deux corps sont de même nature, cette limite, pour le corps primitive- 
ment froid, n'est autre chose que l'état du corps chaud à lélat d'équilibre ; 
alors on pourra comparer les degrés d'agitation de tous les corps de même 
nature avec ceux d'un autre corps choisi à volonté (thermomètre). La loi 
expérimentale que deux corps en équilibre de chaleur avec un troisième, le 
sont entre eux, pourra faire adopter pour tous les corps un même thermo- 
mètre ou une même échelle. Chaque degré de cette échelle est une tempérn- 
ture. 

Dans chaque question le zéro sera déterminé par la température la plus 
importante ; l'excédent u sur celle-là de chaque température effective n'aura 
que des valeurs petites par rapport à la température absolue. Par consé- 
quent la chaleur totale y par unité de volume sera de la forme 

y=: A + C«, 

A étant la valeur de y à la température absolue du zéro choisi ; C la chaleur 
spécifique du corps par unité de volume. La variation de la chaleur totale, 
produite par les changements de température survenus pendant dt, aura pour 
expression 

dt jC -^^ dT^= d l yrfro 

et, en vertu de l'équation des forces vives, elle sera égale au (lux à travers la 
surface du corps. 

Mais pour exprimer le flux en fonction de u, afin d'obtenir l'équation aux 
dérivées partielles de la propagation de la chaleur, encore un pas est à laire. 
Avant tout la proprii'lé que la chaleur totale cédée à un élément de volume 
par la matière environnante égale la somme algébrique des flux qui traver- 
sent SCS diverses faces en venant du dehors, presque évidente dans l'ancienne 
théorie, nest pas moins vraie ; c'est ce que prouve un raisonnement bien 



BIBLIOGRAPHIE 3o7 

Simple. Lorsqu on a un état normal, c est-a-dire si —5 — est lini, la somme 

algébrique des flux de chaleur venus du dehors à travers les diverses faces 
d'un élément de volume, est comme infiniment petite comparativement à leur 
somme arithmétique. C'est le principe de la quasi-neutralisation des flux de 
chaleur. 

Deux applications capitales sont les suivantes : 

La continuit(' des flux, pour unité d'aire, relatifs aux éléments plans qui se 
déplacent dans le corps parallèlement à eux-mêmes. 

L'égalité des flux à travers les deux faces de la couche séparative de deux 
corps ou milieux contigus. 

Dès lors on peut faire les considérations bien connues de Cauchy qui 
introduisent les flux principaux relatifs aux axes coordonnés, le flux maxi- 
mum ou courant de chaleur, etc. 

^L Boussiuesq, en poursuivant les recherches de Lamé et Duhamel, a pu 
obtenir dans la représentation géométrique de la théorie des flu.v, tout en 
restant dans le cas le plus général, beaucoup de simplicité et d'élégance. 

Les composantes des flux suivant les axes sont des fonctions linéaires des 
trois dérivéesjde la température u: on a donc en général neuf coelFicients de 
conductibilité : six indirects et trois directs positifs. Ils se réduisent à trois 
dans les corps à contexture symétrique, et à un seulement dans les corps 
isotropes. Le flux maximum ou courant de chaleur, et le flux qui traverse 
l'élément plan isotherme u = cos t en venant du côté de la normale positive 
(pente de température) ne tiennent pas au choix des axes. Ils donnent lieu à 
considérer deux coeflicients de conductibilité ; l'un suivant le courant. 1 autre 
suivant la pente de température. La représentation de ce dernier se fait par 
1 ellipsoïde principal de Lamé. Pour Içs a.xes de cet ellipsoïde, les six con- 
ductibilités indirectes sont deux à deux égales et de signes contraires. En 
particulier, les milieux où cçs six conductibilités sont égales deux à deux, se 
comportent, au point de vue de la propagation de la chaleur comme s ils 
étaient symétriques. Dans ce cas il existe un potentiel des flux et lellip- 
soïde de Lamé et son i-éciproque suffisent, comme on sait, à la représenta- 
tion de la conductibilité suivant la ligne de pente de température et la ligne 
du courant. Mais les constructions de Lamé ne suffisent plus dans le cas 
d une contexture non symétrique. Alors la considération d'un autre ellipsoïde 
dont les rayons vecteurs représentei>t, par leurs carrés, les conductibilités 
des courants qui ont leur direction (ellipsoïde de conductibilité), permet de 
donner, de la manière la plus élégante, la construction générale des courants 
de chaleur, étant donnée, dans une particule, la disposition des éléments 
plans isothermes, et inversement. Ces constructions se simplifient dans les 
barres, les plaques minces et les cristaux 

On a maintenant tous les éléments pour la recherche, selon les méthodes 
usuelles, des équations de la propagation de la chaleur dans les corps ather- 
manes sans source intérieure ou dans les corps diathermanes. 

L'auteur en effet déduit les équations indéfinies et à la surface dans divers 
cas d'échauffement par rayonnement, par convection, etc. Il abortlo môme la 
question si épineuse de savoir si les équations de la propagation déterminent 
les températures successives, c est-à-dire la question de 1 existence d une 
solution, au point de vue de 1 analyse, dans les problèmes de la théorie 
analytique de la clialeur. L essai de démonstration esquissé par 1 auteur. 



3o8 BIBLIOGRAPHIE 

emprunte nécessairement encoi'c quelque chose à 1 expérience ; mais M. Bous- 
sinesq, très justement, observe que : 

« Nous sommes loin encore de l'époque (si elle arrive jamais) où la Phy- 
sique mathématique pourra ne faire appel à l'observation que pour poser les 
premiers principes de chacune de ses branches et où elle se dispensera de 
baser purement et simplement sur l'expérience, dans ses démonstrations, le 
postidatum de la variation graduelle de toutes les fonctions qu'elle emploie. » 

M. Boussincsq ne veut pas entrer dans le détail des recherches récentes 
de MM. Poincaré, Stekloff et Le Roy. 

En revanche, on peut démontrer rigoureusement l'unité de la solution et 
aussi que tout problème de la théorie de la chaleur se ramène à deux pro- 
blèmes fondamentaux : celui du refroidissement simple et celui des tempéra- 
tures stationnaires. 

Dans le problème général du refroidissement, quelle sera la forme géné- 
rale de l'intégrale ? Si l'on substitue à l'ensemble des corps un nombre très 
grand de points fixes, on obtient un système d'équations linéaires du premier 
ordre, dont la forme de l'intégrale est connue ; alors, par simple induction, 
on est conduit à l'expression générale de la température et qui se compose 
par addition de solutions simples d'une forme connue. C'est bien ce qu il 
faut demander directement aux équations du problème. Dans les corps à con- 
texture symétrique, les solutions simples ne contiennent aucun facteur tri- 
gonoraétrique ou algébrique eut; elles sont donc de la forme e~""u. Ces 
exponentielles sont décroissantes et m satisfait à une équation caractéris- 
tique à racines toutes réelles. La première solution simple correspond à la 
plus petite racine iiIq. M. Picard, dans un cas particulier, a établi que cette 
racine est simple ; c'est ce qui arrive encore dans tous les cas connus ; il ne 
lui correspond donc qu'une seule fonction u. Qu'arrivera-t-il si le temps 
croît au point de rendre e~"'^ très petit? La série formée par les solutions 
simples, se réduira presque au premier terme 



qui conserve un même signe dans toute létendue du système, comme la 
démontré M. Poincaré. 

Ce premier terme exprimera donc la température bien avant qu elle s an- 
nule physiquement. Son mode de distribution aux divers points, exprimé 
par Uq est invariable, indépendant de l'état initial et déterminé uniquement 
par la constitution géométrique et physique du corps. Non seulement, donc, 
l'état final {u = o) est indépendant des irrégularités de l'état initial, mais le 
phénomène s harmonise aussi dans sa marche, au point de se débarrasser 
des inégalités accidentelles durant une longue période dès qu il a atteint ce 
qu'on appelle, suivant Fourier, son état pénultième. 

M, Boussinesq, enfin, n'expose pas seulement des théories générales; il 
les applique aussi au beau problème de Fourier de la tempéi-ature du sol 
terrestre, à l'armille^ à l'étude comparée du refroidissement de la sphère et 
du cube, etc. 

Je ne me flatte pas d'avoir mis en évidence toutes les beautés du livre de 
M. Boussinesq, dans cet exposé nécessairement sommaire. 

M. Boussinesq, dans l'exposé de chaque question, veut être, avant tout, 
physicien : dans les solutions finales, sans de grandes complications de foi- 



llIIiLIOGUAl' IIIE 3o9 

mules, il cherche à lire les grandes lois, suivant le modèle à jamais célèbre 
de l'œuvre immortelle de Fourier. Il essaie d'expliquer la nature intime des 
équations difTérentielles du problème à traiter, il soumet à une discussion 
approfondie toutes les hypothèses et, chose tout à fait capitale, les dévelop- 
pements analytiques lui sont presque toujours suggérés par des considéra- 
tions mécanic[ues ou physiques. 

Ce sont des qualités que nous voudrions trouver dans tous les traités de 
Physique matlnhiiatique et qui rendent très instructive la lecture de l'ouvrage 
si éminemment philosophique de M. Boussinesq. 

R. Marcoloxgo (Messine). 

RoB. Fkicke. — Hauptsàtze der Differential und Integral-Rechnung, 

zusammengcstellt aïs Leitfaden zum Gcbrauch bei Vorlesungen. Dritte 
umgearbeitete Auflage. — Un vol. in-8'^ ; -218 pages ; prix : Mlc. 5 ; Fricdr. 
Yieweg u. Sohn, Braunschweig, igo'i. 

Ce volume contient le résumé des éléments de Calcul différentiel et inté- 
gral indispensables aux techniciens. En le rédigeant, M. Fricke a rendu un 
grand service à une catégorie importante d'étudiants. Nous en voyons la 
preuve dans la rapidité avec laquelle les deux premières éditions ont été 
enlevées . 

Il va de soi que, bien qu'il soit destiné aux élèves des écoles techniques, 
ce volume n'a pas pour but de remplacer un traité. Suivant le but que s'est 
proposé l'auteur, ce résumé est destiné, avant tout, à permettre aux étudiants 
de suivre plus facilement le cours de Calcul différentiel et intégral et à leur 
donner un canevas pour le travail de revision. 

Voici les titres des cinq sections qui constituent ce volume : Introduction. 
Les bases du Calcul différentiel. Application du Calcul différentiel. Bases et 
applications du Calcul intégral. P'onctions de plusieurs variables indépen- 
dantes. Introduction à la théorie des opérations différentielles. Appendice : 
Nombres complexes et fonctions à une variable complexe. H. F. 

Netto (D"^ Eug.) ■ — Lehrbuch der Combinatorik. — Un vol. cart. in-8'^, 

260 p. ; prix : Mk. g. — B.-G. Teubner, Leipzig, 1902. 

Depuis la publication de l'ouvrage d'OETTiNCER, Lehre von den Combina- 
tionen, 1837, il n'avait paru aucune monographie sur ce même sujet. L'ana- 
lyse combinatoire s'est pourtant enrichie d'un grand nombre d importants 
travaux ; de nouveaux problèmes ont été soulevés, tandis que certains pro- 
blèmes anciens ont pu être généralisés. Ces matériau.x, disséminés dans un 
grand nombre de revues, viennent d'être réunis et groupés d'une façon métho- 
dique par M. Netto. Il faut reconnaître que cet ouvrage répond à un réel 
besoin et que nul n'i'tait mieux désigné pour entreprendre un travail aussi 
aride que le savant professeur de Giessen. 

M. Netto présente l'analyse combinatoire comme une science indépen- 
dante ayant à résoudre des problèmes qui lui sont propres. Son exposé 
ne sera pas seulement le bienvenu auprès de ceux cjui s'intéressent spéciale- 
ment à ce domaine, il rendra également de grands services à tous les mathé- 
maticiens, car aujourd hui les notions de lanalyse combinatoire interviennent 
dans les domaines les plus divers. 

L'ouvrage est divisé eu treize chapitres. Le premier traite îles opérations 



3iO BIBLIOGRAPHIE 

combinatoires ordinaires telles qu'on les trouve dans les manuels d'Algèbre; 
on y rencontre cependant quelques problèmes plus généraux, que l'on n'a 
pas coutume de rencontrer dans les ouvrages élémentaires. A ces notions se 
rattachent, dans le deuxième chapitre, le théorème du binôme et ses exten- 
sions dues à Abel et à Burg et le théorème du polynôme. 

Dans le chapitre m, consacré aux comploxions avec ordre limité, sont 
traités un certain nombre de problèmes célèbres tels que le Proteus- Verse, 
corrigé par M. Netto, les problèmes des déterminants de Weyrauch et de 
Longchamps, le problème de M. Cantor-Baur, etc. 

L'auteur présente ensuite (chap. iv) la théorie de l iiis'ersion, à laquelle 
vient se rattacher le théorème de Metzler, et la théurie des séquences, d'a- 
près les travaux de M. Désiré André. 

Les trois chapitres suivants traitent des combinaisons et des arrange- 
ments relatifs à une somme donnée et des propriétés relatives à la décom- 
position d un nombre en m addendes satisfaisant à des conditions données. 
La résolution de ces problèmes repose, en grande partie, sur les travaux de 
Sylvestre : elle donne lieu à une série de beaux théorèmes et exercices qui 
se rattachent plus particulièrement à la théorie des nombres. 

Le problème analogue de la décomposition d'un nombre en m facteurs est 
examiné dans le chapitre suivant ; les développements analytiques auxquels 
il donne lieu fournissent d'intéressants théorèmes et se trouvent appliqués 
aux problèmes de Môbius et de Scherk. • 

L'auteur étudie ensuite (chap. ix) les autres opérations combinatoires ; il 
examine, entre autres, les permutations circulaires, et, dans les problèmes, 
ceux de Catalan et de Schrôder. Puis vient une étude approfondie du pro- 
blème de Steiner et Kirkmann relatif à la formation de groupes de 3 élé- 
ments pris dans n éléments donnés, les groupes étant tels que tout couple de 
deux éléments ligure, et une fois seulement, dans un groupe. 

Dans le chapitre suivant, ^L Nctto jjrésento les principales applications 
de l'analyse combinatoire, puis il groupe, dans le dernier i'hapitr(\ les for- 
mules fondamentales étudiées dans ce livre. 

Dans ce domaine des mathématiques il reste encore bien des problèmes à 
résoudre ; l'auteur en signale un certain nombre en les accompagiumt des 
indications bibliographiques qui permettront au lecteur de s orienter sur 
l'état actuel des recherches. 

E. GvBLUR (Zurich. 



Errata. — M. E. Boktolotti nous signale quelques fautes d'impression 
qui se sont glissées dans son compte rendu bibliograpliique des Leçons sur 
les séries à termes positifs de M. 11. Bokkl (voir le pit'cédent numéro, 

p. 226-2-28). 

Pages 227 ligne 17 au lieu de m- e io~' lire ti>~- e (u~' 

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» I) » 24 » P » P ^-r-n — r 



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BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



American Mathematical Monthly (The), publication mensuelle dirigée 

jiar B.-F. Fi.nkel et J.-M. Colaw. Springfield (U. S. A.). Vol. IX et X. 

Vol. IX. Fasc. II. — L.-E. Dickson : A matrix defined by tlie Quaternion 
Group. — B. Halsted : The length ot the circle. — S. Epsteen ; An elemen- 
tary account of the Picard- A'essiot Theory. — A. Henderson : Two simple 
constructions for fînding the foci, etc.. 

Fasc. 12. — A. Emch : Closed loxodromics of the torus. — G. -A. Miller: 
Ou Bail's History of Mathematics. — J. jQuix.x : A development of the Conic h 
Sections by kinematic methods. — A. He.ndersox : Suite des études du nu- 
méro précédent. 

Vol. X, 1903. Fasc. I. — W.-M. Haskell : On a certain rational cubic 
transformation in space. — - S. Epsteen : Détermination of the group of 
rationality of a linear differential équation. — G.-W. Greenwood : Some 
fallacies in Text-Books on elementary solid Geometry. — H.-L. Coar : 
The volume of the sphère. — G.-R. Dean : Dérivation of formula for- 

tang — in Spherical Trigonomelrv. 

Fasc. 2. — G. -A. Miller : An elementary example of modular Systems. 
— W. Haskell : Generalization of a fundamental theorem in the Geometry 
of the Triangle. — G.-R. Dean : Intégration as a Summation. — FI. Cajori : 
On the chinese origin of the symbol for zéro. — A. Henderson : The Déri- 
vation of the Brianchon configuration from two spatial Poiut-Triads. 

Fasc. 3. — E. Kasner : The group generated by central symmelries, 
with application to polygons. — S. Epsteen : Analog of Sylvestcr's dialytic 
melhod of élimination. — A.-B. Pierce : Suflicient condition that two 
linear homogeneous differential équations shall hâve comraon intégrais. — 
R. Dean : Note on the polar of a point as to a Conic. — \V. \Viliia.mson : 
Computation of logarithms. 

Annals of Mathematics, publiées sous les auspices de la Harvard Univer- 
sity par O. Stone, W.-E. Byeuly, H. -S. White, W.-F". Osgood. F. -S. 
Woods. Cambridge, U. S. A. Publication trimestrielle, gr. in-4''. Secoud 
Séries, Vol. 4, 1902-1903. 

N" 1. — J.-W. BuAusuAw : The logarithm as a direct fuucliou. — 
P. Saurel : On positive quadralic forms. — E.-A. Hook : Multiple points 
on Lissajou's curves in two and three Dimensions. — C. Encberg : A 
spécial quadri-quadric transformation of real points iu a plane. 



3i2 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

Jahrbuch ûber die Fortschritte der Mathematik, begrundet von Carl 
Ohrtm\>n. Im Vereiu mit anderen Mathematikera und unter besonderer 
Mitwirkungder Herren Félix Muller und Albert Wangerin herausgegeben 
von Emil Lampe und Georg Wallenberg. Band 3i, Jahrgang 1900 (in drei 
Heften) ; George Reimer, Berlin, 1901. 

Het't 3. — Mechanik. — Mathematische Physik. — Geodiisie, Astronomie, 
Météorologie. 

Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, in ÎMonats- 
hefteu herausgegeben von A. Gutzmek in lena. — Band 12. 190J ; B.-G. 
Teubner, Leipzig. 

Heft I. — A. GuTZMER : Chrouik der D. M. Y. — Fr. Meyer : Bericht 
liber den Stand der Encyklopiidie d. math. Wiss. — E. Czlber : Ueber einen 
Satz der Fehlertheorie u. seine Anwendung. — G. Kowalewski : Ueber die 
proj. Gruppe der ^N'ormkurve u. eine charakteristische Eigenschaft des Rg. 

— H. LiEBMAXN : Ueber die singularitatenfreie konforme Abbildung ge- 
schlossener Fliichen auf die Kugel. — W. Haskell : Die Darstellung von 
gewissen Resultanten in Determinantenforui. — E. Jahxke : Ferd. Caspary. 

— B. Kagam : Nachtrag zu einem Aufsatz ûber die Postulaten der eukl. 
Géométrie. — j\L Brendel : Das Gauss-Archiv. — Mitteilungen u. Xach- 
richten. 

Heft 2. — H. Schubert : Anzahl-Beziehungen bei Inzidenz u. Koinzidenz 
mehrdimensionaler linealer Riiume. — E. Jahnke ; Ueber eine elem. Théo- 
rie der Thetafunktionen von ein n. zwei Argiimenton. — E, Muller : Zur 
Théorie der lin. Système von Kurven u. Fliichen 1. Grades. — R. v. Ster- 
neck : Ueber ein Anologon zur additiven Zahlentheorie. — R. JMehmke : 
Bemei'kungen zur Geometrographie. — H. Liebmann : Bcrichligung. — 
A. Przeborski : P. Pokrowsky-Mitteil. u. Nachr. 

Heft 3 et 4- — Fk. Mever : Ueber Yerallgemeinerungen von Siitzen uber 
die Kugel, etc. — L. Schlesinger : J. Bolyai. — G. Brodmann : Der intern. 
Katalog der naturw. Literatur. — A. Schonflies : Zur Statistik des math. 
Studiums.— W. Ahrens : Ueber die Aufgaben u. Einrichtungen eines math. 
Adressbuches. — Mitt. u. Nach. 

Heft 5. — J. Lûroth : Ernst Schroder, — K. Geissler : Die geom. Grund- 
vorstellungen u. Grundsiitze u. ihr Zusarnmenhang. — R. Guntsche : Zu 
II. Mehmkes « Bemerkungen zur Geometrographie ». — Mitt. u. >»'achr. 

Journal de mathématiques pures et appliquées, publié par G. Jordan, 

paraissant Irimestrielleiucul. Paris, Gautici-Villars. Série 5, t. VIII, 
1902, et t. IX, igoj. 

Fasc. II. — P.-J. SucHAR : Sur les équations différentielles linéaires de 
second ordre à coefficients algébriques. — A. Zou'kis : Sur l'hexacoryphe 
complet. — H. Poincaré : Sur les cycles des surfaces algébriques. 

Fasc. III. — P. DuiiEM : Sur la stabilité de léquilibre relatif. — G. Piron- 
DiNi : Symétrie tangenliclle par rapport à une surface de révolution. — De 
Séguier ; Sur les équations de certains groupes. — H. Laurent : Sur les 
séries de polynômes. 

Fasc. IV. — Ed. Maillet : Sur les fonctions entières et quasi-entières. — 
M. AuRic : Essai sur la théorie des fractions continues. — L. Desaint : 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 3i3 

Théorèmes généraux sur les points singuliers des fonctions données par une 
série de Taylor. 

Année 1903. — Fasc. i. — P. Appell : Sur quelques fonctions de point 
dans le mouvement d'un fluide. — MM. Beghix et Roi;sse.*^u : Sur les per- 
cussions et les systèmes non holonomes. — P. Appell : Remarques sur les 
systèmes non holonomes. — M. Beghin : Extension du théorème de Carnet 
au cas où certaines liaisons dépendent du temps. — E. Picard : Sur 1 im- 
possibilité de certaines séries de groupes de points sur une courbe algé- 
brique. — G. HuMBERT : Les fonctions abeliennes singulières et les formes 
quadratiques. 

Journal fur die reine und angewandte Mathematik gegrùndet 1826, 
von A.-L. Crelle ; herausgegeben von K. Hensel. G. Reimer. Berlin. 
Band, i25. 1902. 

Heft 1/2. — L.-W. Thomé : Ueber cine Anwcndung der Théorie der 
linearen Differentialgleichungen in der ^ ariations-Piechnung. — L. Schle- 
sixGEK und T. Brodén : Bemerkungen zura Riemannschen Problem. — 
E. Netto : Ueber rs'iihrungswerthe und Kettenbrùche. — E. Land.w : Ueber 
diezu eiuem algebraischen Zahlkorper gehôrige Zetafunction und die Aus- 
dehnung der Tschebyschefscheu Primzahltheorie auf das Problem der Ver- 
theilung der Primideale. » 

Heft III. — A. Kxeser: DieStabilitJit desGleichgewichts hangeuder schwerer 
Fiiden. — W. Stekloff : Sur le développement d'une fonction donnée en 
séries procédant suivant les poljnômes de Tchebicheff et, en particulier, 
suivant les polynômes de Jacobi. 

Heft lY. — H. Abel : Eiu Brief von ?siels Henrik Abcl an Edmund Jacob 
Kùlp. — R. Rothe ; Zur Théorie der DiiTereutial-lnvarianten. — J.-B. 
Gœbel : Die Yerteilung der Electrizitat auf zwei leitenden Kugeln. — 
P. MuTTE : Ueber rationale Funktionen bilinearen Formcn. — H. Juxg : 
Arithmetischen Bev^eis eines Satzcs iiber den Grad der Eliminante zweier 
ganzen Funktionen zweier Veriinderlichen. — G. Frischauf : Ueber das 
Intégral der Differentialgleichung xy" -{- y' -\- xy ^z: o . — F. -G. Teixeira : 
Sur le développement des fonctions doublement périodiques de seconde 
espèce en série trigonométrique. 

Le Matematiche pure ed applicate. Publication dirigée par Cr. Alasia. 

Caslello, s. Lapi. T. II, 1902. 

Septembre-octobre. — F. Severi : Risoluzione descrittiva di alcuni pro- 
blemi spaziali biquadratici. — A. Calegari : I determinanti di specie supe- 
riore. — C. Burali-Forti : Sulle linee funicolari. — G. Tzitzéica : SuUe 
superficie minime ortogonali ad una sfera. — L. Lo Monaco-Aprile : Sopra 
una trasformazione cremoniana del terz'ordine spéciale. — V. Retali : Sopra 
una trasformazione cremoniana del terz' ordine spéciale. — E. Lebox : 3ulla 
identità di due metodi clementari pel calcolo di -. — Alfa : Dimostrazione 
di uua relazione di coudizione negli iutegrali iperellittici . — Questions, 
solutions, biljliographic. 

Novembre-décembre. — A. Calegari : I determinanti di specie superiore. — 
V. Retali ; Sopra una trasformazione cremoniana del lerz'ordiue. — G. Piron- 
DiM : Propriela caratteristiche di alcuuc linee piano a doppia curvatura. — 



3i4 BLLLETiy BIBLIOGRAPHIQUE 

V. Strazzeri : Sul moto di una sfera che si appoggia a due rette che 1 iucon- 
trano. — X. Nielsen : Xote sur la tonction gamma. — Notes et sujets 
divers. 

Janvier. — G. Pirondini : Proprieta caratteristiche di alcune liuee piane a 
doppia curvatura. — D. G.\.mbioli : Nota su alcuni teoremi suUe frazioni con- 
tinue e sulle loro applicazioni. — J. de Vries : Quintiche isodinamiche. — 
Questions diverses. — Problèmes résolus et à résoudre. 

Revue Scientifique, dirigée par J. Héricourt. Publication hebdomadaire. 
Paris. 19, rue des Saint-Pères, 4° série, t. 19. 

28 février. — G. -A. Lais.vnt : Education scientifique et psychologie. 

7 mars. — Ad. Gadot : Ce qu aurait pu être le mètre. 

14 mars. — S. Xewcojib : L'univers comme organisme. 

18 avril. — B. Portier : Carré magique et cabalistique. 

23 mai. — B. Portier ; Cai-ré magique à grille. 

Revue générale des Sciences pures et appliquées, dirigée par Louis 
Olivier. Publication paraissant le i5 et le 3o de chaque mois. Paris. 
Armand Collin. 1903. 

3o janvier. — P. Duhem : L'évolution de la Mécanique : Les diverses 
sortes d explications mécaniques. 

i5 février. — P. Duhe:m : La mécanique analytique. 

28 février. — P. Duhe.m : Les théories mécaniques de la Chaleur et de 
l'Electricité. 

i5 mars. — P. Dlhem : Le retour à latomisme et au cartésianisme. 

3o mars. — ■ P. Duhem : Les fondements de la Thermodynamique. 

i5 avril. — P. Duhem : La Statique générale et la Dynamique générale. 

3o avril. — P. Duhem : Les Branches aberrantes de la ïliermodynaïuique. 

3o mai. — M. W. Fœrster : La Précession des équinoxes, d Hip]jar{[ue à 
Ptolémée et à Kepler. 

Revista de Ciencias; rédacteur en chef, 1". Yii.LAUEAi. : publication men- 
suelle gr. in-8". Lima, Impr. de lEcole des ingénieurs. 5*-' année. 1902. 

Les mathématiques tiennent une place notable dans cette revue. Voir par- 
ticulièrement cette année : F. Yillareal : Cosmogratîa. Senos de orden 
superior. — Cuadrante solar horizontal. — Flexion de las vigas. — Movi- 
miento perpetuo. — Rolacion de la Tierra. 

Revue semestrielle des Publications mathématiques, ntligée sous les 

auspices de la Société mathématique dAmsterdam, par P. -H. Scuoute, 
D.-J. Kortewkg, J.-C. Kluyver, W. Kaptey.n-, P. Zeeman ; t. XL i"' par- 
tie ; 1902, avril-octobi'e ; Delsmau et Nolllienius, Amslcrtlaiu, i()o5. 

En même temps que ce fascicule la Revue semestrielle puljlie Ja Table 
des matières contenues dans les cinq volumes 1898-1902 suivie d une table 
générale par noms d'auteurs. 



BULLETIS BIBLIOGRAPHIQUE 3i5 

Zeitschr. fur das Realschulwesen, herausgcgeben und redigirt voii 
Em. CzuBER, AD. Bkchtel uud Mor. Gloser, XXVIII, Jahrg., 1903 ; Alf. 
Holder, Wien. 

JN'<^ I. — K. Reissenbiîbgeu. Dcr hôhcre Lchrerstand und seine Stellung in 
der gelehrten Welt. 

N** 1. — K. IwRDY : Ein Beitrag zuni krystallogr. Unterrichte in der VII. 
Klasse der ôsterr. Realschulen. 

N" 3. — (Ne contient pas de mathém.). 

X" 4- — J- Obe:skauch : Platons erste ebene Kurve dritter Ordnung. 

j\'^ 5. — VI. MisAK : Vcrsuch einer Zusammenstellung dcr von Sdiiilcrn 
in der Mathematik am liaùHgsten begangenen Fehler. 

X" G. — (Ne contient pas de math.). 

Zeitschrift fur Mathematik undPhysik, begriindet durch O. Schlo.\iilcii, 
gegeuwiirtig iierausgegoben von R.. Meh.mke und C. Piunge, 48'^"" Band ; 
B.-G. Teubner, Leipzig, igoj. 

Heft I. — R. Gans : Ueber Induktionen in rotierenden Leitern. — Rada- 
Kovic : Ueber die Bewegung eines Motors unter Berûcksichtigung der Elas- 
lizitiit seines Fundaments. — L. Matthiessen : Ueber Linsen u. Linsensys- 
terae. — A. Grùnwald : Robert Balls lineare Schraubengebiete. — F. Juag ; 
Zur geom. Beliandlung des Massenausgleiches bei vierkurbeligen Schiflsma- 
schinen. — H. Heiman.n : Die Festigkeit ebener Platten bei konstauter Belas- 
tung. 

Het't 2. — A. Francke : Zeichnerische Ermittelung der Kriifte im Kreis- 
bogentriigcr mit u. ohne iiampfergelenke. — A. Francke : Der Spitzbogen- 
triiger mit Scheitelgelcuk. — R. MOller : Zur théorie der gestreckten 
Koppelkurve. — R.Mijller : Zur Lehre von der Momentanbewegung eines 
starreu ebeaen Systèmes, — R. Muller : Zur Théorie des ebenen Gelenk- 
vierecks. — J. v. Vieth : Ueber Zentralbewegung. — L. Kann : Zur mech. 
Auflosung von Gleichungen. — A. Foppl : Lôsung des Kreisolproblems mit 
Hill'e der Vektoren-Rechnung. — P. Roth : Die Fesligkeitstheorien u. die 
von ilinen abhangigen Formeln des Maschinenbaues. 

Heft 3 et 4- — H. Grass.viann : Die Drehung eines kraftfreien starren 
Korpers um eiuen festen Punkt. — A. Franke : Kontiuiirliche Parabel- 
triiger. — R. Gans : Ueber die nura. Auflosung v. part. DiHereutialgleichun- 
gen. — J. HoRN : Zur Théorie der kl. Schwingungen. — C. Ru.nge : Zerlegung 
il. Zusammensetzung von Dreiiungen auf grapliischen Wege. — C. Runge : 
Zerlegung enipirisch periodisolier Funklionen in Sinuswellen. — O. Die- 
TRicuKEiT : Hôher-stellige Logarithmen-Tafeln. — Tu. Schmidt : Ueber oin 
kiucmatisches Modell. — F. Meisel : Zur théorie des Foucaultschcn Pen- 
delvcrsuches. — 11. Hkima.wn : Beispiel zum Satze von Minimum der Reib- 
ungsarbeit. — A. Klingatsch : Die Bestimmung des kûnstigen Puuktes fiir 
das Rùckwarts-Einschneiden. — Fr. Schilling : Ueber den Pohlkeschen 
Salz. 

Zeitschrift fiir mathematischen und natur-wissenschaftlichen Unter- 

richt begfùutlet iSGij von ti.-C.-V. Hoifmann , luM-ausgogeben von 
D"" H. Schotten, 3.{'"", Jahigang, 1903. B.-G. Teubner, Leipzig et Berlin. 



3i6 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

Heft 2. — H. \yiELEiT>ER ; Ueber die math.-phys. Lehraufgabe u. die 
Ausbildung der Fachlehrer im Kônigreich Bayern. — E. Grimseal : Die 
einfachen. Maschinen, insb. der Hebcl ira Physikunterricht. — Kl. Mit- 
teilungen. 

Heft 3 et 4. — Hertter : Die Kegelschnitte. — J. Jung : Zur Behandlung 
der Yersicherungslehre im Unterricht. — E. Eckhardt : Neue Ableilung u. 
geom. Darstellung voin Kreisumfang u.-inhalt. — Kl. Mitt. 

A. -H. BncHERER. — Elemente der Vektor-Analysis, mit Bcispielen aus 
der theoretischen Pliysik. — Un vol. cart., iu-8 '. 91 p. ; prix : Mk a, 40 ; 
B.-G. Teubner, Leipzig, igoî. 

Mart. Gikndt. — Rauralehre fïir Baugcwerkschulen und verwandte Gewer- 
bliche Lehranstalton. I. Lehi-e von den ehenen Figiiren. — Un vol. cart. 
gr. in-S", 96 p.,. 1^ édition : prix : Mk 2,40 ; B.-G. Teubner, igoS. 

Alf. Gltknecht. — Integrallogarithmus. — Thèse de doctorat présentée 
à 1 Université de Berne, vino broch. iii-8°, 5o p., K.-J. ^^ yss. Berne, igoS. 

C.-H. MuLLER U. Presler. — Leitfaden der Projektions Lehre. Ein 

Uebungsbuch der konstruirendeu Stéréométrie. — Un vol. in-S*^, cartonné 
(Ausgabe A., Mk 4. — ; Ausg. B., Mk 2) ; B.-G. Teulner, Leipzig, igoS. 

Maur. d'Ocagne. — Exposé synthétique des principes fondamentaux 
de la Nomographie. — Un fasc. gr.-in-4*^.. 63 p. avec 3i ligures ; 
prix : 3 fr. 5o : (iauthier-Viliars, Paris, 1903. 

P. Schlee. — Schiilerubungen in der elementaren Astronomie (Heft 1 
der Sammliing natimvissenscliaftlich-jjudagvgischer Abhandliingen). — 
Une broch. gr. in-S*^, i5 p. ; prix : Mk. o,5o; B.-G. Teubner, Leipzig, 
1903. 

W. YoiGT. — Thermodynamik. Band I. Einl. : Thcrmomelrie, Kalori- 
metrie, Warnioleitung. Erstcr Teil : Thermisch-mechauische Umsetzungen 
(Sammlung Schubert t. XXXIX). — Un vol. cartonné iu-8", XY-36o p. : 
prix : Mk. 10; G.-I. Gœschen, l^eipzig. 1903. 

Ern. Wôlfiing. — Mathematischer Bûcherschatz. systematisches Ycr- 
zeichnis der wichtigsten deutschen und ausl;iudisclien Lehrbiicher und 
Monographien des 19. Jahi-hunderts auf dem Gebiete der mat. ^Vissens- 
chaften. I. Teil : Reine Mathematik. mit einer Einleitung : Krilischc 
Uebersicht iiber die bibliogr. Hilfsmittel der Mathematik. — Un vol. relié, 
gr. in-8", XXXYI-416 p. ; prix ; Mk. 14 ; B.-G. Teubner, Leipzig, 1903. 



Le (jcrnnt : C. NAUD. 



E V R E i; X , I M P u I M K K I e DE CHARLES U E R I S S E Y 



A PROPOS D'UN RÉCENT EXPOSÉ DES PRINCIPES 

DE LA GÉOMÉTRIE NON-EUCLIDIENNE 



I . ^ La Géométrie non-euclidienne, descendue des réo-ions 

o 

hyperboréennes où elle semblait confinée, commence, depuis 
({uelques années, à entrer dans le domaine des connaissances 
communes. Tous ceux qui s'occupent actuellement de jNIathéma- 
tiques et de Philosophie savent que, pendant longtemps, on a 
discuté au sujet du principe des iiarallèles et qu'aujourd'hui, à 
côté de la géométrie classique, on considère d'autres géométries 
logiquement compatibles. 

A la diffusion de ces idées parmi les jeunes savants ont con- 
tribué les cours que quelques-uns des plus éminents géomètres 
ont fait dans les Universités italiennes et allemandes et surtout 
les exposés systématiques des recJicrclies sur les fondements de la 
Géométrie, qui ont paru depuis quelques années. 

Ces exposés ont non seulement élargi le domaine de la Géo- 
métrie non-euclidienne, mais ils ont encore contraint les esprits 
bien organisés à suivre les édifices variés et admirables qui ont 
été inspirés par la renaissance scientifique, caractéristique du 
xix" siècle, et à se rendre compte des connexions qui existent 
entre les branches les plus élevées des ^lathématiques et d'inté- 
ressants problèmes de Psycho-physiologie (^). 

C'est pourquoi un exposé rapide, simple, élémentaire des prin- 
cipes delà Géométrie non-euclidienne sera toujours bien accueilli. 



(') La connexion Piilre los Mathémati({n(>s, I;i Philosophie oX les sciences expérimen- 
tales est amplement traitée et disculée d'une façon tout à l'ait nouvelle et personnelle 
dans le récent volume de H. Poincaré : La Science ei /'//i/pofhrse [Ed. Flammarion). 
Dans ce volume sont réunis et coonlonucs dans un but unique, les divers articles 
que l'illustre savant a publiés depuis 1890, dans les revues de Philosophie et de 
Malhémati((U(îs. 

Enseignement math. ai 



3i8 li. BOSOLA 

Mais prenons garde : en se pressant on risquerait d'être obscur 
pour les commençants et la trop grande simplicité peut se 
confondre avec l'inexactitude ! La tâche de celui qui se pro- 
pose d'écrire un petit traité sur les fondements de la Géométrie 
n'est pas aisée, s'il veut tenir compte des exigences scientifiques 
et didactiques, qui semblent souvent inconciliables ! 

2. — Le livre récent de ]\L Barbarix : La Géométrie Jioii- 
enclidienne (') ne répond que partiellement au but auquel il 
semble destiné. L'exposé, réduit souvent au seul énoncé des 
théorèmes, est peut-être trop rapide (-) ; les notices historiques, 
qui en de tels sujets sont d'une importance capitale, présentent 
de notables lacunes ; les observations critiques sur les défini- 
tions et sur les postulats d'Euclide ne sont pas très nettes et 
précises. 

Dans l'exposé schématique des principes, l'auteur indique les 
deux méthodes qu'on peut suivre pour le développement élé- 
mentaire du sujet dont il s'occupe, et montre ensuite comment 
ces méthodes concordent dans les résultats. 

Suivant la première, l'auteur limite ses considérations à une 
région normale de plan, région dans laquelle deux points déter- 
minent sans exception une droite, il discute les trois cas que pré- 
sente le quadrilatère birectangle et isocèle de Saccheri, et il en 
déduit les théorèmes sur la somme des angles d'un triangle. 

Passant ensuite de la région normale au plan complet, il déter- 
mine trois systèmes géométriques, caractérisés par les propriétés 
suivantes : 

SystiiME euclidien. — a) Par ii/i point passe une seule paral- 
lèle^ etc. ; b) Deux droites ne pem'ent enclore une portion de 
plan. 

SystIîme de LoRATsciiEEi-sKi.i. — a) Par un point passent deux 
parallèles, etc.; b) Deux droites ne peuvent enclore u/ie po/tion 
de plan. 



Cl Paris, C. Naud, mjo?,, 79 pages. 

(*) Il est- juste de faire remarquer que ee livre faisant partie de la Collection 
Scicntia, M. Barbariti s'est vu foreé de faire de nombreuses coupures afin de ne 
pus dépasser les 80 pafjes mises à sa disj)Osilion. L\ l\r:D\<:TiON. 



l'RIMll'ES DK LA GKOMÉTRIE .\ O S - E U C L I IJ l F. S .\ E jig 

Sysïkme hiemanmi-n. — vC) Il ?i existe pas de parallèles ; h) Deux 
droites renferment toujours une portion de plan. 

En suivant lu méthode d'Euclide et de LobatschefTskij, et 
rhypothèse que dans le plan entier est valable le principe de 
la détermination unique de la droite passant par doux points, 
l'auteur déduit les théorèmes de Legendre sur la somme des 
angles des triangles (^) et par conséquent les deux premiers 
systèmes rappelés ci-dessus. 

De rhypothèse que deux droites aient plus d un point commun, 
il déduit que la somme en question surpasse deux angles droits, 
et en conséquence il obtient le système de Riemann. 

Ces conclusions et d'autres analogues, qui souvent se rencon- 
trent dans les écrits relatifs à la Géométrie non-euclidienne, ne 
nous semblent pas pleinement justifiables : ils représentent plutôt 
le fruit d une étude insuRisamment profonde des principes de la 
Géométrie, ou, peut-être encore, une tentative, non conforme h 
la nature du sujet, d'éviter certaines diflicultés qu'il vaudrait 
mieux montrer dès le principe. Il nous semble donc opportun 
de mettre en relief tout ce qu'elles contiennent de non rigoureux. 

3. — Limitons-nous ici à la Géométrie élémentaire du plan. 

Deux voies se présentent, ainsi que l'indique M. Barbarin. La 
plus simple, celle d'Euclide, LobatschefTskij, Bolyai, part d'un 
système de postulats valable dans le plan complet, et par elle on 
démontre un premier groupe de propositions; ensuite on retrouve 
les diverses branches qui donnent naissance aux divers svstèmes 
géométriques. Alors, si l'on admet que le postulat relatif à la 
détermination de la droite ne souffre aucune exception, on se 
trouve en présence non seulement des deux types de Géométrie, 
euclidienne et de Lobatscheffskij, comme le supposent M. Bar- 
barin (Cfr. l'ouvrage en question, p. 25) et d'autres auteurs, 
mais encore d'un troisième type qui a été mis en lumière par 
M. Klein dès 1872 et appelée par lui Géométrie elliptique P). 



(') Ces théorèmes, sous une forme un jicu différente, appartiennent à Saccheri ; 
on pourrtiil les appeler tliéorèines de Sacclieri. 

(-) La Géométrie elliptique fut découverte par Cayley en 1839. Elle apparut al<irs 
avec la Géométrie luiperbolique. comme imc généralisation projectivc de la métrique 
ordinaire. M. Klein mit en évidence le lien qui existe entre les métriques projec- 
tiles de Cayley et lu Géométrie de Lobatschefskij et Bolyai. 



320 H. BONOLA 

En Géométrie elliptique, la droite est une ligne fermée et la 
somme des angles d'un triangle est supérieure à deux droits. Il 
s'ensuit que le premier théorème de Legendre sur la somme des 
angles d'un triangle ne se déduit pas seulement du postulat : 
deux droites ne peuvent enclore un espace, comme laUirme 
M. Barbarin, mais de ce postulat combiné avec ceux qui (ont de 
la droite une ligne ouverte. 

On doit rechercher la raison pour laquelle la Géométrie ellip- 
tique paraît être négligée ou inconnue dans la difficulté que le 
plan elliptique présente à la représentation intuitive. 

Celui-ci, contrairement à ce qui arrive pour le plan euclidien 
et pour les deux autres non-euclidiens, n'est pas brisé par ses 
droites en deux feuillets et l'on ne peut y distinguer deux faces. 
Le plan elliptique ne possède donc pas les caractères des sur- 
faces simplement connexes et bilatcres^ que lintuition sépare 
difficilement de la représentation concrète du plan. 

Une forme géométrique qui réalise la connexion et les pro- 
priétés graphiques du plan elliptique, c'est Vêtoile de droites de la 
Géométrie projective, tandis que Vêtoile de raijons[^] de la Géomé- 
trie élémentaire répond aux caractères du plan de Riemann. La 
considération des deux étoiles, l'une à côté de l'autre, éclaircit 
assez bien le lien qui existe entre le plan elliptique et celui de 
Riemann ("). 

Nous pouvons nous imaginer pour cela deux étoiles, l'une de 
droites, l'autre de rayons, avant le même centre. Il est clair 
qu'à toute droite de la première correspondent doux ravons de la 
seconde, que toute figure appartenant à la première est formée 
de deux figures symétriques de la seconde et que, sous certaines 
restrictions, les propriétés métriques des deux formes sont les 



(') IN'ous appelons rayon la demi-droite. 

(*) îs'oiis avons conservé ici le nom j>/(in de Riemann au plan dont parle M. Bar- 
barin. Mais ce nom peut convenir également au plan ellipti(jue. Riemann. dans son 
mémoire, fait de la géométrie infinitésimale, ou mieux de la géométrie dans un 
domaine limité. Il parle, en passant, de l'espace complet dans sa nouvelle géomé- 
trie, mais nous ne savons pas comment il a conçu cet espace par raj)port à sa 
connexion. 11 vandi-ait mieux appeler ifeome'triex ricnianniciincs les deux géométries 
conij)alibles avec l'hypollicse de l'angle obtus cl les distinguer l'une de l'autre j)ar 
les adjectifs ellipti<juc et doublement etliptit/uc . La Géométrie (jue M. Barbarin ol 
d'autres appellent Géométrie de Uiemann, sérail dite Géométrie doublement etliii- 
iiquc. (Cfi'. Ki-Ei.N. Vorlesitnii;en iiber ?\iclil-Knlilidisclie Géométrie. iSy'J.) 



rnixcu'Es dp: la géométrie îsos-euclidienne Zi\ 

mêmes. De telle sorte que, si l'on s'accorde à regarder deux rayons 
opposés de l'étoile de rayons comme formant un seul élément, 
elle s'identifie avec l'étoile elliptique. 

Les mêmes considérations étant valables pour les deux plans 
elliptiques et de Riemann, cela nous montre que le premier 
d'entre eux, à côté de l'autre, doit être conçu comme plan double. 
La courbe de rebroussement du plan double sera reconnue faci- 
lement pour une conique imaginaire. 

4. — I/autre vole qui permet de résoudre le problème des 
fondements est la voie de Riemann, qui limite l'étude des 
propriétés géométriques de l'espace à la région finie, accessible 
aux vérifications expérimentales. 

A une telle méthode se rattache le principe de la région nor- 
male, employé par M. Barbarin dans son exposé. 

Dans la région normale sont valables, sans exception les 
postulats ordinaires de détermination, d'ordre, de congruence 
ou de mouvement, et, en général, toutes les propositions 
indépendantes du principe des parallèles, qu'on peut démontrer 
dans une portion limitée et simplement connexe de plan eucli- 
dien. 

Après la discussion des trois cas auxquels donne lieu le qua- 
drilatère de Saccheri et après avoir complété l'étude des pro- 
priétés les plus notables de la région normale dans les trois 
hvpotlièses de l'angle droit, de l'angle aigu, de l'angle obtus, se 
présente naturellement le passage de la région normale à la 
forme complète à laquelle elle appartient. 

Guidé par l'intuition, on est conduit à admettre <|uo, autour 
de chaque point de la forme, il est possible de circonscrire une 
région normale, où sont valables les propriétés de la région pri- 
mitive. Cela s'appelle affirmer Vho?nogênéitê de la forme. 

Alors, dans le cas où le quadrilatère de Saccheri aurait ses 
deux derniers angles droits, le problème est ramené à la recherche 
de toutes les formes possibles à deux dimensions^ dont les résinons 
normales /ouissent de toutes les propriétés appartenant à une 
région limitée de plan euclidien. 

Le plan d'Ruclide fournit une solution, mais non la seule. 
Le cylindre ordinaire et une certaine ([uadrique réglée de 



Sii R. BO.XOLA 

l'espace elliptique (') répondent aux mêmes conditions requises. 

Le même problème, dans le cas oii serait valable dans la région 
normale Thypothèse de l'angle obtus, admet une solution plus 
simple, parce que, comme l'a démontré Killixg ("), il n'y a que 
le plan elliptique et le plan de Riemann qui soient compatibles 
avec le principe de la région normale. 

Finalement, dans le troisième cas, où l'on admet Ihypothèse de 
l'angle aigu, les choses se compliquent. 

En plus du plan de Lobatschefïskij, diverses catégories de 
formes se présentent, répondant toutes aux deux principes rap- 
pelés ci-dessus : leur détermination se relie a 1 une des plus 
brillantes théories modernes : la théorie des fondions aiitonior- 
phes i^) . 

Ces quelques considérations sur les nouvelles formes spatiales, 
connues sous le nom de formes de Cli fjord- Klein, montrent clai- 
rement la non-équivalence des deux méthodes ébauchées ici pour 
la construction de la Géométrie plane. 

Si l'on veut écarter les formes de ClifTord-Klein, il est néces- 
saire d'introduire un nouveau postulat, que l'on découvre facile- 
ment en comparant entre eux le plan euclidien et le cylindre. En 
effet, sur le plan euclidien, le principe de détermination de la 
droite, postulé pour la région normale, s'étend à toute la forme 
sans exception ; sur le cylindre, au contraire, deux points d'une 
même génératrice appartiennent à autant de droites (géodé- 
sic|ues) que l'on veut. 

En postulant donc, en plus des lois de la région normale et 
d'homogénéité, que le principe de la détermination de la droite, 
d'abord attribué à la région normale, est valable sur la forme 



(')La (iiuulriqiie en question fui découverte jiar Ci.ii-ford {C(v. Pre/imiiiuri/ S/ielck 
OH BiqitaleraiojiH ; Lond. M. S. Proc, IV, p. 'i8i-3<))). On peut lengendrer, dans 
l'espaee elliptique, par la rotation d'une droite autour d'unaxe {i^nuehe.ou encore |)ai' 
la rotation d'un cercle autour de la polaire du (rentre. Par rapport à l<i mobilité 
sur clle-niènie, elle se présente avec les caractères du cylindre de révolution, et 
par rapport à la connexion, avec ceux de la surface annulaire du tore. 

(■) Gfr.Kii.i^iyG. Ueher zwei Rauniformcn mil conslanlcr positiver Kriit)iniiiii<:;. Crrlle, 
LXXXVI, p. 72-83. — Ucher die Cii//'urd-K/ein'sc/ien Uauin/or/iicii, Math. ann. .\xxix. 

(') Le lecteur {|ui désire quelques renseignements pins amph's sur cette (piestion. 
peut lire lr;s ouvrages suivants : Klei.n. Ziir yiclU-Kuklidixchc Gciunclric : .Vlalli. 
Ann., XX.Wil, p. '}!^:^-:■t-■}.. — 1\ilia:<o. Ein/ïihruii^^ in die Grundlui^en dci Géométrie . 
I5d. 1. 



PRINCIPES DE LA GÉOMÉTRIE NOX-E UC LI D I E .\ .\ E 'i'J.'i 

complète, on excluera les formes de CUfJord -Klein et, en outre, le 
plan de liieninnn. 

Les seules lormes compatibles avec le nouveau postulat sont 
donc : 

a) Le plan euclidien ou parabolique ; 

h) Le plan de LobatscheUskij-Bolyai ou hyperboli([ue ; 

c) Le plan de Cayley ou elliptique. 

Et le plan de Riemann ?... Pour celui-ci, l'existence des points 
opposés, par lesquels passent des droites en nombre infini, con- 
tribue à rendre la forme peu apte à représenter le concept 
intuitif du plan ; néanmoins, la possibilité de glisser comme les 
autres sur lui-même par un groupe de co '^ transformations con- 
gruentes, conduit à le considérer en même temps que les précé- 
dents. 

Le système de postulats qui conviennent aux quatre géomé- 
tries en question peut être résumé ainsi : 

a) Principe de la région normale. — ■ Il existe une région 
limitée, simplement connexe, dans laquelle sont valables les pos- 
tulats de détermination, d'ordre, de congruence, etc. 

b) Principe d^ homogénéité. — Autour de chaque point il est 
possible de délimiter une région normale. 

c) Principe du déplacement généralisé. — A tout déplacement 
de la région normale est coordonné un déplacement de la forme 
complète, qui transforme toute figure en une autre congruenle ['). 

Il est manifeste que les quatre géométries en question véri- 
fient le système de postulats a), b), c) ; la réciproc[ue, à savoir 
qu'il n'existe pas d'autres géométries compatibles avec lesdits 
postulats, a été démontrée par Killing (Cfr. ouvrages cités). 

5. — Revenant au livre de ^L Barbarin, il est clair qu'e^n se 
proposant de ne pas préjuger l'existence possible de couples de 
points ne déterminant pas la droite et d'utiliser le concept de 
région normale, l'auteur devait mieux coordonner et mettre en 
relief les divers postulats, réunis par nous dans les principes a) 
h), c). 



(') Le principe <•) poiirrail otrc remplace par un postulai qui seniblc plus g'cné- 
ral : Toutes tes droites sont coiii^nn-itles. Intoi'prélé phvsicpiomcnl. co dernier 
exprime l'isotropie de t espace. 



324 H- nu^OLA 

Le principe de la région normale réunit Tensemble des pro- 
positions élémentaires susceptibles d'une vérification expérimen- 
tale, les deux autres, au contraire, n'expriment pas de résultats 
que l'expérience puisse confirmer : ils expriment plutôt une 
extension que l'intellect donne aux résultats des expériences 
effectuées dans la région normale. 

Nous ajouterons que la solution proposée à la fin du numéro 
précédent s'adapte bien à l'empirisme que professe l'auteur lors- 
qu'il parle de la forme géométrique de l'univers (Cfr., ch. vin). 

L'expérience seule, dit-il, devra indiquer la forme réelle de 
notre espace : les inexactitudes auxquelles sont sujettes toutes 
les vérifications empiriques ne permettent pourtant pas une 
réponse absolue. L'espace par suite pourra être euclidien ou non, 
pourvu que, dans ce dernier cas, le paramètre anverse de la cour- 
bure de Riemann) soit très grand. 

Le choix du concept euclidien pour représenter l'espace phy- 
sique, ne s imposerait donc qu'en vertu du cvitcriuni cV économie. 

Ici se présente spontanément la question psvchologique d'expli- 
quer le sentù?ie/i( de nécessité qui accompagne la lormation des 
concepts géométriques, sentiment qui se justifie mal dans un 
ordre d'idées purement empirique, où les connaissances dues à 
l'expérience semblent susceptibles de modes divers de détermi- 
nation. 

Comment se fait-il donc que, tandis que plusieurs géométries 
physic|ues nous apparaissent logiquement possibles et compati- 
bles, notre intuition demeure enfermée dans une forme fixe 
euclidienne .'... 

La question a été résolue par Kant, qui considère l'intuition 
spatiale comme étant imposée // priori à la structure mentale de 
tout sujet, et qui dénie toute réalité à l'espace. Mais cette der- 
nière affirmation est repoussée par l'empirisme, lequel, partant 
de la réalité objective de l'espace, essaie de reconstruire l'intui- 
tion au moyen des sensations !... 

Pour diminuer le conffit existant entre la doctrine Ivantienne 
et la doctrine emj)irique, le professeur E. iMiricpies, de l'Univer- 
sité de Bologne, a proposé une solution qui repose sur ce concept 
fondamental: Les concepts (point, ligne, surface, etc..) d' oit part 
la Géométrie naissent ])ar association de différents f^roupes de 



PRIX CI pi: s DE LA GÉOMÉTRIE i\ OX-E iC LI U I E M N E 325 

sensations. Ces associations, effectuées suiçanl la, structure logique 
de la pensée, supposent comme conditions logiques les postulats ('). 
Bien que de telles conditions, prises objectivement, ne puis- 
sent être valables qu'avec une certaine approximation, subjecti- 
vement, l'existence des concepts en question, comme objet de la 
pensée exacte, nécessite la validité rigoureuse des postulats. 

Février igoj. 

RoBEHTo BoxoLA (Pavic). 

(Traduit de Filalicn par M. Combcbiae.) 



(•) Gfr. Enriques. Sulla spiegazione psicologica dci postutati délia Geomeiria. 
Rivista Filosofica, hjoi. 



THEORIE DES PARALLELES EUCLIDIENNES 




Pour éviter des répétitions il sera entendu dans ce qui va 
suivre que nous raisonnons sur un même plan. 

Si une droite CD (fig. i) s'éloigne d'une droite AB — c'est-à- 
dire si les perpendiculaires MP, M^P^,.. abaissées des points de 

CD sur AB vont en croissant 
— elle continuera à s'en éloi- 
gner dans le même sens, et à 
s'en rapprocher dans le sens 
contraire, tant quelle n'at- 
teindra pas AB. Rencontrera- 
t-elle AB dans le sens oii elle 
s'en rapproche ? Ce n'est pas 
évident a priori^ car quand 
on se pose cette question, le 
cas des asymptotes se présente aussitôt à l'esprit. Nous y répon- 
drons plus loin, n'avant pas besoin d'élucider ce point pour 
établir la théorie qui fait l'objet de ce travail, et c'est précisément 
en cela qu'elle est intéressante. 

Nous retenons seulement le fait de la constance de l'éloigne- 
ment ou du rapprochement qui, d'après le concept que nous 
avons de la ligne droite, ne peut pas ne pas s'imposer à l'esprit. 
Il est d'ailleurs susceptible de pouvoir être vérifié par une 
expérimentation directe. 

Nous pouvons donc en (aire un axiome ou postulat au même 
titre que les autres axiomes ou postulats de la ligne droite dont 
on ne saurait sérieusement contestei- ([u'il n'aient leur origine 
dans l'observation ou l'expérience. 

Cette origine nous échappe par suite de 1 hai)itiide, lespropiié- 
tés de la ligne droite ayant été épurées depuis longtemps, et 



THÉORIE DES PARALLELES EUCLIDIESS ES Zi-] 

étant devenues des données d'intuition. Mais une analyse un peu 
profonde ne permet pas de la méconnaître. 

Or en n'admettant que les propriétés de la ligne droite consi- 
dérée en elle-même, on ne définit pas complètement cette ligne. 
Il faut V ajouter une propriété du même ordre concernant sa ma- 
nière d'être par rapport à une autre droite, propriété qui ne 
peut se déduire des premières, comme c'est établi aujourd'hui, 
que nous savons certaine dans le monde extérieur accessible à nos 
observations et sans laquelle le développement logique de la géo- 
métrie ordinaire est impossible. Seulement on doit chercher une 
façon de pi-ésenter cette propriété qui entraine immédiatement 
notre adhésion, et ce nest le cas, ni de la forme donnée par 
Euclide dans son postulat Y, ni de celle qui lui a été subs- 
tituée. 

La forme suivante répondit ce but. 

Axiome. — Si deux droites se rapprochent dans un sens, elles 
s^ éloignent constamment dans le sens contraire, et inversement 
(tant qu'elles ne se coupent pas). 

Ainsi énoncé, cet axiome s'impose immédiatement ii nous 
comme vrai. Xous ne pouvons concevoir, en eflet, sans faire vio- 
lence à notre esprit, que deux droites se rapprochent après 
s'être éloignées, ni qu'elles s'éloignent après s'être rapprochées. 

Définition. — Une droite est dite parallèle \\ une autre quand 
tous ses points sont à la même distance de cette autre. 

Théorème I. — Deux droites perpendiculaires à une troisième 
sont parallèles V une à l autre. 

Soient deux droites AB, CD perpendiculaires h une troisième 
E F (fig. 2). En faisant tourner le demi-plan (R) autour de E F 
pour l'applicjuer sur le demi-plan (S), HB viendra sur HA et KD 
sur KG. Si donc les droites AB, CD se rapprochaient ou s'éloi- 
gnaient dans la région (R), elles se rapprocheraient ou s'éloigne- 
raient dans la région (S), ce qui est contraire à l'axiome posé plus 
haut. Les perpendiculaires abaissées par exemple de CD sur AB 
sont égales. Mais on peut remarquer que ces perpendiculaires 
sont aussi perpendiculaires à CD. Soit en effet une perpendicu- 
laire Ml* abaissée d'un point quelconque M de CD sur AB, on a 



COMMOLET 



MP:=KH. Joignons Mil et PK. Les deux triangles PHK, IIMP 
sont éo-aux comme avant un ans^le droit éo-al compris entre côtés 
égaux, d'où PK = Mil. Par suite les deux triangles HKM, PMK 







r 






c 


X 




M D 


(S) 


X 


(R) 


A 


H 


E 


î 


B 



Fiff. 2. 



ont leurs trois côtés égaux et sont éoaux. On en déduit 

HKM = PMK. Le premier étant droit, il en est de même du 
second. Les distances de chacune des deux droites AB, CD a 
l'autre sont donc les mêmes. 

Ainsi se trouve nettement établie l'existence de deux droites 
parallèles. 

Théorème II. — Par un point pris à V extérieur dune droite, 
on peut mener une parallèle à cette droite^ et on ne peut en mener 
quune. 

Soient la droite AB et le point C (fig, 3). Menons CD perpen- 

H 
E ^'~~- ^^>^ ^^ F 




Fis 



diculaire à AB, cl EF perpendiculaire à CD au point C. La ilroite 
EF sera parallèle à AB, d'après le théorème I, et c'est la 
seule. 



7 // A" OUI K D E S l' A II A L L E LES E U C LIIJI E N N E S 



il(i 



Considérons en effet une autre droite IIK passant par le point C 
et faisant avec EF un angle aussi petit qu'on le veut. Une partie 
de cette droite fera avec CD un angle aigu, soit CK cette partie. 
Abaissons d'un point M de CK la perpendiculaire MP sur AB, et 
désignons par Mi le point où MP prolongé rencontre EF. On a 
MP<M^P, et comme M^P = CD, il s'ensuit MP < CD. Donc HK 
n'est pas parallèle ;i AB. 

Corollaire. — ■ Quand deux droites sont parallèles, toute droite 
perpendiculaire à tune est perpendiculaire à Vautre. 

Théorème III. - — - Deux droites AB, CD parallèles à une troi- 
sième sont parallèles entre elles. 

On démontrera facilement que AB et CD sont perpendiculaires 
à une même droite. 

Les autres théorèmes dérivant des parallèles : égalité des 
angles alternes-internes, somme des angles d'un triangle, etc., se 
démontreront comme d'habitude ; mais on pourra les démontrer 
de la manière suivante. 

Soient deux parallèles AB et CD et la sécante EF (fig. 4)- 
Menons KR perpendiculaire sur AB et HP perpendiculaire h CD. 




Les deux triangles rectangles HKP, IIRK sont égaux, car HP = 

KR. Donc KIIR = HKP. 

En remarquant que la figure IIRKP a quatre angles droits et 
que la somme des angles du triangle HPK égale la somme des 
ancfles du triangle HRK, ou voit que la somme des anf^lcs d'un 
triangle rectangle égale deux angles droits. 



33o 



COMMOLET 



Pour démontrer qu'il en est de même de la somme des angles 
d'un triangle quelconque, il sulfira de mener une hauteur 
qui soit située à l'intérieur du triangle, ce qui est toujours pos- 
sible. 

Nous ajouterons pour compléter cette théorie que deux droites 
parallèles ne se rencontrent pas, ce qui découle de définition 
même, et que deii.v droites (iiii ne sont pas parallèles se ren- 
contrent. 

On pourra trouver diverses démonstrations de cette dernière 
proposition. 

En voici une : 

Soit la droite CD non parallèle a AB. Menons d'un point M de 
CD la perpendiculaire MP à AB, et la parallèle EF à AB passant 
par M. 

La droite CD forme avec INIP deux angles inégaux dont l'un 

aiou et l'autre obtus (fig. 5). Supposons que PMD soit l'angle 




Fi g. 5. 



aio"u. Prenons sur AB, ii partir de P dans le sens AB, IM*. = MP, 

PP =:MPj... et désignons par a:^^ x.,... j'„ les angles P1\M, 

P P„M... égaux respectivemenl aux angles P^MF, P.^MF... comme 

alternes-internes. 

On a 

_ i''»- ,rj _ !'''• _!'''" _ I'''' 

^1 — """ ' -^2 — "T" — ~7î~.' -''s — ~~r • • ■ ■*'" — TTr • 



Il sera donc possible, en appelant a l'angle DMF, de trouver 
un angle .r„, tel que Ton ait .r„ < a. 

La sécante correspondante MS fera avec MF un angle plus 



THÉORIE DES PARALLÈLES ELCL/O/ESNES 33i 

petit que a, et sera dès lors comprise entre MD et MF. Comme 
elle rencontre AB, MD rencontrera aussi nécessairement AB. 

Pour rester logi([ue on devra définir une parallèle ii un plan : 
une droite qui /este à la même distance du plan. 

De même, un plan sera dit paralliile à un autre si tous ses 
points sont à la même distance de cet autre. 

Ces définitions venant à la suite des théorèmes sur les droites 
et plans perpendiculaires, on démontrera facilement c^n une droite 
et un plan., ou que deux plans perpendiculaires à une même 
droite sont parallèles. 

Cette théorie des parallèles nous parait beaucoup plus satisfai- 
sante que la théorie classique actuelle. 

Elle nous a été suggérée par la lecture de l'excellent livre de 
M. de Frevcinet : De l'expérience en géométrie. Nous n'avons 
fait que la développer et la préciser pour la rendre applicable à 
l'enseignement. 

Il importe de débarrasser les bases de la géométrie ordinaire 
de la considération de la rencontre ou de la non-rencontre de 
deux droites en présence du développement des géométries non- 
euclidiennes qui forment des systèmes cohérents, logiquement 
coordonnés, oii on n'a relevé aucune contradiction, par consé- 
quent très intéressants au point de vue spéculatif, mais dans les- 
quels, la correspondance entre les formes conçues et les formes 
réalisées est moins grande que dans le système euclidien, parce 
qu'ils négligent une donnée fondamentale d'expérience. 

La ligne droite, telle que la conçoivent les néo-géomètres n'est 
plus celle du sens commun. 

CoMMOLET (Paris). 



LES LIMITES ET L'ATOME 



On appelle ordinairement Uiiiite crune quantité variable, en 
Géométrie, une quantité fixe dont la variable peut s'approcher 
indéfiniment, sans jamais pouvoir l'atteindre. Cette condition 
imposée à la limite, de ne pouvoir jamais être atteinte par la 
variable, est formulée en termes trop absolus. Ne sait-on pas que 
la tangente en un point A d'une courbe est la limite des posi- 
tions que prend une sécante, issue du point A, lorsqu'elle a 
tourné autour de ce point, de manière à ce qu'un second point 
d'intersection de la sécante avec la courbe vienne se confondre 
avec le premier ? La parallèle menée par un point h une droite 
n'est-elle pas la limite des positions que prend la perpendiculaire 
abaissée du point sur la droite, lorsqu'on la fait tourner autour 
de ce point d'un angle droit? Et dans ces deux cas, du moins, 
n^est-il pas visible que la variable atteint sa limite, et exacte- 
ment ? 

Il est vrai que, si Ton cherche à atteindre cette limite en appli- 
quant à la variable une construction géométrique, on n'y réus- 
sira pas. Si, par exemple, après avoir mené parle point A d'une 
courbe une première sécante, on détermine la seconde enjoignant 
le point A au milieu de l'arc que sous-tend la première; si l'on 
opère de même sur la seconde pour avoir la troisième, et ainsi 
de suite ; on obtiendra des sécantes qui s'approcheront de plus 
en plus et même indéfiniment de la tangente; mais, aucune moi- 
tié d'un arc ne pouvant être nulle, jamais la sécante ne deviendra 
tangente. De même, dans le cas de la parallèle, si l'on joint le 
point à des points de la droite de plus en plus éloignés de la 
perpendiculaire, on obtiendra des obliques faisant avec cette per- 
pendiculaire un angle de plus en plus grand et même indéfini- 
ment voisin de 90 degrés, mais, les points ne pouvant pas être à 



LES LIMITES ET L'ATOME 333 

liuliiil sur la droite, jamais l'oblique ne deviendra ainsi la paral- 
lèle. 

Ce qui arrive là n'est pas un fait accidentel, mais une règle 
générale : toute construction géométrique permet d'atteindre 
lindéfiniment petit ou l'indéliniment grand, mais jamais zéro ni 
rinfini; par conséquent, toute limite dont la définition renferme 
implicitement toute l'idée de l'infini ou de zéro, — et c'est ici le 
cas — , échappe h la possibilité d'être atteinte par une opération 
géométrique exécutée sur la variable. 

Au contraire, si l'on a recours à un mouvement de rotation, la 
limite est atteinte à la suite des valeurs indéfiniment croissantes 
de la variable, absolument comme l'une quelconque d'entre elles 
succède à la précédente. 

A quoi cela tient-il ? Les résultats dus h une construction géo- 
métrique sont nécessairement discontinus et par suite ne repré- 
sentent qu'un certain nombre des valeurs possibles de la variable, 
tandis que le mouvement de rotation, étant continu, nous les 
donne toutes, sans exception. Il nous donne non seulement les 
valeurs de la variable qui sont fournies par l'opération graphique 
ou fictive, mais encore toutes les valeurs intermédiaires dont cette 
opération ne laisse aucune trace. En outre, quand la rotation a 
permis d amener la droite mobile sur la valeur extrême que peut 
atteindre la construction géométrique, rien n'empêche de conti- 
nuer le mouvement de la droite qui a été utilisé jusque là et de 
franchir la limite que la construction est impuissante à dépasser. 
C est ainsi que, dans le premier cas considéré, le second point 
de la sécante mobile vient se confondre avec le premier et la 
limite zéro se trouve atteinte à la suite de lindéfiniment petit ; 
dans le second cas, à la suite d'obliques indétiniment longues, 
l'infini se présente nécessairement, au moment où l'angle que 
font ces obliques avec la perpendiculaire devient droit. 

Appliquons cette remarque à d'autres exemples classi([ues. 

La cil conférence d'un cercle est la limite du périmi'tre d un 
polygone régulier inscrit au cercle et dont le nombre des côtés 
augmente indéfiniment. 

Supposons qu'on parte du carré inscrit, et, qu en divisant en 
deux unités l'arc sous-tendu par son côté, on ait inscrit l'octogone 

régulier, puis le polygone régulier de i6, 32 côli's: on pm- 

Eoseignement umth. au 



3 54 •/.-/•'. iwyyEL 

viendra ainsi, an moins mentalement, à un polv<rone régiilier 
dont les côtés seront indéfiniment petits. Mais il est clair que 
lopération, même poussée par la pensée aussi loin qu'on voudra, 
ne peut pas nous donner un côté de longueur nulle, autrement 
dit, la construction géométrique ne permet pas d'atteindre la 
limite zéro. Si, au contraire, on l'ait tourner autour du centre de 
la circonférence un des deux rayons qui aboutissent aux extré- 
mités d'un côté du carré, de manière à ce qu'il se rapproche de 
l'autre supposé fixe, on voit immédiatement que l'extrémité du 
rayon mobile passera, d'une part, par le milieu de tous les arcs 
intermédiaires h ceux-là, que l'opération graphique ou fictive n'a 
pas envisagés. En outre, quand la rotation aura amené le rayon 
mobile à passer par l'extrémité du plus petit côté que puisse 
atteindre la construction géométrique, rien ne s'oppose a ce que 
le mouvement qui a été utilisé jusque-là, soit continué, de ma- 
nière à réduire ce côté extrême et l'arc qu'il sous-tend à égaler 
la limite zéro. 

L'asymptote à une branche d'hyperbole peut être regardée 
comme la limite des sécantes menées par le centre et dont le 
point d'intersection s'éloigne à l'infini. Mais il est clair qu'une 
détermination géométrique de pareilles sécantes, ne peut donner, 
comme dans les exemples précédents, que des sécantes indéfi- 
niment grandes, tandis que, en faisant tourner une droite autour 
du centre de l'hyperbole, on a la certitude d'obtenir successive- 
ment toutes les sécantes possibles, et même, au delà de la sécante 
indéfinie la plus grande que puisse fournir la construction géo- 
métrique, l'asymptote qui en est la limite. 

Le mouvement de rotation dont nous venons de sipnaîer l'uti- 

o 

lité dans le plan, n'est pas moins précieux dans l'espace. 
Considérons, en elFet, un cône droil circulaire; conpons-le 
par un plan qui passe par deux génératrices opposées ; puis, 
par un point quelconque pris sur l'une des génératrices, 
menons une droite qui soit perpendiculaire à leur plan et une 
autre qui soit parallèle ii la génératrice opposée. Le plan que 
déterminent la parallèle et la perpendiculaire est, comme on 
le sait, parallèle à la génératrice opposée : la section faile dans 
le cône par ce plan est donc y\nc païuihole. Si l'on fait mainlcnanl 
tourner ce plan autour de la perpendiculaiie comme axe cl veis le 



LES LIMITES ET L'ATOME 335 

sommet du cône, lu section obtenue devient une ellipse, puis un 
cercle^ puis encore une ellipse, et enfin une droite limitée; si on 
fait tourner ce même plan en sens contraire, la section obtenue 
devient une lujperbole, puis une droite illimitée. Le cercle peut 
donc être considéré comme la limite d'une ellipse, et la parabole 
comme la limite soit d'une ellipse, soit d'une hyperbole. Or la 
limite est ici atteinte effectivement, on le voit, parle mouvement 
de rotation d'un plan, en raison même de la continuité de ce 
mouvement, comme toutes les circonstances précédemment 
sii^nalées. 

Mais si l'on cherche, en dehors de tout mouvement et en par- 
tant d'une propriété géométrique, a établir que le cercle ou la 
parabole est une limite de l'ellipse, ou encore que l'hyperbole a 
pour limite soit une parabole soit une droite illimitée, le résultat 
«st tout différent. 

Vous pouvez doubler, tripler quadrupler, etc. la distance des 
deux foyers dune ellipse, par exemple en fixant l'un deux et le 
sommet voisin, vous obtiendrez ainsi des ellipses s'allongeant et 
s'approchant indéfiniment de la forme parabolique, mais jamais 
le second loyer ne pourra être transporté à l'infini, et, par suite, 
jamais l'ellipse ne sera transformée en parabole. De même, si 
vous réduisez la distance focale à sa moitié, soutiers, son quart, 
elle n'égalera jamais zéro, et, par suite, l'ellipse ne deviendra 
jamais un cercle. Même chose pour l'hyperbole. 

En résumé, ce qui précède nous montre qu'une figure variable 
susceptible de s'approcher indéfiniment d'une limite, l'atteint 
régulièrement, si le rapprochement résulte d'un mouvement con- 
tinu de rotation, qui est toujours possible, et qu'au contraire elle 
ne l'atteint jamais, si le rapprochement résulte d'une construction 
géométrique. Nous sommes donc en droit de conclure, ainsi que 
nous l'avons dit en commençant, que cette condition imposée à 
une limite, de ne pas pouvoir être atteinte par la variable, est 
trop absolue, et qu'il sera permis, à un aussi juste titre, de rem- 
placer dans la définition les quatre derniers mots « sans jamais 
pouvoir l'atteindre », par ceux-ci : u au [)oint de se confondre 
avec elle », puisqu'une figure variable (|ui arrive à sa limile ne 

doit en rien et en aucun cas se distinrruer de cette limite. 

r> 

Comment se fait-il que quelques savants aient cherché à trans- 



336 J.F. BOySEL 

former en principe général cette prétendue impossibilité pour une 
variable datteindre sa limite, et à l'expliquer, par lexistenee. 
dans la délinition de l'une, dun ou plusieurs éléments incompa- 
tibles avec la définition de l'autre .' pas assez incompatibles néan- 
moins pour les emprcber de se rapprocher l'une de l'autre, à ce 
point cjue, si l'on prend la limite pour valeur de la variable, l'er- 
reur commise devienne rigoureusement nulle? Comment surtoul 
est-il venu à l'esprit d'un géomètre d'introduire dans la définition 
d'une limite cette condition parfaitement inutile et démentie par 
tous les exemples qu'on connaît? il faut, pour en découvrir l'ori- 
gine, se reporter à la pratique initiale du Calcul différentiel. 

Leibniz, l'inventeur de ce calcul, appelait limite d'un rapport 
le rapport de l'accroissement infiniment petit dij d'une fonction 
à l'accroissement infiniment petit dx de la variable. D'après 

celte définition, le rapport —j-^ est égal à la dérivée f 'x] de la 

fonction, et Ion a l'égalité --7^ = /' .r;, d'où l'on tire pour la 

valeur de la dilTérentielle (diminutif de différence; de la lonc- 
tion : dy=f ix) dx. Mais cette formule n'est pas absolument 
exacte, attendu que la dérivée f .r) dune fonction n'est pas 

égale au rapport —7^ quand les termes de ce rapport sont très 

petits, mais bien quand ils sont rigoureusement nuls. 

Pour parer :i l'inconvénient c|ui en pourrait résulter, qucbjues 
pféomètres ont Imaginé de conserver dans cette lormule les 
termes dy et dx en les regardant comme de purs symboles dt' 
zéro. Grâce à cette convention, la formule redevient exacte et 
j)eut être introduite dans le Calcul différentiel. D'autres géo- 
mètres ont procédé dune manière toute différente. Puisque 

Av Av I , \ 

f [x] est égal à lim-Y~ ■> ^^ ^eui poser-— ^=/ (.r^ + a, et, par 

suite, li/=^f' 'x)\x-^y. Ar, a étant une quantité qui s'évanouit 
en même temps que A.r devient nul. Cette formule nous montre 
que l'accroissement d'une fonction correspondant à un accrois- 
sement quelconque de la variable est composé de deux parties : 
la seconde tend vers zéro en même temps que l.r ; la première 
est ce qu'on nommera la différentielle de la fonction et cju'on 
représentera par i/i/. Comme d'ailleurs la différentielle de la 
variable, ou dx. ne se distingue pas de son accroissement A,r, on 



LES LIMITES ET LA TOME 33; 

pourra écrire la relation suivante dij =zf [x) dx, dire qu'elle est 
vraie pour toute valeur finie ou indéfiniment petite de l'accrois- 
senient de la variable, et lui appliquer toutes les règles du Calcul 
difiTérentiel. 

Toutefois il y a une valeur pour laquelle cette formule est en 
défaut ; c'est la valeur limite d.v = o, qui est nécessaire pour la 
définition de la dérivée et de toutes les dérivées, et qu'il est impos- 
sible de ne pas introduire finalement dans les formules, quand on 
voudra passer aux limites. La rigueur de ce procédé resterait 
donc, en définitive, plus apparente que réelle si ceux qui l'ont 
imaginé s'en étaient tenus là. Ils ont alors inventé, pour échapper 
à ce défaut de rigueur, d'imposer à la définition d'une limite cette 
condition bizarre qu'une variable ne peut jamais atteindre sa 
limite. Grâce à ce subterfuge, on n'a plus à s'inquiéter de ce qui 
se passe à la limite dans le Calcul infinitésimal; les infiniment 
petits sont t^)ujours décroissants et ne s'évanouissent jamais, 
([uoique pouvant approcher d'aussi près qu'on le veut de zéro. 

Nous avons vu, sur de nombreux exemples géométriques, quo 
cette condition est faussement imposée à la limite des grandeurs 
variables. VAXq n'est pas davantage acceptable, lorsqu'il s'agit de 
la définition d une dérivée ou d'une différentielle de fonction ; 
on s'en assure, comme nous l'avons fait pour la définition d'une 
tangente. Ce qui importe, c'est de faire voir comment, avec 
l'atome, peuvent se résoudre toutes les difficultés ; nous allons 
brièvement l'indiquer. 

D'après la théorie de l'atome, il y a toujours un accroissement 
z de la variable indépendante, qui est le plus petit auquel puisse 
correspondre un accroissement y, delà lonction ; le rapport-^ 
est. par définition, la dérivée de la lonction, de telle sorte qu'on 
a l'égalité vraie : —j- = /*' (.r). Dans celte relation, les deux 
termes y, et i ne sont pas des svmboles de z»''ro, ni des quantités 
indéterminées, mais des atomes correspondants, c'est-à-dii'c des 
réalités concrètes et déterminées, (jui, en raison de leur étal 
atomique, semblent mieux appropriées que toute autre à l'idée 
([u'on doit se iaire du mode de génération d'une courbe ; dans 
la génération d'une courbe, ce rapport —— représenterait l'atome 
de direction. 



338 /.-/•'. BONN EL 

De cette définition on déduit immédiatement les propriétés 
générales des dérivées, celle des lonctions inverses, celle d'une 
fonction dont la dérivée est constante, celle des fonctions qui ont 
la même dérivée, celle du maximum et du minimum d'une 
fonction ; etc. Si, après cela, on veut bien avoir présente i» 
l'esprit cette vérité cjue, dans le calcul, ce qui est plus petit que 
Tatome z est nul ou de nul effet pour l'accroissement de la fonc- 
tion, on trouvera sans peine la dernière valeur de t, qui est 

(i + î) , la dérivée de .j'", de la fonction exponentielle et 

logarithmique, des fonctions trigonométricjues directes et 
inverses, enfin de toutes celles qu'on est convenu de désigner 
sous le nom de fonctions simples. 

Voici en outre une conséquence très importante de cette 
définition de la dérivée par les atomes, définition qui est iden- 
tique au fond h celle de Leibniz : si Ton a formé une équation 
entre des indéfiniment petits de différents ordres, et qu'on 
veuille en dégager la relation propre à ceux qui sont de l'ordre 
le moins élevé, il suffira de supprimer tous les termes où 
figurent les autres, comme étant nuls ou de nul elTet ; en d autres 
termes, il est permis, dans un calcul d'indéfiniment petits d'un 
certain ordre, de négliger à volonté tous les indéfiniment 
petits d'un ordre supérieur. On voit, d'après cela, quels avan- 
tages sont attachés à la substitution de l'atome ii la ])lace de 
zéro clans toutes les cjuestions de limite, comme à la substitution 
de l'indéfini à la place de l'infini : toutes les contradictions 
c[ue nous avons signalées, toutes les difficultés qu'on rencontre 
à se mettre en face de zéro et de l'infini ou à vouloir les éviter, 
disparaissent avec l'atome et son inverse qui est l'indéfinimenl 
grand. 

J.-F. BoNXEi. (Lvon). 



SUR LES DIVISIONS IlOMOGRAPHIOUKS 



Introdictiox. — Quand on développe la théorie des divi- 
sions homographiques au moyen de l'équation algébrique fonda- 
mentale 

xx' — /,.r — ;ji.r' -J^y = o 

on est amené ii considérer deux origines et pour compter 
les segments x, .r'. 

En disant que l'équation doit être satisfaite quelles que soient 
les origines, on admet le fait comme évident à priori. Cependant 
nous croyons l)on, dans l'intérêt des débutants de la géométrie 

o 

synthétique, de donner une forme plus concrète et plus précise 
h ce principe, en l'énonçant comme un théorème dont la démons- 
tration simple conduit d'une manière palpable aux piopriétés 
connues des coefficients A, y, et v. 

Tel est le but que nous nous proposons dans les lignes qui 
suivent. 

Défixitiox. — On appelle divisions homographi([ues des 
suites de points telles qu'à chaque point de l'une correspond un 
point et un seul de l'autre. 

Equatiox. — 11 existe donc entre les segments .r et .v' déter- 
minés sur deux bases l et l', par deux points homologues et 
comptés depuis deux origines données, une éf[uation du premier 
degré de la forme : 

o 

xx' — ),,r — 'ix' -)- V rr o. 

Les coellicienls À, 'x. v sont déterminés pai- trois paires île 
points homologues fondamentaux. 



34o 



L. CRELIER 



Théorème : Etant dojuiè 3 paires de points homologues fonda- 
mentaux, la position des éléments d' une quatrième paire sur les 
hases est indépendante des origines. 

DÉMONSTRATION. — Soit et O' Ics origiiics, a, a' ; h. h' et f, c les 
-i 3 paires de points homologues fondamenlnux. 
Désiernons les sesfments comme suit : 



Oa = i 
0'a' = t' 



ah = m 
a'Ij' ^:z m' 



ac = n 
a'c' =z n 



L'équation de définition s'appelle : 

XX' À.f' UiX' -\- 'J =z o. 

Calculons d'abord les coefficients A, 'j. et v 
en formant les 3 équations correspondant aux points donnés ; 
nous avons : 

tt' — Àf —F'' -)-v=:o 

{t -f m) [t' + m'} —l{t-\- m) — [x [(' -f m") -|- v = o. 
{t + n) {t' + n) — À [t-Jrn] — Il [f -\- n') -f v = o. 

Les solutions /., u et v seront 

A, A., 



A • A 

Formons ensuite ces déterminants 
— t 



A,, 



A — 



A., = 



A, = 



- f +1 

— [t + m) — {f -\-m'] -f I 

— [t-\-n) -(/'+«') +1 

— tt' —t' +1 

— [t -j- ni) [f + m') — («'+ m') + i 

— (t + «) [t' + n') —(<'+«'}+ I 

— / —il' +1 

— [t+m] — [t + m) (/' + /«') + ' 

— {t+ n) —{t-\-n) [V -f «') + I 

— t — t' — tt' 

— {t + m) —(t'-\-m] — [t -\- m) [f -\- m') 

— (' + ") — ;<' + "') — (' + "} ic + "') 



siH i.i:s un/sioxs no.MOG/i.iri/ioiHS i.\ï 

Développons cl simplifions : 

A =z m' Il — mil', 

A, 1= /' mil' — in'n) -)- m'a' [m — n), 

A^ r= / nui' — in'ii] -j- mn [ii — m'), 

A., rz: //' ,iun' -— iii'ii^^ -j- tm'ii [m — li' -\-t'iiiii {n — m']. 

Oïl pt'iit ('iicore écrire évidcniment : 

A| = •^^' + 'lin' [m — n), 
1 A, =; A / -f- iiifi [n' — m'), 
A, =A,/ 4- A_, /' — A //'. 

Prenons maintenant un 4" point d sur /, donnant 
r ^=. l-\- p avec p ^ ad . 

Son homologue d' sur l donne 

.«■' z^ t' -\- p' avec p' = ad'. 

La valeur .j ' se déduira de celle de x d'après réquation londa- 
nientale : 

xx' — /..»• — ;jn' -\- V r= o. 

On aura : 

, /.X V 

X -=: • 



n — [Ji 
Introduisons les valeurs des déterminants : 



■^i 


x-^ 

A 






A 


A,r 


-^! 




— A, 


A.r 


- A, 


X 


A 







Avec les segments y-», /, />' et / , on a : 

' ^ IJ+p)-^, 

Développons ensuite/^' 

.' ::^ \it^p]-l, _ ^, 
^ A, <+/?)- A, 

_ A,/ + A,/> — A., — /'/A — />A + /A, 
~ A/ -f- A/) — A^ 



342 L, CRELIER 

En tenant compte des valeurs (i) et en simplifiant, on obtient: 

, m II ' m — ni p 

P = ; is , r-' 

' p ijnn — m n) — ■ mn {n — m ) 

D'où il résulte que la position du point d! par rapport aux 
points a\ h' et c' est indépendante des valeurs t et t' , c'est-à-dire 
indépendante des origines O et 0' sur les bases l et l . C. q. f. d. 

Remahqle. — Puisque la position des éléments des paires 
nouvelles est indépendante des origines primitivement choisies, 
on peut prendre celles-ci d'une manière arbitraire sur les bases, 
en observant que les 3 paires fondamentales déterminent chaque 
fois des nouvelles valeurs de y,, <j. et v. 

Calcul des coefficients. — Nous avons eu 

A '"^ A 'a 

En introduisant les valeurs tirées des déterminants, on oljtienl : 
A/' + m' II' [m — II) , m' II' [m — «i 



A m li — m' Il 

\t A- mil II' — m) nui 'ji' — /»" 



' A nui — m II 

A,/-f-A,/' — A//' ,, im'ii'dii — II) -\- t' mil [II' 

V = = =ztl -\ ; ; 

A mil — m II 

OU 

V = /./+ -Jit' — tt'. 

Cas PARTicuLiEns : i° d tombe en b on en c. 
On a alors 

p z:z m ou p -irz n. 

Supposons donc p = n : on obtient : 

m' II' tin — II, Il 
P 



Il nui' — m' II) — inn[n' — ni') 



( )n voit que d' tombe sur 1 homologue de c, soit c' . 
De même avec ù et //. 

■y Les orii^unes sont une puire de points homologues comme a, u' . 



.sr;? LES Divisroxs iioMOGHAriiiorEs 343 

Dans ce cas les valeurs / et t' sont nulles et on obtient 





/// // jii — // 


A — 




nui' — m II 




nui [il' — /// 








nin — m n 


V =: 


o. 



L'équation générale devient : 

xx' — À.r — ;xa' := o, 
ou 

x' z=z kx. 

avec 

m II' [m — n 



k — 



iniï — m'n^ x — nin [n' — m') 



On voit que .<' s'annule avec .r 

4" Le conjugué (V un point comme b est à /'in/ini. 

Dans ce cas on a m' = oc . 

Les valeurs A, v ety^»' ne présentant pas de remarques parti- 
culières. 

I>a valeur |jl prend la forme : -j. ^ / -j- /;? =: Où. 

Si on faisait de même /i = ce, cest-ii-dire si on prcnail c à 
l'infini, on aurait 

l=t'-{- II' = ÔY. 

Les points conjugués des points ti l'infini portent le nom dr 
points limites. 

On en conclut que les coefficients a et 'j. sont donnés par les 
distances des points limites de chaque base ii l'origine correspon- 
dante. 

En outre, si les points limites étaient les origines, on aurait : 

). = o, l^ = o. 

D'où 

xx' =: — -) z^ tt' 

t et t désignant les distances de ces points aux points a et u' . 
5" On prend d à /'ce . 



3.'!} .4. SI LIA 

\.f ciuijiigin* (l du point d _^ donne alors la distance 
, m' II' III — //) 



= A— /'. 



nui — III II 



Cette valenr peut du reste être déduite directement du ca^ 
j) recèdent. 

L. Crelier fBienne. Suisse. 



l.A FORMULE DE STOKES 



Rappelons que le théorème de Stokes se résume dans lidenlite 
I ,Xdx^ \dr + Zdz) 



A/ÔZ ÔY\ , /àX az\ /dY 



dx 



// 'lli' 



dans laquelle le premier memi)re est une intégrale curviligne et 
le deuxième une intégrale de surface limitée par le contour de 
la première ; X, Y. Z sont des fonctions de v, y, z, finies et con- 
tinues sur la surface, admettant des dérivées finies et continues 
aux mêmes endroits ; l, m^n sont les cosinus directeurs de la noi- 

male ii l'élément (Uv de la surface. 
Nous poserons 

x^fii.v). 

de telle sorte que (•<' soient 

.r =: /If,. h\ <'to. 
X r= /"i»'. II). Ole. 

les t'(juali<tiis des eouiln's i-> et ^-\. 




«•t 



.r ^ /■ f, //j\ etc. 
■r = /■»■. «j\ <Mc. 



celles des courbes -j.-S et i-^. 



LA FORMll.F.S D !■: STOhfiS ',/[', 

Xoiis aurons ('vidcmnienl 

(Xdx-\-\dy+Zdz]r= '/ - X - ^Y -f Z ^ ./,. 

. O Ju \ O" O" "" / 



■"'Ci:^^ 



+ ^--|^ + =^l? !''•■• 



Mais d'un autre coté, on a 



b r"., /,. â.r , . , 



Linte-gration par parties donne d'ailleurs 



/'"., /av a.r , av av , av a3\ av , , 



d.r eu èr bu èz du 1 av 



^ /„ \è^ a^ + ^ eu + a. du ! dv ' '" " • 

En faisant les substitutions et les réductions on aura 

-a7.r(^lJ+-)"''""'=(-^l^+^--r+^a,0.;"' 



-l-^l^+^1f + '-|7)/' 



'^J I \ hx aj ) \){u,v) ^ \ a.v a; j d^«,»-) "^ 

, /ax az \ i),;,.r / , 
+ \-â7-a-7J-[v;y/"''' 



346 A. .s IL VA 

En intégrant cette expression entre les limites v^ et i'., on a 

Le premier membre est Tinté^rale le long du contour ; le 
deuxième celle relative à la surlace y comprise. 

En désignant par l, ni, n, les cosinus directeurs de la nor- 
male, on a 

/ (Xf/j' + Yt/r + ZJ;) 

A/ÔZ âY\, , /ÔX ÔZ\ /ÔY ÔX\ . 

11 faut rapprocher maintenant les deux courbes i-:> et 3-4, et 
réduire le petit contour 2-3 à un point. 

Otto A. Silva (Rio de Janeiro). 



L'ALGÈBRE DU CALCUL 



Depuis son origine, il y a plus de deux siècles, on a cherché 
à donner au Calcul infinitésimal une base purement arithmétique. 
Avant d'exposer une méthode des plus simples pour atteindre ce 
but, sans limites ni infinitésimales, nous allons démontrer que la 
méthode en vogue est non seulement incommode mais erronée, en 
tant quelle repose sur la contradiction dont on s'est servi pour 
établir la loi de la dérivation partielle, loi d'autant plus fonda- 
mentale qu'elle contient celles de l'addition et la multiplication 
des dérivées com:n3 cai particuliers : ce que l'on n'a pas même 
remarqué. 

Si par exemple «=y^((',oj), où i> = sin.v , w=e^, on obtient 

( , I en regardant la première comme variable, la seconde 

comme constante : ce qui est impossible, à moins que .v ne soit en 
même temps variable et constant... ^ 

Nous ne tarderons pas à préciser en le généralisant le vrai 
procédé de la dérivation partielle, déguisé sous cette sophistique 
puérile, en posant cette notation et ces définitions préalables. 



Par 



il est entendu que a =^c, b = d, en distinguant toujours une frac- 
tion d'un quotient, ainsi : 

X -{■ X ix 

I -)- I '2 * 

2. Par 



>i8 W. RE. y TON 

<»n entend // esl lonclion Je f, u est fonction de »> et de n\ // est 
lonelion de e, qui est (onction de .r, etc. 

.'). Soit 

^1 ?i • • ''\ + ^^ 1^' ■ • ^'J- + • • + ^<i >» • • "J/i = 

«1 + »2 4- • • + "" = " («' 

1 
el nommons celte série ou son équiviilent syml)olique // ^donl le 

module^ i, indique que lotiii les n termes v sont compris un 

rèsiiltOT^t. 

Si n =y^ -}- q, et si Ion supprime les termes d'ordre y, de sorte 

que Ton ait 

"i ~h "j + • • + "/• ^^ " (/'} 

oii le module :i):^=p : /?, le résultant se dit partiel par rapport 
an premier. 

Ainsi l'on a en généial 

M 

"i -h "j + ■ • + "/,M = « (c) 

en posant 

7^ + 7 

où w est un entier à déterminer. Le cas où in> i et par consc- 
(juent qo"^~^^=o est analogue à celui d'un déterminant (qui nesl 
([u'une espèce de résultant) où Ton multiplie des termes pai- des 
éléments-zéro. 

4. Toute autre série, aiiant même nombre de termes^ 

M 

se nomme, ainsi que la premif-i'e, un co-rùsidUinl. 

."). Si tout terme de la série esl lonclion de .( , on la nomme 
rèsiilldiil en r. en li-crivant ainsi 

X 

,"x + xKr + . . . 4- ^^^M, = Ils 



LALGEltHE DU CALCUL J Î9 

oii ]<• module se eonlornie ii hi lettre de la soiis-r<mclioii ; et tout 
TT'suitant se dit lioinonyme ou hètéronyinc selon (jik; la fonction 
et la sous-fonction sont identiques ou non, en entendant dailleurs 
(|ue tout produit d'un résultant homonyme on In''l<''ionyme se dit 
aussi liomonvme ou hétéronvme. 

(). Si en particulier pour loule valeur de .r 



X 

oii // est fonction de .r, on nomme le résultant co li'suUant île ii 
par rapport à .v. Et il est évident (juesi par exemple u^=^u.:, etl on 
peut trouver des co-résullanls de // par rapport a e. et de c par 
rapport a .r, on en aura aussi trouvé de n par rajipoit :i r, ainsi 

\ X X 

U II r //,; »'.,; //., , Ut 

•»■ f •»■ "-• >'.;■ ^U.c ll.i 

\ X X 

-. iJi'/ùiilion. — Si //-=^ //,-,, 10,.,^^., où a est fonction imnié- 
dialo de c, w.. et *•, ii'.. sont des fonctions imnK'diates de .r, et 



\- 


X 


w 


X 




7. 


X 


II,- 


»';■ 


II,, 


"'(■ 




Il - 


; ,. 







zz: 




- ^Z 


— 


— — 


Il, 


>'.;• 


II,., 


"'/• 




Il - 


r . 


V 


X 


\v 


X 




/. 


X 


V 


X 


\y 


X 




z 


X 


//;• 


»'.»• 


+ II.., 


K.r 


4- . 


. -h "3 


::.-■ 



//.■ *•(: + /^., !<■,,■ -(- . . -|- //. Zr II r 

V X W \ /. X I 

<'l si dans tout module M = ' ' on suppose /y le iKtnihrc des 

p-r'l 11/ 

lernies /lo/uo/ii/z/ies, ni le nombre des sous-fonctions i/nn/ril/utcs 
d une ioiulion donnée, de sorte ([ue 

\ 1 \\' I z 1 I 

II. - r -4- H„ ««'.7- 4- . . 4- ": =.r M.;- 



\ 1 



les co-résullants a droite se nomment rcspeclivenienf /</ dcris-i'e 
et le drrivant Je u par rappc rt à r, et en même temps tout itsiil- 

tinscig-iiciiioiit iiialti. -jt'J 



35o W. REATOX 

tant particulier dont ils se composent se nomme la dérivée on le 
dèrwant (total ou partiel selon le cas) de sa fonction respcctii'e 
par rapport à sa sons-fonction. 

S. De la formule (g) toutes les règles ordinaires de la dérivation 
se déduisent au premier coup d'œil ; et il est à remarquer cjue 
quelles que soient les valeurs de c, ir, etc., on a toujours 

Y.i + W.i + . . -f Z.i = I {h) 

c'est-ii-dire le résultant des modules est le module du co-résul- 
tant. 

9. Ainsi pour u = u,j., où //?„, le nombre de sous-fonctions 
immédiates de u, est Tunité, on a 



1 1 



1 1 t 



(A) 



d'où, en posant u = v, 



I 1 1 

W„ ttx =^ ll.r. l'u l x= ll.r 



ef par conséquent //,, = //,j= i, etc. 

De même pour u := //,. , /n^^ = ni,. = i, et l'on a 



H 


V Ixi 
M X 


1 i 


1 

». "'ar 


I 


V 


Il,- l 

1 1 


■» ".s 
i i 


ll.r 

I 



el ainsi de suite. 

10. Pour //=//,r, H', ni^,=^2, et Ion a 

(I) 1 (1) 1 1 

"r t'j + Wu »''.r ".f 



d (tii en posant co = .v 



«,. V-^' -f- «M "'x l'r 

(I) J (I) 1 1 



(I) 1 (1) 1 



(B) 



1 I (11 M) 

et, pour /'j = o, r. = — u^ : u 



l'algi:dre dc calcll 
I I . Pour u ^v -\- (V, on a 

u II V II ir 



V X If 


J" 




1 


r + u- 


l 







■ — 


1 


ir 


1 


1 1 


1 
Ut 


1 


VI' J7 -j- (0 H';- 
1 1 


llx 

l 


1 



'Cl 



en divisant le dénominateur par ç -\- iv au lieu de multiplier le 
numérateur, pour ne pas être en contravention avec la définition 
du S^' 4i puisque le produit de deux binômes est quadrinôme tan- 
disque leur quotient est binôme. Et puisque 

1 1 1 

l'x ^= *'x + "'x, 
111111 

(1) 1 1 ;i) 1 1 

llç,Z= V\. -(- Hy O, «u r= (•„ O + W,(; 

(Mi multipliant tout terme Iièièronyme par o"~'. Par conséquent 

(.)=-, et 

T' 1 j 1 1 1 

ce quil faut constater. De même pour le dérivant. Et en général 

1 1 

~ l ni 1 1 



11 11 — '■'x-T • ■ -\ 

— — • M 1 II \ 



12. Pour ii = ^'\\' on a 






*••«• <«.r 






II' H'j- 

1 






l'r 




f X If 


" , 




f X n' 



(D) 



W. RE.\TO.\ 



Et en général 



)i 1 n \ l 



'1 (1 1 



i3. Pour «= ^> : w on a 



Cj, : ir — l'ir, : u- 



\'j. — tr,. 
1 1 



]) OÙ doux corollaires importants. 

a. La dérivée (Tune constante est nulle 
Ainsi 



' » f \'\- 

111 1 

H =:: I -\- I -j- ... + I =: o -|- o -)- . . -j- o -= //o 



De luênie m ^^mo, et /« : /« = o. Donc c -^^ c.o. < ).IC.I). 

[j. Le ffuotient de deux fonctions éi>anouissantcs est le fjnotic/it 
de leurs dérivées. Puisqu'une constante a la même valeur pendant 
deux instants consécutils, et qn il est impossible de i-han^cr de 
siirne en moins de deux instants, toute lonclion (lui change de 

o 1 D 

Signe en passant par zéro est constante: et comme le quotient de 

deux constantes est constant, est conslani, tu rcrivaiil aiii>i 

la Iraclion pour la distinguer de «' : ir, dont lavaleui' est :,c//t'/Y/A'. 
Va\ égalant et diflTércnliant ces deux expresions on a 



d où 



LALGkniiE ur c.iLcri. Vti 

et 

t 

- = -.o. i:. I). 

i4- l'^n appliquant ces règles aux fonctions fondamentales ,r", 
«"', .s7>/,, clc, on a 



n u. 



Ainsi 



X r X 

nx''~i _ {a 4- // ,r« + '' - > _ x'>ax" ' -|- .r''/>.r'' 



a'' II' \ u, 



.t A tij^ 



OÙ A = loff<7, et .v\ = U„ Ap = U,. Ainsi 



Ainsi 



a' — I + Ax + A-' — 4- . 



1 
siii.r cos.f _ «,- 



X- X- 
■»in,«: r= a: —, 1 :rj- — . ■ 



.r- .r' 



(«) 



(P) 



(y) 



lit ainsi de suite, 

k"). l^our la dcri\>alion succcsswc on emploie le module n ou 
(« , selon que l'opération est totale ou partielle. Ainsi 

i '2 lit 

'■] (-, 



354 "■* RE N TON 

On démontre la première égalité en différentiant les identi- 
tés 

1 111 11 

la première par rapport à .r, la seconde par rapport à «% ce qui 
donne 

2 2 1 2 1 12 1 

;/,, rr: u^^•,r ^ "./;.rt: + lia<roS'x 

■2 2 1 2 1 12 1 

doù 

121 12 1 

ll.ri'c^'-r + ?/i*'.f.l\ = O. 

i6. Pour r inlègratiun succcsswe, opération qui ne parait pas 

reconnue dans les mathématiques, on emploie le module ?i, en 

nommant toute fonction Vi?itégrale de sa dêrwée ou l intégrant de 

son dérivant par rapport à une sous-fonction quelconque; c'est- 

1-1 
à-dire u=it=^ u. Ainsi dans ce que l'on peut nommer le dévc- 

1 - 1 

loppement intégro-dillerentiel ou intérentiel 

— 001-12—2 

U ïS Ux^^'v + "X'5'r + "J.'l'i; -t- . . 

on n'a qu'il mettre «' =■ i pour avoir 

1 2 ^,2 

Uj. + ,; =: Ujj -(- «xT -h lU- — -|- . . 

le soi-disant théorème de Taylor, De même on a 

u ^ MU' + «ir -j- »U' -f- .. 

00 1-1 2-2 

17. Deux fonctions v, (o se nomment paronyDies si Ton a 
1 1 

f>=: (,). Ainsi .r^ : 2=a: = e^. 
1 1 

18. Quant il la notation que nous avons ébauchée, elle se ratta- 
che évidemment \\ celle de Ne\vton, d'ailleurs vague et délec- 
tueuse, il laquelle nous avons cherché ;i donner une hase ration- 
nelle, en regardant la ch-iivée tout sinq)lement comme la 



L'AI.GiCBIiE DU CALCUL Î55 

somme des numérateurs iVuii nombre convenu de fractions égales, 
idée aussi étransfèic en elle-même à l'algorithme de Newton 
(ju'au du : d.r de Leibniz, qui n'a aucun sens, et que l'on ne 
rend intclligilile qn en le transformant en d/( : r, ou (/, coeffi- 
cient algébrique, est le dérivant de la fonction, comme nous 
venons de le définir. Ainsi 



puisque toute tangente (pour |jnous rappeler Torigine géomé- 
trique de ce genre de calcul) n'est que le quotient u : r multiplié 
par un tenseur arithmétique qui dépend de la forme de //. Et 
c'est au moven de cette fonction auxiliaire^ dont le logarithme 
bien entendu n'est qu'un cas particulier, que l'on parvient à 
établir les règles du Calcul, et à remplacer par un mécanisme 
simple et svmétrique un pêle-mêle de procédés artificiels dont 
l'empirisme et la sophistique font le scandale de la science. En 
efTet comme l'addition mène à 1 idée de la multiplication, et 
celle-ci à l'idée du logarithme, ainsi 

o 

o« + l" + • • + n« = "« 

«o X «i X . . X a„ = a" 

d'où „a^=oa, ag-=a'', on n'a qu'à généraliser le logaritiime pour 
arriver à l'idée du dérivant, qui à son tour mène ii celle de la 
dérivée. 

W. Rextox (Xewcaste, Angleterre). 



REMARQUES SUR LES VARIATIONS D'L'X POLYNOME 



I 

Si Ton donne ii une racine diin pohnonie entier laccroisse- 
meut Aa, les accroissements correspondants des coeflicients du 
polvnônie deviennent : 

Artu = o 
\a^ =. — '/„ A a 

(A) Aa^ = — (cFj -f «y a' Aa 



A</v =^ — [a■,—^-\-a■,—i7.-\-fl,-:iyL- + . . . -f-rt„a'-''Aa 

Nous vovoiis cela, soit en divisant le polynôme donné pai- 
.r — a et multipliant ensuite le quotient par (.r — a — ly. , soit 
cil avant éffin'd aux relations entre les racines et les coeffi- 
cients. 

En observant que 

nous écrivons les relations 'A) comme il suit : 

'Il 

Art,— — - Aa 
a 






lii.M AHoi i:s sLi: Li:s vahiatio.\ s dis j' o r. y.\ o m /■: j'î-j 
Des lohitioiis (A on déduit la forimilc de lécmrcrice 
((!) Artv = — rtv- I Aa-j-a A'/, i 

il où suiVL'iil divi'is (•((iftlhurcs poiii' les vaiiatioiis di'S cocllifK'iils 
corrcspondaiils a la variation do la laciiie a. 

1. — (J*iianil une racine positive devient néoaii\t> d cjnc dans un 
groupe de coellicients de même signe du polynôme, un (jwel- 
conciue d'entre eux diminue absolument ou idianiic de si^ne, 
tous ceux ([ui le précèdent chauffent nécessairement de 
sii^ne. 

Démonstration. — • Supposons que nous avons 

a,—i < o a,—\ < o «V < (> 
a>o Aa<;o uiais | Aa ] > a \(i . ^ o. 

lie la relation C nous liions alors 

— «V t Aa -j- a . A«,— 1 ~ > o , 
ou 

a. A«v— 1 > «V— 1 Aa. 
uu 

a. Artv-l > I «v-^l I . I Aa I . 

a < j Aï I 
Actv-i > I av-1 I , 

«v— i 4" ^(^' - 1 > O- 

AOv-i >o 



et c<»mme 
il s ensuit 
donc 
Paieillement de 

on tléduit (lue 



rtv- i -f- A«v i>- o. 



On démontre de la même manière la pr«»posilion ct»rres[)on- 
danle. ([uand nous avons 

«V- 2 > o, f/v - 1 >> o. rtv >- o . 
i>. — Si dans un groupe de termes de même signe un (|Uelcon(jue 



358 



P. ZERVOS 



d'entre eux, le dernier excepté, ne change pas de signe, il en 
sera de même pour le suivant, car autrement le précédent ne 
pourrait garder son signe. 

3. — Le changement d'une racine positive en négative détruit au 
moins une variation. 

Dùnionsttalioii. — Les coefficients du premier groupe conser- 
vent leur signe, puisqu'il en est de même du premier .'car 
Ax^j^o) (voir remarque 2). Ceux du dernier groupe, au con- 
traire, changeront tous de signe, puisqu'il en est de même du 
dernier ternie 

car (a.jt -{- \a.^.a,. <; o, 
comme on déduit des relations (B), puisque 



/ 



1 + 



Aa 



Aa 



> I 



1 + <o. 

a 

(voir remarque 1 ). 

Quant aux autres groupes, trois cas peuvent se présenter : 
1 " ou tous les ternies du groupe conservent leur signe ; 
■>." ou tous changent de siorne ; 

3" OU bien présentent une seule variation, de sorte qu'ils peuvent 
se subdiviser chacun en deux autres groupes, dont le second 
aura des coellicients avant conservé leur siffne (c'est-ii-dire de 
même signe que les coellicients correspondants du polynôme 
donné/ . 

Toul cela se voit d après la remarcpie 1. 

Soit V le nombre des groupes consécutifs du polynôme 
donné. 

lis présentent v — i variations, cherchons le nombre maximum 
des variations des coellicients correspondants du nouveau poly- 
nôme. Je dis (|ue ce nombre maximum sera v — 2. 



REMARQUES SUR LES V.IRIATIOXS D'U.\ POLY.\(JME ;")<) 

Car ou aura ce nombre maximum en supposant que chaque 
i^roupe du polynôm • donni'- ii partir du deuxième jusqu'à lavaul- 
dernier lut subdivisé en deux autres groupes. Le nombre des 
groupes nouveaux, ainsi produits, sera 2 (v — 1). 

lui représentant les groupes du polynôme donnt' par 

(i) L, M, N. P... J, K 

el par L' [-'••I-'-' "'/■'' ?'?'■•• '^1'^' ■^' (■*) 

•ceux du nouveau polvnômc (c'est-à-dire par L' le groupe des coeMi- 
cients correspondants à ceux du (L), par 'x, 'x les groupes en 
lesquels fut subdivisé (M e. c. t., etc.). L'on voit que le signe des 
<;oe(ficients du groupe (u) coïncide avec celui du groupe L, de 
même le sigue des coefficients du groupe (v^ coïncidera avec 
celui du groupe (u.') et ainsi de suite. 

Donc les groupes (2) coïncideront deux à deux en un groupe 
du nouveau polynôme et par conséquent ce dernier aura v — i 
groupes, c'est-à-dire v — 2 variations. 

4. — De ce qui précède Ion déduit aussi le théorème de Des- 
cartes; car, pour chaque changement dune racine positive en 
négative, il faut qu'un nombre impair de variations se perde; ce 
nombre impair de variations doit donc exister auparavant dans 
le polynôme. Du reste, après le changement des racines posi- 
tives en négatives, le polynôme ne présentera pas un nombre 
impair de variations, car, autrement, il aurait une racine posi- 
tive. 

5. — Dans ce qui précède l'on supposait 

I -^a !>:., 

mais il est facile de montrer que les propositions précédentes 
seront vraies aussi pour 

Aa ^ — a; 

l'on veira ainsi que, si un coellicient négatif devient posilil, le 
coefficient suivant, s'il est positif, conservera son signe. 

6. Soit le polvnôme 

+ . . .-\-a:—\.x\'-— . + {-{- a-(X:'---'-\- . . . + «v— i.f:^- '+^-4-«v .r:*— '-}- . . .-\-a^. 



3Go /'• ZERVOS 

dans lequel nous supposons les coellicients 

fl^Q, «1,... "j— 1 positifs 

flj, a,-).i , . . . a^ — { négatifs 

fl,. ^7+1.... r^ — t positifs 

rt-, rt-+i,... rt, I négatifs, 
o. c. t. 

Si dans le changement d'une racine positive en racine néga- 
tive ou nulle nous avons 

rt,-l + Aa,-i >o 
(E) iU +Acr^ >o 

«V i +Aa.,- 1 >o 
fi, -\- :\fi. >. o 



c'est-à-dire si le dernier terme de chaque groupe négatif devieni 
positif, et que le premier de chaque groupe positif reste positif, 
alors le polynôiue donné n'a d'autre racine positive que a; car le 
nouveau polvnôme aura tous les termes positifs et cela parce que 
le dernier terme de chaque groupe négatif devenant positif, il 
s'ensuit que tous ceux du groupe qui précèdent, deviendront 
positifs; de même le premier terme de chaque groupe positif 
restant positif, il s'ensuit que tous ceux du groupe qui lui sui- 
vent resteront positifs. 

J.es inégalités i E) peuvent aussi s'écrire comme il suit 

c/t-I — (a,— 2 + «(T— :i3t -f . . . -j-a^fZ'— 2). Aa>o 
a, — («,_i-|-aff-*a-|-. . .-f-aoa-'-l).Aa>o 
«v- i — ;av— 2 + «v~3a + • . • +«o'*''~")- ■^2'>o 



et comme la proposition précédente est vraie aussi pour 

il s'ensuit que, pour que a soit la seule racine posili\t' de poly 
nônie, il suflit (jue 

(I, i-ffl,-2a-|-a,_:ia--f . . . -|-rtoa''-'>o 
(î) Cl, -f-a, ia-f-a,_2a-4- . . . -|-flrp«T >o 



Hi: MA ROUES SUR LES VARIATIONS Dl\ r O L) .\ O M E 50 i 

mais comme do la première des inégalités r suit la seconde 
d'après nos suppositions) et de la troisiènie, la f[uatrième, les 
conditions -) se réduisent aux seules suivantes : 

"t 1+''^ :;'X-|-ac^:;a-+...+«„a'^ '>o 
»; - 1 4" ^v 2 3: + a-, - :; a- -f- . . . -f- "u ^-. i - < ' 



et en général, on montre de même que le nombic de variations 
que pi't'scntent les expressions 

n, ■-\ ~ Art.-i.). . . 

est précisément égal au nombre de variations <juc présentera le 
nouveau polvnùme. 

-. — Suivant Laguerre un nombre positif a est la limite supé- 
rieure des racines positives, si tous les polynômes suivants sont 
posilils 

'V + Qi (= «'i) 

a ^fL- -\- Il ^7. -\- 3L- (;s a'-) 

(/„a;t -|- d^'j.-.'- ' -|- . . . -(- cif. (s^ a'._^ 

Nous pouvons exprimer cette proposition ent;orc d une autre 
manière. 

Soit le même jjolvnôme <pie celui de la sixième observaiion : 
Je (lis (|u il sullil d'avoir 

ii^;i'^ i-j-«^a'^— - + . . . . . +«<r^i >•> 
^/„a- -1 -j- ayX'—--\- +flv— 1 >o 

poui' ([ue a soit la limite supérieure des racines positives. Car 
abus la série 

sera aussi composée de termes positifs et cela parce que nous 
observons <[u"aussi pour ces polynômes est vi'ai ' la io.-mule de 
réduction 



362 P. ZER vos 

par conséquent, quand a'^_i est positif, a'^ sera aussi positif, di^ 
même a',„ 21 car 

et 

(Nous avons supposé <7<,>o rt,_2<o). 

De même nous pouvons modifier la proposition de Laguerre^ 
d'après laquelle la limite supérieure du nombre des racines posi- 
tives du polynôme donné, plus grandes que a, est le nombre de 
variations de la série des expressions 



Pour cela nous montrerons d'une manière analogue, que ce 
nombre est le même avec le nombre des variations de la série 
des polvnùmes 

/7^a?-l + rtja?-2_i_ +0,-1 

Oga-r— • -j-f/^a-^— 24- -|-a<r-t 



8. — Deux polynômes complets, ayant/;/ — i racines communes 
et une différente, différeront au moins dans la moitié des coe!- 
flcients ; car s'ils ne diffèrent pas dans le coelficient du 
terme dont le rang est /?, ils différeront dans celui du rangn-}- '» 
comme on voit de la relation 

Afl,+1 r^-j-îf--^"/ — «v.Aa, 
mais 

a, :^ o et Aa =^ o 

donc 

A«v— 1=^0. 



REMAROUKS SIR L i: S t'A R lA T I O y S D'CX POLINOMI-: 36; 
II. CIhAXGI'MKNT DKS VAIIIATIONS d'lx POI.YXÔMP: K\ .MII.TII'I.IANT 

i»A« [x -\- a)- -\- b'. 

C(Hisidérons ropéiation : 

<ii^-i';>.-\-(ii->c/--^'^^(tyV\'----\- . . . -\- (i.,.—-iX' -\- a^—ur-\-n.,, (polynôme complcl). 
.r - -\- 1 tx -\- fa- -|- h-'] 



-j-aarti— 2 



x\'-\-a^ \x\'-—^...-\-a.^^^-l 

-|-aa«.ji— 1 -l-Qiaa^ 



+ (a-'+//^)«,_. 



a2+/>2)rt,, 



1. — Soit a > I /; [ et (^/,^. rt,^_i> o alors le nouveau polvnônie 
piéseutera un noailjie de variations moindre ou, au plus, éqal 
•A celui du polynôme donné. 

Dcnionstiation. — Exprimons par 

«"/y. «I . . . , r/j le premier groupe des termes positifs. 
«j + 1, f/f+2. . ., «-le deuxième groupe des termes négatifs. 
a--\-[, a-+i. . .■ (if! le troisième groupe des termes positifs. 

e. c. l. 

Xous observons que, aux p + i premiers ternies positifs du 
multiplicande correspondent p -\- i premiers termes positifs du 
|)rodui l. 

Du a^ jusqu'à a. il se présente une variation au multiplicande; 
je dis qu'il se présentera une, au plus, dans les termes corres- 
j)ondants du produit; parce que dans la série 

^/j-t-l -}- aartj + (a- + />-)af_l, «j+2 + '-ia.flj-i-i + (a- + />-)«,, 

aj-H:j-|-'iaaj4.2-|-(a- + A-)rtj^-i,. . ., a--\^-i-x.a-- 1+ (a- -j-Z^-V/-- 2 

Ions les termes à partii' du troisième jusqu'au dernier sont 
négatifs parce qu'ils se composent de termes négatifs. Les coef- 
ficients qui se composent de négatifs et positifs sont le premier 
et le second coefîicient de la série précédente. 
Or, ([uand le piemier est négatif, nous avons 



"',4-1 I > u.a.^j 



iC\ /'. xi: /{VOS 

iVoii aussi 



pnrco qiio 

par conséquent 



■2. st. I r/j+i j > a--}-/'") "i- 

a> ! /> 1 ; 



cest-à-clire (jiie le socoml est aussi négalil : (juaiul. au coni i aiic. 
le preniier est positif, alors quel (pic soit le second nous aurons 
une variation. Nous voyons de même que. comme les termes du 

multiplicande c/-. 0-+\ i/., présentent une \aiiatit)n, les tern;cs 

correspondants du produit présentent aussi, au plus, une varia- 
tion, etc. L'on déduit ainsi la règle suivante : Du premier 
terme du produit jusqu'il celui ([ui précède ravant-dernicr, nous 
avons, au plus, autant de variations que le multiplicande. 

Il reste encore à examiner dans le produit les trois derniers 
lei'mes, c'est-ii-dire 

«.i-j-'ixrt.j- i-f- ,^" + /'"; ^';i— 2, 23!rri-]- ^a--f-/y- a-i-i, u.- -\- 1>- n,.. 

D'après ce que nous avons démontré, le produit pi-ésenle. 
jusqu au terme dont le rang est '-/.-f-i autant de variations ([ii<' 
le multiplicande, ou moins. Or, si d'abord il en pri'sente aiilaiil 
(jue le multiplicande, le terme qui a le rang'j.-f- i aura le même 
signe avec celui qui a le i-ang ;■'-+ i du multiplica'nde, autremeiil 
le produit présentera, jusque-là, au moins une varia lion de moins, 
parce qu'il ne peut en présenter davantage, c'est-à-dire le cocl- 
licient «.. + !>a.rt..i -f- i a -1- />»"-'; r/.^. i aura le même si<rne avec 
<( ^ par conséquent aussi avec (a"' -f- h'-) a., et aussi avec r>a a.y-\- v.- 
-\-lr)a.^-\ car, nous avons supposé (jue 



donc les trois dernieis teiines du proiluil ne picsentenl ;!uc;iiie 
variation; si maintenant le produit présente jusqti au tenue (]iii a 
le rang (;-t-|- i moins de variations que le mull iplicranile, alors les 
vaîiations du produit seront, au plus, aussi nondjreusescpie celli s 
du multiplicande, car les trois derniers coeflicients du prodml 
peuvent présenter, au plus, une va iation, |)iiis(pie 



REMARQUES SUR LES VARIATIONS D'UN POLYNOME J65 

2. — Tout polynôme entier multiplié par 
I 

a> i M 



et 



peut bien perdre, mais jamais gagner des variations. 

La démonstration est analogue à la précédente ; il suflitd ajou- 
ter ici l'observation que l'avant-dernier coefficient du pro- 
duit 

aura le même signe que le dernier, d'après nos conditions. 



III. Rechchche approximative d'une racine positive d"u.\ polynôme 

AVEC LE PREMIER TERME POSITIF ET LES AUTRES NÉGATII S 

I. — On sait qu'une équation avec une seule variation a une 
racine positive a et qu'un polynôme multiplié par .r —a acquiert 
au moins une nouvelle variation, il s'en suit que si nous divisons 
le premier membre de l'équation donnée par x — a, nous aurons 
un polynôme avec des termes tous de mèrne signe. 

Soit maintenant un tel polvnôme : 



«n ■i"-'- — « I ■»■; 



'.-2— « .r:x-:i 



si nous le divisons para' — a, nous aurons tous les coellicienls du 
quotient posilils 



De l'inégalité 



l'on déduit (pic 

do même de l'inéiralité 



«0^ — "i>o 



a> 



<?(,a- — a, a — , , > o 



Ense:;'riemcnt nialh. 



366 r. ZERVOS 

Ton déduit que 



a. a., 

— ^a — — ^ >o 

«0 «0 



x^-^. 
"o 


X - 


a. y 

«0 


=r o 


'oïl 


/( 










)+t 


que— ^. 









mais, pour cela, il faut que a soit un nombre plus grand que la 
racine positive de l'équation 



(parce quea>o) d'où 

qui est plus grande que — 

IV. Limites de racines 

On connaît les relations entre les racines et les coefficients, 
c'est-à-dire 

a + p+Y+ =— «1 

«? + «Y+ = + ", 

Nous pouvons en déduire des règles pour Uouver des limites 
des racines ; par exemple : 

I. — Si dans un polynôme du degré u. avec des racines toutes 
réelles, nous avons 

I a.^-\ I >«.. 

il y aura nécessairement une racine en valeur absolue moindre 
que ;j.. 

Démonstration. — La somme des produits des racines [j. — i 
;t -jL — I donne en valeur absolue le terme j fl,^_.| | . La valeur 
absolue du produit des racines est | <7:'^ | . Des produits jj. — i a 
'jL — I, le plus grand en valeur absolue est celui (pii na pas la 
racine la plus petite ; et si nous multiplions ce produil par 
[j^, nous aurons un nombre plus grand (jue | (^/^_i | et par 
conséquent que | «i* | ; tandis que si le même produit est multi- 
plié {)a)' la racine a plus pelile, nous aurons le terme | (t., \ . 



REMARQUES SLR LES VARIATIOSS D'CW POLYSOME ''S^ 

D'où Ton voit que y. est plus grand que la plus petite racine. 
2. — Dans un polynôme qui a toutes les racines positives 
et 

I «^ I > I «;x-l I , 

il y a nécessairement une racine positive plus grande que le 
degré du polvnôme, 

Dêinoiislralion. — La somme des produits des racines >j. — i 
à ;j. — I est égale à | a.,_^ \ , tandis que le produit de [j. racines 
est égal à 

l«. I 

Des produits u. — i à y.— i le moindre sera celui qui n'a pas 
la plus grande racine. Donc ce produit, multiplié par a, nous 
donnera un nombre plus petit que «,^_iet par conséquent plus 
petit (jue tf^^. 

D'où il suit que le nombre ;j, est plus petit que la plus grande 
racine. 

P. Zervos (Athènes). 



NOTES ET DOCUMENTS 



Cours universitaires. 
Semestre d hiver içjoj-igo', . 

l'HEMlÈUE PARTIE (^) 

ALLEMAGNE 

Berlin. (Unt\'ersitàt). — Schwahz : Anal}!. Geom., ^ ; Kegelschn . , 
2; Th. d. analyt. Funkt., 4; CoHoq., 1; Senj., 3. — Knoblauch : 
Diff. rechn., 4; Ueb., i ; Th. d. ellipt. Funktionen, 4. — Lehmann- 
FiLHÈs : Integralrechn., 4. — Hansens Méthode d. Berechnungallg. Sto- 
rungen, r. — Landav : Th. d. Determinanten, 4; Funktionenth., 4î 
Transcendenz von eu.-, i. — Schvr : Th. d. algebr. Gleich., \; Th. 
d. lin. Diff.-gleich., 4 ; Frodemvs : Zahlenth., 4 ; Sem., 3. — Schot- 
TKY : Th. d. Abelschen Funktionen, 3 ; Potentialth., 3 ; Sem., 3. — 
Marcuse : Allg. Himmelsk., i i/u; Fehler bei Sinneswahrnehmungen 
bci Prâzisionsmessungen, i ; Ortsbest., i ; Sera., i 1/2. — Foerster : 
Th. d. Raummessung, 1 ; Geschichte d. arab. u. mittelalterl. Astrono- 
mie ; Gesch. u. Th. des Fernrohres, i ; Sem. f. vvissensch. Rechnen. — 
Bauschinger : Mechanik des Ilimmels, 3 ; Chronologie, i ; Einrich- 
tung u. Gebrauch d. Planetentafeln ; Sem. f. wissensch. Rechnen. — 
Helmert : Figur u. Schwerkraft d. Erde, i ; Méthode d. kl. Quadrate, 1 . 
— Battermann : Ausgleichungsrech., 1 1/2. — Plank : Allg. Mecha- 
nik, 4 ; Uebgn. in d. analyt. Mechanik. — ^^ kinsteix : Theniiodvna- 
mik, 3 ; Physik d. Erde, i. 

Breslau- iUnUcrsilât, 1 5 Okt. ; i5 Miirz). — Rosannes : Algebr. 
Gîeichungen, 4 ; Elem. der Funktionth., 2 ; Ueb. des math.-phys. 
Sem., I. — Sturm : Diff. rechnung u. Elem. der Integralrechn., ', : 
Th. der geom. Verw., II, 3 ; Uebgn. des math.-phys. Sem. — Franz : 



(*) Celle proniièi-e Partie contient la liste, aussi complète que possible, «les cours 
de Mathéuialiques supérieures qui se donneront l'hiver prochain dans les Univer- 
sités et Ecoles supérieures iV Allcitiagnc, des I/cs-Iliila/niii/iirs et de la Suisse. Nous 
publierons en novembre les extraits des autres programim^s qui nous parviendront 
avant le \'y octobre. 

La Ukda(:ti()>. 



XOIES ET DOCLMEMS 369 

Astronornisches Reehen-Pruktikum, z ; Mechanik des Himinels, Natur 
u. Bahn d. Mondes, -i. ; Schilderung d. Weltgebaudes f. aile Fakul- 
ttiten, I. — Neumaxn : Einf. i. d. inechan. Warmeth., \ ; Aiisgew. 
Kapitel der Potenlialtli., jl ; Sem., x. — Loxdox : Analyt. Mechanik., 
\ ; Uebgn., 1. 

Erlangen. [Univcrsilat, i5 Okt. ; i j Miirzj. — Goudan : Diff. u. In- 
tegralrechn., \ ; Algel)ra, 4 ; Sem., 3. — Noether : Analyt. Géomé- 
trie, I, 4; Analyt. Mechanik, 4 ; Math. Uebgn. — Wehxelt : Einf. i. 
d. math. Behandlung d. Pliysik u. Chemie, i ; Math.-phys. Uebgn. mit 
Prof. Schmidt, 2. 

Freiburg i. B. [Unà-ersitàt). — LiJROTH : Analyt. Geom. d. Ebeneu. 
Diff. rechn., 5; Analyt. Geom. d. Raumes, 3 ; Sem., i. — Stickel- 
BERGER : Th. d. Diff. gleichn., 4 ; Zahlenth., 3. — Lœwy : Alg. Ana- 
lysis, i ; Ausgew . Fragen d. Algebra, 2 ; Sem. — Kœxigsbergeiî : 
Part. Diff. gleichn. u. ihre Anwendungen, 2 ; Ivinetische Gastheorie, 
I. — Seith : Projektive Geom., 1. 

Gœttingen. [Univcrsildt, Beginn, 16 Okt.). — Kleix : Dilf. u. Inte- 
gralrechn., II, 4 ; Seminar (Wahrscheinlichkeitsrechn.), 2. — Hilbert : 
Th. der part. Diff. gleichn., ', ; Zahlbegriff u. Quadratur des Kreises, 2; 
Sem. (Diff. gleichgn.), 2 ; Algebr.-arithm. Uebgn. mit Minkowski, 
Zermelo, Blumenthal, i. — Schwarzschild : AUg. Astronomie, 3; 
Astronom. CoUocjuium, 2. — ^NIixkowski : Mechanik, I, 4 ; Geom. d. 
Zahlen, 2; Algebr.-arithm. Uebgn., i ; Uebgn. in Diff. gleichgn. (mil 
Hilbert), 2. — Buexdel : Geodasie, 2 ; Math. Statislik, i ; Sem. f. Ver- 
sicherungswesen, 2. — Sciiillixg : Darsl. u. projektive Géométrie, 2; 
Uebgn., 4 ; Kinematik, i. — Ambroxx : Th. der Finsternisse u. Bes- 
timmung astron. Konstanten, 3; Uebgn. (Sternwartej tiiglich ; Ausg. 
Kapitel aus d. Geschiclite der Astronomie, i. — Zermelo : Variations- 
rechnung, 3 ; Delerminanten, i ; Ueb. z. Diff. u. Inlegralrechn., i ; 
Algebr.-arithm. Uebgn., i. — Abraham : Thermodynamik, 2 ; Thermo- 
dyn. Uebgn., 1. — Blu.mexthal : Automorph. Funktionen, 2 ; Uebgn., 
1. — BosE : Einf. in die math. Behandlung der Naturw., 3. 

Greifswald. (Universitàt). — Tho.mé : Analyt. Geom., \ ; Th. der 
hypergeom. Funktionen, i ; Sem., i. — Study : Infinitesimalrech- 
nung, II, I ; Uebgn. i ; Geom. in complexen Gebiete, 2 ; Sem. — 
KowALEwsKi : Funktionenth., II (Ellipt. Funktionen), 4, Uebg., i; 
Th. der Kettenbriiche, i. — Ebert : Bahnbest. d. Cometen u. Plane- 
ten, i; Sphiir. Astron , i; Astr. Rechenijbgn. m. bes. Beriicksichtigung 
der num. Auflos. v. Diff. gleichgn. durch. mech. Quadratui', 1 ; Anleit. 
zu geogr. Orlsbestimnmngen, 1. 

Heidelberg. [Universitdt). — Kœnigsberger : Analyt. Mechanik, ', ; 
Ellipt. Funkt., 2; Ausgew. Kap. d. Integralrechn., 2; .Math. Unter u. 
Obersem., 2. — Caxtou : Diff, u. Integralrechn., 4 ; Uebgn.; Polit. 



370 yOTES ET DOCUMENTS 

Arithrn., 2. — Eisenlohr : Diff. u. Integralrechn., j ; Ueber dus Poten- 
tial, 2. — BoEHM : Mechanik der Continua (Elastizitat u. Hydrodyna- 
mik), i. — Kœhler : Analyt. Geom. Raumes, 3. — Laxdsberc : Darst. 
Geora. mit Uebgn., \; Th. der kr. Fliichen u. Linien, 4- — Valexti- 
NER : Th. d. Stôrungen, 2 ; Grundlehren d. Astron. in geschichtlicher 
Entwickhing, 2. — Wolf : Elera. der Astron. (Math. Geogr), 2. 

lena. {Universitàt, 19 Okt. ; i9Màrz). — Gutzmer : Integi'alrefhn., 
\ ; Sera, dazu., i ; Determinanten u. Algebra, 4- — Thomae : Analyt. 
Geom. d. Raumes, 4 ; Elem. Funktionenth., 4 ; Seni., i. — Frege : 
Part. Diff. gleichgn., 4; Begriffsschrift, i. — Auerbacii : Mechanik, 
4. — Rau : Techn. Mechanik (Dynamik), 4. — Knopf : ^^'ahrschein- 
lichk. rechn. u. Méthode d. kl. Quadrate, 3 ; Best. d. scheinb. Lauts 
der Planeten u. Koraeten, 2. 

Kiel- (Universùâl). — Pochha.mmer : Geom. d. Raumes, 3; Th. d. 
DifF. gleichgn. m. einer unabh. Var., 3 ; Math. Sem., i. — St.eckel : 
Integralrechn., 3 ; Ellipt. Funkt., 4 ; Sem. (ell. Funkt.), i. — Kobold : 
Meth. d. kl. Quadrate m. bes. Berùcksichtiaruns; o-eodat. Messung-en, 
2 ; Geodal. Uebgn. — Weiivxoldt : Ausg. Kap. d. techn. ÎNIechanik. — 
Grossmann ; Einf. in d. Chronologie; Uebgn. zur geogr. Ortsbest., 1. 

Leipzig. [Unh-ersitcit, ij Okt.; i3 Miirz). — Neu.manx : Analyt. Me- 
chanik, 4; Sem., 2. — Bruns : Allg. Astronomie u. Astrophysik, 4; 
Sem. f. wissensch. Rechnen, 2 ; Prakt. Uebgn. (Sternwarte) mit Prof. 
Peter. — Ad. Mayer : Dyn. Diff. gleichgn., 4; Ueb., 1. — Hôlder : 
Diff. u. Integralrechn., 5 ; Ausg. Kap, aus d. Th. der ell. Modulfuiikt., 
2; Sera., I. — Excel : Anal. Geom. d. Raumes, 2 ; Funkionth., ', ; 
Transi, gruppen u. Diff. gleichgn., 2 ; Sem., i. — IIausdorff : V^int. 
in die Algebra u. Determinaiitenth., 2; Zeit u. Raum., 2. — Lieb.maxx : 
Zahlenth., 2 ; Darst. Geom., 2 ; Ueb., i. 

Marburg. {UnivcrsitUi). — Hexsel : Int(;gralrechn., 5 ; Th. d. Dilf. 
gleichgn. mit Einschluss d. lin. Diff. gleichgn., 4 ; Sem., 2. — V. Dal- 
wiCK : Allg. Th. der Fliichen u. Raum. Kurven, \ ; Kineinatik, 1. — 
.Il'XG : Alg. Analysis, 4; N'ariationsrechn., 4; Ueb. z. Diff u. Inle- 
grali'echn., 2. 

Mtinster i. W. (Unù'crsitât). — Killix(; : Polenliallheorie, ', ; Dilf. 
u. Integralrechn., II, 3; Uebgn., i ; Nicht eukl. Geom., 2 ; Matii. Ober- 
sem., 2. — Vox Liliexthal : Analyt. Geom., II, 4; Kriimmungsth. d. 
Kurven u. Flàchen, 4 ; Polit. Arilhm., 2; Sem., 1. — Deux : VAem. 
Algebra, 2; Irrationalzahl u. Quadratur d. Kreiscs, 2. — Plassmax.n : 
L'eber die I"'i.\sterne, 2 ; Astron. Ucby-n. 

Strassburg. (Unifcrsildi, 19 Okt. ; 19 Marz). — Revi: : Analyt. Geom. 
d. Raumes (Neuere Methoden), 3; Math. Théorie der Elasli/.iliit fcsler 
Korper, 2 ; Sem., 2. — Beckek : Bahnbesl. d. Planeten, Komelcn u. 



SOT ES ET DOCUMENTS i;! 

Météore, i ; Elem. d. huh. Geodiisie, i ; Sem. ; Aslr. Beobachtung a, 
d. Instrum. der Sternwarte. — Wi:ber : Diff. u. Iritegralrechn., \ ; Tli. 
d. ellipt. Funkt., \ ; Malh. Obersoiu., 'i. — Roth : Alg. Analysis u. 
Detei'rainanten, 3; Anal^'t. Geom. d. Piaumes, -t; Gewjhnl. Diff. gleichgn. 
— WiSLiCEXUS : Abriss d. neuern Geschichte d. Astronomie, i ; Anwei- 
sung zu den einfacbsten kalendarischen Rechnungen, i ; Die Ijeschai- 
fenheit unserer Nachbarwelten in genieinverstandliclier Darst. i ; Bes- 
precbung d. neuestern liter. Erscbeinungen auf. astron. Gebiete. — 
DiSTELi : Analyt. Geom. d. Ebene, 3 ; Grapb. Statik, 2 ; Ueb., 2; Ueb. 
des math. Sem. (untere Abtg.), 1. — Epsteix : Differentialgeometrie 
(Tli. de Raumkurven u. Fliichen), 3. 

Stuttgart. {Kgl. Teclin. Hochschide, Beginn 12 Okt.). — Mathem. u. 
Mechanik. — Buetscuxeidek : Niedere Math. — Hghenxek : Trigo- 
nom. ; Katastermessungen ; Markscheidekunst. — IIohenxeii u. Heer : 
Plan-u. Geliindezeichnen. — Roth : Niedere Analysis. Schattenkonstr. 
u. Beleuthtungskunde. — Reuschle : Kurvendiskussion ; Analyt. 
Geom. d. Ebene u. d. Raumes ; Neuere analyt. Geom. d. Ebene u. d. 
Raumes ; Diff.-u. Integralrechn. , Sem. — Wôlffing : Funktionenth., I; 
Diff. u. Integralrechn. — Mehmke : Darst, Geom. ; Reine ^Nlechanik ; 
Sem. — Hammer : Prakt. Geom. ; Ausgleichungsrechn. ; Hôh. Geodii- 
sie; Barom. Hohenraessen, Astron. Zeit. u. direkte geogr. Orstsbest. — 
Autenuietii : Techn. ^lechanik. 

Tiibingen. \UnU-crsitdt, 16 Okt. ; i\ Miirz). — V. Brill : Einf. in die 
hôh. Mathematik, 4; Th. d. Alg. Kurven, 3 ; Sem., 1. — Stahl : Hôh. 
Analysis, II, 4 ; Part. Diff. gleichgn., 3 ; Sem., 2. — ]Maurer : Ellipt. 
Funkt., 2; Ueb., i ; Darst. Geom., II, i ; Ueb., 2; Sphiir. Trigonom., 
1 ; Ueb., I . 

"Wurzburg. (Universittit). — Prym : Diff. gleichgn. m, Einl. i. d. 
hoh. Analysis, 5 ; im Unterseminar ; Uebgn. z. Diff.-rechn., 2 ; im Ober- 
sem ; Ausgew. Kap. d. hoh. Mathem., 2. — Sellixg : Integi'ation d. 
gewôhnl. Diff. gleichgn., 4; Mechanik, 4 ; Th. d. Planetenbewegungen, 

3 ; Bescheibende Astronomie, i. — Rosï : Analyt. Geom. d. Raumes, 

4 ; Einf. in die x\.nalyt. Geom. d. Ebene, 4 ; Ira Untersem. ; Ueb. aus. d. 
analyt. u. synth. Geom., 2; Elem. d. Determinantenth., 2. — (Weitere 
N'orlesungen ii. Math, werden spiiter noch. besonders augckiindigt). 

ILES-BRITANNIQUES 

Aberdeen. Unà'ersiti/ . Mathematics Professor; G. Pirie, Lccturer. 
GoonwiLLiE. There will be tliree mathcmatical classes : tiie Gradua- 
tion Class; ihe Intermed. Ilonours Glass ; the Ilonours Class. 

Aberyswyth. University Collège of Wales (i5 th. sept. igoS-ii st 
June i<)o',l. — Lectures in Mathematics pure and applied. Professor: 



372 NOTES ET DOCUMEXTS 

R.-W. Genèse; Lecturer : ^y.-J. Johxston ; Assistant Lecturei* : J. I. 
Walley. 

Pure Mat/i. Matriculation Class (5 hours a week). — Intermediate 
Coui'se ('i h. a week). — Oi'dinary Course : Algel)ra, Trigonometrv, 
Géométrie, Coordinate Geometry, Diff. and Integra! Calculus (4 h. a. 
week). — Spécial Course : Algebi'a, Spherical Trigonometrv, Geome- 
try, Coordinate Geometry, Diff. Calculus, Intégral Calculus, Elemen- 
tar3' Differential Equations ; a course of not less than 80 lectures. 

Applied. Matli. Matriculation Class (2 h.). — Intermediate Course 
('2 h.). — Ordinary Course : Kinematics, Kinetics, Statics, Hydrosla- 
tics, Astronomy ; a course of not less than 80 lectures. — Spécial 
course : Particle Dynamics, Analytical Statics, Dynamics, Hydrosla- 
tics ; 80 lectures. 

Matli. pure and applied. Ilonours Course. 

Exercices Classes. 

Bangor. University Collège of Xortli Wales {Ocl. i st igoi-June 28 tli 
1904). — Professer : G. H, Biîy.vx; Assistant Lecturer : Harold Hilton . 

I. Intermediate Course (Pure Mathematics) ; 3 h. 

II. Final Courses. A. Pure Mathematics : Ordinary (Arts) Course, Al- 
gebra et Tingonometry, Geometry, Diff. et Int. Calculus; 3 h. — Spé- 
cial (Arts) Course, Algebra, Pure and Coord. Geometry, Diff. et lut. 
Calculus, Elementary Diff. Equations, Spherical Trigonometry, 3 li. — 
B. Applied Mathematics : Ordinary (Arts) course, Kinetics, Statics, 
Plane Astronomy, 3 h. — Spécial (Arts) course, Analytical Statics, 
Dynamics, Hydrostatics, 3 h. 

III. Honours Course (Pure et Applied Mathematics), 

Brecon, University of Wales. — Pure Matlieniatics. I. Intermediate 
Course. II. — Spécial Course : Pure et Coord. Geom.; Diff. a. Intégral 
Calculus; Elem. Diff. Equations, High,, Algebra, Spher., Trigonom. 
m. Final Course. 

Applied Matlieniatics. Ordinary Course : Kinetics, Statics, Hydros- 
tatics, Plane Astronomy. — Spécial Course : Analyt. Statics, Hydros- 
tatics, Dynamics of Particle, Dynamics. — Final Course, 

Bristol- University Collège (G Oct. i9o3-'20 June iQo'i). Mathen)atics. 
Professor : R. Bahuell ; Lecturer : L. Watkix. 

Matriculation Course, 3 h, — IClcmentary Course for first Year En- 
gineering Students, 3 li. — Intermediate Course, 3 h. — Calculus for 
l'engineering Students, 3 h. — Advanced Course, \ h. — Spécial advan- 
ced Course, j. h. : Rigid Dynamics, Higli. Calculus, Dillerential Equii 
tions or other brandies of Iligh. Mathematics. — Spécial Course for 
Woman, '2, — Exercise Classes. 

Mixed Mathematics Mathematical Course : Statics, Dynamics ami 
Hydrodynamics. — Advanced Course : Analytical Slatics, i)3'namic^, 
ilydrodynamics, Astronomy. 



.\U7 i:S ET DOCIMEMS ">-} 

Belfast. Qitecns Collège (Oct. xo, 190'i-June i i, i<)'>'i). — Lcilures 
in Pure .M;itliematics, ihree Years ; Professer : Alf. Cai!I)i;\\ -Dixox. — 
Civil Engineering (3 years) ; Pi'of. ^Taurice F. Fnz (M:iiAi,i). 

Birmingham. Univcrsiti/ (Oct. 5 190'^) ; June îo, lyo'»)- — Profcs- 
sor : Pi. S. IIkatii ; Lecturer : C. T. Phekce. 

Pure Mathcinatics . Preliminary Course, \ h. — Univcrsily Courses : 
1 1+ h.j, Algebra, Trigonometry, Geoinetry; Il ('» h.^, Algebra, ïrigo- 
nometry, Geometry, Diff. Calculus, Int. Cale. ; III {'\ h), Anal. Geo- 
metry, Diff. Gale., Int, Cale., Diff. Equations. 

Applied MatJiematics. University Courses : I (4 h.), Statics, Dyna- 
mics, Hydroslatics; II {\ h.\ Slalics, Dynamics of a Particle, liigid 
Dynamics, Hydroslatics. 

Hislier Matliemalics. Classes will le arrano-ed in more advanced ma- 
thematics, if suffîcient demand for such instruction is forthcoming. 

Cambridge University . — Lectures proposed by the Spécial Board 
for Malliematics; in three terms: I, the Michaelmas Term begin oct. ij; 
II, the Lent Terni, January 18; III, the Easter Term, April 2i5. 

FousYTH : Partial Diff. Equations (I et II, 3 h.l; Calculus of Varia- 
tions (I), 2. — Dauwix : Theory of Potential and Attractions I), 3 : 
Figure of the Earth and Precession (II), 3. — R. S. Ball : Planetary 
Theory (1), 3; Application of Geometry to Dynamics (II), 3. — Lah- 
MOR : Electrodynarnics (I et II), 3 ; Elementary Mathematical Physics 
(II), 3 ; The theory of Gases and Molecular Slatistics of Energy (III), 3. 

— HiNKS (for Prof. Darwin on and Prof, sir Pi. S. Ball) : Démonstrations 
in Practical Astronomy (I et II), -i ; Observatory, Prac. \York. (I et II). 

— Thomson : Propertics of Matter (I), 1 ; Elecli'omagnetic Waves (I). 
'1 ; Electricity and Magnetism (II et III), 1 ; Discharge of Electricity 
througli Gases (II), -i. — A. B. Peace : Heat et Heat Engines (I), 3. — 
HoBSON : Spher. et Cylindrical Harmonies (Ij, 3 ; Sound and vibrations 
(II), 3. — RicHMoxi) : Analytical Geom. of Curves (I), 3; Analyt. 
Geom. of 3 dimensions, proj. properties (II), 3. — Bakeiî : Eleni. 
Theory of Funktion.«. (l et II), 3 ; Theory of Groups (III), 3 ; Solid Geo- 
metry (for Part. I), l, 3; Analysis (for Part. II et III), 3. — Macdo- 
XALD : Waves (especially waves of Light (I), 3 ; Ilydrodynamics. — 
MoM.isox : Th. of Potential a. Electrostatics (III), 3. — Heumax : Hy- 
dromechanics (for Part. I), II, 3 ; (for Part. II), II, 3. — Matiiews : 
Alg. Functions (Elem.), I ; Th. of Alg Xumbers (II et III), 3. — Wni- 
TKHEAD : Appl. of Symbolic Logic lo Cantor's theory of Aggrcgatc 
(1 et III); Non-Euclidean Geometry (III). — Beuky : Ellipt. P\inctions 
(I et II), 3. — Bkxxett : Linear a. Quadratic Complexes (II), 3. — 
MuxDito : Ilydrodynamics et Sound (for Part. I), I, 3. — Whittakeiî : 
The Diff. Equations of Applied Mathematics (I), 1 ; General Dynamics 
(II). — Guace : Invariants and Geometrical .Applications. 



374 NOTES ET DOCUMENTS 

Dundee, University Collège, University of St Andrcivs. — Professer : 
Steggall; Assistant Lecturer : Norrie. — Pure Mathemalics. Junior 
Class. Ordinary Class. Junior Hon. Class. ; Senior lion. Class. — 
Applied Mallieinadcs. General Class. Advanced Class. 

Durham. UnU'ersUy . — Ilonour Mathematical Lectures, in 3 terins 
(1, II and III). Professor Sampson : First Year, I Algebra, 3 : II ïri- 
gonometry, 3 ; III Analyt. Conie Sections, 3. Second Year, I Calculus, 
3: II Dynamics, 3 ; 111 Solid Geometry, 3. Third Year, I Calculus, 2 ; 
II Dynamics, i ; III Solid Geometry, i. Second and Tliird Years, 1 Op- 
tics, 1 ; II Astronomy, -i ; III Revision, ■!. 

Lecturer Heawod. First Year, 1 Geometry, 3 ; II Dynamics, 3 : III 
Newton. Second and Tlùrd Years, I Hydrostatics, a; Statics, i; II 
Rxamples of Intégral Calculus, -x; Statics, i; III Differential Equa- 
tions ; Papers, i . 

Edinburgh. University . — Prof. Chrystal : Sen. Mathematics. — 
Prof. CHRYSTALetChas. Tweedie : Matliem., Intermediate Hon.; Advan- 
ced Ilonours, 3. — Horsburgh : Mathem. Int. Course Honours, prati- 
cal Division. — jNIac Gregor : Natural Philosophy ; Tliermodynamics. 
— Knott : Dynamics, 3 ; Applied Mathem. 

Glasgow. University. — Jack : Mathematics, 3; INIath. Honours 
(Interm.), 3 ; in Advanced, 3. — Gray : Natural Philosophy; Iligher 
Mathem. A. B. ; Becker : Astronomy. 

Liverpool. University. — ^lathematics. Professor : F. S. Caiucy : 
Assistant Lecturer : Sharpe et Hudsox. 

Pure Mathematics. Preliminary Course, 3. — Int. Course, 3. — Final 
et First Year Honours Course, Elem. of the inf. Calculus, with appli- 
cations of the properties of conic sections, 3. — Final et second ^ car 
Honours Course, Diff. a. Intégral Calculus, diff. équations, with ana- 
lyt. plane et solid geometry, 3. — Third Year Honours Course, Diff. 
lùjuat., higher pi. et solid Geometry, deiinite intégrale, finite diffé- 
rences. — Advanced Course; th. of functions, elliptic functions. 

Applied Mathematics. Interm. and First Year Honours Course, Sta- 
tics, Dynamics, Hydrostatics, 3. — Final et second Year Honours 
Course, Analyt. Statics, Hydrostatics, dynamics of a particle et ele- 
mentary rigid dynamics, 3. — Third Year Honours Course Rigid dyna- 
mics et hydrodynamics, Attractions et theory of waves, 3. 

London. University Collège. — Mathematics. Professor : lliM. ; 
Assistants : IIarris, Filon. 

Lower Junior Class- (//ams), 3. — Junior (^lass {llill), 5. — Senior 
Class (/////and Filon), First Years Course : Algebra, Plane Trigonom., 
Geom. Conics, x ; second Years Course : Elem. proj. Geometry, 
Geom. Draving, Plane Goordinale Geometry, j. ; First Year"s Course : 
Dilf. et Integr. Gale, x; Second Years Course ; id. i ; Sphei'ical 



yOTES ET DOCUMENTS î?'' 

TrigonoiM. — Iligliei" Senior Class, IIill : Th. of Functions, i ; 
Algehra of Quantics, i. — FiLOX : Ellipt. Functions, i ; Diff. Fquat., 
1 ; Discontinous Functions with Applic. to Math. Physics, i ; Diff. 
Equat., I. 

Applied Math, and Mechanics. Prof. K. Pjîaiisox ; Assistant : Filon, 
Kinernatics, Statics, Dynamics, Hydrostatics, Astronoray. 

Newcastle upon-Tyne The Durltam Collège of Science. Matheniatics. 
Professer : H. P. GunxEY. Assistant Prof. : Jessop. (".. W. C.\unt, 
W. M. Davidson. 

Nottingham. Universihj Collège. — ^Nlathematlcs and Physics. Pro- 
fesser : W. H. Heaton. Lecturers in Mathematics : Tayloiî, Barton, 
Shaw, EnsKiNE, Mlrrav, Morley, Newton. 

Pure Mathematics. Lower Junior Course, 3 ; Higher Junior Course, 
3; Lowerintei'm. Course, a; Interm. Course, i; Lower Senior Course, 
5 ; Higher Senior Course, ',. — Exercice Classes. Mathematics for 
Engineering Students, 5. — ^lixed Mathem. 

Oxford. University. — Lecture List for Michaelmas Tenu lyo'-i. — 
Mathematics. — Elliot : Th. of Numbers, 2 ; Infinité Séries and Pro- 
ducts, I. — TuRNER : Elem. ^lath. Astronomy, -i ; Practical Work 
(with Plummerj. — Esson : Analytic Geometry of Plane Curves, -x ; 
Synth. Geometry of Plane Curves, i. — Love : The ^lechanics of De- 
formable Bodies, 1 ; Probleras in Applied Mathem., i. — Hasefoot : 
Algebra, 2. — Leudesdorf : Proj. Geometry, 3. — Jolliffe : Analyt. 
Geometry, 3. — Blssell : Diff. Calculus, 7. — Me Neile : Curve Tra- 
cing, I. — Pedder : Problems in Pure ?klath., i. — Sampson : Higher 
Solid Geom., 2. — Campbell : Diff. Equations, 2. — Tiio.mpson : Inté- 
gral Calculus, -1. — Hayes : Analyt. Statics, 3. — Dixon : Hydrosta- 
tics, 2. — Gerrans : Adv. Rigid Dynamics, 1. — Kirkuy : Attractions 
et Electrostatics. 

Reading. Uni^'cr.'iiij/ Collège. — Mathematics. Professer : A. L.Bow- 
LEY. Assistant Lectures : H. Kapman. — First Year Course (A) and (B). 
— Second Year Course (A) and (B). — Advanced Génies. 

Sheffield. Universiti/ Collège. — Mathematics. Professer : A. H. 
Leahy. Lecturer; H. G. Dawsox. — Leaiiy : Analysis ; Elem. Dyna- 
mics, Elem. Hydrostatics ; Optics ; Astronomy. — Dawson : Geome- 
try; Elem. Mechanics ; Elem. Hydrostatics. — Spherical Harmonie 
Analysis. — Higher Classes fer Heneur Degrees in Mathematics. 

St-Andrews [Uni\-crsitij of). United Collège of St-Salvator and St- 
Leonard. — Mathematics. Professer : Lang. There are four Math 
Classes : Junior Class, Tuterial Class, Ordinary Class, Honeurs Class 
(Jun. and Sen.). 



376 NOTES ET DOCUMENTS 

Southampton. Hartley University Collège. Mathematies. Professer : 
HuDSOiV ; Assistant Lecturer : Cowlishaav. 

Pure Mathematies. Lower Junior Class, 6 ; Junior Class A, 4 ; B, ^t. 
— Interna. Class 5. — Senior Class, 5 ; Higher Algebra, Trigonom., 
Pure Geom., Analyt. Geom., Elem. Ditf. and Int. Calculus. — lligher 
Senior Class. 

Mixed Mathematies. Junior Class; Introductory Mechanics and Hy- 
drostatics, 3. — Interm. Class, .2; Elem. Statics and Kinetics ofParticles 
et Piigid Bodies , Elem. Ilydrostatics. — Senior Class, -^ ; Kinetics and 
Statics of Particles et Bigid Bodies. Stat. of Incompressible Fluids. 
Elem. Statics of Elastic Fluids et Solids. Optics and Astronomy. 

SUISSE 

Basel. (Universitâi). — H. Kinkelin : Diff. u. Int. rechn., I, i ; Ana- 
lyt. Geom., 3 ; Diff. gleichgn., 3 ; Uebg. im math. Sem., 2. — K. \o^ 
DER MiiiiLL : Analyt. Mechanik mit Uebgn., 4; Ueber einz. Kapitel d. 
Math.-phys., 4: Math. phys. Uebgn., 2. — R. Flatt : Piidagog. 
Sem. math.-nat. Abtlg., 3. 

Bern. (Univcrsitàl). — Graf : Besselsche Funkt.m. Bep., 3; Ellipt. 
Funkt. m. Rep., 3 ; Diff. gleichgn., 2 ; Diff. u. Int. rechnung, -j.; Ren- 
ten-u. Versicherungsrechn., 2. — Graf u. IIuber : Math. Sem., 1. — 
Graf u. Moser : Math.-versicherungsw. Sem., i. — Ott : Int. reclin., 
■j. ; Analyt. Geom.^ II, 2; Analyt. Mech., 2. — Huuer : Balmbestim- 
mung der Planetcn u. Kometen, 2; Fouriersche Reihen u. Integralen. 
Anw. auf d. Phys., 2. — Bemeli : Darst. Geom., Kurven, Strahlen- 
fliichen, reg. Polyeder, 2; Ueb., 2; Prakt. Geom., i ; Konstruktive 
Perspeklive, i; Rotationsfliichen, i. — Moser : Ausgew. versiche- 
rungs^\•l. Kap.; Elem. d. ^Vahrscheinlk. -rechn. u. d. Lebcnsversiche- 
rungsmathematik, i. — Crklier : Fini, in d. synth. Geom., 2 ; (Jhap. 
choisis de Géométrie, 2. 

Genève. (Unu'crsitc, ij oct. ; 22 marsj. — C. Cailler : Calcul dill. 
et int., 3 ; Exerc, 2; Mécanique rat., 3 ; Exerc, 2 ; Conférences d'A- 
nalyse sup., 2. — H. Fehr : Algèbre, 2 ; Géométrie analyt., 2 ; Exer- 
cices, 2; Courbes planes, i ; Séminaire de Géom. sup., i. — R. Gau- 
Tii:i{ : Astronomie générale, 2 ; Météorologie, 2. — J, Lyox : Détermi- 
nants, I. — D. MiRi.MANOFF : Etjuations de la Phys. matli., 2. 

Lausanne. {Unu'crsitc). — A.mstein : Calcul dill". et inl., G h.; Il, 2 h.; 
Exercices, I, 2 h. ; U, 1 h.; Elém. de Cale. diff. et intégral (cours des- 
tiné aux étudiants en se. nat., 3; Théor. des fonctions, 3. — Joly : 
Géométrie desc, I, "i ; Epures, i ap.-m. ; Géom. analyt., 2 ; Géom. de 
Posit,, 2; Courbes planes, 2. — Mayor : Mécanicpie rat., > ; lOxcrc, 1 ; 
Phys. math., 2; Statique graphique, I, 2; 11, 2 ; i^^pures, 1 ap.-m. — 



yOTES ET DOClMESrS 377 

Maillard : Astronomie, i ; Complémcnls, i ; Méc. céleste, i ; Exerc. 
pédagog., -i. — Jaccottet : Théorie des équat. alg., 2. 

Zurich- (Ecole polytechnique, section normale des sciences matliéniati- 
f/iies) (du iJi oct. au 26 mars). — Première année. Hihsch : Differen- 
lialrechnung, ', : Repetitoriuni, i ; Uebungen, i. — Fkaxhl : Calcul 
différentiel, ', : Répétition, i ; Exercices, 2. — Geiser : Analytische 
Cieometrie, \ ; Repetitoriura, i. — W. Fiedler : Darstellende Géomé- 
trie, 4; Rep., I ; Uebgn., \. — Lacombe : Géométrie descriptive, 4; 
rȎp., I ; Exerc, 4- 

Les i années suivantes. — Hlrwitz : Differentialgleicliungen, 4 ; 
l'ebgn.. I ; Invariantentlieorie, 'j.. — Franel : Théorie des équations 
différentielles, 4; Exerc, i. — W. Fiedler : Géométrie der Lage, 4. 
— Lacombe : Géométrie de position, 2. — Fraxel et Hurwitz : Math. 
Seminar, i. — Herzoo : Mechanik, 2 ; Teil, 4 ; Rep.. i ; Uebgn., 2. — 

IIiRSCH : Variationsrechnung, 3. — X : Vermessungskunde, 5; 

Rep., I ; Uebgn., 1; Erdmessung mit Rep., 2; Geod. Praktikum, 2. — 
WoLFER : Einl. in die Astronomie, 3; Uebgn., 2; Planeten-und Kome- 
tenbahn-Restimmungen, 2. — Stadler : Theor. Piidagogik mit Eins- 
chuss der Sozialpàdagogik, 2 ; Racon u. die Regrïmdung der moder- 
nen Naturw. 

Cours libres. — Reyel : Geom. Einl. i. d. gr.iph. Statik, 2 : Rechen- 
schieber m. Uebgn., i ; Darst. Géométrie, 2: Fliichen 2. Gr., 2. — 
J. Keller : Th. d. Zentralprojektion m. Anw. auf d. pratische Pers- 
pektive, 2: Th. d. Projectivitiit, 2; Collineation u. Affmitiit. 2. — 
Kraft : Geschichte der Mechanik, 2. — Rebsteix : Kartenprojektion, 
I ; Versicherungsmathematik, i ; Ausgew. Kap. aus d. hôh. Géodésie 
u. Ausgleichungsrechnung, i. 

Zurich ( L'nivcrsitât) (l'j Okt ; "> Miirz). — Rlrkhardt : Elem. d. 
Diff. u. Integralrechnung, 4; Gewohnl. Diff. gleichgn., 1; Math. Sem., 
2. — Wolfer : Astronomie (v. plus haut. Ecole polyt.). — ^^'EILER : 
Analyt. Geom. m. lebgn., I, 3 ; Algebra in. Uebgn., 2. — Gibler : 
Algebr. Analysis mit Uebgn., 2 : Zahlenthcorie, i ; Inhalt u. Méthode 
d. Math. Unterriciits an ^littelschiilen, 2. 



CHRONIQUE 



Les Travaux Mathématiques au Congrès de Sciences Historiques 
à Rome en 1903. 

Un Congrès International de Sciences Historiques s'est tenu à Piome 
du -x au 9 avril 1903, sous les Auspices du Roi d'Italie, Victor Emma- 
nuel III. L'organisation du Congrès avait été faite sous la direction du 
ministre de l'Instruction Publique, jNI. Nunzio Nasi, et du maire de 
Rome, M. le prince Prospero Colonna. Le Congrès comprenait huit 
Sections qui nommèrent comme président, M. le sénateur P. Villari et 
comme secrétaires, MM. G. Gorrini et J. Giorgi. La Section des Scien- 
ces, organisée par MM. les sénateurs P. Rlaserna et V. Cerruti et par 
MM. V. Volterra, de l'Académie des Lincei, P. Giocosa et G. Loria, 
élut comme vice-présidents MM. de Galdeano, P. Giacosa, S. Gûnther, 
E. Lebon, G. Loria, E. Millosevich, Stieda, V. Volterra : comme 
secrétaires, MM. A. Balducci, L. Carpi, V. Tonni-Bazza, G. Vacca, 
Ci. Vailali; et nomma chaque jour un président différent : furent dési- 
gnés MM. P. Tannery, K. Sudhoff, R. Blanchard, S. Gûnther, V. Vol- 
terra, E. Lampe, Benedikt. 

A plusieurs reprises, une question d'intérêt général fut agitée, celle 
de l'enseignement universitaire de l'Histoire des Sciences, déjà abordée 
au Congrès Historique tenu à Paris en 1900. De discussions auxquelles 
prirent part beaucoup de membres, il est résulté l'adoption du vœu 
suivant : « L'enseignement de l'Histoire des Sciences sera institué par 
la création de cours universitaires divisés en quatre séi'ies : i""* Sciences 
Mathématiques et Astronomiques, 'x^ Sciences Physiques et Chimiques, 
3" Sciences Naturelles, Z,*^ INIédecine. En outre des éléments d'Histoire 
des Sciences seront introduits dans les programmes de l'enseignement 
moyen. » 

Dans la lîci'tic Gcnérale des Sciences (ifii juin) de M. Louis Olivier, j'ai 
résumé toutes les Communications faites dans la Section des Sciences; 
dans L'EnseigncmentMat/ie/natiquc. j\'\poHe plus explicitement les Com- 
ijiunications relatives à l'Histoire des Sciences Mathématiques ('). 

M. Paul Tannery, directeur de la Manufacture des tabacs de Pantin, 
expose les points principaux d'une Note sur l'histoire des mots analxjse 
et synthèse. Il distingue deux sens. A. Le premier est celui d'opéia- 
ti<ms, qui ne se retrouve plus actuellement en Mathématiques, mais (jui 



(') C'est avec le plus vif rcgrel que je ne résume pus les Coniiiniiiicjilious de 
MM. M. Darvai, 1''. MilLi.i'R et G. Vacca, parce que mes noies élaieiil insulfisunlos 
pour les exposer convenablement et que mes lettres de ilcmandes de n-iisci^'iu- 
mçnts à ces trois auteurs sont restées sans réponses. 



C H ROSI QUE i79 

oxislait dans l'Arithniélique Grecque. L'idée primitive correspondrait 
à la foruiation et à la mise en détail de groupes monétaires. La généra- 
lisation a été faite par les grammaii'iens, qui ont introduit la notion 
d'élément (primitivement lettre de l'alphabet) et ont transmis ces mots 
aux langues modernes. B. Dans le sens de processus logique, le mot 
analyse correspond au contraire primitivement à l'idée de défaire un 
nœud. Les Mathématiciens Grecs Font emprunté aux logiciens et lui 
ont opposé abusivement le mot synthèse. Viète a réintroduit ces deux 
mots dans la Mathématique moderne ; Descartes les a fait passer dans 
la langue philosophique, où la confusion existe actuellement entre les 
deux sens. 

M. MoRiTZ Cantoiî, Prof, à l'Université de Heidelberg, a donné, 
d'après les Ecrits eux-mêmes de J. Cardan, des détails biographiques 
qui n'avaient pas encore été signalés. Ces Ecrits sont intitulés : De 
Vita Propria, De Subtilitate et De Varietate : le premier a servi pour 
les particularités de la vie de Cardan et les deux autres pour exposer 
l'état de ses connaissances. 

M. ViNCEXZio Toxni-Bazza, ingénieur à Rome, a exposé surN. Tar- 
taglia, de Brescia, quelques aperçus nouveaux résultant de ses recher- 
ches, dans les Archives de \enise notamment. Ces Archives contien- 
nent r « Inventaire w des objets que possédait ce mathématicien et qui 
a été dressé par le notaire Rocho de Benedictis. C'est aussi ce notaire 
qui a libellé le « Testament » de Tartaglia ; ce document est très inté- 
ressant, car c'est à peu près le seul qui contienne des données exactes 
sur sa famille et sur sa \ ie. Après l'avoir lu et commenté, M. V. Tonni- 
Bazza a fait remarquer que les contemporains de Tartaglia laissèrent 
celui-ci dans une pi'ofonde indigence. Ensuite il a cherché à prouver 
qu'un Manuscrit de Tartaglia, intitulé De Numéris et Mensuris et se 
trouvant dans une des bibliothèques d'Oxford, est de la main même de 
ce savant, et il a fait ressortir la valeur scientifique de cet Ecrit. Enfin 
il a dit qu'il a trouvé dans les Archives d'Urbino une lettre adressée 
par Tartaglia à l'ingénieur militaii'e Castriota, et il a lu de cette Lettre 
quelques fragments complétant ce que l'on sait sur ce mathématicien. 
A la suite de son émouvante Communication sur Tartaglia et de détails 
sur le lieu de sa sépulture, ^L ^ . Tonnl-Bazza fut délégué par la Sec- 
tion des Sciences du Congrès pour la représenter à la Cérémonie que 
la ville de Brescia prépare en l'honneur de son illustre fils. Dans une 
autre Communication à propos de la Vie et des Ouvrages de B. Castelli, 
M. V. Tonni-Bazza a fait connaître quelques détails inédits, et surtout 
a relevé l'accusation de plagiaire qui a été faite à l'égard de Castelli pour 
son Livre intitulé La Misiira dette Acqiie Corrcnti, fondement de 11 Iv- 
draulique. Cette accusation avait été portée à la suite de la découverte, 
dans une Bibliothèque de Rome, d'un Manuscrit de Léonard da Vinci, 
où l'on retrouve presque mot à mot quelques passages de la théorie de 
Castelli. ^L V. Tonni-Bazza s'est eflbrcé de démontrer, par des argu- 



38o Cil ROM QUE 

ments tirés de la biographie d(i Castelli et de lllistoire des Sciences, 
qu'il n'y avait pas eu de plagiat. 

M. GiovANM Vailati, Prof, à 1 Institut technique de Cônie, a défendu 
Archiuiède au sujet de la démonstration qu il a donnée du principe du 
levier, dans son Ouvrage Sur f équilibre des figures planes. Il lui semble 
que les critiques faites par M. E. Mach, de l'Université de Vienne, et 
tendant à qualifier cette démonstration de pétition de principe, ne sont 
pas fondées et qu'elles résultent d un examen insuffisamment appro- 
fondi des axiomes et des définitions qui en constituent le point de 
départ. Elle est fondée sur des propositions fondamentales relatives 
aux propriétés élémentaires des centres de gravité des corps rigides ; 
son caractère logique, qui résulte de l'analyse de ces propositions, 
paraît présenter à M. G. Vailati une remarquable affinité avec celui qu on 
attribue au procédé employé par Cauchy pour déduire le principe de 
la composition des forces d'une équation fonctionnelle et de quelques 
axiomes, justifiés par des raisons de symétrie. 

M. GiULio PiïTAiîELLi, Prol. à lUniversité de Rome, a parlé de 
PLetro Délia Francesca da Borgho San Sepolcro, peinti'e du xv'' siècle, 
dont M. Wintinberg vient de publier à Strasbourg le Traité De Pcr- 
spettiva Pingendi. Après avoir montré l'importance de Délia Fran- 
cesca comme peintre, il le signale comme étant le premier auteur dun 
exposé rationnel de la perspective. 

M. GusTAVO UziKLi.i, à Florence, a montré, dans un iNIémoirc très 
original, que la longueur des diverses parties du corps de Jésus-Christ 
a servi de base aux mesures en Italie pendant le Moyen Age. Ce Mémoire 
est le résumé de la Brochure tjue M. G. Uzielli a publiée sous le titre : 
Misure lincari Medioc^'ali e l'effigie di Chiîisto (Firenze, 1899). 

M. Em. Lampe, Prof, à l'Ecole polytechnique de Bei'lin, a donné 
d'intéressants détails sur le passé et l'avenir du Jalirbucli i'ibcr die 
Forlscliritte der Matheinatik. Cette publication, fondée en iSji pai' 
Ohrtmann, mort en i885, et par M. Félix ^liiller, a pour but d'analyser 
toutes les publications en Mathématiques p)ires et appliquées. Los ana- 
lyses réunies dans un même ^^)lume comprennent toujours les Ouvrages 
et Mémoires d'une année et sont rangées selon les sujets. Il existe 
3i Volumes ( 1 8()8-i9oo) ; le ■\'i^, qui est sous presse, rendra compte 
des Ecrits parus en 1901. Le lecteur trouve sur quelques pages les tra- 
vaux qui ont trait à un même sujet et prend vite connaissance de l'état 
des recherches sur une question déterminée. 11 y a un grand noujbre de 
collaborateurs et chacun ne r(;nd compte qm; des travaux qui font l'ob- 
jet de ses recherches de prédilection; grâce à cette organisation. I<s 
analyses font toujours bien ressortir les idées principales des auteurs. 
-M. F. Millier étant maintenant âgé de soixanlo-trois ans, cherche un 
successeur; il espère que ses forces lui periiu-ltront d"attendr(î (pi Un 
jeune s;ivant veuille bien aussi se sacrilier à la direction d'une (iMivre 
très utile, mais nullement rénumératricc, le nombre des abonnés étant 



ClIItOMQUE 38l 

assez restreint et la publication n ''-tant dotée d'aucune subvf;ntif)n. 

M. le Prof. Elia Millosevich, directeur de 1 Observatoire du Col- 
lège Romain, a exposé l'histoire du Canon des licUpses, publié par 
T. von Oppolzer, et montré que l'iconographie qui y est annexée pré- 
sente des imperfections pour préciser immédiatement les dates histo- 
riques. Après avoir signalé le Canon des Eclipses établi par F. K. Gin- 
zel, il montre l'importance de l'Atlas qui se trouve dans cette œuvre et 
qui donne, pour les Eclipses Solaires totales et annulaires, les régions 
couvertes par l'ombre dans le monde classique ancien, de l'an 900 avant 
J.-C. à l'an 600 après J.-G. Enfln M. E. Millosevich propose qu'une 
nouvelle édition de cet important Atlas, avec une Préface rédigée au 
point de vue historique, soit publiée par ses éditeurs, à un prix modique 
permettant une vente étendue. Cette proposition est votée à l'unanimité 
par les Membres de la section, persuadés qu'un tel Ouvrage serait très 
bien accueilli par les Historiens. 

M. SiEGMUND GiiNTHER, Prof. à l'Ecole Polytechnique de Munich, a 
décrit le « Baculus Astronomicus » ou « Jakobstab », qui est en prin- 
cipe une combinaison de deux règles articulées de manière à permettre 
la mesure des angles ; cet instrument a été le plus souvent employé 
pour prendre la hauteur du Soleil à midi, afin d'en déduire la latitude 
géographique. Il divise en trois périodes l'histoire du Jakobstab. 
D'abord, les Grecs ont eu l idée de cet instrument : le « dioptra » de 
Hipparque en est une première forme ; Archimède, dans son livre inti- 
tulé Arenarius, donne, pour trouver le diamètre apparent du Soleil, 
une méthode qui s'appuie sur le principe du Jakobstab. Puis, dans 
le xiv" siècle, le juif espagnol Levi ben Gerson a donné à cet instru- 
ment la forme que l'Astronomie a adoptée jusqu'au xvii^ siècle. 
M. S. Giinther fait remarquer que Breusing s'est trompé en attri- 
buant l'invention du Jakobstab à Regiomontanus pour la seule raison 
que ce dernier en donne la description, car il est certain que cet astro- 
nome avait dans sa bibliothèque le livre de Levi. Enfin, à partir 
du xv*^ siècle, les marins qui naviguaient dans l'Océan Indien appli- 
quaient, pour mesurer la hauteur de l'étoile polaire, une certaine com- 
binaison de cordes à nœuds fondéesur leprincipe deJakobstab ; déplus, 
le Manuel Nautique publié par l'amiral Abu Saïd. sous le règne de Soli- 
manle(îrand, contietitla description d'un semblable procédé de mesure. 
M. S. Giinther conclut en disant que la Science n'est pas encore arrivée 
à établir de liaison entre ces trois phases de l'histoire du Jakobstab. 

M. Ernest Lebox, Prof, agrégé au Lycée Charlemagne à Paris, 
Lauréat de l'Institut, a exposé un « Plan d'une Bibliographie Analy- 
tique des Ecrits contemporains sur l'Histoire de l'Astronomie ». Ce 
« Plan » a été signalé par plusieurs Journaux et Revues (*) : les uns 

(') Notaiiimeiit par : // Giornale </ Ita/ia (Rome, ï et 6 avril, 19 mai> ; /.a Persc- 
ueranza (Milan, 2>. avril) ,■ L Ediicalion yalionale (Athènps. 28 avril) ; llullctin delà 
Sociefe Astronomique <lf France [?m'U, uiai; ; Le Journal du Dimanche [Vavis, 10 maij ; 

Enseignement malh. ^5 



38a CHROMQUE 

l'ont résumé, d'autres en ont publié des extraits. De plus, à 1 Académie 
des Sciences de Paris, dans la séance du 1 1 mai, ce « Plan » a été 
signalé par le Secrétaire Perpétuel, M. Gaston Darboux, et a été pré- 
senté par l'un de ses membres, M. Paul Appell(*). 

M. R. Almagià, à Rome, a exposé les observations de marées dues 
à Eratosthène, Posidonius etSeleucos, auxAnglo-Saxons et aux Arabes, 
en faisant remarquer qu'elles ont un assez grand degré d'exactitude. 
Ensuite, il a rapporté les principales hypothèses pour expliquer ce 
phénomène au point de vue de la relation entre les mouvements de la 
mer et les phases de la Lune. Enfin, il a montré que les contradictions 
entre ces hvpothèses proviennent de ce que 1 on ne connaissait pas 
l'universalité du phénomène des marées et surtout de ce que Ion ne 
mesurait pas leurs hauteurs ; ce n'est qu'à partir de l'époque où Léo- 
nard da Vinci eut, le premier, indiqué la nécessité dune telle mesure 
que la vraie explication du phénomène fut donnée par les astronomes. 

^L Baratta, à Voghera, a fait remarquer que la fréquence des trem- 
blements de terre en Italie a certainement contribué à développer dans 
ce pays les études sismologiques. Mais, si les recherches de caractère 
général sont anciennes, il n'en est pas de même de la constructi<m d'ap- 
pareils destinés à 1 étude des commotions terrestres. M. M. Baratta n'a 
pai'lé que des appareils et il les divisé en deux groupes : les sismo- 
mètres à pendule et les sismoscopes à mercure. Pour le premier 
groupe, il a cité les observations de N. Cii'ilo en ijîi, de A. Bina 
en 1731, de ^L Augusti en 1779; il a parlé longuement de l'appareil 
que D. Salsano construisit en 178^ et de l'instrument le plus perfec- 
tionné, le pendule établi en 1 793 par le duc de la Tour. C'est de Hau- 
tefeuille qui proposa, en i7o'3, la construction de sismoscopes à mer- 
cure, mais ce ne fut guère qu'un siècle plus tard que A. Cavalii en cons- 
truisit un. M. M. Baratta a donné l'histoire, peu connue, de A. Cavalii, 
auteur des Lettere Meteorologiclœ Romane, et ajouté que le sismoscope 
de ce dernier fut, après avoir reçu de successifs perfectionnements, 
introduit dans les Observatoires d'Italie. J^nfin, il a décrit le biliUiire 
dynamique proposé en 1 838 par C. Keil, de Milan, en i8','2 par Colla, 
de Parme et en 1887 par Moureaux, de Paris. 

jNL le Prof. Attilio Mohi, topographe de l'Institut Géographique 
Militaire à Florence, a fait hommage à la Section des Sciences, au nom 
de cet Institut, de son intéressant Mémoire intitulé Cenni storici 
sui lavori Gcodetici c Tupografici e stil/e princi/ja/i prudiizioni Cartogrn- 
fîche esrgiiitc in Italia dalla nictà del secolo XVHI ai nos tri giorni (con 



La yaliire (Paris. iC» mai); Bulletin tles Sciences Matlicmatit/iien et Phyfi(/iic.i élé- 
mentaires (Paris. !■•' juin): Nature (Londoii. 18 juin): Dulleiin Axtrontuiiirfue de 
f Observatoire de Paris (juillet lyol) : Rei-ue Scienli/if/ue P;iris. ; juillet) : Memorie 
délia Societa de^li Spellroscopisli Italiani (Calania. Vol. X.X.XIIj. 

('1 Lps paroles do M. P.iul .Appcll ont été rcsuini'c-; dans l.c l'ciiips (Paris, ij ni.ii) 
ol dans le Journal ()//tciel (Paris, -j.it niaii. 



CHRONIQUE 383 

Il ritralti, Firenze, igo'J). La célèbre opération de la mesure de l'arc du 
méridien dans les Etats Pontificaux, exécutée de i^jo à 17VJ, sous la 
direction de Boscovich et Maire fut le commencement de la Cartographie 
scientifique en Italie. Ce travail fut suivi par les opérations de Beccaria en 
Piémont, des Astronomes de Bréra en Lombardie, de Rizzi-Zannoni 
dans le Royaume de Naples, des ingénieurs géographes français dans 
l'Italie Septentrionale et Centrale, du baron de Zach dans plusieurs 
parties de la Péninsule. Une seconde période comprend les grandes 
entreprises de l'Institut Géographique Militaire de Milan, qui fut trans- 
féré à Vienne, de l'Office Royal Topographique de Naples, de TEtat- 
Major Piémontais, surtout sous la direction des célèbres G. Inghirami 
pour la Toscane et A. La ^larmora pour la Sardaigne. La dernière 
période comprend lœuvre de l'Institut Géographique Militaire et de la 
Commission Royale Géodésique, entreprise aussitôt après l'unification 
du Ro3aume d'Italie et continuée avec ardeurjusqu'à présent. M. A. Mori 
aussi a demandé qu'il fût entrepris nne Bibliographie Géodésique Ita- 
lienne. Enfin il a signalé la grande importance pour lAstronomie des 
Manuscrits Scientifiques de L. Ximénès, qui fut Ihomme le plus savant 
de son époque ; ces Ecrits sont à la Bibliothèque Nationale de Florence. 

M. D. DiAMiLLA-MuLLER, à Rome, a rappelé que la propriété des 
pôles de Taiguille aimantée était certainement connue en Europe au 
xii" siècle : on en trouve la preuve dans un Livre Chinois qui est à la 
Bibliothèque Nationale de Paris et dans un ^lanuscrit de la Bibliothèque 
de Leyde. Il a fait remarquer que la première indication de la variation 
exacte de la déclinaison a été faite par Colomb, le i3 septembre 149-^. 
Enfin il a donné l'historique suivant de la légende qui attribue, mais 
faussement, à Flavio Gioa l'invention de la Boussole. L'Jiistorien Flavio 
Biondo a écrit en i '1 Jo que des navigateurs d'Amalphi avaient inventé 
l'usage de laiguille magnétique pour reconnaître le Nord en mer; quel- 
ques années plus tard, G. B. Pio écrivit : « In Campania veteri magne- 
tis usus inventus à Flavio traditur. » Les trois derniers mots se rap- 
portent, non à Flavio Gioa, mais à Flavio Biondo, que l'on nommait 
simplement Flavio à cause de sa grande célébrité. C'est surtout pour 
faire bannir des livres classiques une croyance erronée que M. D. Dia- 
nilla Muller a fait cette communication. 

M. Umberto Pagani, Prof, à Rome, a fait connaître par quelles 
mains ont successivement passé cinq fragments d'un l)olide qui éclata 
le iG janvier i iyG, au milieu de douze coups de tonnerre, au \a\ di 
Noce, à quelques lieues de Forli. Ce phénomène eut pour témoin Nova- 
cula, qui l'a raconté. Au point de vue météorologique, astrologique et 
religieux, il a paru à M. Pagani intéressant de rappeler et de résumer 
la chronique de Novacula, d'ailleurs depuis longtemps laissée dans 
l'oubli. M. U. Pagani termine en attribuant au même bolide les ti;ois 
pierres qui sont, a-t-on écrit, tombées le u8 janvier i ',<jG près de Cesena 
et dont on a fait une célèbre croix. 

Ernkst Leijon (Paris), 

Délégué par le Ministre de rinstruclion Publique. 



CORRESPONDANCE 



Une annotation à l'algèbre d'Euler. 

Dans son Algèbre, Euler termine le chapitre des fractions décimales 
périodiques en se proposant de calculer i : lo !. Pour cela, il se met 
à calculer i : -i!, i : 3!, etc., enfin à agir comme on fait quand le but 
est de trouver la valeur du nombre e, et en effet on n'a guère besoin 
de connaître i : lo ! qu'en sa qualité de terme de cette suite. Mais si 
on voulait connaître i : lo ! pour lui-même et indépendamment de e, il 
y aurait une façon de calculer plus x'apide, plus taclnstaritliinétique. 
Qu'on nous permette ce néologisme exprimant une idée analogue. à la 
géométrographie de M. Lemoixe (qui aurait peut-être été mieux dénom- 
mée tacliistograpliie) . 

Décomposons 10 en ses facteurs premiers 



il est facile de voir que lo ! = loo X Si X 0', X ij. 

()v la division par loo se fait par un déplacement de virgule ; de 

plus-;;— est un (juotienl d<'S plus connus, de sorte qu'il ne reste à faire 

<[ue les divisions par 7 et (>', ; ou bien, ce que je préfère, par -, par 8 
cl encore par 8. 

T ,V H I. I-: \ V D 1; s O I' 1': K A T I O N S 

Division par 100 di- i.ood 

81 de 0.0 II» 000 

7 do 12 J .{56 790 i'2 

8 de 17 6']6 68.4 3o 
8 de 2 -joi 585 54 

Donc I : 10 ! := o.odO 000 "275 557 '9 

Cet exemple montre comment il faut varier les procédés de calcul 
suivant qu on poursuit un résultat isolé, ou bien un ensend)le de résul- 
tats devant inciier à un l>ul donné. 

Cri. IjKkot-i.i.î:, Rioz (Ilaute-SaAnc). 



CORRESl'O.yDANCE ;8 = 



Le problème du veilleur de nuit. 

Quelle heure sounc-t-il ;' — (^u'ou en additioiun" 
Les moitié, liei's et quart, le total donnera 
En même temps la somme et de l'heure qui sonne 
]']t de celle qui dans une heure sonnera (^) . 

Ce problème se résoiid à pi'eniièi'e vue par la eoiisidcralion <{ue le 
plus grand nombre d'heures est justement le plus petit commun mul- 
tiple de 2, 3 et 4. 

Mais il est intéressant de résoudre ce problème enfantin par une 
méthode générale. Or ici les équations ordinaires ne sont pas de mise 
et il y a lieu de recourir à l'eniploi des congruences, module \i. Au 
lieu de rendre cette idée par M. 12 ne vaudrait-il pas mieux la rendre 
par 12^0. ? 

Voici le calcul : 



-t-4 

4 


= 


X + yX 


+ 1 


1 3 

X 

11 


= 


IX -f- I 




l■^x 


= 


1:\X -(- 


1-2 


X 


iSE 


0^12 





C'est-à-dire quil a sonné minuit et que dans une heure il sonnera 
une heure. 

Cela prouve qu'il y a certains calculs inventés pour résoudre des 
questions très élevées, qui peuvent servir à en résoudre de très sim- 
ples, même d'enfantines. 

N'y aurait-il pas lieu de parler des congruences, dès le chapitre des 
équations algébriques du i'''' degré ? 

Ch. Behdellé, Rio/. (Ifaule-Saône). 



A propos du récent article de M. Combebiac. 

Pour établir de claire façon que le postulat classique des parallèles 
est indémontrable, M. Combebiac {V/ùis. inatli., 190 >, p. 162) a sim- 
plement recours à l'habituel argii/nent de non-contradiction. 

Cet argument ou plutôt ce sophisme me paraît avoir été réfuté dans 
cette Revue (t. \\\ 190.», p. 'V^o-V^'^). 

C. N'invi. , Paris). 

(') Iraité de 1 allemand, do lIiiiiLL (Œuvres, édition eu ! \olimi>-<, Karl>;ruho, 
1847, ni" vol., p. \v>'i). 



BIBLIOGRAPHIE 



E. Bardeï. — Anleitung zxir Auflosung eingekleideter Aufgaben. 

Zweite, vôllig umgearbeitete Auflage, vou Fr. Pietzkeu. — i vol. in-8" 
cart. i6o p.; prix; Mk. 2,60. B.-G. Teubner, Leipeig, igoS 

Ce livre n'est pas un simple recueil d'exercices, mais un guide méthodi- 
que ayaut pour objet létude de la mise en équation des problèmes de l'Al- 
gèbre élémentaire. L auteur examine neuf catégories de problèmes appar- 
tenant les uns aux mathématiques pures, les autres aux sciences appliquées. 
Chaque catégorie comprend un certain nombre de problèmes étudiés d'une 
manière très approfondie. 

Nous devons ajouter que cette nouvelle édition difFère entièrement de la 
précédente. M. Pietzker ne s'est pas contenté de surveiller simplement la 
réimpression de 1 ouvrage ; il a entièrement remanié l'exposé, de manière à 
en faire réellement un guide utile à la fois aux maîtres et aux élèves. 

EuG. Beltrami. — Opère Matematiche, publicate per cura dclla Facullà 
di Scienze délia R.. Università di Fiouia. Tomo primo; con Ritratto e Bio- 
graphia dcll' Autore. — Un vol, in-4'^, XXII-437 p.; prix : L.aâ; Ulr. 
Hœpli, Milan, 1902. 

La Faculté des Sciences de FUniversité de Rome et les savant italiens ne 
sauraient élever à la mémoire d'Eugène Beltrami un monument plus digne 
que celui que constitue la publication des œuvres complètes de 1 illustre géo- 
mètre. De même que les travaux de Brioschi, ceux de Beltrami vont être 
léunis en une série de beaux volumes in-4'^, sortant des presses de la Tipo- 
graphia Matematica de Palermo, et édités par la maison Hœpli, à Milan. 

En tête de ce premier volume, lîgure une belle notice dans laquelle M. Cre • 
niona caractérise en quelques pages la vie et l'œuvre du grand goonièlre. 
Fuis viennent les mémoires, au nombre de 26, que publia Beltrami, de 1861 
à 1868, dans les Ahiiali di Matematica, le Giornale di Matcnuitiche, les 
Rendiconti, les Nouyelles Annales, etc.. Ces premiers mémoires appartien- 
nent au domaine de la Géométrie et principalement à celui de la Géométrie 
inflnitésimale. On y trouve, entre autres, les mémoires suivants, qui ont été 
le point de départ d'importants travaux entrepris par d'autres savants : 
Ricerche di Analisi appUcata alla Geometria ; Sulla /Icssione délie super- 
ficie rigatc; délie variabili coiiiplesse sopra tina superficie (jiialunque : Saf(f,'i(> 
d' interpetrazione délia Ceoitiriria nun-euvUdea : Teorin fondamentale deffli 
spazi di cuvvalui a costante. 

Nous devons nous borner à celte ('numération. Les lecteuis trouveront 
d'ailleurs au tome II de celle Revue (année 1900, p. 173-178); nue notice sur 
Eugène lieltraini, sa vie et ses travaux, par M. Frattiui ; elle est suivie 
de la liste des publications du Professeur /i. Beltrami. 

IL FiiiK. 



Bl liLIOGHAPHIE 387" 

Emm. Czubek. — Probabilités et moyennes géométriques, innJuii de 
l'allemand par Sciii iiî.ma.ns. — Gr. iii-8", i'i î p.; piix ; H tV. ')0, Hermann, 
Paris, 1902. 

Cet ouvrage a pour objet piincipal de grouper la clatise nombreuse des 
problèmes de probabilités où les cas possibles constituent un domaine 
continu. 

Pour la plupart d'entre eux, les données sont d'ordre géométrique, ou bien 
les énoncés sont susceptibles de représentation géométrique, et c'est ce ca- 
ractère qui a déterminé le titre du livre. 

Les questions traitées, ainsi que les méthodes employées, sont fort 
attrayantes et me paraissent présenter au plus haut degré le caractère de 
ft récréations mathi-matiques ». Ce n'est pas un des moindres attraits de ces 
questions que la diversité des solutions qu'elles comportent suivant les con- 
ventions que l'on adopte pour l'évaluation de la probabilité ou plutôt pour 
la dédnition de l'égalité de probabilité. 

Pour un très grand nombre de problèmes, il n eût peut-être pas été inutile 
d'indiquer chaque fois les conventions admises et les conditions matérielles 
susceptibles de leur correspondre. 

Parfois, la convention s'impose naturellement. 

Ainsi, si un point est assujetti à l'unique condition de se trouver sur une 
ligne de longueur 7,, on convient, / et l étant les longeurs de deux segments 
de cette ligue comptés à partir de l'une de ses extrémités, que les probabili- 
tés pour que le point se trouve d'une part entre les points /et l-\-dl, d'autre 
part entre les points /' et /'-j- dl sont égales, de sorte que la probabilité 
pour que le point se trouve entre les points / et / -j- c? / est exprimé par le 

dl 
rapport — - — . 

En vertu d une convention analogue, si un point est assujetti à se trouver 
à l'intérieur d'une sui'face d'étendue S, la probabilité pour qu'il se trouve à 

l'intérieur d'un élément de superficie ds est exprimée par le rapport ; — 

Mais cette simplicité est loin de se retrouver dans tous les problèmes et 
les rapprochements que nous pourrions faire entre certaines solutions (no- 
tamment entre celles des problèmes VII et X) montreraient que les mélho- 
thodes appliquées supposent, sans que le lecteur en soit prévenu, des conven- 
tions divergentes dans la définition de l'égalité de probabilité. 

Au point de vue de l'élégance des méthodes et des résultats, nous mention- 
nerons spécialement les questions relatives à la position d'une droite 
arbitraire par rapport à des contours fermés. 

Nous signalerons encore les questions où, non seulement le nombre des cas 
possibles est infini, mais encore où leur domaine devient lui-même infini, tels 
que les problèmes qui reposent sur la probabilité de la réalité des racines 
d'une équation du second degré, dont les coenicienls peuvent prendre toutes 
les valeui's réelles de — se à -f- 00 . 

Disons en terminant (jue nous aurions quelques réserves à faire sur les 
qualités de la traduction. G. Combi.iuac (Limoges). 

E.-A. FouKT. — Leçons élémentaires sur la théorie des fonctions 

analytiques. 1'' l';irti<> (C:hapilre I à Y). — l'n vol.. grand iu-8", 3 !o p.; 
avec 359 fig. ; prix : fr. 7 20. Paris, Gaulhier-Yillars, 1902. 



388 BIBLIOGRAPHIE 

L'auteur des leçons élémentaires s adresse plus parliculièreraenl aux étu- 
diants des Facultés des Sciences, mais son livre rendra de réels services à 
tous ceux qui désireront acquérir une vue d ensemble sur létat actuel de la 
théorie des fonctions analytiques. 

A côté des principes bien connus de cette théorie, on y trouve des rensei- 
gnements précieux sur la plupart des résultats dont s'est enrichie cettu bran- 
che de l'analyse depuis Cauchy et Weiertrass. 

Ce premier fascicule, seul paru, contient 1 introduction et le livre I. L'in- 
troduction est partagée en deux sections, La première traite des tonctions 
eu général. Un aperçu de la théorie des ensembles, permet à M. Kouët de 
préciser le sens d'un certain nombre de locutions employées dans la théorie 
des fonctions. C'est dans la 2® section que l'auteur introduit la notion de 
fonction analytique, mais auparavant il définit avec précision les notions de 
limite, de continuité, de convergence. 

Le livre I est consacré à l'étude des méthodes générales de définition et 
de représentation des fonctions. Les fonctions qu'on est amené à étudier 
peuvent être définies de bien des manières : par une équation, une série, une 
intégrale, etc. Dans tous les cas les mêmes questions se posent : la fonction 
ainsi définie est elle analytique? Quelles sont ses propriétés caractéristiques ? 
Le chapitre I est consacré à la théorie classique des fonctions algébriques. 
La considération des surfaces de Riemann aide à rendre intutives les pro- 
positions établies. Parmi les exemples donnés dans ce chapitre on remar- 
quera les transformations linéaires. 

Nous passons ensuite aux fonctions définies par des séries et des produits 
infinis. Les propriétés générales des séries et en particulier celles des sé- 
ries entières sont exposées avec détail. Un paragraphe spécial est consacré 
aux séries trigonométriques, mais l'auteur se borne à un historique, fort in- 
téressant du reste. Nous pénétrons ensuite dans le domaine à peine exploré 
des séries divergentes. M. Fouet dit quelques mots des recherches de MM. 
Poincaré, Stieltjes, Padé et Le Roy (les lecteurs désireux d'approfondir ce 
sujet sont renvoyés aux sources), mais il s arrête un peu plus longuement 
sur la théorie de M. Borel. Le chapitre se termine par lélude de quek[ues 
séries classiques (fonction exponentielle, circulaires, fonction eulérienne. 
séries hypergéométriques). 

Les fonctions définies par des séries multiples et des produits infinis 
Diultiples sont étudiées dans le chapitre m. Nous trouvons à la fin du cha- 
pitre l'étude des trois fonctions de Weicrstrass et des fonctions thêta. 

Dans le chapitre suivant, qui est consacré aux fonctions définies par des 
intégrales, il y a lieu de remarquer une généralisation de la notion d inté- 
grale due à Riemann et la démonstration du théorème fondamental de 
Cauchy donné par M. Coursât, déinonstralion qui n'exige pas d'hypothèse 
relative à la continuité de la dc-rivée. La série de 'i'aylor déduite de la for- 
mule de Cauchy permet d'obtenir le développement des fonctions algébricjues 
étudiées au chapitre I"*". 

Le volume se termine par la théorie du prolougcuicut analytique, d après 
Weierstrass. Une question importante est traitée à la fin du dernier chapitre: 
celle du développement des fonctions en une série de polynômes. Il serait 
diflicile d'énumérer tous les sujets traités ou seulement effleurés par M. Fouël. 
Certainement son livre rendra de réels services; il inspirera au lecteur la 
curiosité de lire les mémoires originaux. D. MiKi.M.v.'sokF (Ceuève'. 



hiuliograi'II I !•: iSg 

Maurice Lévy. — Éléments de Cinématique et de Mécanique. Con- 
formes au Prograïuiuc d'admissiou de 1 VLcoie ctiilralc dos Artt ol Manu- 
factures. — I vol. XVI11-412 p. grand in-8 ", prix : 10 francs. Bernard et C'*^, 
Paris, 1902. 

Le programme d admission de l'École cenlrale des Arts et Manufactures, 
dont cette Re\'iie a publié récemment les points principaux (n" de jan- 
vier 1903}, accuse des tendances que l'on pourrait qualifier de réalistes. 

Concrétiser les notions, faire appel, pour en préciser certaines, à d autres 
ressortissant à un domaine différent, laisser de côté les subtilités au béiié- 
lice de la clarté, employer moins de logique pure et plus d images senso- 
rielles, établir une correspondance sans lacune entre les faits objectifs et les 
propositions scientifiques, telle est la méthode. 

Ses avantages nous paraissent incontestables tant au point de vue de la 
gymnastique intellectuelle qu'au point de vue utilitariste. 

On conçoit ce que peut donner ce programme, lorsqu'il est appliqué par 
lesprit lumineux et puissant, qui a présidé à son établissement. 

M. Maurice Lévy s'y est strictement conformé. Ainsi qu'il nous en prévient 
dans l'Introduction, il a évité de donner la première place à de convention- 
nelles abstractions, et est allé au plus droit vers le réel. 

Malgré le caractère élémentaire de 1 ouvrage et l'extraordinaire simplicité 
des moyens employés. Ion sent que l'on est bien en présence d une œuvre 
de maître, dont la lecture sera du plus grand profit, non seulement pour les 
candidats à l'Ecole centrale, auxquels elle est destinée, mais aussi pour tous 
ceux qui s'intéressent aux méthodes de présentation des principes de la 
Mécanique, taul au point de vue de l'enseignement qu'à celui de la satisfac- 
tion de la raison. G. Combebiac (Limoges]'. 

B. Riemann S Gesammelte "Werke.^aclitriigc herausgegeben von M. >.'œ- 
THEK und ^^^ Wiktinger. — Un vol. in-S*', 116 p.; prix : Mk. 6: B.-(i. 
Teubner, Leipzig, 1902. 

Depuis lapparilion de la deuxième édition des OEiari-s Je liiemann, on a 
trouvé un certain nombre de documents qui montrent que, dans ses coui's, le 
savant géomètre avait été beaucoup plus loin que dans ses jiublicalions. Ces 
documents ont été réunis dans le présent volume, qui paraît sous le titre de 
« Supplément aux œuvres complètes». Ils comprennent : i) des notes relatives 
aux leçons sur la théorie générale des intégrales algébriques (semestre 
d'hiver 1861-62', avec des annotations de M. Nœther ; 2) un extrait d'une 
leçon sur les intégrales d'une équation différentielle linéaire du second ordre 
en un point multiple (hiver i856-57) ; 3) des notes relatives aux leçons sur la 
série hypergéométrique (semestre d'hiver iSSS-Sg), avec des annotations 
de M. Wiktinger ; 4) diverses notes mathématiques ; 5) diverses notes ccn- 
ccrnanl Riemann. 

M. ScHusTER. — Geometrische Aufgaben una Lehrbuch der Géo- 
métrie. Planinietrie. Stéréométrie. Ebeno uud sphiu-ische Trigonomelrie. 
>'ach Konslrukliv-analylischer Méthode bearbeit(>t. Ausgabe A (Fur Vol- 
anstalten) zwciter Teil : Tri^oiioinctrie. — Un vol. cartonm-, 112 p. in-8^'; 
prix : Mk 1,60; B.-G. Teubner, Leipzig. 1903.. 

Ce recueil d Exercices de Trigonomelrie plane et sphéi it/ne est appelé à 



Sgo BIBLIOGRAPHIE 

jouer un rôle utile au moment où. dans l'enseignement secondaire, on tend 
de plus en plus à emprunter des problèmes aux diverses branches des 
mathématiques pures et appliquées. On y trouve en effet non seulement des 
exercices et problèmes purement théoriques, mais aussi des problèmes 
élémentaires concernant la Topographie, la Cosmographie. l'Astronomie, la 
Navigation, la Physique, etc. Grâce à la variété des exercices et au soin avec 
lequel ils ont été classés, ce petit ouvrage peut être recommandé à tous ceux 
qui enseignent la Trigonométrie. 

H. -G. Zeutukn. — Histoire des mathématiques dans l'antiquité et au 
moyen âge, traduite en français par Jean Mascart. Un vol. in-8" de 
xv-296 pages. Prix : 9 francs. Paris, Gauthier- Yillars, éditeur. 

Cet ouvrage, comme l'écrit M. Zeutlien dans sa préface, a pour but « de 
mettre principalement en relief ce qu'il importe aux étudiants et aux profes- 
seurs de savoir ». 

Pour de tels lecteurs, point n'est besoin d'entrer dans de grands détails 
historiques, il faut plutôt connaître les aspects primordiaux sous lesquels se 
manifestèrent aux chercheurs les vérités et les méthodes et quelles applica- 
tions en découlèrent par la suite. 

La notion précise de ces origines sera donc la condition indispensable 
pour comprendre la lente évolution des formes qui a lîni par donner, au 
cours des âges, leur physionomie actuelle aux mathématiques. 

Après avoir signalé brièvement les connaissances mathématiques des 
Egyptiens et des Babyloniens, l'auteur aborde la partie principale de son 
sujet, l'œuvre des mathématiciens grecs. Le savant danois voit, avec juste 
raison, « dans la découverte et le traitement ultérieur des grandeurs irra- 
tionnelles, et la force principale et la principale faiblesse des mathémati- 
ques grecques ». Les géomètres hellènes cherchèrent à rendre toute 
démonstration applicable, même à ces grandeurs qui ne se peuvent qu ap- 
proximativement exprimer par des nombres. Ainsi se développèrent leurs 
scrupuleuses tendances à l'impeccabilité des déductions et à la précision des 
termes. La mathématique devint alors la science exacte par excellence. 
Mais d'aussi grandioses conceptions n'auraient point dû entraîner l'indiffé- 
rence pour les essais tendant à calculer approximativement ce qui ne com- 
porte pas pleine et entière exactitude. Archimède (moit en 212 av. J.-C), 
en indiquant les limites entre lesquelles doivent être situées les quantités 
cherchées, eut beau montrer qu'on pouvait exprimer d'une manière irrépro- 
chable les résultats mêmes d'un pareil calcul, son exemple ne fut pas suivi 
de ses compatriotes qui, poui- la plupart, considérèrent comme secondaire 
le calcul pratique. 

Le fondement de l'Arillunétique grecque u eut ni la largeur, ni la fermeté 
scientifique de la base sur laquelle Euclide établit la (iéométrie et, jusque 
vers l'an 3oo après J.-C., on négligea presque complètement la science des 
nombres en Grèce et à Alexandrie. Alors vint Diophantc qui apporta 
quelque innovation dans ce domaine. Entre les modes d'exposition anté- 
rieurs et les siens, existe une difi'érence capitale. Il s'occupe seulement de 
problèmes numériques spéciaux et n'utilise pour les résoudre que des opé- 
rations purement numériques sans établir jamais de théorèmes généraux. 
Ayant renoncé à la reprc'sentation géométrique de ses prédécesseui's, il dut 
recourir à un moyen nouveau pour désigner à lespril une (]uantilé inconnue 



m HLioGnAi'ii i E 391 

^e même quo ses fonctions simples, (^c tiil 1 origine fies symboles ol^r- 
hrifjaes. 

Au contraire des Grecs, les savants de l'Inde ne manif'eslèrent aucune 
aptitude pour la rigueur théorique et. pour eux. le calcul nuim-rique et son 
empirisme pratique devinrent le véritable moj'cn tie s'approprier les théo- 
rèmes et les méthodes. Au moyen âge, les Arabes développèrent puissam- 
ment l'héritage que les géomètres grecs et les arithméticiens hindous leur 
avaient transmis. Eu particulier, ils imprimèrent un vigoureux essor à la 
Trigonométrie et à ses applications astronomiques. 

L'apparition du fAber-Abaci de Léonard de Pise (1202) signale le premier 
réveil des mathémathiques européennes que ses successeurs, 1 italien Lucas 
Paciuoli, l'anglais Bradwardin, les français Oresme et Chuquet, les alle- 
mands Widmann, Peurbach et Regiomontanus firent honorablement pro- 
gresser, en attendant que les Yiète, les Napier, les Fermât, les Pascal, les 
Newton et les Leibniz inaugurent, par leurs géniales découvertes, Père de 
la science moderne. 

Là s'arrête le livre de lérudit professeur de Copenhague, et. comme con- 
clusion, nous ne saurions formuler qu'un regret : c'est qu il n'ait pas con- 
tinué son histoire des mathématiques jusqu'à notre temps. 

Jac:ques Boyer [Paris). 

Sammlu.ng Goeschex. Volumes p. iu-12, cari., prix : 80 Pfg. le volume. 
G.-J. Goeschen, Leipzig. 

Cette Collection comprend aujourd hui plus de i5o monographies apparte- 
nant aux domaines les plus divers des connaissances humaines. Son but est 
de donner une introduction, à la fois simple et exacte, aux principales 
branches de la science. Elle s adresse donc non seulement à ceux qui, déjà 
mêlés à la vie pratique, désirent compléter leurs connaissances générales 
dans quelques branches, mais aussi aux professeurs auxquels elle présente, 
sous une forme entièrement objective, un aperçu de l'état actuel des connais- 
sances foudamenlales de la plupart des branches de l'enseignement. 

Les volumes qui se rattachent aux sciences mathématiques pures ou appli- 
quées sont actuellement au nombre d'une vingtaine; ils sont dus à des 
hommes d'une compétence incontestable dans le domaine dont ils se sont 
chargé, et c'est à cela que doit être attribué le grand succès de la collection. 

Les derniers volumes parus sont les suivants : Projektive Géométrie 
(2" édition), par K. Doehlema.nn; c'est un exposé synthétique des éléments de 
géométrie modei'ne. — Darslellende Géométrie, par R. Uauss?<er; on y 
trouve la projection oblique et ses applications, et la projection orthogonale 
appliquée aux principaux problèmes relatifs à la droite, au plan et aux 
polyèdres. — Hôhere Aiialysis, 2. Teil; liitegralrechnung (2*-' édition); 
Bepetiloriiim itnd Aufgabensammlung ztir Difj'ercntialrcchnuug; (id) ... ziir 
/ntrgralreckiiiiiig, les trois volumes par Fr. Ju.nker; les deux derniers cons- 
tituent un excellent recueil d'exercices à utiliser dans un premier enseigne 
ment du Calcid différentiel et intéçjral. H. F. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



Annali di Matematica pura ed applicata. dirigées par L. Bianchi, L. Cre- 
MO^A, U. DiNi, G. Jung; série J. t. VIII, G. Rebeschini, Milan, 1902. 

Fasc. 2-3. — NiccoLiîTTi : Sulla formola di Taylor. — Marletta : Studio 
geometrico dclla quartica gobba razionalc. — Tedone : Saggio di iiiia looria 
générale délie equazioiii dell'equilibro elastico per un corpo isotropo. — 
BoGGio : Sull integrazione di alcune equazioni lineari aile derivate parziali. 

Fasc. 4- — BoTTAsso : Sopra le coniche bilangenli aile superGcie algebrichc. 
— BoRTOLOTTi : Sul limite dcl quozieute di due funzioni. — Niccoletti : Alcu- 
ni teoremi sui determinanli. — Gkaf ; De la détermination de certaines fonc- 
tions d'après des conditions données. 

Archiv der Mathematik und Physik, gegriuidet 1841 durch J.-A. 
Gkunekt. Drittc lîcihe. Herausgegebcn von E. Lampe, W. Franz Meyer, 
E. Jahnke. Band V. 1903 ; B.-G. Teubner, Leipzig und Berlin. 

Hefte I und 2. — J. Weingarten : Ueber einc Aufgabc der Mechauik. — 
W. ScHELL : Synlhetische Behandlung einigcr Problème iiber Kurvcn dop- 
pelter Krûmmung. — R. Sturm : Ueber einen verraeintlich richtigcn Satz 
von Gergonne und ûber Umformungen von Maxlmal-und Minimaliignron. — 
A. IIuRWiTz : Ueber hôhere Kongruenzen. — T. Levi-Civita : Sur la singula- 
rité dont sont alfectées, pour une vitesse nulle, les équations du mouvement 
d'un point matériel frottant sur une surface. — E. Jahnke : Bricf von Lever- 
rier an Jacobi ; Bricf von Liouville an Jacobi. — H. Orrrz : Ueber die 
Auflôsung der transcendcnton Gleichung 



yzzzO 



L. Matïhiessen : Von der Periodicilat dor Kcltenljruclie, in welclie sicli 
Irrationale zweiten (j rades entwickelu lassen. — E. Naetscu : Uebei" eiu in der 
Vektor-Analysis auftretendes System partieller Differentialgleichungou 
I. Ordnung. — T. IIavasui : On thc Remainders of tlie Nuilibers of Triangle 
of Pascal with respect to a Prime Number. — M. u Ocag.ne : Ueber eiuige 
clcmentare Grundgcdanken der Nomographie. — O. Glntscue : Ueber den 
Znsammenhang eincïr bei der Losinig von Alhazens Aufgabc auftrelenden 
iili'ichseitigen Hypi^ii)el mil der ueucren Dreiecksgeometrie. — K. Landau : 
Ueber den Ycrlauf der /.ablenlheorctischen Funktion tp (.1;; Ueberdie .Ma.xima- 
bjrduung der Permutation gegebenen Grades. — E. Mûli.eu : ICin Uel)ertrag- 
ungsprinzip des llcrru E. Study. — K. Gwo.idzinski : Distanzrelationeii 
zwischen Punkteii und Gcradcn dcv l-lbiMic sowie Punkli 11 und Ebeucn lui 



BULLETIS lilHLIOi^RAPIIIQUE '>93 

Rannic. — F. Emde : Der C.liaraklor dcr Bolricbskurvcn einos Gleich- 
btroinraolois mit Xebenschlusserregung. — S. Gundelfi.ncer : Ueber eine 
fundamcnlale kiibische Gleichung zu derTheoiia motus corp. cel. von Gauss. 
— E. Lampe : Bemerkung zu dir xorsli-lieudon Note des llerrn S. Gundel- 
finger. — Rezensionen. — Veniiischle Mitteilungcn. — Sitzungsborichte dcr 
Berlincr Mathcmatischcn Gcsdlscliai'l. 

Bibliotheca Mathematica. Zcitschriit fiir Gpsrliiclilc dcr mathema- 
tischen Wissenscbat'ten, herausgegeben von (i. Enestkom, 3. Folge ; 
4 Band ; B.-G. Jcubner, Leipzig. 

Heft I. — G. Enestkom : Ueber kulturhislorischc uud faehmassige Be- 
handlung der Geschichle dcr Mathematik. — W. Schmidt : .Nivellierinstru- 
ment und Tuunelbau im Alterlunie. — F. Rldio : Zur Rehabilitation des 
Simplicius. — R. Wallnek : Die Wandlungen des Indivisibilicnbegriffes 
von Cavalieri bis Wallis. — H. Suter : Ueber einige noch nicht sicherges- 
tellte Autorennamcn in den Ueberselzungen des Gerhard von Cremona. — 
G. LoKiA : Ossej'vazioui sopra di un problema pseudo-elementare. — Pexi- 
DER : Uebersicht ûber die Litteratur des Abelschen Theorems. — Siegm. 
GuNTHER : Maximllian Curlze. — G. Enestrôm ; Ueber die Aufgaben einer 
math. Zentralbibliolhck. 

Bulletin of the American mathematical Society, public par F.-N. Cole, 

A. ZiwET. D.-E. S.MiTii. Macinillau Cumijany, Laucaster, Pa., and Xew- 

York. — •i''- série, igoi. Vol. IX. 

Janvier. — F.-X. Cole : The October Meetingof the American Mathema- 
tical Society. — ¥. Cajohi : Séries whose product is absolutely convergent, 
— L.-E. Dickson : Three sets of generational relations dcfining the abs- 
tract simple group of order 660 : idem of Order 5o4. 

F'évi'ier. — W.-F. Osgood : On the transformation of the boundary in 
the case of conformai mapping. — V. Snyder : On the quintic scroll 
having three double Conics. — L.-P. Eisenhart : Surfaces referred to their 
Unes of length zéro. — E.-R. Hedrick : Supplementary Note on the Cal- 
culas of Variations. — E.-B. Wilson : The synthelic ln>atment of Conics 
at the présent lime. 

Mars. — F.-X. Cole: The ninth annual Meeting of the Amciican Mathe- 
matical Society. — G. -A. Miller : The December Meeting of the San FVan- 
cisco Section. — L.-E. Dickson : The abslracl Group G simply isomorphio 
with the altcrualing group on si.\ Ictters. — H. -F. Blicmfei.dt : X'ote on a 
property of the Conic Sections. — IL-T. Hudson : The aualytic theory of 
displacements. — Xotes. — Xc\v Publications. 

Avril. — F. Holgate : The January Meeting of ihc (Miicago Section. — 
E.-W. Davis ; Some Groups in Logic. — V. Snyder ; Cesàro's inlrinsic 
Gcomelry. — J. Piekpo.nt ; Gauss s Collected Works. — Il.-B. Wilson : 
Aualytic Projectivc Geometry. — Xotices diverses. 

Mai. — F.-X. Cole : The February Meeting of the American Maliieniatical 
Society. — E.-H. Mooke : On the Foundations of Malhomalics. — C.-J. 
Keiser : Concerning the a.viom of infiuity and maliieniatical induction. — 
E.-R. Hedkick. ; A. German Calculus for Engineers. 

Juin. — M. Bûcher : Singular Points of Funotious wliicli Satisfy Partial 
DilTerential Equations of the Elliplic Type. — A. -M. Xascu : lurata in Gauss s 



394 BULLETiy BIBLIOGRAPHIQUE 

« Tat'el der Anzahl der Classen Bimirer Quadratischer Formen. » — E.-Mc. 
Clintock ; The Logarithm as a Direct Fuuclion. — J.-l. Hltchinson: The 
Theory of Autoiuorphic Funclions. — E. B. Wilson. — Loria s Spécial 
Peane Curves. 

Juillet. — F.-N. CoLE ; The April Meeting of ihe Chicago Aiuerican Mathe- 
malical Society. — T. -F. Holgate : The April Meeting of ihe Section. — G. -A. 
Miller : The April Meeting of the San Francisco Secliou. — G. -A. Millek : 
A Fundamental Theorem wilh Respect to transitive substitution Groups. — 
Ed. Kasner : The Characlerizalion of CoUineatious. — \N'.-F. Osgood : A 
Modem French Calculus. 

Mathematische Annalen herausgegeben von F. Klei.n, W. V. Dyck, 
D. HiLBERT. Publication trimestrielle. Leipzig. Teubner. — Band, 56 u. 57. 
jjeft 3. — D. HiLBERT : Ueber die Grundlagen der Géométrie. — J.-H. 
Graf : Beitrag zur Auflosung von DilTerentialgleichungen zweiter Orduung, 
denen gewisse bestimmte Intégrale geniigen. — L. Lachtin : Die Differen- 
tialresolvente einer algebraischen Gleichung sechslen Grades allgemeiner 
Art. — E. Netto : Ueber die Zusammensetzung von Substitutionen aus den 
Trauspositionen. — P. Staegkel : Lineare Scharen gcodiilischer Liuieu. — 
K. Th. Vahlen : Ueber endlichgleiche Polyeder. 

Heft 4. — O. Blume>'thal : Ueber Modulfunktionen von mehrereu \ erau- 
derlichen. — A. Lœwy : Ueber reduzible lineare homogène Diirereulialglei- 
chungen. — K. Bceum : Zur Intégration parlieller Differeutialgleichungeu. 

— P. Epstei>' ; Zur Théorie allgemeiner Zelafunctiouen. — E. Landau : 
Neuer Beweis des Primzahlsatzes und Beweis des Primidealsalzes. - — 
E. Laxdau : Ueber die Klassenzahl der biniiren quadratischen Fornicn von 
negativer Discriminante. — M. ]Nœthek : Ueber die singularen Elemenle der 
algebraischen Kurven. 

Band 37. — i9o3. Heft 1. — F. Klein : Gauss wisseuschafliiches Tage- 
buch. (1796-1814) und ùber der Stand der Herausgabe von Gauss'VVerkeu. 

— O. BoLZA : Zur zweiteu Variation bei isoperimetrischcn Problcmen ; 
Ueber das isoperimetrische Problem auf einer gegebeuen Fliicho. — E. Lan- 
dau : Ueber die Darstellung definiler binarer Formen durch Quadrate. — 
E. Pascal : Eugenio Beltrami. — O. Zoll : Ueber Fliichen mit Scharen 
geschlosscncr geodâlischer Liniou. — H.-J. Hatziuakis : Ueber partielle 
Intégration. 

Heft 2. — D. HiLBERT : IS'eue Begrinidung der Bolyai-Lobalsciiefskyschen 
Géométrie. — \V. Boy : Ueber di Curvatiira intégra und die Topologie 
geschlosscncr Fliichen. — Yoshive : Anweudungeu der Yarialionsrcchuung 
auf partielle DifTcrentialgleichuugen mit zwei unabhangigen Yariabidn. — 

E. Sgii.miut : Ueber die Anzahl der Primzahlen nnler gegebencr Cîrenze. — 

F. ScHUR : Zur Proportionslehre. — H. S<;nuBERr : Ueber die Incidenz zweier 
linearer Riiumc beliebigcr Dimcnsiouen. — F. Lo.mjo.n : l'eljcr eiuen Salz 
aus der Théorie der ebenen KoUineationcn. — G. 1Ia.mi;l : Ui;l)( r die Gconie- 
trien, in denen die Geraden die Kiirzesten siud. 

Mathesis. — Recueil raalliémalique à l'usage des écoles spéciales, publié 
pai- P. Ma.nsio.n et J. 2S'i;uiii;rv;. Gand, Hosle. Paris, (ianlliiiT-Villars. Série 
3. l. Il et III, aniK'es 1902 «-t 1903. 
Octobre. — (>.-E. \Vasti;i:i.s : Sur le cenlit- de gi'avilc des llgnrrsi sphé-- 

riqucs. — J. ÏNeubkrg : Sur le complexe de Grassmaun. 



liCLLETiy /i/BLIOGIlAP/IIOi'f Jgj 

Novembre. — J. >•'. Siirpi-ises malhLnialic[ues. — H. Van Albhl : Notes 
de géométrie. — J. Ni;ubekg : Sur quelques cas particuliers d un tliéorème 
de Grassniann. 

Décembre. — P. M. : Sur l'analyse des Anciens. — Notes diverses. 

T. III. Janvier igoS. — M. Stuyvaekt : Une leçon sur les cubiques gauches. 
— A. Dk.moulix : Généralisation d'un théorème de Ed. Lucas. — Bibliogra- 
phie et notes diverses. 

Février. — C. Servais : Relations entre deux systèmes d a.vos. — G. Fo.n- 
TiNÉ : La construction de Nicollic pour le problème de Ilallcy. Notes et 
Bibliographie. 

Mars. — A. Boutin : Note sur quelques séries. — M. L.vuvernay : Pro- 
blème de géométrie. — J. Déprez : Géométrie du triangle. 

Avril. — P. M. : Théorie purement analytique des fonctions circulaires 
d'après Seidel. — L. Casteels; G. Delahaye : Problèmes de géométrie. — 
J. Rose : Sur le centre de courbure des coniques. — Notes, problèmes di- 
vers. 

Mai. — J. Neuberg : Sur les exemples de triangles homologiques dont les 
sommets sont situés sur six droites données. — Notes diverses et questions 
d examen. 

Juin et Juillet. — M. Stugvaert : La courbe horoptère. — E. Barisiex : 
Sur le quadrilatère inscriptible dans un cercle. — Notes et problèmes di- 
vers. 

Il NuOVO CimentO . — Organe de la société italienne de Physique publié 
par A. Bateli.i, A. Roiri, V. Yolterra, A. RiGHietP. Cardani. Publica- 
tion mensuelle gr. in-8**. Pise. Pieraccini, Série Y, t, lY et Y. 1902 et 1903. 
Novembre. — F". Maccarroxe : Conducibilita e ritardo di polarizzazione 
dielettrica. — T. Makti.m : P'enomeni che manifestano le polveri igrofile 
poste in contatlo con le soluzioni saline i miscugli alcoolici e gli acidi 
diluiti. 

Décembre. — S. Lussana : Proprieta termiche dei solidi e dei iiquidi. — 
E. Alessandrini : SuU' elettricita sviluppata per gorgoglio d'aria in acqua. 
— R. Magixi : Siiir uso dei reticolo di doffrazione aelle studio dellospetlro 
ultraviolelto. — L. Puccianti : Corrispondente elettrico dei diamagne- 
tismo. 

Année 1903. T. A'. Janvier, — G. Laurtcella : Sulla deformazione di una 
sfera elastica isotropa per date teusioni in superficie. — Dall Oppio : Intor- 
no l'inlerrutore di AVehnelt. — G. Scalfaro : La \elocita délia luce nei 
cristalli magnetici. 

Février. — P. Cardam : Determiuaziona diretla dei rapporlo di Poisson 
nei fili metallici. — G. di Ciommo : Sulla calibrazione elettrica d un fîlo con- 
duttore. — P. Bassi : SuUe azioni idrodinamiche csercolale da corpi solidi 
oscillanti in seno ad un liquido. 

Mars. — S. Lussa.na : Proprieta termiche dei solidi e dei lit|uidi. — P. Car- 
xAzzi : Influenza délia pressione e délia température sul coefficiente di com- 
pressibilità dei mercurio. — M. La Rosa : Sopra una Nota di A. H. Sircks 
intitolata » Alcuui notevoli fenomeni che riguardano il incuilo elettrico negli 
eletlroliti. — Anony.mi: : Sul fenomeno dcl i*rof. Banti. 

Unterrichtsblaetter fur Mathematik und Naturwissenschaften. Or- 
gan des Yereins zur Fordcrung des Uuterrichls in der Matiiouiatik und deu 



396 BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 

Katurwissenscliafteii. Begriindcl unler Milwirkung von Beruh. Sctiwalbk, 
herausgogebcn von F. PiiixzKiiR. Jahrg. IX, igoj ; O. Salle, Berlin. 

î\r. I et 2. — K. Geissler : DerAVinkelu. das Unendlichc. — Th.Adkian : 
Ueber die Bcrechnung der Niiherungswerte von tt — S. Leisen : Konstitu- 
tions u. Slrukturfornieln fur gcom. Koustruktioncn. — A. Scholke : Le- 
bcusversicherungs-Rcchniingeu beiiu Unlerricht. 

Publications non-périodiques 
M. C.vNTOK. — Politische Arithmetik oder die Arithmetik des tàg- 

lichen LebenS . Zweite Auflage. igna. i vol. in-S*^ de ij) p.B.-(T. Teubner. 

E. Delsol. — Principes de Géométrie, i vol. in-8'^ do 96 p. Pri.v : 1 fr. 5o. 
C. Naud. Paris igoB. 

A. Faifofek. — Eléments de Géométrie, à l'usage derEnseignemeut mo- 
derne et des Lycées. Traduction de la 13*^ édition italienne, par Fr. Talanti. 
I vol. in-8° de 585 pages. Prix 5 fr. Paris, Xony 190Î. 

R. FuETER. — Der Klassenkôrper der quadratischen Korper und die 
complexe Multiplication. Inaugural Dissertation, Gottingeu 1903. Une 
broch, gi-. in-S*^ de 70 pages. 

C. Glicuakd. — Traité de Géométrie. Deuxième partie ^Compléments} . 
I vol. in-8" de 43o pages. Paris 1903. Nony. 

Aug. Tafelmacher et R. Pœnisch. — Elementos de Matematicas. T. 4. 
Estereometria, i vol. cart. 80 p.; prix : P. i,5o. — T. 5 : Trigonometria 
plana, i vol. cart., 112 p.; prix : i,5o P. — T. 6: Aljebra 186 p.; prix: 
I fr. 80. Santiago du Chili, 1903. 

G. Hoi.y.MûLLER. — Methodisches Lehrbuch der Elementarmathe- 

matik. Dritlcr Teil. 2. Aullage. i vol. cart., 370 p,. prix : .M. 4 fr. jo ; B. (i. 
Teubner, Leipzig, Berlin, 1903. 

KiEi'ERT. — Grundriss der Differential und Integralrechnung. II. 

Theil : Integral-Itedinung. Aclile verbessei-le 11. vermclirle Aullage des glei- 
chnamigen Lcitfadens voii Max. Stem-.man.n. i vol. broché, g., iu-8", GGG p. ; 
Hclvingschc Verlagsbuchhandiuug, Ilaunover, 1903. 

H. MuLi.EK u.ND F. PiETZKKK. — Rechenbucli fiir die unteren Klassen 

der hoheren Lehranstalten . Ausgabc A.; fur Gymnasien. — 1 vol. cari. 
224 p.; prix : 2 fr. .\o; B.-(i. Teubner, Leipzig unti Berlin, igoS. 

OcAGXE (Maurice d'). — Les instruments de précision. Conférence faite 
au Conservatoire des Arts et .Métiers, le i 5 mars njoJ. Public-e par le Syn- 
dical des (Constructeurs d'Instruments de précision. Hôtel des Sociétés sa- 
vantes. 28, rue Serpente. Paiis. 



Le (Jèranl : C. NAUD. 



E V K E u X , I .M 1' R I M E K I E DE CHARLES U E R I S S E Y 



L'ENSEIGNEMENT MATHEMATIQUE EN RUSSIE f) 

KTAT ACTUEL. — ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR. 



En Russie, l'enseignement des niatliématiques supérieures se 
donne dans les Facultés phvsieo-mathéniatiques des universités, 
dans les sections inathémati([ues des Cours supérieurs deleiunies à 
Saint-Pétersbourg et à Moscou, enfin dans les écoles supérieures, 
instituts et académies techniques et écoles de génie. Pour le but 
que nous poursuivons, il sui'fit de nous en tenir au.x universités ; 
l'enseignement mathématique aux cours de femmes n'en dilFère 
que par quelques restrictions et il est confié aux mêmes profes- 
seurs; d'autre part, celui des écoles supérieures, académies et 
instituts techniques ou écoles de génie n'est pas assez indépendant 
des autres sciences. 

D'après le règlement universitaire de 1884 — encore aujour- 
d'hui en vigueur — l'enseignement mathématique devait poursuivre 
les buts suivants : i) les étudiants devaient étudier plus à fond 
les éléments de chaque science; 2 plus d'indépendance était à 
désirer dans leurs travaux; ,5 1 les professeurs eflectifs étaient dis- 
pensés de leurs fonctions tlexaminateurs et ces dernières tians- 
mises a des commissions particulières composées des savants piis 
en dehors de l'université: 4 1 institut des privat-docents se liou- 
vait largement développé alin d allirnier la lil)erté de l'enseigne- 
ment universitaire. 

Sous le règlement de i8().') l'enseignement était aljandonné aux 
professeurs presque sans contrôle. 11 y en avait (|ui laissaient 
leurs propres intérêts l'emporter sur ceux de leurs amliteurs. 



(') Voir dans le t. 1 lio cellf revue, l.'Apvnu hislmii/Kr .j). 77-iiuiK L'Elut actuel 
<{e t'fii.seiifiu-mcHl piimuiie (p. 4j>.o-44()). cl, dans celui de laiinée eouraiitc, t'Iitut 
uclnel dt' rfiiseii^neiiient secondaire (p. •i'i---i.(\i), 

l^iiscif'rieinoul iiiatti. xi\ 



398 HOBYMN 

Souvent ils 11c parlaient que superficiellement des éléments de 
la science ou ne présentaient des détails que sur. les parties du 
cours cultivées par eux-mêmes, lorce était aux étudiants de s'en 
tenir aux manuels. 

Quant il l'indépendance de leurs travaux, le règlement de i863 
ne contrôlait pas plus les étudiants que les professeurs. Les exa- 
mens dont le résultat valait beaucoup par le lait des droits au ser- 
vice d'Hltat et de la position sociale du jeune homme, avaient lieu 
pour chaque science à part, chez le professeur qui 1 avait professée. 
Les connaissances des étudiants se limitaient à ce qui leur avait 
été lu pendant l'année, c'est-à-dire aux notes que lun ou plu- 
sieurs d'entre eux avaient prises ii la leçon et lait lithooraphier 
ensuite. ]Malgré de nombreuses fautes ces lithographies tenaient 
lieu de manuel à tel point que bien des étudiants se passaient de 
suivre les cours de leur Faculté. 

Le règlement de i863 avait aussi admis les privat-docents. mais 
seulement pour enseigner les branches non obligatoires. Les 
cours obligatoires n étaient lus que par des professeurs ou des 
docents non privés et recevant une rétribution fixée. Le nombre 
des privat-docents était par conséquent très restreint. Le règle- 
ment de 1884 il contribué à l'augmenter : 1° en abolissant le grade 
de docent non privé ; r>" en donnant poui' trois ans celui de ])ri- 
vat-docent ii tout savant travaillant poui' le professorat et '6" en 
permettant aux étudiants de choisir entre le cours d'un professeur 
et celui dun privat-docent, si tous les deux enseignaient la même 
science. Mais en formant de cette manière l'institut des privat- 
docenls le règlement de 1884 n a presque rien fait pour l'assurer 
matériellement. C'est une des raisons (l'espace nous manque 
pour en citer d'autres) (pii expliquent pourquoi il n a pas altelut le 
degré de développement ([ui serait à désiiei'. 

Le règlement de 1884 a conservé la division de la l'acuité phv- 
sico-mathématique eu deux sections : a) mathénuititjue ; // des 
sciences naturelles. (^Milormément ii celte i'éj)artIlion, il établit 
pour la première section les chaires : i. de Mathématiques pures ; 
'a. de Mécanique théorique et pratique; .'L d'Astronomi»' et de 
Géodésie; 4- de Physique et de (léographie phvsique. 

Les commissions pailiculières avaient :i se prononcer sur les 
con!iaissauces des étudiants et ii leur distribuer les diplômes du 



L'ENSEIG.\EM [^.\T MATIlKMATIQli: EX liCSSlE ^99 

i*^'' OU 2" degré. Le règlement de 1884 chargea en même temps 
le ministère de ^Instruction publique de confirmer et de publier 
pour toutes les universités des « règles générales sur les examens 
subis dans les commissions et sur les exigences auxquelles on 
devait y satisfaire ». C'est en i88j que parut, publiée par le mi- 
nistère la « liste des exigences qu'ont à satislaire les jeunes gens 
faisant leur épreuve devant la commission physico-mathématique, 
Section des sciences mathématiques. » 

« I 1. Ceux qui subissent l'examen doivent connaître les scienres 
faisant partie de linstruction générale ph} sico-aiathématique, savoir : 
Mathématiques, Physique, Mécanique, Astronomie et Chimie (•). — 

§ JL. Chacun est soumis, en outre, à une épreuve complémenlaire in- 
diquée aux paragraphes 8 et 10. 

I 8. Le jeune homme soumis à l'épreuve complémentaire choisit 
deux sciences entre les cours suivants : 

•: i) Théorie des nombres, -i) Algèbre supér-ieure. '5) Théorie des 
fonctions elliptiques. 4) Géométrie supérieure. 

« 5) Théorie du potentiel avec son application aux phénomènes 
électriques et magnétiques. 6) Théorie cinétique des gaz. 7) Théorie 
mathématique de la lumière. 8) Théorie mathématique de lélasticité 
des corps solides. 9) Théorie mathématique de la chaleur. 

« 10) Cinématique du mouvement absolu et du mouvement relatif. 
1 1) Théorie générale du mouvement d'un solide. 

« i-i) Mouvement des corps célestes sur les coniques, i'^) Théorie 
des perturbations du mouvement. 14) Astronomie pratique. i5l Géo- 
désie. 

« !§; 9. Il est libre de remplacer cette épreuve par un examen de 
Mécanique pratique ou de Géométrie descriptive, à condition de savoir 
bien dessiner. — | 10. Les résumés des cours entendus à l'Université 
sur les sciences choisies ou des connaissances acquises, on générai 
dans leur domaine, font aussi partie de 1 épreuve couipléuientaire. Ces 
résumés, une fois agréés par la Commission, déteruiinent les exigences 
de l'examen. » 

Au moment où la commission phvsico-mathcmatique allait 
commencer à fonctionner le ministère de l'Instruction publique 
publiait, en 1889, ^^^ *^ règles et progranunes pour les examous 
devant la commission physico-mathématicjue. section des sciences 
mathématiques. » Nous n'en citerons que les programmes, la 
réglementation des examens ne présentant pas un grand intérêt. 



(') Voir ci-après (p. 4001, les pro},'-i'ainiiics. 



4oo BOBr.xiy 

Programmes de l'examen général dans la Commission physico- 
mathématique; section des sciences mathématiques. 

I. Programme de f examen de matliématiques pures. 

A. GÉo.MÉTUiE ANALYTIQUE. — Détermination de la position d'un 
point sur un plan à laide des coordonnées l'ectilignes et polaires. 
Transformation des coordonnées dans le plan. Signification géomé- 
trique des équations entre les coordonnées. Classification des courbes 
par leurs équations. Signification de Téquation du premier degré à 
deux variables. Formes les plus usitées de 1 équation du premier degré 
et signification de leurs coefficients. 

Problèmes fondamentaux relatifs aux points et aux droites sur un 
plan : a) expression de la distance entre deux points ; détermination 
des coordonnées du point divisant, dans un rapport donné, la droite 
({ui joint deux points; expression de Faire du triangle par les coor- 
données de ses sommets, b) Equation d une ligne droite passant par 
un ou par deux points donnés ; équation d'une droite parallèle à une 
droite donnée et passant par un point donné; équation dune droite 
passant par le point de rencontre de deux droites données, c) Condi- 
tion pour que trois points soient en ligne droite ; condition pour 
que trois droites passent par un même point, d) Détermination de 
1 angle de deux droites données; condition de perpendicularité de 
deux di'oites données; équation et longueur d'une perpendiculaire à 
une droite donnée, passant par un point donné; détermination du rap- 
port de deux segments d une distance entre deux points donnés, divisée 
par la droite donnée. 

Discussion des courbes représentées par 1 équation généx'ale du 
second degré à deux variables. 

Centre, diamètre, diamètres conjugués et axes des courlx-s du 
second degré. Equations des tangentes aux courbes du second degré 
et de leurs polaires, relatives au point donné. 

Réduction de l'équation générale des courbes du second degré à la 
lorme la plus simple à 1 aide des propriétés des diamètres et des axes. 

Construction de l'ellipse et du cercle, de l'hyperbole et de la para- 
bole. Déduction des propriétés fondamentales de ces courbes à 1 aide 
de leurs équations les plus simples. 

Foyers et directrices des courbes du second degré. 

Equation générale des courbes du second degré, rappt)i'lée au 
sommet. Equations polaires les plus simples de ces courbes. 

Détermination de la position d'un j)oint dans l'espace à laide des 
looi'données j-ectilignes et polaires, 'rransfoi-mation des cooi'données. 
Sigiiilication géométrique dune <iu d(î deux écjualions cnli'e les cooi"- 
données. 



LflNSEIGNEMENT M AT II É M AT I Q r E E\ HCSSIE 4oi 

Expression de la distante entre deux points donnés. Détermination 
des coordonnées du point divisant, dans un rapport donné, la droite 
qui joint deux points donnés. Cosinus des angles, qui déterminent la 
direction de la droite. Cosinus de 1 angle de deux droites, dont la 
direction est donnée. 

hquation du plan. Angles que la perpendiculaire à un plan fait avec 
les axes. Conditions du parallélisme de deux plans, l-.quation d un plan 
passant par un ou par trois points donnés et dun plan parallèle à un 
plan donné et passant par un point donné. Intersection de trois plans. 
Expression du cosinus de l'angle de deux plans. Conditions de perpen- 
dicularité de deux plans. 

Equations d une ligne droite. Conditions du parallélisme de deux 
droites. Equations dune droite passant par un ou par deux points 
donnés ou menée par un point donné parallèlement à une droite 
donnée. Angle de deux droites. Condition de perpendicularité de deux 
droites. Condition jîour que deux droites passent par un même point. 

Condition de pai'allélisme d'une droite et dun plan. Condition pour 
qu Une droite donnée soit dans un plan donné. Equation du plan passant 
par un point donné et par une droite donnée. Angle dune droite et 
d un plan. Condition de perpendicularité d'une droite et d'un plan. 
Equation dun plan perpendiculaire à une droite donnée et passant par 
un point donné. Equations et longueur d'une perpendiculaire à un 
plan donné, passant par un point donné. Equations et longueur d une 
perpendiculaire à une droite donnée, passant par un point donné. 
Equations et longueur d'une perpendiculaire aux deux droites données. 

Centre, plan diamétral, plans diamétraux et principaux des sur- 
faces du second ordre. Réduction à la forme la plus simple des équa- 
tions des surfaces du second ordre possédant un centre ou dépourvues 
de centre. 

Discussion des formes d'ellipsoïde, de deux h3'perboloïdes et de 
deux paraboloïdes suivant leurs équations les plus simples en coor- 
données rectilignes. Discussion des sections circulaires et des généra- 
trices rectilignes des surfaces de second ordre. 

li. Ai,(;i:Bi?E supérieure. — Existence de la racine de l'équation 
algéiirique. Décomposition d'une fonction entière en facteurs. Nombre 
des racines de 1 équation. Racines imaginaires conjuguées. Pielations 
entre les coefficients et les racines. l\echerche des racines comuiensu- 
ï'ables des équations à coefficients rationnels. 

Réduction de la l'ésolution d'une équation qui a des racines égales à 
celle de plusieurs équations qui n'ont que des racines simples. 

Limites des racines réelles dune équation. Théorème de Rolle. 
Méthode de Sturm pour la séparation des racines de l'équation. Mé- 
thode de Foncier pour la séparation des racines de 1 équation. 

Méthode de Newton pour le calcul de la valeur approchée de 1 une 



io-i nonryiy 

des racines de l'équation. Coiuplénjent de Fourier de la méthode de 
Newton. Signification géométrique de la méthode de Fourier. 

Formules de Xewton pour lexpression des sommes de puissances 
semblables des racines d une équation en fonction des coefficients. 
Calcul des fonctions symétriques rationnelles des racines de l'équation 
donnée. Application des fonctions symétriques à la transformation de 
1 équation. Formation du produit des carrés des différences des racines 
de léquation donnée. 

R-éduction d une fonction fractionnaire de racme de 1 équation à la 
fonction entière de la même racine. 

Application des fonctions symétriques à lélimination dune inconnue 
entre deux équations à deux inconnues. 

Résolution algébrique des équations des troisième et quatrième 
degrés. 

Décomposition des fractions rationnelles en fractions simples. 

C. Calcul différentiel. — Limite dune variable. Infiniment 

. .1 . 1 T ■ • 1 ■ S'il ^ -L 

petits et infiniment grands. Limites des expressions et (i-|-a) ^ . 

X étant infiniment petit. Divers ordres d'infiniment petits. 

Dérivée et différentielle de la fonction d une seule variable. Leur 
signification géométrique. Dérivées des fonctions les plus simples. 
Dérivées de la fonction de fonction. Dérivées d une somme, dun pro- 
duit et d'un quotient. 

Dérivées partielles et différentielle totale d'une fonction de plusieurs 
variables indépendantes. Formule générale de la différentiation d une 
lonction composée. 

Dérivées et différentielles des ordres supérieurs des fonctions d une 
seule variable. 

Dérivées partielles et différentielle totale des ordres supérieurs des 
fonctions de plusieurs variables indépendantes. Pi'iucipe de 1 interver- 
sion des différentiations. 

Différentiation des fonctions implicites. Changement de variables. 

Formules de Taylor et de Maclaurin complétées par le reste. Déve- 
loppement des fonctions les plus simples en séries. Détermination de 
la véritable valeur des fonctions qui deviennent indéterminées pour 
des valeurs particulières de la varial>le. Propriété des fonctions homo- 
gènes (théorème d'Eulerj. 

Etude de la variation des fonctions. Maxima et minima des fonctions 
dune seule ou de plusieurs variables indépendantes. Cas d'une fonc- 
tion explicite de plusieurs variables liées par des écjuations données. 

Tangente et normale aux courbes planes. 

Concavité, convexité et inflexion d'une courbe plane. 

Différentielle de l'arc d'une courbe plane. Coui'burc, rayon «le coiir- 
hiire et coordonnées du centre de courbure, l'expression du rayon de 
<ourbure en coordonnées ptdaircs. Application des formules générah-s 



rn: y s r: r G y E M /■: y I' maiiikmatioli: i:y nussii: ioi 

aux courbes du rtccund degré, ù la cyclcjïde et à la spirale logarilli- 
ini({ue. 

l'enveloppe dune raiiiille donnée de courbes. Contacts des divers 
ordres des courl)es planes. Droite osculalrice. Cercle osculateur. 
Développées et leurs propriétés. Développées des coniques, de la 
cycloïde et de la spirale logarithmique. 

Tangente et plan normal d'une courbe gauche. Diliérentielle de 1 arc 
d'une courbe gauche. Hayon de courbui^e premièi'e. 

Cosinus des angles que fait la tangente ou la normal*; principale 
d'une courbe avec les directions de trois axes rectangulaires. Plan 
osculateur ou plan de courbure. Cosinus des angles que fait la perpen- 
diculaire au plan osculateur avec les directions de trois axes rectangu- 
laires. Seconde courbure ou courbure de la torsion. Application à 
1 hélice. 

Plan tangent et normal à une surface courbe. Kquations dillV-ren- 
tielles de surfaces cylindriques, coniques, développables et de révolu- 
tion. Surfaces enveloppes. 

D. Calcul intégral. — Intégrale indéfinie et intégrale définie. Pro- 
cédés principaux d intégration. 

Intégration des fonctions rationnelles. 

Cas les plus simples de l'intégration de différentielles irrationnelles. 

Conditions d'intégrabilité et formule de réduction de l'intégrale d une 
différentielle binôme. 

Cas les plus simples de l'intégration de différentielles transcendantes. 

Propriétés fondamentales de l'intégrale définie, résultant de sa défi- 
nition. Cas oii les limites des intégrales sont infinies. Cas où la fonction 
contenue sous le signe J" devient infinie aux limites de 1 intégrale. 

Série de Taylor sous la forme de l'intégrale définie. 

Kvaluation approchée de l'intégrale définie à l'aide des séries ou do 
l'interpolation (uiéthode des trapèzes, formule de Simpson). 

Différentiation de l'intégrale définie relative au paramètre. Intégra- 
tion sous le signe f. l^xemples d'application de la dilférentiation et de 
l'intégration sous le signe f, à la déteruiination des valeurs de ipiel-. 
ques intégrales définies. 

Intégrales eulériennes de première et de seconde espèce ou (onc- 
tions B ip, cj) et r \p). Réduction des intégrales de première espèce à 
celles de seconde espèce. Propriétés fondamentales de la fonc- 
tion r ip). 

Intégrales prises entre deux limites imaginaires. Théorème do 
Cauchy et ses conséquences principales. 

Déduction des formules générales pour la détermination dos aires 
limitées par des courbes, des arcs des courbes, des volumes et des 
surfaces de révolution. Application à (juelques exeuqiles. 

Intégrales définies doubles et nudtiples. Changement do variables 
dans les intégrales multiples. 



/,o4 II ou Y. M. \ 

Déteriuinalion du volume des corps terminés par des surfaces quel- 
conques. Quadrature des surfaces. Application à quelques exemples. 

K. Théokie de l'ixtéchation des équatioxs du i-khentielles. — 
Conditions d'intégrabilité des expressions de la forme 

lhd.x\^- p.J.v,^....+ p„(lv,„ 
p^, P2, p„ étant les fonctions données de variables indépendantes j\. 

Equations différentielles ordinaires. Equations aux dérivées par- 
tielles. Leur classiiication par ordres. Formation de l'équation diffé- 
rentielle ordinaire par lélimination de constantes arbitraires. 

Intégrale générale d'une équation différentielle ordinaire. Dévelop- 
pement de cette intégrale en séries. 

Equations différentielles ordinaires du premier ordre. Cas dans 
lequel les variables sont séparées. Cas où l'équation ne renferme pas 
la variable indépendante ou dépendante. 

Equations différentielles linéaires. Equations différentielles homo- 
gènes. Equations les plus simples réductibles à une équation linéaire 
et homogène. 

Problème des trajectoires. — Théorie du facteur intégrant. 

Solutions particulières des équations différentielles du premier ordre. 
Leur recherche au moyen de 1 intégrale générale. 

Equations différentielles des ordres supérieurs. Equations de la 
forme 

d"y . / d"- 'r d"y \ . / d" " -r ri"v \ 

Abaissement de l'ordre des équations de la forme 
/ \^.r, .f . .V . . . . y J z= o. 

des équations de la forme f (j. r', r",. . . r") = o et des équations honu)- 
gènes relativement à la fonction inconnue et à ses dérivées. 

l''(juations différentielles linéaires. Propriétés générales de leurs 
intégrales. Abaissement de l'ordre de ces équations à 1 aide des st)lu- 
lions particulières. 

\ ariatiofi des constantes arbitraires. Equations dillérenlielics liné- 
aires à coefficients constants. 

lùpiations différentielles ordinaires simidtanées. Réduction de leur 
intégration à 1 intégration d une équation diliéi-entielle ordinaire. E({ua- 
tidMs linéaires simultanées à ctjefficienls constants. 

Intégration des écjuations aux dérivées parlielbs du premier ordre; 
(jui soient linéaires relativement à la lonction inconnue et à s(.'s dérivées. 



L i:xsf.ig.\i:mi:st MATiii:MATiqri-: i:.\ itussiF. ^o'i 

F. Calcul des variations. - — \ ariation d une intégrale simple. 
Ligne la plus courte entre deux points. Ligne géodésique. Surface de 
révolution à aire minimum. Bracliislochrone. Problème des isopéri- 
niètres. 

G. Calccl dks Diii'KHEXCKs 1 iMES. — Expression de la différence 
d ordre supérieur à 1 aide des valeurs de la fonction et vice versa expres- 
sion d une valeur de la fonction à laide de leurs différences succes- 
sives. Problème d interpolation. Formules d'interpolation de Newton 
et de Lagrange. 

Différentiation finie et sommation des fonctions les plus simples. 
Nombres de Bernoulli. Formule d Euler pour passer des sommes aux 
intégrales et i'ice versa. Formule de Stirling. 

Application du calcul des différences finies aux équations différen- 
tielles linéaires. 

H. Calcul des probabilités. — Mesure de la probabilité. Pvegles 
fondamentales du calcul des probabilités. 

Probabilité des événements composés des mêmes événements sim- 
ples. Loi des grands nombres et leurs conséquences. 

Détermination des probabilités des hypothèses et des événements 
futurs. Fondements de la méthode des moindres carrés. 

L épreuve sur les parties élémentaires des mathématiques comprend 
outre le cours de gymnase : Propriétés les plus principales des déter- 
minants et leur application à la résolution des systèmes des équations 
linéaires, (opérations sur les expressions imaginaii'es. Formule de 
Moivre. Résolution trigonométrique des équations binômes. Caractères 
les plus simples de convergence des séries. Eléments de la théorie des 
nombres : divisibilité des nombres ; théorèmes de Fermât et d Euler; 
résolution de congruences du premier degré. Eléments de Trigono- 
métrie sphérique. Construction des formules algébriques. Application 
de l'Algèbre à la résolution de problèmes géométriques. 

II. Pru^r/iiiiint' de l' cxanirii des Dinl/iénialit/iirs (ipjilii/Kci's el des 
sciences i)/irsi(/aes. 

A. Physique. — Notions mécaniques fondamentales. Mesures les 
plus usitées. Instruments de mesure. Pesanteur. Forces moléculaires 
dans les corps solides. Corps liquides. Corps gazeux. Mouvement 
ondulatoire. Acoustique. Optique géométrique. \ ision. Instruments 
d'optique. Spectroscopie. Photométrie. Rayons de lumière et rayons 
de chaleur. Actions chimiques dos rayons. Optique physique. Thcrmo- 
mélrie. Dilatations. Calorimélrie. Changements d état. Echaulfement 
et refroidissement. Conduction de la chaleur. Eléments de la théorie 
mécanique de la chaleur. Electricité statique. Magnétisme. Electroci- 
nétique. Thermo-électricité. Electrodynamique. Théorie physique du 



4oG Bonryjy 

courant. Induction électrique. Unités électrostatiques et électrodyna- 
Uiiques. 

■ B. MÉTÉOROLOGIE. — Instruments et méthodes dobservation. Atmo- 
sphère. Phénomènes thermiques à la surface de la terre. Pression 
atmosphérique. Courants d'air. Humidité de lair. Hydrométéores. 
Phénomènes électriques dans l'atmosphère. Phénomènes lumineux 
dans latmosphère. Magnétisme terrestre. 

C. MÉCANIQUE. — Statique. Attraction. Cinématique et dynamique. 
Hydrostatique et hydrodynamique. Application de la loi des forces 
vives aux machines. 

D. Astronomie. — Instruments d'astronomie. Astronomie sphé- 
rique. Astronomie théorique. Astronomie physique. 

E. Chimie. — Chimie inorganique. 

Pour ce qui concerne l'épreuve complémentaire les programmes 
du ministère se bornèrent à répéter en 1889 ^^ '^l^'^ a été cité plus 
haut en y ajoutant la « Remarque » suivante. 

« Le contenu des parties de la Physique mathématique indiquées 
ci-dessus (avec les autres parties de l'épreuve complémentaire) est 
déterminé par les résumés cités ci-dessous et présentés à la commis- 
sion par les jeunes gens soumis à l'examen. Il est permis de limiter la 
section choisie à l'une de ses parties principales plus ou moins déve- 
loppée. Par exemple dans la théorie du potentiel (5*^ section) le résumé 
de 1 examen peut comprendre : ou la théorie de l'électricité statique ou 
celle du magnétisme. Il peut même être remplacé par l'électrodyna- 
uiique théorique. Pour la théorie mathématique de la lumière le résumé 
de l'examen peut embrasser cette théorie appliquée soit à des corps 
isotropes, soit à des cristallins. Le résumé de la théorie mathématique 
de la chaleur peut se borner à la thermodynamique ou à la théorie de 
conduction de la chaleur. Entre les parties de la physique mathéma- 
tique pouvant être choisies pour l'épreuve complémentaire se trouvent 
encore : a) la capillarité, b) l'acoustique théorique. L'épreuve en ques- 
tion peut encore être remplacée par un examen général sur les éléments 
de la Physique mathématique dans les limites des cours professés à 
quelques universités (avec trois leçons hebdomadaires pendant l'année) 
et suivant un résumé quien contiendrait les données les plus iiiipinlantes 
et les plus accessibles ». 

Afin de coucilier renseignement actuel dans les universités 
avec les buts du ministère et de lui en subordonner les tendances, 
le règlement de 1884 '"t complété par deux articles que voici : 



LEySEIGyEME.\r MATHEMATIQUE ES RUSSIE '\0- 

« § 70. Chaque Faculté compose un ou plusieurs plans d étude où elle 
indique les sciences dont les étudiants ont à s'occuper, et Tordre qu ils 
doivent suivre en les étudiant. Le conseil de luniversité examine ces 
plans et tous les changements qui peuvent y avoir lieu pour les sou- 
mettre ensuite à la confirmation du nainistre de l'instruction publique a. 

« § 71. Conformément à ce que les professeurs comptent donner aux 
étudiants en t'ait de lectures et occupations pratiques, les Facultés font 
un aperçu sur l'enseignement de chaque semestre à venir en distribuant 
les leçons et les exercices d'après les jours et les heures hebdomadaires. 
Revus par le conseil, ces aperçus sont aussi pi'ésentés au ministre pour 
être confirmés ». 

Citons comme exemple « L'aperçu sur renseignement a la 
Faculté physico-mathématique de l'Université Impériale de Mos- 
cou en 1902- 1903 ». Nous examinerons la partie qui se rap- 
porte à la section des sciences mathématiques. 

P.O. é. (M. N.-B. BoucAïEFF. Doyen de la Faculté des sciences 
physico-mathématiques, y heures ]ibd. a : a) Introduction à l'Analyse 
avec exercices, "i heui'es, [1 ; b) Calcul intégral, 4 heures, ['3]. — 
7 heures libd. p. : a) Calcul différentiel, 4 heures, [2] ; b) Calcul inté- 
gral, 3 heures, ^^ . — .S', r. : Cauchy, Analyse algébrique. Serbet, 
Cours de calcul différentiel et intégral. ZEnxoFF, Calcul différentiel (en 
langue russe). Meyek, Vorlesungen iiber die Théorie der bestimmten 
Intégrale. Todhuxteh, Treatise on the Differential Calculus with nu- 
merous Examples (traduit en langue russe par ^I. Imschenetsky). 

P. o. é. C.-A. AxdrÉieff. 4 heures hbd. a. : Mathématiques élémen- 
taires (théorie des déterminants, propriétés des polynômes, géométrie 
sphérique et trigonométrie sphérique), [ij. — 4 heures /ibd. p. : Algè- 
bre supérieure, [2]. — S. r. : G. Dostor, Eléments de la théorie des 
déterminants, Paris, 1877. G. Salmox, Vorlesungen zur Einleitung in 
die Algebra der linearen Transl'ormationen fdeutsch bearb. von Fied- 
ler), Leipzig, i8(3'>. J. Serket, Traité de trigonométrie, 7* édit., Paris, 
1897. M. TiKHOMAXDRiTSKY, Cours succinct d'algèbre supérieure (en 
langue russe), Kharkov, 1887. J. Petersex, Théorie der algebraischen 
Gleichungen, Kopenhagen, 1878. 

P. 0. B.-C. Mlodzieiovsky. 8 heures hbd. a. : a) Géométrie analyti- 
(|ue du plan, 'î heures, [i] ; ôy Théorie des fonctions devariables réelles, 



(') Abréi'iatioiis ciinventioiiHellex : P. o. c. : Professeur ordinaire éniérilo ; P. o. : 
Professeur ordinaire ; P. e : Professeur extraordinaire: P.-tL Privat-docent ; [ij, 
[2|, [3], [4], [5], [6], [7J, [8] : étudiants des semestres, premier, second, troisième, 
quatrième, cinquième, sixième, septième et huitième; .S.r. : soi-ours recommandés: 
heures hbd, a. : heures hebdomadaires durant le semestred'aiitoinno : heures hbt/.p. : 
heures fiebdomadaires durant le semestre de printemps. 



4o8 noByyiy 

3 heures, [5]; c) Exercices de géométrie analytique à trois dimensions, 
■2 heui'es, [3]. — heures Iibd. p. : a) Géométrie analytique de 1 espace, 
.'4 heui'es, [2] ; b) Exercices de géométrie analytique à deux dimensions, 
2 heures, [2], — S. t\ : Andréieff, Cours fondamental de géométrie 
analytique (en langue russe). Moscou, 1900. Salmox, Géométrie analy- 
tique (traduit en langue russe par AI. Alexéieff/, Moscou, 1891-92. 
BuiOT et Bouquet, Leçons de géométrie analytique, Paris, 1898. Dixi. 
Grundlagen fiir eine Théorie der Functionen einer reellen veriinder- 
lichen Grosse, Leipzig, 1892.STOLZ und Gmeiner, Theoretische Arith- 
metik, Leipzig, 1901. Stolz, Grundziige der Difierential-und Integral- 
rechnung. Leipzig, 1893. Axdréieff, Recueil d'exercices sur la 
géométrie analytique (en langue russe), Kharkov, 1892. 

P. o. L. C. Lakhtix, secrétaire de la Faculté des sciences physico- 
mathématiques, 8 heures /ibd. a. : a) Calcul différentiel, 4 heures, '3j ; 
/;) Calcul des variations, 2 heures 5, 'j'.; c) Intégration des équations 
différentielles, 2 heures 5 . — 7 heures /ibd. p. : a) Calcul des diffé- 
rences finies, 2 heures 6, 8 ; ^) Intégration des équations différen- 
tielles, 3 heures ^4 ; ^) Exercices d'intégration des équations différen- 
tielles, 2 heui'es 6\ — S. /•. : Serret, Cours de calcul différentiel et 
intégral, Paris. 1879. Todhuxter, Treatise on the Differential Calcu- 
lus, etc. (traduit en langue russe par M. Imschenetsky). Saint-Péters- 
bours:, 18-3. Moicxo, Leçons de calcul des variations (traduit en lan- 
gue russe par MM. Raiévsky et Khandricoff), Moscou, 1864. Erxst 
Pascal, Die Variationsrechnung, deutsche Ausgabe von A. Schepp. 
Leipzig, 1899. Yastschexko-Zakhartschexko, Leçons de calcul des 
différences finies (en langue russe), Kiew. 18G8. Tikhomaxdritsky. 
Cours de calcul des différences finies (en langue russe), Kharkov, 1890. 
BooLE, A ti'eatise on differential équations. Forsyth, Lehrbuch der 
Differentialgleichungen, herausgegeben von H. Maser, Braunschweig, 
1899. SoHXKE, Sammlung von Aufgaben aus der Integralrechnung, 
Halle, 1877. 

P.-d. S. P. N'ixogradoff. j heures bbd. p. : a ) Exercices de calcul 
différentiel, 2 heures [4] ; b) Exercices de calcul intégral, 3 heures 4^. 
— .S". /■. V. ScHiFF (AI™^), Recueil d'exercices et de problèmes sur les 
calculs différentiel et intégral (en langue russe), Saint-Pétersbourg. 
1898- 1900. SoiiXKE, Sammlung von Aufgaben aus der Differential-und 
Integralrt.'chnung, Halle, 1 885. Schlo.milch, Uebungsbuch ziim Studium 
der hôht;ren Analysis, Leipzig, 1888. Frexet, Recueil d'exercices sur 
le calcul infinitésimal, Paris, 1882. Tisserand, Recueil complémentaire 
d'exercices sur le cah-ul infniitésimal, Paris, 189G. 

P.-d.\.\. BoHYNix. 3 heures hebdomadaires durant l'année : n] His- 
toire des mathématiques depuis les temps les plus reculés jusqu à la 
Renaissance, i heure : 1, 3, />, 7] 2, 4, 6, 8^ ; b) Histoire des mathé- 
matiques depuis la Renaissance jusqu'au milieu du xviii" siècle, i heure 
I, 3, ;■), 7 2, 4, (). 8 ; c) Histoire et état actuel de renseignement des 



LENSEICyEMENT M AT// E MA TI QU E EN RUSSIE 4otj 

mathématiques, i heure i, i, j», 7 2, |, G, H . — .S', r. V. V. BoBV- 
NiN, Programme du cours de l'histoire des mathématiques (en langue 
russe), Moscou, i8go; V. V. Bobynix, Leçons d'histoire des mathé- 
matiques (état préscientifique des connaissances mathématiques). 
Appendice au journal Les sciences pliysico-inatliéinatlques dans leur état 
actuel et passé (en langue russe), Moscou, i89i-i8()'j. Hankel, Zur 
Geschichte der Mathematikin Alterthum und Mittelalter, Leipzig, 18-',. 
Gantor, Vorlesungen iiber Geschichte der Mathematik, > Bande, Leip- 
zig, 1892-1898. SuTER, Geschichte der mathematischen \\'issenschaf- 
ten, zweiter Theil, Zurich, 1875. V. V. Bobynix, L'enseignement 
mathématique en Russie. Aperçu historique (l'Enseignement mathéma- 
tique, i""^ année, 1899J. C.-A. Laisaxt, La mathématique. Philosophie. 
Enseignement, Paris, 1898. J.-M.-C. Duhamel, Des méthodes dans 
les sciences de raisonnement, i'^'' partie, Paris, i86ji. 

P.-d. J. C. BociOiAVLEXSKY, i heures hbd. a. : Théorie des équa- 
tions différentielles linéaires ^, 7 . — -.t heures libd. p. : Equations 
aux dérivées partielles 6, 8^. — S. r. : Axissimoif, Fondements de la 
théorie des équations différentielles linéaires (en langue russe), Mos- 
cou, 1889. Sawitsch, Sur les équations différentielles ordinaires 
linéaires (en langue russe), Saint-Pétersbourg, i^()2. Picard, Traité 
d'Analyse^ t. III, Paris, 1895-96. Halphex, Traité des fonctions ellip- 
tiques, t. II, Paris. ScHLEsiXGEK, Handbuch der Théorie der linearen 
Differentialgleichungen, Leipzig, 1895-98. Goursat, Leçons sur l'inté- 
gration des équations aux dérivées partielles du pi'emier ordre, Paris, 
1891. Maxsiox, Théorie der partiellen Differentialgleichungen erster 
Ordnung, Berlin. 1892. Eoiîsyth, Lehrbuch der Differentialgleichun- 
gen, Braunschweig, 1889. 

P.-d. A. C. Vlassoff. 2 heures hbd. a. : Géométrie projective 
I J, 5, 7 . — 3 heures /ibd. p. : a) Géométrie projective, i heure \ 4, 6, 8 ; 
b) Théorie synthétique des coniques, -j. heures '^^^2']. — S. r. : Tu. Reye, 
Die Géométrie der Lage, i Abtheilung, 4-te Auflage, Leipzig, 1899. 
Steixer, Die Théorie der Kegelschnitte in elementarer Darstellung 
(bearbeitet von Geiser), Leipzig, 1887. 

P.-d. A. A. Dmituovsky. -j. heures /ibd. a. :. Courbes planes des 
ordi'es supérieurs '^5, 7]. — 2 henves /ibd. p. : Courbes planes du troi- 
sième degré (i. 8 . — S. r. : Ci.ebscii, Vorlesungen iiber Creometrie, 

I Band, Leipzig, 1876. Sal.mon-Eiedleh, Anulytische Géométrie der 
htiheren ebenen Curven, Leipzig, 1882. Cremoxa, Einleitung in eine 
geouietrische Théorie der ebenen Curven, Greil'swald, i865. DuRi:(;E, 
Die ebenen Curven dritter Ordnung, Leipzig, 1871. 

P. 0. N. G. .louKOVSKY. 1 I heures libd. a. : a) Inti'oduclion à la 
mécanique, dynamique du point, 3 heures ^^ Jj ; b) Mécanique du sys- 
tème, théorie de l'attraction, 3 heures [5]; c) Hydrostatique et hydro- 
dynamique, 'i heures | 7] ; d) Exercices de mécanique, 2 heures 5 . — 

I I heures /ibd. p. : a) Introduction à la mécanique, dynamique du 



4io BOBvyfy 

point, ,3 heures 4 ; b) Mécanique du système, théorie de lattraotion, 
3 heures 6" ; c) Dynamique des solides, compléments de la dynamique 
du système, 3 heures [8] : d) Exercices de mécanique. — S. r. Poix- 
sot, Eléments de statique, Paris. 1861. Résal, Traité de mécanique 
générale, t. I, Paris, 1873. Sloudsky, Cours de mécanique théorique 
(en langue russe), Moscou, 1881. Appell, Traité de mécanique ration- 
nelle, Paris, 1890-1900. — BoBYLEiF. Cours de mécanique analytique 
(en langue russe), Saint-Pétersbourg), 1881-1884. Joukovsky, Leçons 
d'hydrodynamique (en langue russe), Moscou. 1887. Lamb, A treatise 
on the mathematical theory of the motion of fluids, Cambridge, 1879. 
Klein und Sommerfeld, Théorie des Kreisels, Leipzig, 1898. Routh, 
An elernentary treatise on the dynamics of a System of rigid bodies, 
London. 18-7. Julliex, Problèmes de mécanique rationnelle, Paris. 
186G. Kraft, Sammlung von Problemen der Mechanik. Stuttgart, 
1884. 

P.-d. D. X. GoRiATSCHEFF. 3 heures Iibcl. a. : Cinématique (cours 
spécial 5, 7 . — • 3 heures /ibd. p. : Statique (cours spécial) 6, 8 . — 
.S'. /•. RÉSAL, Traité de cinématique pure. Paris, i86'2. Somoff, Mémoire 
sur les accélérations de divers ordres, Saint-Pétersbourg. 1864. 
LiGUiXE, Généralisations de quelques propriétés géométriques du mou- 
vement du sj'stème (en langue russe), Odessa, 1873. Seiligler, Théo- 
rie du mouvement d un corps semblablement déformable (en langue 
russe), Kasan, i89'2. Darboux, Mémoire sur 1 équilibre asiatique, 
Paris. MôBius, Gesammelte Wei'ke, Ed. III, Leipzig, 188G. 

P.-d. V. M. KovALEXSKY. ', heures bbd. a. : Résistance des maté- 
riaux 3, 5, 7 . — 4 heui'es /ibd. p. : Hydraulique \, (>, 8 . — .V. /■. 
CoLLiGXOX, Résistance des matériaux, Paris, 1877. Rf:sal, Traité 
de mécanique générale, t. V. Grashof, Die Festigkeitslehre. Berlin, 
186G. Kaul vox Ott. Das graphische Rechnen und die grapliisclie Sta- 
tik, Prag, 1879. Baisé, Tliéorie de la résistance des matériaux (en lan- 
gue russe), Saint-Pétersbourg, 1897. Colligxox, Hydraulique, Paris, 
1877. Bresse, Cours de mécanique appliquée, •2'' partie, Paris, i87(). 
^Iaximexko, Cours d hydraulique (en langue russe), Saint-Péters- 
bourg, 1881. EvxEVTTSCH, IlydraurKjue (en langue russe), Saint-Péters- 
bourg, 1891. 

P.-d. E. A. Bolotoff. 2 heures hebdomadaires durant Tannée : 
Théorie de l'élasticité 5, 7 G, 8 . — ,S'. /•. : G. Kirchhoff, ^'orlesun- 
gen iiber mathematische Physik. Mechanik. Leipzig, i87r). A. Clkbsch, 
Théorie der Elasticitiit fester Korper, Leipzig, iHiri. S. \\'. Thomson. 
and P. (t. 'I'ait. Treatise on nalural Philosopliv, ]). Il, Cambridge, 
i883. 

P.-d. N. J, Mi;iiZALOFF. 7 heures /djd. a. : o) Géométrie descriptive, 
u iieures fi ; b) Théorie des mécanismes, j. iieui'cs j1 ; c) Dessin 
linéaire, u heures 3, 5, 71 ; f^j Exercices de tracé des machines, 1 heurt- 
['>, 7 . — 7 lieuivs /ibd. p. : a\ l^xercices de géométrie descriptive 



L' ESSElGSKMEyT MATHEMATIQUE ES RUSSIE 4ii 

■1 heures 2 ; h) Théorie générale des luacliines, -2 lieures ; c Des- 
sin linéaire, -jl lieures \, (i, 8 ; d) Exercices de tracé des machines, 
1 heure 6, 8 . — -V. /•. Ren Clavx, Tiieoretische Kinematik. Ghashoi', 
Theoretische Maschinenlehre, Bd. II. Soxgaylo, Géométrie descrip- 
tive. Khouoiakoi-f, Détails des machines (en langue russe). Bach, 
Détails des luachines (en langue russe). Kholdiakoi k, Résistance des 
matériaux (en langue russe 1. 

P.-d. J. B. Stankikwitsch î heures lidd. a. : Intégration des équa- 
tions de la mécanique ^7 • — > heures hbd. p. : Hydrodynamitjue (cours 
spécial) [8 . — .S', r. Jacoiji, Vorlesungen ûber Dynamik, Berlin, i80(). 
CoLLiGXOX : Mécanique, t. l\ , Paris. Graixdorge, Intégration des 
équations de la mécanique, Bruxelles, 1889. Paixlevé, Leçons sur I in- 
tégration des équations de la mécanique, Paris, 1895. Lamb, Einleitung 
in die Hydrodynamik, uebersetzt von Reiff, Freiburg, i88|. Jou- 
KOVSKY, Leçons d hydrodynamique (en langue russe), Moscou, i88(>. 
Basset, A treatise on hydrodynamics, Cambridge, 1888. 

P. o. W. C. Ceraski. g heures hbd. a. : a) Asti'onomie sphérique. 
a heures i ; b) Astronomie physique, -i heures 3, 5 ; c) Exercices 
d astronomie spiiérique, 'jl heures ,5 . — 7 heures Iibd. p. : a Astro- 
nomie sphérique, 2 heures ^4 ; b) Astronomie physique, 1 heures 
[4, 6j ; c) Astronomie pratique avec les observations faites à 1 Observa- 
toire, '^ heures 6, 8 . — S. r. Buiixxow, Lehrbuch der sphiirischen 
.Astronomie. A. Sawitsch, Astronomie sphérique (en langue russe), 
Saint-Pétersbourg, 1874. M. Chaxduikoff, Cours d astronomie sphé- 
rique (en langue russe), 2" édition, Kiew. 1889. X. Zix(;uer, Cours 
d astronomie, partie pratique et partie théorique (en langue russe|. 
Saint-Pétersbourg, 1899. M. Khaxdrikoff, Astronomie physique (en 
langue russe), Kiew, 1886. Newcomb, Astronomie populaire (traduit 
en langue russe par M. Drehnteln). Saint-Pétersbourg, 1894. 

P.-d. P. C. Sterxberg. 4 heures hebdomadaires durant Tannée : 
Géodésie supérieure avec les occupations pratiques faites à l'Observa- 
toire 5, 7j 6, 8 . — .5'. /•. : Helmert, Die mathematischen und physi- 
kalischen Theorien der hoheren Geodasie, I Bd., Leipzig, 1880. Th. 
A. Sloudsky, Leçons de géodésie supérieure (en langue russej, Mos- 
cou, 189'!. X. ZiNCLER, Cours de géodésie supérieure (en langue russe). 
Saint-Pétersbourg, 1898. M. Kmanurikoff. Théorie de la figure de là 
terre (en langue russe), Kiew, 1900. B. ^ itkowsky. Géodésie pratique 
(en langue russe), Saint-Pétersbourg, 1898. 

P.-d. S. A. Kasakoff. •! heures hebdomadaires durant lanuée : 
Mécanique céleste 5, 7^1 6, 8 . — S. r. : F. Tisskraxd : Traité de 
mécanique céleste, t. I, Paris, 1888. O. Dzioukk, Die nialliematischen 
Theorien der Planeten-Bew egungen, Leipzig, 1888. 

P. 0. IS. A. OuMOFF. I ', heures hebdomadaires durant Tannée : 
a) Physique expérimentale : acoustique, optique, électricité, nuigné- 
tisme, 4 heures /i, 4i ; b) Séminaire physique, 2 heures H, ', : ç) Occu- 



4 12 Bony.xiy 

pations pratiques faites au laboratoire physique, <S heures 5, ^] [6, 8|. 
— S. r. : Chwolson, Cours de physique (en langue russe), t. II, 1898 
(éditions grande et petite). Siloff, Cours de physique (en langue 
russe), 1897. A. Stoliétoff, Introduction à l'acoxistique et à l'optique 
(en langue russe). Wïillner, Lehrbuch der Experiiuentalphysik, Bd. III, 
1897. Graetz, Die Lehre von der l^^lektricitat, 1900. Weiler, Lelir- 
buch der Pliysik, Bd. I, Magnetisnius und Elektricitilt, 1901. A. B. Zix- 
(;uER, Recueil des problèmes d électricité et de magnétisme. 

P. 0. A. P. SoKOLOFF. ïj. heures hebdomadaires durant l'année : 
a) Physique expérimentale : mécanique, phénomènes moléculaires, cha- 
leur, 4 heures [1] [2] ; b) Occupations pratiques faites au laboratoii'e 
physique, 8 heures \'i, 5, 7] [,',, 6, 8]. — S. r. : Chwolsox, Cours de 
physique, t. I et III (en langue russe), Saint-Pétersbourg, 1897-99. 
Siloff, Cours de physique, i""*^ partie (en langue russe), 3^ édition, 
A arsovie, 1900. Kayser, Lehrbuch der Physik, '^-te Auflage, Stuttgart, 
1900. WiiLLXER, Lehrbuch der Experimentalphysik, 5-te Auflage, 
Bd. I u. II, Leipzig, 189J-9G. Kohlrausch, Leitfaden der practischen 
Physik, 9-le Auflage, Leipzig, 1901. Wiedemann und Ebert, Physica- 
lisches Practicum, ',-te Auflage, Leipzig, 1899. Ostwald, Hand-und 
Hilfsbuchzur Ausfiihrung physico-chemischerUebungen, Leipzig, 189'}. 

P. e. P. N. Lebedieff. 9 heures /ibd. a. : a) Mouvement d'électricité 
dans les gaz, 1 heure [3, 5, 7J ; b) Recherches scientifiques faites au 
laboratoire, 8 heures 5, 7]. — i heure /ibd. p. : Applications d'élec- 
tricité ij ^- 8]. — .S", r. : Thomsox, Electricitiitsleitung in Gasen, Leip- 
zig, 1900. Gérard, Cours d'électricité (en langue russe), Saint-Péters- 
bourg, 1898. 

P.-d. N. P. Castiérin. Gheuves /ibd. a. : a) Vibrations acoustiques et 
ondes, 4 heures '3, 5, 7]; b) Séminaire physique, 2 heures [ i 1. — 
G heures Iibd. p. : a) Théorie de la chaleur, /( heures 6, 8 j ; b) Sémi- 
naire physique, -t heures [■il. — .S'. ;■. : Rayleicii, Theory of Sound, 
London, 1896. Helmholtz, Vorlesungen iiber die mathemat. Princi- 
pien der Akustik, Leipzig, 1898. Clausius, Die mechanische Warme- 
theorie, Braunsclnveig, 1887. Planck, Thermodynamik, Leipzig, 1897. 
F0URIER, Théorie analytique de la chaleur. Boltzmann, Vorlesungen 
iiber Gastheorie, Bd. I, II. 

P.-d. P. B. Préobracexsky. \ heures /ibd. a. : a) Théorie des vec- 
teurs et ses applications à la mécanique, 2 heures 5, 7^; b) Photogra- 
phie et ses applications scientifiques, 2 heures i i, 3, 5, 7J. — 2 heures 
hbd. p. : Pholdgraphie et ses applications scientifiques {2, 4, G, 8]. — 
S. r. : .L Zaxischkvsky, Théorie des toi'seurs (en langue russe), Odessa, 
1889. P. Ro.MER, j^léments fondamentaux de la méthode des qualernions 
(en langue russej, Kiew, i8()8. IIoiiEL, Théorie élémentaire des quan- 
tités complexes, Paris, 187'!. Tait, Eleinentarcs Ilandbuch der Qna- 
teriiionen (ueberselzt von Scherff), Leipzig, 1880. A. P. Kotklmkoff, 
Calcul des torseurs et quehjues-unes de ses apj)licalions à la géo- 



L' ESSEICyEMENT MATHÉMATIQUE EN RUSSIE 'kIJ 

métrie et à la mécanique (en langue russe), Kasan, iby5. A. Foppl, 
Kinfùhrung in die MaxwelTsche Théorie der Electriciliit, Leipzig, 
1894. J. M. EoEn, Auslûhrliches Handbuch der Photographie, Halle, 
1890-96. The chemistry of photography, by Meldola, London, 1891 . 
Hl'go Schroedeh, Die Elemente der photographischen Optik, Berlin, 
1891. Steiner, Die Photographie im Dienste des Ingénieurs, Wien, 
189}. PizziGHELLi, Die Anwendungen der Photographie, Halle, 1892, 

P.-d. A. B. ZiNGUER, 'i. heures Itbd. a. : Fondements scientifiques 
d'électrotechnique [5, 17]. — % heures Itbd. p. : Optique géométrique et 
théorie des instruments d'optique [4, 6]. — S. r. : A. IIoltz, Die 
Schule des Elektrotechnikers, Leipzig, 1898. G, Ferraris, Wissens- 
chaftliche Grundlagen der Elektrotechnik, Leipzig, 1901. P. Janet, 
Leçons d'électrotechnique générale, Paris, 1900. Mûller-Pouillet, 
Lehrbuch der Physik, Band 11, Ablh. I, Braunschweig, 1898. E. Wal- 
lon, Leçons d'optique géométrique, Paris, 1900. 

P. e. E. G. Leist. 7 heures hbd. a. : a) Météorologie et magnétisme 
terrestre, 3 heures [5] ; b) Hjdrologie, i heure ['>, 5, "j] ; c) Optique 
atmosphérique, i heure [5, 7I ; d) Exercices pi'atiques de météorologie 
et de géographie physique, -2 heures [5, 7]. — 8 heures hbd. p. : 
a) Météorologie et magnétisme terrestre, -j. heures j^6j; b) Météorologie 
théorique, i heure |6, 8] ; c) Physique du globe, 1 heure [6, 8] ; 
d) Cours réitéré de météorologie, 1 heures [8] ; e) Exercices pratiques 
de météorologie et de géographie physique, i heures [6, 8j. — S. r. : 
Latschixoff, Fondements de la météorologie (en langue russe), Saint- 
Pétersbourg, 1895. WoiEiKOFF, Climats du globe (en langue russe), 
Saint-Pétersbourg, 188^. Rakhmanoff, Cours succinct de météorolo- 
gie (en langue russe), Moscou, \i)oi.. Haxx, Lehrbuch der Météorolo- 
gie, Leipzig, 1901. Sprung, Lehrbuch der Météorologie, llamburg, 
i885. 

P.-d. G. G. Rakhmanoff. 2 heures /ibd. a. : a) Electricité atmosphé- 
rique, I heui'e [5, 7] ; b) Recherche sur les couches supérieures de l'at- 
mosphère à l'aide des ballons et des cerf-volants, i heure [5, 7]. — 
■j. heures hbd. p. : a) Recherche sur les couches supérieui'os de l'atmos- 
phère à l'aide des ballons et des cerfs-volants, i heure 'G, 8] ; b) Orages, 
aurores polaires, nuages lumineux, i heure [G, 81. 

P. e. W. Th. Louguinin. 2 heures hbd. a. : Exercices pratiques de 
thermométrie, de calorimétrie, de cryoscopie et d'autres sections de la 
chimie physique, 1 heures [5, 7]. — 3 heures hbd. p. : a) Cours éh'- 
mentaire de thermométrie, i heure [G, 8] ; b) Exercices pratiques di' 
thermométrie, de calorimétrie, de cryoscopie et d'autres sections de la 
chimie physique, 2 heures [G, 8j. — S. r. : Yan, Fondements de la 
thermochimie (en langue russe). Berthklot, Mécanique . himique. 
Berthelot, Thci-mochimie, lois et données numériques. Neiinst, Theo- 
retische Chemie. Ostwald, Lehrbucii der allgemeiiien Chemie. Khrut- 
scheff, lujuilibre chimique (en langue russe). Planck, Grundriss der 

Enscitriieiueiil math. >- 



4l4 BOBYMX 

Thermocheniic. Thomsen, Therniochemische Untersuchungen. Guil- 
laume, Traité de thermométrie. Wùllxer. Lehrbuch der physik. 
Wàrme. Pouillet, Lehrbuch der ph3sik. Wârme. Louguinin, Des- 
cription des méthodes principales de la chaleur de combustion (en langue 
russe). WiEDEMAXN. Physikalisches Prakticum. 

P.-d. .1. A. Kabloukofe. 5 heures hbd. a. a) Chimie générale, I par- 
tie (chimie inorganique), i heures 1 1 ! ; b) Exercices pratiques de chi- 
mie générale, 3 heures i, 3]. — •; heures hbd. p. : a) Chimie générale, 
I partie (chimie inorganique), a heures [ji] ; b) Chimie physique, i heu- 
res \_\, 6, 8] ; c) Exei'cices pratiques de chimie générale, 3 heures [2, f^\. 
S. r. : D. J. Mendeleei'f, Fondements de la chimie (en langue russe). 
J. A. Kabloukoff, Eléments fondamentaux de la chimie inorganique 
(en langue russe). Ostwald. Grundi'iss der allgemeinen Chemie. 
J. Kabloukoff, Eléments fondamentaux delà chimie physique; livrai- 
sons i""* et -j.^. S. JovKOVSKY, Secours aux exercices pratiques de chi- 
mie inorganique. 

P.-d. A. N. Refoioiatsky. -j. heures liebdomadaires durant Tannée ; 
Chimie générale. II partie (chimie organique) [3, 4]. — S. r. : Refou- 
.MATSKY, Cours élémentaire de chimie organique, 5* édition (en langue 
russe), Kiew, 1901. Remsen, Introduction à l'étude de chimie orga- 
nique, 2* édition (en langue russe), Moscou, 1900. Menschoutkin, 
Leçons de chimie organique (en langue russe), 4*" édition, Saint-Péters- 
bourg, 1901. V. Meyer und P. Jacobson, Lehrbuch der organischen 
Chemie. 

P.-d. S. G. IvRAïuviN. 4 heures hebdomadaires durant l'année : 
a) Chimie générale, 2 heures [i] [2] ; b) Exercices pratiques de chimie 
générale, 2 heures [i] [2]. — .S'. /•. : Eud.mann : Lehrbuch der anorga- 
nischen Chemie. 2-te Auflage, Braunschweig, 1900. Potilitzin, Cours 
élémentaire de chimie (en langue russe;, Varsovie, 1900. Mendeleeff, 
Fondements de la chimie (en langue russe), 6'' édition. 

P.-d. P. P. OuLOFF. 2 heures liebdomadaires durant l'année : Chimie 
générale [1] \ij, — .V. r. : Mendeleeff, Fondements de la chimie (en 
langue russe), (Sédition, Saint-Pétersbourg, i8()i. PoriLrrzix, Cours 
élémentaire de chimie, 1900. Remsex, Introduction à létude de chimie 
(chimie inorganique) (en langue russe), Moscou, 1901. Kabloukoff, 
Eléments fondamentaux de la chimie inorganique (en langue russe), 
Moscou, 1900. Ostwalu, Grundriss der allgemeinen Chemie, 3 Aufl., 

'899- 

\'. \ . Ijobym.n (Moscou). 



r:,.\ 



LA LOGIQUE SYMBOLIQUE 



En général, on regarde la logique symbolique comme une 
étude très abstraite, très difficile et dune utilité assez restreinte. 
Je vais expliquer ici les premiers principes dun système symbo- 
lique qui est, au contraire, extrêmement simple et d'une utilité 
aussi incontestable que celle des mathématiques. 

I. Le symbole A'' indique une /)ioposàion dont A est le sujet' 
et B le prédicat. Il affirme que A est une des personnes ou des 
choses, Bj, B^, B3, etc. formant la classe B. Le svmbole Ap. 
indique l'individu, ou un individu, de la série Ai, A,, A^, etc. 
(formant la classe A), dont on peut affirmer A^. Le symbole xVb 
veut dire (Ag;^; il indique une proposition dont Ag est le sujet 
et C le prédicat. Prenons l'exemple suivant: Soit A = Alfred, 
B^ boulanger, C = catholique. Alors 

A^ affirme que Alfred est huiilaiiger, tandis que Au n'affirme 
rien; il indique simplement .U//ec? le boulanger. Il v a plusieurs 
personnes, A^, A^, etc., dont chacune s'appelle Alfred, et le 
symbole Ag indique l'individu, ou un individu de cette série, 
([ui est boidanger. 

Ab veut dire (Ab)^; il allirme que Alfred le boulanger (ou le 
boulanger Alfred) est catJioU<jue. 

A^ veut dire (A^)^; il affirme que Alfred le eaUioli<iue est bou- 
langer. 

Bc veut dire (Bc)'^; il affirme que le boulanger calbolitjue 
s'appelle Alfred. 

a. Que le symbole 7. indique la proposition A"^; et le svm- 
bole ^ la proposition C^. Alors, a^ veut dire A^C^; il affirme A* 



4i6 H. MAC COLL 

et aussi C°; tandis que a+ ^ veut dire A^-l-C° et n'affirme que 
l'alternative A^ ou C^. Par exemple, soit X^ Alfred, B^^^ùoit- 
lan^er, C = Charles, D= docteur. Alors : 

aj3, comme son synonyme A^C°, affirme que « Alfred est bou- 
lani^er, et Charles, docteur »; tandis que a-f- p, comme son 
synonyme A^ + C^, affirme que « ou Alfred est boulanger ou 
Charles docteur ». Quant à la question si les deux propositions 
A^ et C° sont toutes les deux vraies, l'alternative A^-|- CP ne dit 
rien; elle affirme simplement que, au moins, une des deux pro- 
positions est vraie. 

3. Avant d'aller plus loin, je vais appliquer ces principes à 
l'algèbre élémentaire. Soit A et B deux nombres ou fractions; 
soit P = positif ; soit N = négatif; soit Z=^zêro. Si nous 
excluons de notre univers toute quantité imaginaire ou infinie, 
nous aurons les formules suivantes : 

(i) (AB)P = APBP4-ANBN; (2) (AB)?J = A^Bp + ApRN ; 

(3) (AB)z = AZ + B z = AZ +I(AP + A^) B^ = A^ (B? + BN) -f B^ : 

(4) {A:r-B)P=jA(^^— |-yj'=AP ^x- -|-J ' +AN ^x - '-| j '+ AzB^; 

(5) {A.r-B)N = J A (x- 1^ j''^ AN ^.r _ |-^ ''+ AP (.v -1^ ' +AZBP. 



Pour donner un autre exemple, supposons qu'on cherche les 

limites de x qui résultent des données 3.i"> -7- .r — 3. 

Les données 

— (3x2— — x-\-3]P={i:ix- — 2Sx-\-ri]P 
4 

= (.>i)(.>4). (.<!)(.< 4) 

car x> -^ implique ./> —, et.r< - implique x <-.- . Donc .r 
J * * 4 '\ •' 

doit être ou au-dessus de— ou au-dessous de — . Un dernier 

i 
exemple pour finir. Des données a,-<ç) — a^ déduire les limites 

de X et de a. 



LA LOGIQUE SYMBOLIQUE 417 

Les données 

= (a--v/F=^)''(*+v/9^^^)' (9- «^)'' 

soit 

Xj r= y/9 — rt^, .r.^=: — y/9 — a-, a^z=3, a^-=. — 3. 

Les limites sont 

{.i\ > X > x^) (a, > a > a^) 

4. Les symboles (A^)' et A~^ sont synonymes; chacun repré- 
sente la négation de A'^ et affirme que A ne se trouve pas dans 
la série B^, B^, B.,, etc. Supposons que A^ affirme que « Albert 
ira à Bordeaux », c'est-à-dire que Albert est une des per- 
sonnes Bj, Bj, etc., qui iront à Bordeaux. Alors, (A^)', ou son 
synonyme A~^. nie A^ et affirme que « Albert n'ira pas à Bor- 
deaux ». 

5. Dans les exemples précédents, le sujet A d'une proposi- 
tion A"^ était un être concret. Dans la logique pure ou abstraite, 
le sujet d'une proposition A^ est lui-même une proposition, et 
l'exposant B affirme quelque attribut, tel que (^/a/, faux, cer- 
tain, etc. Les cinq mots i'rai, faux^ certain, impossible, variable 
(possible mais incertain), se présentent si souvent que je les 
représente d une manière permanente respectivement par les 
cinq lettres grecques 1, i, c, vj, 9. Par exemple, A'B C D^E' 
affirme que A est vrai, B faux, C certain, D impossible, E va- 
riable. 

6. La proposition A^ (A est vrai) ne doit pas être confondue 
avec A- (A est certain), ni A' (A est faux) avec Ai (A est im- 
possible). Le symbole A" affirme que A est vrai, au moins dans 
le cas considéré; A' affirme non seulement que A est vrai dans 
le cas considéré mais aussi que A est certain, c'est-à-dire vrai 
dans toutes les circonstances compatibles avec nos données et nos 
définitions. Pareillement, le symbole A' affirme que A est faux 
au moins dans le cas considéré; tandis que A"' affirme non seu- 



4a8 a. MAC COLL 

lenient que A est Taux dans le cas considéré mais aussi que A 
contredit quelque donnée ou définition et qu'il est par conséquent 
impossible. Dans le langage des probabilités, A- affirme que la 
probabilité de A est i ; A'"' affirme que la probabilité de A est o ; 
et A' affirme que la probabilité de A est quelque fraction au- 
dessous de I et au-dessus de o. Donc A' nie K- et nie A""' de 
sorte que nous avons A^ = A' A"' (voir §§ 4 ^t 23 avec la note a 
la fin). 

^. Le symbole a : |ii 'qui s'appelle une implication) représente 
la proposition {y-P')'"', ou son synonyme (a'H-,3)-. Pour en rendre 
claire la signification, supposons que a représente la proposi- 
tion A^, et que ,3 représente la proposition C°. Alors a : 3 
exprime les quatre affirmations suivantes, qui seront considé- 
rées ici comme équivalentes; (i) il affirme que A^ implique C^ ; 
(2) il affirme que si A est B (c'est-à-dire appartient à la classe B , 
alors C est D ; (3) il affirme que A ne peut pas être B sans que C 
soit D; (4) il affirme (\\xil est certain que ou A nest j)as B, ou (! 
est D. 

8. Le symbole A"' veut dire iA'|''; le symbole A '" veut 
dire (A'^)''; et ainsi de suite. Par exemple, A" veut dire (A-]': il 
affirme qu'^7 est faux que A soit certain^ tandis que A'' veut 
dire (A')-; il affirme qu'^Y est certain que A est fau.v. Si nous 
considérons le symbole (a=|j) comme l'équivalent de (a : ji 
(^ : a), nous aurons A" = A\ A'^'^As A'= A'^^ -)- AO, A' 
-=A^4- A« (voir§ 10). 

• ;c). La définition du symbole a : |3 (voir i; jj nous conduit au 
paradoxe (Yj : a)' (a : s)-, lequel affirme que les deux implica- 
tions Yj : a et a : î sont toujours vraies, quelle (|ue soit la propc»- 
sition a. Cependant, la preuve en est facile, car 

La focDOule (c')'', que nous supposons ici, n'a pas besoin, de 
preuve. Par exemple, la négation de la certitude ^^2X^3— ^(j), a 
savoir: (2X3=^();, est évidemment une impossibilité. JXous 
avons aussi, les i'ormules (y/)' et (H','*. Pour donner un exeiupl»- 



LA LOGIQUE SYMBOLIQUE /iig 

concret de la dernière, supposons que la probabilité de la 
variable H soit deux tiers ; la probabilité de sa négation 0' est 
nécessairement un tiers^ de sorte que 0' est aussi une variable. 

10. Le symbole (a=[j) est Féquivalent de (a : ,3) (j : a), 11 
n'affirme nécessairement pas que les deux propositions a et |j 
sont synonymes, en ce sens qu'elles auraient la même significa- 
tion. Une identité absolue est affirmée, non par le symbole 
(a=:^), mais par le symbole (a^ ^); de sorte que nous arons 
toujours (a^ jS) : (a = ,3), mais non pas nécessairement ^a= [i. : 
(a ^ ^). Néanmoins, l'affirmation (a= ,3) étant en général suffi- 
sante pour notre raisonnement, nous l'employons souvent dans 
des cas où nous pourrions employer (a ^ ^), comme nous em- 
ployons quelquefois a : |j au lieu de (a=|ij quand nous n'avons 
pas besoin du second facteur ,3 : a. Il résulte de notre défini- 
tion d'une implication (§ y) que nous avons toujours les for- 
mules (£^ = -2)' ^* ('^11 ^^"'^o) S niême lorsque la certitude z^ est 
différente de la certitude £.,, et l'impossibilité 7,^ différente de 
l'impossibilité r,,. Mais quand nous avons deux variables Q^ et ^.,, 
l'équivalence (9^:=QJ n'est pas nécessairement vraie, 

1 1. Les propositions A" et A sont équivalentes, en ce sens que 
chacune implique Vautre (voir -^ j) ; mais elles ne sont pas syno- 
nymes, en ce sens que chacune pourrait être substituée à l'autre 
dans n'importe quelle expression sans en changer la significa- 
tion. Par exemple, supposons que A représente 0., c'est-à-dire 
une variable qui est craie dans le cas considère qtioi qu'elle ne 
soit pas toujours vraie. Nous aurons 

(At)e — (e:)t = ;«= £; tuais A= = 0:=:-f,; 

car, dans le premier cas, la proposition BI, qui alfirme qu'une 
variable vraie est vraie, est une vérité évidente, et, par conséquent, 
une proposition de la classe s ; et dans le second cas, 0! est une 
impossibilité, puisque toute variable, qu'elle soit une variable 0, ou 
une variable H^, est exclue (par définition^ de la classe t. Pareille- 
ment, quoique nous ayons l'équivalente (A'=A'), en ce sens 
que A' implique A' et que A' implique A», on ne peut pas tou- 
jours substituer A' à .V, ni A' à A", sans changer le sens de 
l'expression où l'un ou l'autre se trouve. 



4ao H. MAC COLI. 

Ces paradoxes ne se présentent pas dans le langage ordinaire. 
Par exemple, il n'est guère possible de trouver Tombre d'une 
différence de sens entre « il est Américain » et « il est vrai qu'il 
est Américain », ou entre « il n'est pas Américain » el « il est 
faux qu'il soit Américain ». 

Mais la logique symbolique fait pour la raison ce que fait le 
télescope ou le microscope pour l'œil nu. 

12. — Le symbole a! |i (qu'on peut appeler une implicalion 
inçerse) affirme que la proposition a est impliquée par la propo- 
sition |i. Il est donc synonyme de |3 : a. Le symbole a : p : *' 
veut dire (a : ^) (^ : y) i ^^ ^^ symbole a ! ^ ! y veut dire (a ! [i; 
(^ ! y). On définit de même a : [> : y : 2, qu'on peut appeler une 
chaîne déductive . et a ! fj \ y ! o, qu'on peut appeler une chaîne 
inductive. 

i3. — Un des principes sur lesquels est fondé mon système 
est le principe que l'on peut changer le sens de n'importe quel 
symbole, ou de n'importe quel arrangement de symboles, pour 
aider ou abréger notre raisonnement, pourvu que ce changement 
de sens soit accompagné d'une nouvelle définition. X'est-ce pas 
cette variabilité de signification qui distingue l'algèbre de l'arith- 
métique ? 

En arithmétique le même symbole (par exemple .> ou-r-j 

indique toujours le même nombre ou fraction ; taudis qu'eu 
algèbre le même symbole (par exemple x) peut représenter uu 
nombre 6 dans un problème, 8 dans un autre, 5 -| — r^- dans un 
autre, et ainsi de suite. En suivant ce principe, nous allons 
maintenant changer la signification du symbole A,j, qui sera em- 
ployé à l'avenir (jusqu'à nouvelle définition) comme synonyme de 
l'implication A : B. La négative de Aj. sera représentée par A,)^. 
ou par (Ab)', de sorte que nous avons 

Ab = A : B = (AB')r. — (A' + B)^ 
AoB= (Ab)'^ (A : Yi)'^ (AB')-',. 

14. — Un symbole de la forme V\a^ ou fix) ou 'f[.'), etc., s'ap- 
pelle une fonction de x. 

Il représente une expression quelconque conlcnant le symbole x. 



LA LOGIQUE SYMBOLIQUE 4^1 

Un symbole de la forme F(.r, y ou '.p(.i', //), etc., s'appelle une 
fonction de .r et de y. 

Il représente une expression quelconque contenant les sym- 
boles X et y. Pareillement, ¥[x, y, z) s'appelle une fonction de .r, 
y, s ; et ainsi de suite. Supposons que nous ayons une fonction 
»(.r) ; alors des symboles tels que 'f (a), cp(a -f- p), 'f(A„] repré- 
sentent respectivement ce que l'expression o[x) devient (i) lors- 
que y. est substitué à x ; (îi) lorsque a -j- |j est substitué à x; 
(i3) lors(|ue Ag est substitué à x; les autres mots, ou autres syni- 
holes, de l'expression restant les mêmes qu^ auparavant. Pareil- 
lement, si nous avons une expression quelconque indiquée par 
»(.'*', y, z), le symbole 'j(a, 7.^3, [5-) indiquera ce que cp(.r, y, z] 
devient lorsque a est substitué à x, a.[i à y, et [j- h -. Les exem- 
ples concrets suivants aideront à faire comprendre ces défini- 
tions. 

Soit a :^= artiste, [î :::^ buille, y r= gorille ; el employons le 
symbole afa, j3) pour représenter la proposition, Yartiste a tué 
le bu file. Alors le symbole 'f (a,Y) affirmera que V artiste a tué le 
gorille / le symbole cp((i>, a) affirmera que le buffle a tué \ artiste ; 
et ^(YjI^) affirmera que la gorille a tué le buffle. 

Si nous représentons la formule A^ + B, : (AB), par le sym- 
l)ole cp(:) ; alors 'f(=) représentera A^^ -[- B ,= ( AB) , . La formule 
'!)(:) est toujours vraie, quelles que soient les propositions A, B,.ry 
mais la proposition 'f (=) n'est pas toujours vraie ; elle est fausse, 
par exemple, lorsque A = 0, B = 0', :r ;= Yj ; car alors elle 
devient 

0, + (()■;, = (00'),. 

ce qui est faux, car 

6^ = : Ti - (OT/)r, rr (6e)-, == 6r. = rj. 

(0%. = 0' : rj r: (O'e)n = (0')n = 0^ r=: r„ [car (a>. = a^j 

(00'),, r= T,r. = T, : r, = £ (voir § 9). 

Donc, dans ce cas la proposition 'f(=) devient y, -f-7j:=Y, : y,. 
ce qui est faux, car y, -[- Yj = y,, tandis que y, : Yj r=r e. 

Le symbole cp'(.r) veut dire ! »(.r) ;". Par exemple, cp' affirme 
que '^'^r^ est une certitude. 

i5. — Pour empêcher une multiplicité inutile de parenthèses 
j'emploie le symbole A :: H comme l'équivalent de (A =B), mais 



422 //. -^AC COLL 

avec moins de portée. Par exemple (A = B :: C) veut dire 

* A ::^ (B : : C) J et non pas } ( A = B) : : C j , lequel peut être exprimé 
sans parenthèses par le symbole A :: B = C. Pour économiser les 
parenthèses nous posons la convention que \ :: B a la mémo 
portée que A : B, mais plus de portée que A + B, Par exemple, 
A= B :: C : D-|-E affirme que A est équivalent à B ;: C : D -f-E- 
et cette dernière expression veut dire (B = C) jC: (D+E);, car 
C:D + E veut dire C : (D+E), et non pas (C:D)+E. 

i6. — Dans les l'ormules suivantes (dont la plupart sont évi- 
dentes) le symbole Ag est employé comme synonyme de A : B ; 
et le symbole Aqb veut dire (Ag)' ; de sorte que nous avons 

Ab = (A : B) = (AB> rz (A' + B)^ 
AoB = (A : B)' = (AB')--. = (A' + B)-^. 
(i) (aa')i (a -{- ol'Y ; (2) a :-— aa ^ a -j- a ; (3) (a^ 4- «v, _j_ a')' ; 

(4) a::P = (a:Si)((i:a); (5) ol : <^ = ^- : <x' ; (6) a^ : p. = ^' : oc' ; 

(7) (a : ^) •• ^' + ? ; (8) (a^ : .^^ ) : a'+ '^.^ ; (9) a(|î + Y) =7:y+ [Îy^ 

(10) (a^)'r=a' + .3'; (11) (a+[3)' = <i': (12) (^::a) (.r: jî) =r.r :a[J; 

(i3) a.?, : X, ; (14) (a : f. : y) : (a : y) ; (i5) [^+'^U=^o.+ %.: 

(16) a:a^-.3:« + ^i^-y: (17J alx^îa^y: (18) (£> (vi>(O')0 : 

(19) (a+pU=r:a,p,.; (-20) (a + ,3), : a,,+ %: (a^), ; 

(21) x,j,'^;xa.-\-Xa^:Xa.+ ';.', (22) t '. a =1 OL'- ; ('ij) a : T, = ai ; 

(24) (a:.a):(r« :;r;i); (25) (a : fj) : (p, : a,.) ; (26) a, = a :: aji ; 

(27) as = a + ^ :: ?; {28) (a : .3) : (a^ : ^^ : ("^9) (« ■ .3-,-) : ('t'^)-.- 

1^. — Nous allons maintenant examiner les syllogismes de la 
logique traditionnelle. Tout syllogisme valide n'est qu'un cas 
spécial de la formule générale aj^i.. : a.., qui est l'abrégé de [ci. : p) 
(? • y) • (^' • ï)' ^^ 4^^ affirme que si a implique ^i, et p implique y, 
alors a implique y. ^Yoir ^§ jjl, i3). Dans cette formule les pro- 
positions a, ^, Y peuvent avoir ou ne pas avoir le môme sujet, 
et elles peuvent être, séparément ou en combinaison, des certi- 
tudes, des impossibilités, ou des variables. 

Pour appliquer la formule aux syllogismes, nous supposons 
que les propositions a, |j, y ont toutes h,' même sujet, savoir, un 
individu P pris au hasard dans notre univers d Cntités admissi- 
bles, P,, P^, P,, etc. Ainsi les propositions a, ,3, y sont les 
abrégés respectifs des propositions P«, P\ V\ ^[^n affirment res- 
pectivement que P appartient à la classe a, <jue P appartient à la 
classe |j, (jue P appartient à la classe y. (]oinme dans les for- 



LA LOGIQUE SYMBOLIQUE 4a3 

mules du § i6, le symbole a,ji est synonyme de (a^j' et de (a : :^i; . 
Ainsi nous aurons 

a^ = a : ,'3 = P« : P.^ := tout « est i ; 

Xo? = (a : '^Y :=■ (P" : P?)' = quelque a n'est pas |î ; 

as' = a : ^' =: P* : P~ ? ^= nul a n'est pi ; 

ao,2' = (a : ^')\— (P" : P-?)' = quelque t est 3. 

Que 'j('', [j, y) représente la formule générale aj[j., : a... 

Alors si nous considérons comme équivalents les syllogismes 
qui ont des prémisses équivalentes et la même conclusion, ou 
des conclusions équivalentes, nous aurons 

Barbara =r o(a. S, y) 
Celarent -^ Ccsarc = o(a, |i, y') 
. Darii= Datisi =: ç){^, y, a') 
Ferio n: Festino =. Ferison = Frésison =: ci(a, y, ,:') 
Camestres rr: Canicnes zz: cp(Y, ^, a') 
Disamis :=^ Dismaris = o(|5, a, y') 
Baroko =: cp(a, y, [i) 
Bokardo — ' o(?. V-, y). 

De la formule x : ^ = ^' : x' il s'ensuit que pour chacun de ces 
syllogismes 'j>(.r, y, ^) = -^[z', y\ x'). 

Nous pouvons donc renverser Tordre des termes de chaque 
syllogisme, si, en même temps, nous en changeons les signes. 
Far exemple, Camestres et Camenes équivalent chacun à 'j-^a, ^',*'')- 

18, — Il y a quatre syllogismes de la logique traditionnelle 
qui ne sont pas valides, du moins sous les lornies qu'on leur 
donne en général. 

Ce sont Darapliy Felapton, Fesapo et Bruinanlip. 

Pour les rendre valides il faut donner aux trois premiers une 
troisième prémisse '^''' (voir § 4), et à BraiH(Uiti[) une troisième 
prémisse ^p- 

Ainsi corrigés, ils deviennent, comme tous les autres, des cas 
spéciaux de la formule générale a(a, ,3, y). En employant les 
symboles (Darapti),., (Felapton),,, etc., pour indi([uer les syllo- 
gismes corrigés, nous aurons 

(Darapti),. = 'j(P, ay, r,) 

(Fclapton),. rr: (Fosapo)i. =r cp(,3, ay', y/ 

(Bramantipje = o(y, ia', i\). 



4a/| //. MAC COLL 

Pour montrer 1;« méthode générale de réduction, il suffit de 
prendre deux cas (i) celui de Darii et (2) celui de (Daraptij,. 

Darii rr ri..at,y : «07' = ^■■a.o-^^'(t-.< : t, (car x : y' ^=x,/ : r^) 

— f3..a.,' : a,' =: p^y^' : ^a' = cp(p, y, %') 
(Darapti)(. = PyP„.[3-i : ao/ = ^-[^ol^^. '• «o-,' 
= p-fia^or,a.^' : r; = Pïjiaa..' : fir, 

Pour prouver que Darapti sous sa forme ordinaire n'est pas 
nécessairement valide, nous n'avons qu'à montrer un seul cas où 
il est faux. Un tel cas est ^i(aY)i, qui est le produit de deux fac- 
teurs parfaitement possibles et compatibles entre eux. En repré- 
sentant Darapti sous sa forme ordinaire noîi corrigée par le sym- 
bole [Darapli)^c-> ^t en supposant que ^""(ay)^, ou son synonyme 
,'iJ,(aY)'', soit vrai, nous aurons 

(Darapti)- c = Pï^a : «07' = P-;^ : (aY)or. = Tjv. : Tl„r, 

car 

Tjv. ~ 71171 = (tjt/)'! ::r (T)£)r. = £, 

et 

Pareillement, on peut prouver que Fclapton, Fesapo^ Bra- 
inaniip ne sont pas nécessairement valides sous leurs formes 
ordinaires. Par contre, la formule générale «(a, (j, y) dont on 
peut déduire tout syllogisme valide est (comme toutes les for- 
mules valides) une certitude formelle, et par conséquent vraie 
pour toutes les valeurs de a, ^, y, ou de leurs combinaisons. 
I^renons, par exemple, le casa'j^'y. Nous aurons 

Cp(;. 0. Y,; -- £,jO,, : tr, — 7J^ : T, — Tj I T, = £ : 

ca r 

îo = {zH'jn = (O'i'. = ()'- = 7^ ; et, 0^, = (Or/)'. = (Oe)', = ()', — tj ; 
et 

1) : T^ rr E (voir § <) . 

ly. La manière ordinaire d'exprimer un syllogisme ne me 
semble pas tout à fait correcte. Au lieu de dire, comme Ton fait 
en général, « Tout A est B, tout B esl (!. t/tnic tout A est C ». 



LA LOGIQUE SYMBOLIQUE 4»^ 

nous devrions dire « Si tout A est B, et si tout B est C, alors 
tout A est C )). Bien que les logiciens emploient presque t<ai- 
jours la première forme, c'est la seconde qui exprime leur vrai»- 
pensée. Sous la seconde forme, le syllogisme, comme je viens de 
le montrer, est toujours vrai indépendamment de la vérité ou 
de la fausseté de ses prémisses ou de sa conclusion ; car (en 
contraste avec la première forme) la seconde Ibrnie ne garantit 
ni la vérité des prémisses, ni la vérité de la conclusion ; elle 
affirme seulement qu'il est impossible <[uc les prémisses soient 
vraies et (en même temps) la conclusion fausse (voir § ^). Soit P 
les deux prémisses, et Q la conclusion. La première forme af- 
firme P .'. B, qui équivaut à P (P : Q) ; la seconde n'affirme que 
le second facteur P : Q, qui veut dire (PQ)'- et qui est une certi- 
tude formelle. La forme P.*. Q est fausse dans le cas P'', quelle 
que soit la conclusion Q ; tandis que la forme P : Q est vraie dans 
ce cas comme dans tous les autres. Car en supposant P=y,, 

nous aurons 

P :. Q = P (P : Q) = r, (r, : Q) = r.£ = t. : 
P : (^) = T, : Q = £ (voir § 9) . 

A . . 

20. Le symbole -rr- indique la iJiobabiiitè que la proposition A 

soit craie en supposant que B soit i>rai ; B étant une proposition 
quelconque compatible avec les données de notre problème, mais 

non nécessairement impliquée par elles. 

A . . 
Le symbole —;- indique la probabilité (jue la proposition A soit 

vraie en ne supposant rien que les données du problème. Le syni- 

^ A ^ ■ A A 
bole û -j5-, ou son synonyme (A, B), représente -tt- —, et 

s'appelle la dépendance de A par rapport à B. 11 indique l'aui;- 

mentation ou (lorsqu'il est négatif^ la diminution subie par la 

A 
probabilité générale -7- quand la supposition B est ajoutée à nos 

•s A 
données. Le symbole ^''-r^r t)n son synonyme 6" (A, B) affirme 

que la dépendance de A par rapport à B est zéro. Dans ce cas on 
dit que la proposition A est indépendante de B, ce qui implique 

(voir 20, formule i) que B est indépendante de A. Les symboles 

A 
a, 6, c, etc. représentent respectivement les probabilités-^. 

•^r } T"? ^^^' j <^t les symboles </', /»', c , etc., représentent respec- 



426 



//. MAC COLL 

A' B' C 



etc. ; de sorte que nous 



tivement les probabilités 

avons a' = i — o, h' = i — b, etc. 

Les diagrammes suivants expliquent les définitions adoptées. 

E E 





Fig. .. Fi^. 2. 

(^ue les symboles A, B affirment respectivement comme pro- 
r positions qu'un point P (pris au 

hasard sur la totalité de points mar- 
(jués dans le cercle E) sera dans le 
cercle A, qu'il sera dans le cercle B. 
Alors AB affirmera que P sera dans 
les deux cercles A et B ; AB' affir- 
mera que P sera dans le cercle A, 
mais pas dans le cercle B ; et parei- 
llement pour AB et A'B'. Dans la 

.. A 3 

lioure I , nous avons — = « = — - ; 
^ ' î i3 

A' , lo AB I AB'l 




Fig. 



-^ . Dans la fi 
AB I 

î 12 " 

: a 



A' 



igure 
AB' 



u, nous avons 



9 



— . Dans la ligure j, nous avons —^ = a ^= 



A' 



AB 

£ 



Il est évident aussi que : 

(Flg. l) 0^:=-^^ 



AB' 



AB ^_JÎ L — J- 

"B T "" 4 iJ ^"^ 



(F' ^ -^_A A _ AB A _ 1 3^ _ 

V 8' / ^TT 7Î T B £ 4 ia~ 



LA LOGiqiE SYM BOUqiK A-i'j 

, A A A AB A I ; _ I 

Pareillement, dans la (loure i, nous avons o — - ^ + -:— ; dans 
la fioure ■>.. o -:- :^ o ; et dans la figure 3, o — r- = ^^ . 

î^ A "A ^ > 

Les lorninles suivantes sont faciles à vérifier : 



(0 






A a B ^ A « ^ B 




» 






A' A , A' , A 
-B='--B- "b^-'b' 




(i) 






A a /^ A , , A /> ^ A 

"b^ ■" 17 ^^ ■ "b" • '^ "b^ ~ ~ // '' B • 




(4) 






A' A , A' .A h ^ A 
B' ~ ' B' ■ *^ B' ~ ' B' ~ 6' ' B 




(5) 






AB A B B A B , A 
s == s • A= E • B="a=''b ^ 




(6) 


A 


± 


B A B AB B 

— ■ =z ] z=. a -\- h — a -—r=z H -\- h — 

t i z A 


.-.A; 


-\ 






A + B _ A B AB 




w^ 


.r .r X X ' 




(8) 






AB A B B A 
X X ' xA X ' xB ' 





2 1. Quand un exposant x est une fraction comprise entre u 

(A \ ■'■ > \ 
-^ \ , o' -^ ou o' (A, B^ affirment respec- 
tivement comme propositions que la probabilité de A est .r ; que 
la probabilité de A, en supposant B, est x ; que la dépendance de A 
par rapport à B est s. Le contexte empêchera toute ambiguïté 
ou confusion d'idées quand nous employons ainsi des exposants 
comme prédicats. Ces conventions nous donnent les lormules 
suivantes : 



(0 



---(4 = y4) 



(a) A ' B'/ (AB) = : (A + B) >■ + y - = 

(3) A-B?/ (A-1- B)= : (ABj' + y-^ 

(4) A" B* (AB)' (A + B) .V : (x 4- j =; o + h) . 

(5) A ' B'/ (AB)^v : o" (A, B) : S» (B, A) 

(6) A'B«8«(A,B):(AB)^!/ 

(') --(4)'(x)' (f = ^) 



428 11. MAC COLL 



(8) A"B'.(^^y (^^y:^/M+//j-") 



^y i^ 



(lo) 

(") (4-=i): (4) +;«-'') = (^^^^+("='') 

/A-A\:3«A.aoJL 

\^ B ~ B' y B A 

ao (A,B) = 00 (B, A) ^ ^A ^ A^ ^ ^A. ^„. A.^ 



(i3) 



22. J'appelle une proposition une certitude fornieUe (juand elle 
résulte nécessairement de nos définitions ou conventions de lan- 
gage sans autres données; une impossibilité formelle quand elle 
contredit quelque définition ou convention de langage ; et une 
variable formelle quand elle n'est ni lormellement certaine ni 
formellement impossible. Une propobition est une certitude ma- 
térielle quand elle résulte nécessairement de quelques données 
spéciales extérieures h nos définitions ou conventions de langage ; 
une impossibilité matérielle quand elle contredit quelques don- 
nées spéciales extérieures à nos définitions ou conventions de 
langage. Les symboles A% Ai affirment respectivement que A est 
ime certitude., que A est une impossibilité., sans dire si la certi- 
tude ou impossibilité est formelle ou matérielle. Toutes les for- 
mules que ] ni données ici sont des certitudes formelles. 

23. Quand une proposition n'est ni formellement certaine ni 
formellement impossible, elle peut être une certitude matcrielle, 
une impossibilité matérielle, ou une variable matérielle, selon i os 
données. Ainsi nous pouvons avoir des propositions telles que A' 
(il est certain que A est certain), A'"" (11 n'est ni certain ni lin- 
possible que A soit impossible), A-'' (il est faux qu'il n'est ni 
certain ni impossible que A soit certain), et pareillement ]>our 
n'importe combien d'exposanls ou prédicats successils. Prenons 
les exemples concrets suivants : 

lin fixant notre attention sur une de ces trois figures, prenons 
comme donnée que le point P est pris au hasard sur les (in(( 



LA LOGIQUE SYMBOLIQUE 4^9 

points marqués dans le cercle E, et convenons que le symbole A 
(comme proposition) affirme que le point P, pris au hasard, sera 
un des points marques dans le cercle A. Il est évident que si nous 
prenons la figure i nous aurons A% tandis que dans la fiffure 2 
nous aurons A^ et que dans la figure 3, nous aurons A"". Car dans 
ces trois cas les probabilités respectives de A sont i,— o. 

Mais maintenant, au lieu de prendre une figure fixe^ prenons 
une des trois figures nu hasard, et convenons que les symboles 
Fj, F_„ F3 (comme propositions) affirment respectivement que 

A F A E A E 



œ 




Fig. 1. 



Fig. 2. 



Fig. 



c'est la figure i qui se présentera, que c'est la figure :>, que c'est 
la figure 3. Puisque ces trois figures sont les seules de notre 
univers limité, nous avons (F, + F^ -f- F3)% de sorte que 

A'- = A= (F, + Fa + F3) = AeF, + A.F, + AcF3, 

et, par conséquent (voir § 20, formule 5), 



Ae 



+--- + ^-^=-[-v:+^+ 



Ae 



= -(.+o+o)=_. 

Ainsi, avec nos données actuelles, A- est variable, puisque sa 
prol)abilité n'est ni i ni o, mais une fraction entre les deux. 
C'est-à-dire nos données nous mènent à la conclusion A''. Pareil- 
lement on peut démontrer que nos données nous mènent aux 
conclusions A'" et A"^ Mais maintenant supposons que les figures 
2 et 3, au lieu d'être différentes de la figure i, soient exactement 
semblables à la figure i. Dans ce cas nous aurons 

^ 3 \f, + F, + yj S \V, + V, + fJ 



Enseignement inutb. 



!-;• + • + = 1. 

a8 



;3o 11. MAC COLL 

Ainsi, au lieu d'avoir A'*, comme avant, nous aurons A-, qui 
affirme qu'iV est certain que A est certain. Pareillement, avec ces 
données, nous aurons A'"' et. A"'-. 

Note. — Le système de logique que je viens d'expliquer n'est 
pas fondé sur les mêmes principes que les systèmes des autres 
logiciens. Dans aucun des systèmes (jui me sont connus je ne 
trouve la distinction que je fais entre les mots s'rai et certain., el 
entre les mots faux et impossible ; de sorte que dans ces systèmes 
symboli<|ues les propositions variables (dont les probabilités ne 
sont ni i ni o^ ne trouvent pas de place. Par conséquent, plusieurs 
des formules de ces systèmes n'ont qu'une validité limitée ; elles 
sont valides pour les certitudes et pour les impossibilités, mais 
non pour les variables. Mais, supposons qu'on reconnaisse ces 
variables, et qu'on désire les exprimer dans le langage symbo- 
lique ordinaire. Alors, la proposition exprimée par mon sym- 
bole A' serait exprimée par (A = i^, ma proposition A""' par A 
= o), et ma proposition A' par (A ^ i) (A =^o). Si l'on voulait 
exprimer ma proposition A^' (voir § 23) dans le langage symbo- 
lique ordinairement accepté, on serait obligé de la présenter 
sous la forme peu maniable de 

Il y a dans mon système des formules innombrables, comme, 
par exemple, 

A^B' + B'-A' : (AB/ : A"'^^ B' + B' '• A**, 

<|ui deviendraient presque incomprébensibles par leur simple 
longueur, si on les traduisait dans le langage symbolique d'un 
autre système. Si on représente la première alternative de cette 
dernière formule par o (s), la dernière alternative doit être repn- 
sentée par 'o ( — r,), et alors la formule devient 

o [t] : (AB)'' : o (— T,]. 

(Pour l'explication des symboles cp (s) et 'j> ( — y. . voir >^ i4 
On trouvera des exemples de l'application de ma méthode aux 
mathémati([ues dans mon mémoire de la l>ibliolltc(jiic du Coii- 
i(rès International de Pliilosopliic, t. 111, p. i^j-iS:'). Libiairii- 
Armand Colin. 

1Ili;h Mac Goll (Université de Londres., 



SUR LA CONCEPTION DES LJMITES (') 



Nous disons qu'une grandeur variable tend vers une limite , 
lorsqu'elle se rapproche infiniment d'une grandeur de même na- 
ture. On appelle cette dernière grandeur limite. 

De cette définition, il résulte qu'il n'est pas nécessaire que la 
limite soit une grandeur fixe, et qu'elle-même peut avoir une 
limite. Il en résulte encore que la limite ne peut jamais être at- 
teinte ; en effet, la grandeur donnée se rapproche infiniment de 
sa limite; donc à l'infini, la grandeur arrivera à sa limite, mais 
l'infini ne s'épuise jamais, la limite ne sera jamais atteinte. Nous 
ne pouvons donc pas toujours dire sur la limite ce que nous pou- 
vons dire en commun sur les grandeurs variables, et vice-versa. 

Prenons un exemple. Considérons un cône et inscrivons-v 
une pyramide. Si nous faisons croître à l'infini le nombre 
de ses faces de telle façon que ces faces deviennent infiniment 
petites, la pyramide se rapprochera infiniment du cône. 
Obtiendrons- nous une pyramide qui se confonde avec le 
cône .* Non ; parce que nous n'obtiendrons jamais une pyramide 
ayant un nombre infini de faces. De plus encore, si notre imagina- 
tion permettait d'exister à une telle pyramide elle ne pourrait être 
identifiée avec le cône, parce que la pyramide qui aurait un nom- 
bre infini de faces devrait être une figure variable, tandis que le 
cône est une figure fixe. 

Par suite pouvons-nous dire du cône toul i-i- (iiic nous pou- 
vons dire de la pyramide.' [évidemment non. Il est possible (jue 
le cône jouisse de toutes les propriétés des pvramides, mais jus- 
qu'ici nous ne sommes pas autorisés à l'admeltre simplement parce 



(') Voir dans celte Revue, les articles de M. J.-l . BoN.Nti . iiotaumicnt la Koto 
intitulée: Les limites et l atome, t. V, p. jJa-JJS. La Rlhaction. 



432 c. poporici 

que le cône est la limite des pyramides. De plus, il nous faut 
encore remarquer que c'est tout autre chose que la limite géomé- 
trique, concrète, intuitive des figures de l'espace, et la limite 
arithmétique, abstraite, déductivedes grandeurs qui représentent 
les mesures des éléments des figures de lespace. Si la pyramide 
a comme limite le cône, il ne s ensuit pas que la surface de la 
pyramide ait comme limite la surface du cône. Je montrerai qu'il 
existe des figures qui ont comme limite la surface du cône et 
malgré cela la surface latérale de ces figures n'est pas égale à la 
surface latérale du cône. Imaginons que nous plaçons dans un 
cône une série de disques qui se recouvrent en s'appuyant com- 
plètement sur la surface du cône. Supposons que ces disques 
s amincissent infiniment, puis coupons par un plan l'ensemble 
formé par le cône et les disques, la figure formée par les disques 
aura comme limite la figure du cône ; mais la surface latérale de 
cette ficpure, ou en d'autres termes la surface découverte des dis- 
ques, nous ne pouvons pas encore dire qu elle a une limite égale 
i( la surface du cône, nous ne pouvons pas affirmer non plus qu'elle 
ait une limite, cette limite dépend peut-être de l'inclinaison qu'ont 
les disques sur les génératrices du cône, et peut-être même de la 
loi que suivent ces disques en se faisant infiniment minces, parce 
qu'ils sont coupés obliquement par le plan. Considérons en par- 
ticulier le cône circulaire droit, elles disques parallèles à la base 
du cône, soit /■ le rayon du cercle, / la hauteur et a la généra- 
trice. 

La surface non couverte des disques se compose de deux par- 
ties : la partie non couverte des bases et la surface latérale des dis- 
ques. Considérons la première partie. En projetant chaque por- 
tion sur la base du cône, on voit que leur somme est égale à la 
base du cône : -/■'. Nous avons dit que la deuxième partie se 
compose de la surface latéiale des disques. Chaque élément cylin- 
drique A\ ce' de celte surface se rapporte à l'élément correspon- 
dant de 1 aire du tronc AA' BB , comme les nioduits ', \ . .. 

(01 étant la demi-somme des rayons du Ironc) ; le rapport entre la 
surlace latérale des disques et la surface latérale du tronc de cône 
sera compris entre la plus grande et la plus petite valeur ilu lap- 

. Al'. AC , , ,. , . . , • (• • , 

pori -— — —- ; lorsque les disques s amincissent iiHiiiimml. le 



SUR LA COSCEPTIOS UES LIMITES i^i 

AC i 

rapport tend vers la valeur ---— = — et la surface latérale des dis- 
ques aura pour limite T.ra — ^^-ri. La surface latérale de la 

figure qui tend vers le cône sera -/i-j- "'' = "'' ('' + ') tandis 
que la surface latérale du cône est ~ra ('). ('onformément à notre 
calcul, nous pouvons voir que la surface que 
nous obtenons, si nous considérons les dis- 
ques extérieurs a la même limite et que cotte 
surface est indépendante de la loi d'après 
laquelle les disques s'amincissent. La corré- 
lation entre l'espace et le nombre, entre la 
position et la dimension doit être conçue sous 
un rapport tout nouveau, nous devons donc 
concevoir d'une façon différente l'intuition 
et la déduction, ce que nous voyons et ce qui 
existe. Il nous faut séparer les opérations 
d'avec les nombres, les opérations d'avec les 

figures. Faire varier un nombre vers sa limite, c'est une opéra- 
tion ; faire varier une figure vers sa limite c'est encore une opé- 
ration, mais nous avons vu que si deux figures tendent vers une 
même limite comme figures, il n'en est pas de même de leurs 
aires qui sont des nombres. Etudier une corrélation entre la 
variation des figures et la variation des fonctions serait une inté- 
ressante question. On pourra, par exemple, concevoir une 
nouvelle science difTérentielle et intégrale par des opérations pure- 
ment géométriques ; différencier serait faire une sorte de défor- 
mation, intégrer, établir une sorte de mouvement. Beaucoup de 
théorèmes et de théories auront sans doute des corrélatifs très 
intéressants si nous passons du nombre à l'espace, si nous rem- 
plaçons le ternie de valeur par celui de position, fonction par 
figure, égal par superposable, identité par coïncidence ; le seul 




Fiar. 1 



(') Ou pourra ralculer la sumine dos surfacos lalêralos des disques de 
cette façon : 

Supposons les disques de hauteurs «'gales, et soit .s le rayon du disque 
qui vient iiniuédiateinent après le souuuet. Le «'"'-' disque aura un rayon iist\ 

nous cherchons la somme: X >-//s7? ^ irsA ~ Ov. lin =z iot [n-\-i) s r^r. 

Donc, cette somim" est -/. 



4:i4 



r. popovici 



terme équivalence reste de plus clans la richesse de la conception 
géométrique. 

Il faut faire attention à la valeur des notions, distinguer la lon- 
gueur et la ligne, l'aire et la surface et vice-versa. Ne dit-on pas ? 
Aire plane et surfaces coniques. Et relativement au volume ? Le 
volume est le lieu qu'occupe un corps dans l'espace. Si le corps 
se meut il n'a plus le même volume, parce qu'il n'occupe plus le 
même lieu dans l'espace. C'est là qu'est le défaut parce que 
nous n'avons qu'une seule notion pour la figure et pour la mesure. 
Nous avons vu dans l'exemple cité plus haut qu'il est possible 
(jue la figure ait une limite et que son aire n'en ait pas. Prenons 
un exemple dans lequel l'aire a une limite sans que la ligure en 
ait. Nous savons que chaque grandeur, qui croit en restant infé- 
rieure à une grandeur donnée, a une limite. Traduisons cela en 
Cféométrie. 

Considérons une figure S et une surface intérieure I]. Suppo- 
sons que la partie intérieure I est variable et qu'elle croît en res- 
tant comprise dans la figure S, il est évident que son aire auraune 
limite inférieure à l'aire S; mais la figure !S aura- 
t-elle une limite? Elle en aura une, mais seule- 
ment lorsque : lim aire i ^^ aire S ; et si lim 
Ï=S'<S alors nous pouvons imaginer dans 
lintérieur de la figure S une infinité de figures 
d'aire S' et par suite la figure - n'admet pas de 
limite, tandis que son aire en a une. La propo- 
sition suivante : (Chaque grandeur qui croît en 
restant inférieure à une grandeur donnée a une limite, se traduira 
ainsi en géométrie : Chaque figure qui croît en restant comprise 
dans une figure donnée a une limite. Nous voyons que le théo- 
rème n'est plus vrai pour les grandeurs géométriques. 

Nous allons en voir la cause. C'est peut-être parce que les figu- 
res en (jueslion ont deux dimensions tandis (pie l'aire n'en a 
qu'une. Remarquons alors qu'on peut imaginer dans une ligne 
AB une infinité des segments de même longueur. Donc c'est la 
position, la cause. Lorsque nous établissons une corrélali(»n. il 
laut nous arrêter et établir une coincntion sur les notions. Oiic 
doit-on comprendre en géométrie par plus grand et plus petit? 
Ceci : La figiire A est plus petite (jue la ligure H. 1ors(ju'elle est 




Fig. 2. 



Si/{ LA COSCEl'lIOy DES LIMITES 



-1 ,:i 




comprise dans la ligure B, mais non lorsqu'elle peut y èhe com- 
prise ; il en est du reste ainsi avec les nombres. N'est-il pas vrai 
(juc n est trois fois dans 6? Mais lorsqu'il s'agit de figures, 
c'est-à-dire des régions de l'espace, les 
figures sont des grandeurs qui ont dans 
leur nature constitutive l'espace, la posi- 
tion. Pouvons nous dire que la figure B 
contient la figure A, lorsqu'elle ne contient 
pas tous les points de A .' I"^n algèbre on 
ne fait pas nécessairement distinction entre lig. J. 

contenir et pouvoir contenir ; en géométrie 

pouvoir contenir est une question de forme et contenir une ques- 
tion de position, et alors nous dirons qu'une figure est plus grande 
qu'une autre lorsqu'elle la contient. 

Demandons-nous maintenant ce que signifie pour une figure 
croître et décroître. Une figure croît lorsqu'elle gagne dans l'éten- 
due sans rien perdre du terrain gagné s'il en est ainsi, il est aisé 
de démontrer notre théorème et par conséquent le théorème sui- 
vant : « Chaque grandeur, qui croît en restant inférieure à une 
grandeur donnée, à une limite » est générale. — Considérons main- 
tenant une autre proposition : Un ensemble limité et contigu, 
qui contient une infinité de points, admet au moins un point 
limite. I.e théorème est vrai que l'ensemble soit un intervalle nu- 



meruiue ou une figure. 



V 



Demandons-nous ce (jui arrive lorsque au lieu de points, il 
s'agit de figures. Une figure qui contient une 
infinité de figures n'admet en général aucune 
ligure limite. En effet, considérons une 
ligure S qui contient une infinité de figures E, 
tonnées d'après une loi ([uelconque. Suppo- 
sons qu'il existe un point intérieur dans 
toutes ces figures. De ce point O, menons un 
ravon visuel 0\', il sera intercepté par les 
ligures ï aux points a, a, ...a„ et sur un inter- 
valle fini et continu. l*ar suite les points a, rt, ...a„ admettront 
au moins un pt)int limite a. 

Si nous faisons tourner le rayon OV il sera intercepté de tous 
les points limites, (considérons l'ensemble formé par ces points^; 




Vi^. 



436 C. POPOVICI 

nous ne pouvons pas affirmer qu'il forme une courbe continue, et 
même s'il en était ainsi, nous ne pouvons dire que leur ensem- 
ble est une figure de la famille S, il pourrait être par exemple 
un de leurs enveloppes et par suite nous ne pouvons pas dire que 
l'infinité des figures S admet une figure limite. 

Considérons maintenant que 1 infinité des figures S est l'en- 
semble des figures que prend une figure variable. Que signifie 
une figure variable ? Une figure qui croît et décroit. Fixons les 
idées pour un moment; supposons que la figure croit seule- 
ment et si nous nous souvenons de la définition donnée 
sur la croissance et la décroissance, alors dans la direction 
d'un rayon visuel, les points a, «, ... seront dans le même 
ordre et admettront un point limite a qui sera de la dernière 
figure, par suite ils formeront un ensemble continu « la dernière 
,,;-_-,, figure » et parce que tous les points limites 

forment une figure de la famille considérée ; 
alors cette figure qui croît admet une figure 
limite. Nous avons aiîîrmé plus haut qu'il 
était aisé de démontrer ce théorème, et nous 
l'avons démontré maintenant. Il en arrive de 
p. .- même lorsque la figure décroît, c'est-à-dire 

lorsqu'elle occupe successivement des posi- 
tions comprises dans les précédentes. Mais qu'arrive-t-il lorsque 
nous ne précisons pas le sens de la variation d'une figure ? Par 
exemple, la figure A, avait crû et est devenue la figure B; puis 
après la figure B a décru et est devenue la figure C. Qu'a fait la 
figure A depuis A jusqu'à C? Elle a varié. Mais a-t-elle crû ou 
décru? Conformément à la définition donnée elle n'a crû ni 
décru, et malgré tout elle a varié, car si elle restait constante 
les figures A et C seraient identiques. Donc, par quelle sorte de 
variation passons-nous de A à C ? Ni croissant, ni décroissant 
seulement, mais croissant et décroissant à la fois. Nous sentons 
donc la nécessité d'envisager des grandeurs géométriques d'une 
variation d'une nature nouvelle, et c'est bien naturel, puisque les 
grandeurs géométriques ne sont pas de la même nature que 
celles arithmétiques, les premières contiennent dans leur cons- 
titution l'espace. Eh bien donc, dans quel cas pourrons-nous 
appliquer les vérités sur la vaiiation des nombres :i la variation 




SOMMATIONS QUE L' ON RE S C O ST H L A A MLCAMOLE i ); 

des figures ? Seulement lorsque les figures varient de telle façon 
que deux figures différentes puissent être comparées à deux 
nombres difïercnts. C'est donc qu'il reste à chfMchor beaucoup 
de vérités propres sur la variation générale des figures dillerenle 
de celle des nombres. 

(]. l*opovici (Turno-Scvcrin, Roumanie) 



SUR 



QUP:LQUES SOMxMATlONS QUE L(JN RENCONTRE 
EN MÉCANIQUE 



I. — Au nombre des notions fondamentales sur lesquelles 
repose la Mécanique lationnelle, se trouvent étoiles de jjoint 
matériel et de masse d'un point. D'après les idées qui sont gé- 
néralement adoptées aujourd'hui, la masse d'un point est un 

nombre (^]. Si l'on considère un système de n points on appelle 

II 
masse du système la somme des masses des n points : M = ïw,. 

Mais si l'on considère un système comprenant une infinité de 
points, comme c'est le cas général en Mécanique, la somme des 
masses de ces points contient une infinité de termes positils, et 
l'on ne voit pas à priori, que l'on puisse attribuer un sens à une 
telle somme. 11 est nécessaire d'introduire de nouvelles hypo- 
thèses. Des remarques analogues se rapportent aux expressions 
„ „ rf.r „ d'x „ / dx dr \ ., ,, ., , 

rencontrent dans l'application des théorèmes l'ondamenlaux de 
la Mécanique. Au point de vue de l'enseignement, il peut y avoir 
intérêt à préciser les hypothèses qui permettront d'introduire 
ces diverses sommes dans le calcul et, pour le cas des corps co!f- 



(') Voir Appeli,, Cours de mécani'/uc à l'usage dex rarididals d l'École ccntiatc. 
Paris, 1901, — et Blondlot, Notions de mécanique à l'usage des elèt-es dr 
physique, autographic, Nancy, i8y(). 



4 58 DM rilE VILLE 

tinus, de les exprimer par des intégrales définies. Nous tente- 
rons de le faire en quelques lignes. 

o. Masse d'un corps ; centre de gra^'itê. — Considérons n points 
pesants, de poids respectifs /;^, p^,.-. p„. Ces poids ne sont autre 
chose que des forces parallèles et de même sens; ils ont une 
résultante égale à leur somme, P = S/^,, et appliquée en un 
point G^. Pour passer au cas d'un corps, il faut faire croître n 
indéfiniment. L'expérience montre que Ton peut maintenir en 
équilibre un corps pesant en lui appliquant une seule force. Dès 
lors il est naturel d'admettre que "^p^ reste finie et a une limite 
lorsque n croit indéfiniment. Cette limite est le poids du corps, 
P = Hpj. Xous admettrons aussi que G^ tend vers une position 
limite. G, point d'application du poids ; c'est le centre de gra- 
vité. Mais, en introduisant l'accélération due à la pesanteur, on 
a p- = i^n?, ; par suite si S/;, a une limite, il en est de même 
pour i//^,. Posant M =: ï//? . on appelle M masse du corps, et on a 
P = Ma'. 

Cela posé, comme la masse d un point est indépendante de la 
force qui agit sur lui, la masse d'un corps, telle qu'on vient de 
la définir, est indépendante de la pesanteur. 

On peut énoncer autrement l'hvpothèse précédente. Pour que 
-nii reste finie et tende vers l'unité quand le nombre de ses termes 
croît indéfiniment, il faut que M, tende vers o. Ce qui a été dit 
revient donc à admettre que la masse d'un point qui peut être 
un nombre positif quelconque quand le point est isolé, doit être 
considérée comme un nombre infiniment petit quand le point 
est envisagé comme faisant partie d'un corps, et même comme 
un infiniment petit assujetti h une condition, celle de la conver- 
gence de ï/77,. 

'.]. E.rpression de la niasse par une i/itêgrale définie. Xoiis 

considérerons seulement des corps continus. Prenons le cas ilun 

arc de courbe AB. Décomposons-le en n arcs; soit MM' == A.s 

lune des parties, et s la valeur de l'arc de courbe terminé en M. 

.\[)peloiis Ini la masse de l'arc MM', arc ([ue nous considérons 

comme formé par l'ensemble d'une infinité de points malériels. 

I . A/// ,. . , 

l.i- qu<tticnt est une lonchoii de *■. 

' A.s 



soMMATioys on: i:o.\ he.\co.\t/{e ex mecasiqi i: i'}9 

Nous ne considércrcMis que le cas où ce quotient tend vers une 
limite, <j.. quand A.s- tend vers o ; a étanl une fonction de s qui 
est elle-même continue. Cette restriction n'a guère dimporfance, 
car il ne semble pas pour le moment qu'il y ait utilité d'intro- 
duire en mécanique des fonctitiii discontinues ou n'admettant 
pas de dérivée, y. est la densité de la courbe en M. Cela posé, 
ou a A/;? = {'j. -\- îj.As, t désignant 'comme dans la suite) un 
infiniment petit dont l'ordre par rapport à Ai- est égal à l'in- 
dice ; ou bien A/« = 'x. As -|- î,. On a donc pour la masse 
de l'arc AB : 

Faisons croître indéfiniment le nombre des arcs MM', chacun 
d'eux tendant versod une manière quelconque. Le second membre 
de (0, reste égal à M, il tend donc vers une limite. D'après les 
propriétés des infiniment petits, il en est de même pour ïy..As. 
Alors, par la définition même de l'intégrale définie, on a 



(2) yi= ;JL. (/.s. 



Si au lieu de consitlérer un arc de courbe, on envisage une 
aire ou un volume, la marche du raisonnement ne sera pas mo- 
difiée, mais on remplacera A.s par At ou Av, et on arrivera à une 
Intégrale double ou triple. 

Lors([ue As tend vers a-, l'arc MM' tend vers M. Ainsi la masse 
de M est un infiniment petit, ce qu'on sait déjà, dont la partie 
principale est 'j,.ds. 

4. Formules pour le eeiitre de gravité. — Considérons encore 
l'arc AB décomposé en n arcs. Appelant X. Y, Z,lcs coordonnées 
du centre de gravité ; x, //. r celles de M ; x, y, z, celles du 
centre de gravite de l'arc MM', le théorème des moments donne : 

MXznlAm. .i\. 

Mais le centre di> gravllc- de MM' tond vers M quand Ax tend 
vers T. Donc 

MZ ^ V(;x + e; An. [x + E.) = V(a.rA. + z.\ 



44o DAUTfJE VILLE 

Passant à la limite et raisonnant comme plus haut : 



MX ^ I 'x.r. ds, etc. 



Nous démontrons, en même temps, que Ton peut introduire 
^mx, la sommation étant étendue à tous les points du corps, et 
écrire 

MX = I.i».r. 

Il en résulte, par les mêmes hypothèses : 

(/X dx (l'-y d'ij. 

M — p- =z Iw — — . .M —~- ^= -'" ,\ , 
dt dt di- dt- 

c est-a-dire que les expressions 2.i)i —jj-, -/« , ■ ont un sens. 

5. Les autres sommes. — Quelques mots sulfisent pour justifier 
la considération des autres sommes. On a par exemple : 

i;«/r- = > I -jx-. A.s + 1, I 

Im/-- = \ j ;j./-. An + :_, 

les valeurs de i/....^-j— ,..., v et /• se rapportant au point M de 

densité a. Nous convenons de ne considérer que des 1 onctions 
continues ; toutes les fonctions qui sont coellicients de As sont 
donc intégrables. 11 en résulte que les sommations, étendues 'a 
tous les points du corps, ont un sens ; et en outre qu'elles s'ex- 
priment par des intégrales définies qui seront simples, doubles 
ou triples selon que l'on considérera un arc, une aire ou un 
volume. 

S. D\r rur.Mi.i.K .Montpellier;. 



LA METHODE DE M. MEUAV 

POUR L'ENSEIGNEMENT DE LA GÉOMÉTRIE 



Depuis que M. Laisant a signalé, sous le titre Une exhumation 
t::t'ométrique {Enseignemenl mathématique, n° du i5 mars 1901), 
la méthode de M. Méray, des progrès considérables ont été 
accomplis, et il nous semble intéressant de les indiquer ici. On 
se souvient qu'il s'agit de renseignement delà Géométrie, et que, 
dans un ouvrage publié en 1874, M. Méray réformait de fond en 
comble cet enseignement, menant de front létude du plan et de 
1 espace, meltant franchement les axiomes en évidence, emprun- 
tant à l'observation du monde extérieur les notions premières 
indispensables el atteignant ainsi un double but : rendre plus 
rapide et moins pénible l'acquisition des vérités géométriques; 
substituer une rigueur réelle à la rigueur apparente. 

Les premiers essais pédagogiques de cette méthode permirent 
d espérer les meilleurs résultats et furent brutalement arrêtés par 
l'esprit de routine ; de nouvelles tentatives, toutes récentes 
celles-là, confirment en tout point celles de 1876 à 1878. On peut 
s'en rendre compte par la lecture dune petite brochure extraite 
de la Revue bourguignonne de renseignement supérieur, qui con- 
tient, en dehors du rapport de INL Chancenotte, donl M. Laisant a 
publié les conclusions dans son article, les documents que voici ; 

Rapport de M. Billiet, professeur de mathématiques à l'École 
normale d'instituteurs d'Auxerre (6 décembre 1900). 

Lettre d'envoi, au recteur de l'Académie, du rapport précé- 
dent, par ^L Mironneau, directeur de l'Ecole normale d'institu- 
teurs d'Auxerre. 

Deuxième rapport de M. Billiet (i3 juillet ipoT. 

Lettre d'envoi de ce deuxième rapport, par M. Miionneau. 



442 E. PERRIX 

Dans le rapport de 1900, M. Billict, après avoir rappelé quel 
est le but de Tétude de la géométrie dans les écoles normales, 
fait le tableau suivant, pas flatté, mais bien juste, de renseigne- 
ment classique : 

« Les débuts sont longs, les démonstrations lastidieuses et 
« souvent pleines de subtilité ; l'esprit des élèves est soumis à 
<( un ergotage incessant, sinon pédantesque ; sous prétexte de 
« tout démontrer, on s'attarde a de véritables niaiseries pour 
« poursuivre une vaine rigueur; aussi, une étude laite de la 
« sorte, loin d'assouplir l'intelligence, finit bientôt par l'anky- 
« loser. » 

Il fait toucher ensuite du doigt l'incohérence des programmes 
des écoles normales, rejetant à la deuxième année des notions 
o-éométriques nécessaires pour l'exécution du dessin géomé- 
trique imposé dès la première année. Le travail manuel se prête à 
des observations analogues à celles amenées par la considération 
du dessin. 

Pour mettre de l'harmonie à la place de ce chaos. M. Billiet sol- 
licita et obtint, dès 1898, l'autorisation de réformer son ensei- 
o-nement par l'introduction des « nouveaux éléments de Géo- 
métrie » de M. Méray. 

L'expérience fut renouvelée en 1899. « Les leçons, dit-il, 
« étaient animées; les élèves s'intéressaient vivement à la nou- 
« velle méthode. » Enfin, la tentative s'étendit encore, et les 
élèves de première année suivirent le nouveau cours. « Ils avan- 
« cent de surprise en surprise », ajoute encore l'auteur; « leur 
(( intelligence s'éveille et s'ouvre très lacilement aux aperçus 
« nouveaux qui leur sont présentés; tous sont frappés de len- 
« chaînement des théorèmes et de la simplicité des démonstra- 
» lions ». 

En résumé, M. Billiet conclut formellement en faveur de la 
méthode de M. Méray, en constatant, d'après son observation, 
qu'elle fait appel « à rintclligence plutôt qu'à la mémoire ». 

La lettre d'envoi de ^L Mironneau constate que le professeur 
« et les élèves se déclaiont égalem(Mit salislaits de hi nouvelle 
« méthode. » 

Par une inspiration des plus heureuses, il donne un résunn'' 
d'une sorte d'enquête faite par lui auprès des élèves maîtres, 



LA MÉTHODE DE M. MEHAY 44> 

ayant presque tous déjà étudié la géométrie classique. Nous ne 
pouvons reproduire ici les déclarations recueillies. p(jurlant bien 
intéressantes. Elles se résument en une approbation <[ue partage 
du reste entièrement le directeur. Une seule inquiétude se mani- 
feste, relativement aux examens; espérons, pour l'honneur des 
examinateurs, que cette inquiétude ne sera pas justifiée. Je ne 
résiste pas au plaisir de reproduire textuellement ici un passage 
de la lettre de M. Mironneau : « Malgré le respect qui s'attache 
« à une méthode admirée depuis deux mille ans, il est difficile 
« de ne pas constater que ce respect même en a fait une sorte 
« de formulaire sacré qui risque d'endormir l'esprit au lieu de 
« l'éveiller. » C'est riooureusement viai : et il faut avoir le cou- 
rage de le dire tout haut. L'admiration que nous devons avoir 
pour les géomètres grecs n'en sera nullement diminuée, bien au 
contralr.e, aux yeux des hommes qui prennent la peine de réflé- 
chir; et si ces ancêtres revenaient au monde, ils seraient les 
premiers, avec leur puissance d'esprit, h conseiller de ne pas 
s endormir dans la routine et les sophismes. 

J'arrive maintenant au deuxième rapport de M. Billiet, celui 
de 1901 ; c'est un important travail, qui n'occupe pas moins de 
12 pages, bourrées de faits, de documents, dans la brochure pré- 
citée. L'auteur y énumère les conclusions suivantes et les déve- 
loppe ensuite : « i" L'enseignement simultané de la géométrie 
« plane et de la géométrie dans l'espace fait gagner un temps très 
« sensible sur la durée totale de l'enseignement géométrique; 

« 2" La nouvelle méthode rétablit la concordance en bien des 
« points, entre les diverses matières du programme de mathé- 
« matiques et celles des enseignements théori({ues et pratiques 
« qui s'y rattachent ; 

« 3" Elle fait appel à rintelligence des élèves plutôt qu'à leui' 
« mémoire; 

« 4° Elle les habitue à penser par eux-mêmes et non plus seu- 
« lement par leur professeur ou par un livre. » 

Il termine en répondant ii certaines objections formulées par 
des professeurs : i" Difficultés éprouvées par les élèves et par 
les maîtres; •i" forme concise, trop savante de l'ouvrage; 3" l'ou- 
vrage n'est pas accessible aux élèves des écoles primaires supé- 
rieures; 4" l'ouvrage de M. Méray renferme quelques notions de 



,44 £. PERRIA 

tricronométrie ; 5" dans tous les examens, les élèves sont inter- 
o 

logés d'après l'ancienne méthode. 

Dans sa lettre d'envoi au recteur, M. Mironneau expose que ses 
observations, tant sur la valeur éducative de la méthode que sur 
les résultats purement géométriques, n'ont ("ait que confirmer les 
conclusions de son précédent rapport : « i'' En faisant marcher 
« de pair la géométrie plane et la géométrie dans l'espace, la 
(( méthode Mérav rapproche les vérités correspondantes et sup- 
« prime les répétitions, d'où cette concision lumineuse dont les 
<( élèves se déclarent enchantés et qui représente, en somme, du 
« temps gagné ; 

« 2" Cette marche parallèle du plan et de l'espace permet 
« d'établir, dès la première année, entre les programmes de 
« o-éométrie, de dessin linéaire et de travail manuel, la concor- 
« dance qui rend une organisation pédagogique rationnelle; 

« 3" Enfin, la fusion de la géométrie plane et de la géométrie 
(( dans l'espace permet des rapprochements ingénieux et sug- 
« gestifs entre des notions que la géométrie euclidienne tient 
« soio-neusement séparées. De ces rapprochements, résulte pour 
« les élèves la vision nette de l'ensemble, la vision synthétique, 
« condition nécessaire de toute science. Ainsi, l'élève domine 
« son cours au lieu d'en être écrasé. Et, en effet, nous sommes 
(( particulièrement séduits par la facilité avec laquelle les élèves 
« troui'ent. à une question donnée, des solutions originales. Un 
« exercice ou un problème étant proposé, les élèves clierchent, 
« et au lieu de considérer la bonne solution comme simple 
« affaire de hasard ou de flair, au lieu de faire appel exclusive- 
« ment i» leur mémoire pour trouver des cas analogues, ils pro- 
« cèdent à une véritable recherche scientifi(jue. C'est ainsi 
« qu'une même question est le plus souvent résolue de plusieurs 
« manières entre lesquelles il est fort intéressant de faire dis- 
« tinguer ensuite la solution la plus logique, la plus simple ou 
u la plus élégante. La méthode géométrique de M. Ch. Méray 
« est donc essentiellement éducative. » 

Signalons enfin les résultats de l'année scolaire iooi-iqo< 
dans les écoles normales d'instituteurs d'Auxerre et de Dijon, 
constatés par les rapports adressés par MM. les prolesseurs a 
M. le rectrui- d"' rAcadémlc de Dijon. 



LA METHODE DE ^f . MEIt.lY /i45 

A Auxerrc. M. Billiet a pu. clans le courant de cette année, 
terminer le cours de géométrie commencé aux élèves de première 
année de 1900 190 1. Le cours complet a compris exactement 
vingt-sept heures en première année et trente-cinq heures en 
seconde, soit un total de soixante-deux heures. L'emploi du 
temps des écoles normales attribuant trente six heures en pre- 
mière année et soixante-douze en seconde année, il en résulte 
un gain de quarante-six heures, c'est-à-dire de plus d'un tiers en 
faveur de la méthode Mérav. A côté de cette grande économie de 
temps, il faut ajouter une plus-value de même ordre sur les résul- 
tats de lancien enseignement due à une synthèse remarquable, 
caractéristique de l'ouvrage de M. Méray, qui permet d'étudier 
vite et de savoir très bien, tout à la fois. 

A Dijon, M. Chancenotte a enseigné la nouvelle méthode aux 
élèves de première année. Il espère réussir à constater que 
i( l'ouvrage de M. Méray coûte moins d'efforts que la géométrie 
« traditionnelle, tout en ouvrant à l'esprit de bien plus larges 
« horizons ». 11 insiste sur ce fait que « l'emploi de cette mé- 
« thode permettra de donner une base rationnelle à l'enseigne- 
« ment du dessin géométrique, et qu'ainsi, prendra lin pour cet 
V enseignement, le caractère presqu'exclusivement empirique 
(( qu'il revêt aujourd'hui. Cet empirisme peut être inévitable avec 
« des enfants de l'école primaire, mais quand il s'agit de former 
« le maître de la même école, il doit être regardé comme extrê- 
« mement fâcheux, car l'instituteur doit, autant que possible, 
« connaître le pourquoi de ce qu'il enseigne ». 

L'année scolaire 1902-1903 sera encore plus fertile en résul- 
tats que les années précédentes : des appliciitions de la méthode 
ont été continuées h Auxerre, étendues en deuxième année h 
Dijon, inaugurées dans les écoles normales de Lyon, d'Albert- 
ville et dans l'école primaire supérieure de Dijon. D'après les 
informations reçues au i5 janvier dernier, on peut s'attendre à 
une moisson abondante d'éloges ii la fin de l'année. 

Il semble bien établi aujourd'hui que les anciennes méthodes 
maintenues jusqu'à présent dans renseignement universitaire sont 
encore plus que les programmes la cause de l'insuffisance des 
résultats acquis. Nous assistons actuellement à l'expérimentation 
ollicielle d'une méthode d'enseignement des langues vivantes qui 
Enseignement mulh. 2,) 



44G 



CH. BERDELLK 



rompt tout rapport avec renseignement classique des langues mor- 
tes. Il est nécessaire que ces elTorts se généralisent : nous 
devons renoncer h nous payer de mots; il nous faut acquérir des 
idées si nous voulons rivaliser utilement avec nos voisins. Je ne 
puis mieux terminer, pour constater combien la recherche de 
nouvelles méthodes est à l'ordre du jour, qu'en citant les paroles 
prononcées par M. Combarieu. chef de cabinet du ministre de 
l'Instruction publique, inspecteur d'académie à Paris, lorsqu'il 
présida la distribution des prix aux élèves des cours de dessin de 
la ville de Paris, à la Sorbonne : « En somme, la pédagogie 
« comme tant d'autres choses et suivant ce qui paraît être une 
« loi générale du progrès, est descendue de son char de Phaeton 
« pour se rapprocher de la vie sociale. » 

Elie Pkkrix (Paris). 



SUR LA NOMENCLATURE DES PUISSANCES 



En laisant, il y a un certain nombre d'années, des extraits 
traduits de l'histoire des Mathématiques de Cantor, pour un 
ami qui ignorait l'allemand, j'ai copié pour moi-même el mis en 
tableau le renseignement suivant : 



^OMS DES PUISSANCES DES KOMHKKS. AD01'T1;S l'AK 



DIOPHANTE 



Carré. 
Cube. 

Carré carré. 
Carré cube. 
Cube cube. 
Carré carré cube 



.l;S AKAKES 



Nombri'. 

C]arré. 

Cubi'. 

C^ai'n'î can't'. 

l'reiuii.'r .sursolidf. 

Carrf! cuIjc. 

Dcu.xiéniL" sursolidf 



J'ai donc été bien étonné en lisant dans l'histoire des Malhé- 



SUIi LA i\OMENCLATUHE DES PUISSANCES 



■447 



luatiques de Ferdinand Hoefer (p., 298) un paragraphe pu, jsur 
l'autorité de A. Sédillot, l'on attribue aux Arabes une nomen- 
clature identique à celle de Diophante. A la ^n de ce paragraphe 
l'on dit : « Ces dénominations des puissances étaient ,déjii 
connues des (irecs, ce qui contr,edit l'opinion de Wallis pré- 
tendant que les Arabes avaient adopté, dans leur nomenclature, 
un système différent de celui de Diophante. » Qui a raison de 
Cantor et Wallis d'un côté, de Hoefer et Sédillot de l'autre,.. Il 
semble que ce problème historique doit recevoir la solution 
suivante : il y a eu des mathématiciens arabes qui ont suivi la 
nomenclature de Diophante et des anciens Grecs ; il y en a eu 
d'autres qui ont cherché à (aire mieux. Pourtant, avant de sp 
prononcer, il serait intéressant de connaître les documents sur 
lesquels on s'est appuyé pour émettre Tune et l'autre des alfir- 
mations contradictoires. 

Mais il s'élève une autre question, c'est celle de savoir laquelle 
des deux nomenclatures est préférable. 11 me semble qu'en 
écartant les expressions i^'" et 2^ sursolide, c'est celle des Arabes 
non imitée des Grecs qu'il faut préférer. En effet n ^ est-ce un 
carré ? Non ! Est-ce un cube ? Pas plus ! Pourquoi alors l'affubler 
de ces deux noms ? Posez les mêmes questions relativement à 
n * et vous verrez que ii * mérite réellement le nom de carré cube 
ou de cube carré. C'est même sa double propriété de carré et de 
cube qui valut au nombre 64 l'honneur d'être choisi par 
Charles XII pour base d'un nouveau système de poids et mesurer 
qu il voulait donner à la Suède. 





lignée 


carré 


bicarré 


tricarré 


lignée 


H^ 


«■' 


H"" 


«" 


cube 


n' 


//•' 


n' 


//'i 


bicubc 


„10 


//Il 


«i' 


H^' 


II'-'' 
Iricubc 


„-.8 


//^» 


„:u 


„:V6 



lignéo 


n- 
carré 


b'icarn- 


// 
tricarré 


"■' fi 
cubo 


««- 


«" 


//'■' 
bicnlie 


„1S 


„:..•. 


«"- 


Iricnbo 


II-' 


„I»S 


,l>i6 



j.i« CH. BERDELLE 

l.a cinquième puissance sera-t-elle de ce fait privée de nom 
o-éométrique. Non ! C'est le produit du carré par le cube, ou du 
cube par le carré. C'est donc un carré de cubes, cuborum qua- 
dratus, en allemand Kiibenkadrat ; mais il faut se garder de le 
confondre avec le nombre carré et cube ou plus simplement 
carré-cube, (quadratus-cubus, quadratkubus ou kubuscluadrat). 

Au bas de la page précédente se trouvent deux tableaux com- 
paratifs h double entrée qui pourront servir pour les dénomi- 
nations à donner à un certain nombre de puissances. 

Dans le premier de ces deux tableaux les exposants du corps 
du tableau sont formés par l'addition de ceux des deux entrées; 
dans le second c'est par leur multiplication. Maintenant si nous 
prenons dans un des deux tableaux une puissance quelconque de 
n nous pourrons la caractériser en faisant un seul tout des deux 
dénominations qui se trouvent aux deux entrées correspondantes. 
Seulement dans le premier tableau l'une des dénominations 
sera au nominatif sini^ulier^ l'aulre au génitif pluriel. Dans le 
second tableau les deux dénominations seront mises en apposi- 
tion. Ainsi /i" est un bicarré de bicubes tandis que /e ^* est un 
bicarré bicube. On m'ol)jectera que ces noms ne seront jamais 
employés ; aussi je ne les donne pas pour servir de dénomina- 
tions, mais plutôt comme des alfirmations laconiques de 
théorèmes de géométrie numérique. Dire que ii ^^ est un bicarré 
bicube c'est dire, en un langage moins brefque celui de l'Algèbre, 
mais pourtant encore très laconique que: si on extrait la racine 
cubique de n ^* on obtient un côté qui peut encore être dispose 
en cube. Le côté de ce cube peut être disposé en carré dont la 
racine sera encore un carré, et la racine de ce dernier sera //. 
I^^n effet dans ce cas particulier on peut faire les opérations : 

dont la possibilité est indiquée par ces mots bicarré-bicube. 

Il y a des amateurs d'Arilhmologie qui désiieraient que les 
noms des dix premières puissances des nombres puissent être 
exprimés par des moyens plus laconiques que de ilire cinquième 
puissance. La chose est facile sans recourir ii la langue grecque, 
le latin sudit, mais en lecourant à un artifice employé par les 
capitaines instructeurs (jui au lieu de croisez baïonnette disent 



SUR r..\ XOMENCLATiRE DES PUISSAXCES 



449 



simplement « cfoisez'ette ! » Donc au lieu de dire en Iqtin quinta 
[ïolentia nous dirons quintentia, ce qui nous fournira les déno- 
minations léminines suivantes en latin, français et allemand : 



rtl 


primentia. 


pnmence. 


primenz. 


n~ 


secundentia. 


secondcncc . 


sekundenz 


iv 


tei'tientia. 


tierçence. 


terzienz. 


n' 


qiiartentia. 


quartence. 


quartenz. 


ti 


quintentia . 


quintence. 


quintcnz. 


n'' 


sextentia. 


sextence. 


sextenz. 


n' 


soptimentia. 


septimence. 


septimenz 


n» 


oclaventia. 


octavcnce. 


octavcnz. 


n'> 


nonentia. 


nonence. 


nonenz. 


n'" 


decimentia. 


décimence. 


deciraenz. 



Parlons ici encore d'une question qui se rattache par des liens 
assez étroits à celle des noms géométriques des puissances. 
On sait qu'on appelle équations trinômes des équations de 

forme suivante 

.r2" 4- p.r" -f p = o (i) 

et qu'on donne ;i l'équation 

.1'* -\- px' -f- ? == o (a) 

le nom d'équation bicarrée. 

Or les équations du 3" degré peuvent, on le sait, être réduites, 
par élimination du •>.'' ternie h la forme 

x^ + px 4- p = o. (3) 

On ne voit pas alors pourquoi les équations de forme 

.«■^« -f px"> -f p = o. . (<) 

ne mériteraient pas aussi le nom d'équations trinômes. Seule- 
ment on distinguerait les équations trinômes en quadratiques (i) 
et en cubiques (4). 

Sans savoir si l'utilité en pourra être bien grande, nous 
cioyons donc qu'il serait intéressant de classer et de nomen- 
daturer les équations trinômes de la façon suivante : 

a** + px -\- ■=. o Kqiialit)n trinôme quadratique. 

x.'^ -\- px -\- '^ z:z o cubique. 

.T* -j- px- -f- p = o bicarrée. 

x'' -\- px^ -j- P = o cuboquadratiquc. 

a,** -(- px' -f- P = o quadratocubique. 

x^ + px^ -\- p z=z o tricarroc. 

x'' + px^ -j- p = o bicubique. 



^'5ô '' ■ M. LERCH 

*''Lès nombres sont d'une classification très facile, ainsi cjiié les 
opérations qu'on peut effectuer sur eux,\et il me seriible que 
l'étude de cette classification ne serait pas stérile p<>ur tous cfeuv 
qui s'en occuperaient. ; 

Ch. Berdellé (Rioz, Haute-Saône). 



DÉMONSTRATION ELEMENTAIRE DE LA FORMULE 






V = — 00 



I. Un lemme. — De la double inégalité bien connue 

siiicp ' 

I J> '- > C0SC5 

■ (i ' 

il suit que 

,- • • ■■-■ ■ '>! " . ' ■ '■ siho ."jo 

o <, I — i" < 1 — coso ^: 2 sin- -^ . 

?;. ' • ■.-: ^ : 

/ I ^^°® ^ 

0<I+r-^<i; 

d'où en multipliant, -^ 

' ' ' o •< I ' — ^ < i sin- ■'-^ . 



p,u, ..après la division par îa quantité 

• > ■ . ^ > ^ 

slll-O ^ -I Slll- -^ (•f)S- -i- . , 

■(hh::.^: 0<:-Ai ^<— ^?. 

siii-o o- cos- -^ 

En supposant z> obtus, cette double inégalité permet de con- 
clure que la ionction 

II 

sin-cp o- 

reste finie dane l'intervalle | j— ' — ) • 



DLMO.\STRATIO.\ ÉLÉMENTAtHE D'U.M: I ORMULE jSt 

II. — Je pose » = .v~ pour avoir les inlinls de hi Çonctioiij 

(■^) fi {•^•} = --4— 

^ ' sui-xz 

sous forme simple, et je vais considérer la somme évidemment 
convergente 



i^) 



U^) = ^-T^ 



qui devient infinie pour les mêmes valeurs que la fonction 
/^ in). On voit d'abord que l'on a 

puis on s'assure que la différence 

(4) Svr) = t\{-r)-f,U-) 

reste finie dans l'intervalle I — ... —1 et par conséquent pour 

tous les V. 

En effet, on a 

la fonction 

restant finie dans l'intervalle ( > -^ j , et la quantité 

g (.,■) = (-r^ ^ ) - /;, (■'•) 

\^ sin-x- .»- y 

devient la différence de deu\ fonctions qui, dans l'intervalle 

I , — Jrestent finies. 

Il y a donc une constante positive C telle ([ue partout 

la valeur spéciale de cette constante n'ayant d'aillûurs aucune 
importance pour nous. , , y ' 



452 M. LERCII 

III. — Si, dans la séiie (3). on Iransfornic 1 indice sommatoire 
V en posant 

V m p -j- F "' (? =^ o» I >2 , . . . »/ — I ; ;j. =r: o, i I . :±: •> . , . . ) 
o'w m signifie un entier positif quelconque, il vient 

m — 1 oc //f — 1 00 

f rz n rr — îc j zr C ;t rr — oo 

OU bien 



Une équation fonctionnelle toute semblable subsiste pour la 
fonction 



i"^'^'-)' 



fA^) = - 



mais nous nous bornerons pour l'établir dans le cas particulier tle 
m = 2*, k étant un entier positif quelconque. 
On a d'abord 



i['.©-.m>-f:^H 



4 sin- — 4 cos- — ^ 



, . ., -r- - .r- sin-.rr: '» ^ - 

.'I sin- cos- 



de la sorte que l'équation 

V7 -- 1 



se trouve vérifiée pour f)i = 2. Admettant qu'elle subsiste pour 
une valeur /;?, nous transformerons les ternies du second nienilne 
en l'employant dans le cas de m ^ 2, ce <}ui donne 



DÉMOSSTIIATIOS JJ L IJ M E .\ / A !/{ f: D' U M: lOHMULE 4>i 

et il s'ensuit ;tu lieu de {j ) 



m — l 



'.(--T^.S^^j + Î^S^'l^'^'^) 



OU bien 



/■'''■^=(^S^"'('^) 



re qui est lu formule [-) écxite avec la valeur 'im de l'entier m. 
La formule (j) ayant lieu pour m = i, sera vraie, par consé- 
<[nent, pour m = 4, 8, iG, et en général pour m = ?.''. 

IV. — Les deux formules (6) et (y) ayant lieu pour m =: 2', il 
s'ensuit pour la fonction 

^(.r)=/i(,r) -/;(;»•} 

la formule de la inènie forme 

m— l 

' ^ ' m- ^^ \ m J 

?-— " 

Puisque pour toute valeur de./: Tinégalité (5) a lieu, cette der- 
nière formule permet de conclure 

m C C 



:*oi<— r= -• '•" 



;k] 



et il s'ensuit en faisant croitre I; au delà de toute limite, que 
l'on a 

U" (•'•)! = <>■ 

Ceci vérifie l'équation /J (.r) =/. (<), on bien 

00 

= v 



vrroo 

<[u'il s'agissait d'établir. Elle fait voir, d'une manière ([ui me 
parait élémentaire ctsimple, que la fonction sin x~ esl analyti<pie. 
ce qui permet d'obtenir son développement suivant les puissances 
de .r sans faire usage du tiiéorème de Taylor-Cauchy. 

M. l.EncH 'Friboury-, Suisse). 



L'ÉQUATIOiN DU PRISME OPTIQUE 



L'étude des formules du prisme optique, dans le cas d'un 
rayon se propageant dans une section principale, peut se faire 
d'une manière plus didactique qu'on ne la fait ordinairement. 
Yoici la marche à suivre. 

Les équations du prisme 
sont : 




(i) 



\ 



sin i 



sin i 

siii /■ sin /•' 

A = ,• + /•' 
D = j + i' — (*• + 



au nombre de 4 entre y quan- 
tités. On pourra donc en éliminer les quantités /•, i', /' et trouver 
ainsi une relation 

/■(D, A, n, i) =r o. 

Pour cela de î^i) nous tirons 

t' = D + A — t 
et 

sin (D 4- A — i) 



sin /•' =: sin f A — 



sin A y n- — sin- i — cos A sin i 



L'équation cherchée {f-^=^ o) est ici 

(2) sin (D -(- A — i) — sin A. y'"" — sin- i + cos A. sin / =: o. 

Discussion. — i''" ctis. En supposant ([ue A augmente, les / 
et n restant constant, on voit que D augmente aussi, car on a 

dh cos A yn^ — sin'' i -\- sin i sin A 

(W ~ COS. (D + A — i) •'"• 



L /iQCATIOy DU PRISME OPTIQI E 4»> 

ri" cas. En supposant que n augmente, les / et A restant cons- 
tant, on voit de l'équation (2) que D augmente aussi. 

W" cas. Supposant enfin que i varie, les A et n restant cons- 
tant, la déviation D varie aussi. Prenons la dérivée 

dD 



cos i r sin A sin i 

di ~ ^ cos (U -h A — i] y^^ni _ sin- i 



cos i . cos /■ 
cos i' . 00s /■ 



qui peut s'annuler pour une valeur particulii-re de i. 11 existe 
donc une valeur extrême de D. 

Pour cet angle d'incidence qn doit avoir —p- ^= o, c'est-à-dire 
, ' .. cos i cos r 



et, en élevant les deux membres de l'égalité (3) au carréjion 
trouve 

■^ I — sin- i II- — sin- in i 

'' I ^ sin- i' n^ ' — sin- i' n- — 1 ' > < 

. . • . M ■;, ,. 
d ou 

y sin- t =: sin- i'. 



On a donc pour la déviation extrême 



et Ton voit aisément que cette valeur correspond à un minimum 
de déviation, en comparant la déviation pour cette valeur à la 
déviation correspondant à une autre incidence, ou encore en 

examinant le signe de la dérivée seconde '.., , pour / == (', 'i * 

, '.'l'.'-'i.. 

C. Mai.tkzos l'Athènes). 



NOTES ET DOCUMENTS 



Cours universitaires. 

Semestre d lnv«n' i()() J-igo'f . 

SUITE (') 

AUTRICHE 

Wien. Universitiit. — V. Escheiuch : Bestimmte Intégrale, j ; Pro- 
seminar fur Mathematik, i ; Seruinar fur Mathematik, i. — Mertexs : 
Elemente der Differential-und Integralrechnung. Uebungen ini mathe- 
inatischen Seminar, 2. Uebungen ira mathematischen Proseniinar, i. 

— KoHN : Analytische Géométrie, /,. Uebungen zu dieser Vorlesung, 
I g. Kurven und Fliichen III. Ordnung, 1. — Talber : Funktionen- 
tlieorie, /;. Versicherungsmathematik, ',. — Blaschke : Einfiihrung in 
die mathematische Statistik, II. Teil, 3. — Daublebsky v. Sterxeck : 
Kreisteilung und Kummersche Zahlen, 2. — Carda : Einfiihrung in die 
Differentialgeometrie, 2. — Plemelj ; Zahlentheorie, 2. — GrIin-wald: 
Fouriersche Reihen und Intégrale, i. — Weiss : Bahnbestimmung von 
Planeten und Komelen, ',. — v. Hepperger : Sphiirische Astronomie, 
4. Astrophysik, i. — Schram : Astronom. Riickrechnung iiberlieferter 
Ilimmelsei'scheinungen und deren Anwendung in der Chronologie, 2. 

— Prey : Elemente der darstellenden Géométrie mit Anwendung «uf 
Kartenprojektionon, 2. 

Wien. Tcclinisclic Hochschule. — Mathcnialischc Fâcher. — Al.LÉ : 
Mathematik I. Curs, — Zsigmoxdy : Mathematik I. Curs. — Czuber : 
Mathcmatick II (Bauingenieurschule), Grundlehren derhoheren Mathe- 
matick, Wahrscheinlichkeitsrech. — Reich : Aupgewiihlte Kapitel 
aus der huheren Algebra. — Tauber : ^'ersicherungs^iath(•matik 1. u. 
II. C. — Blaschke : hinfijhrung in die mathematische Statistik. — v. 
Daublebsky ; Théorie der Raumkui-ven u. Fliichen. — Miiller : I)ar- 
stellende Géométrie u. konstruktives Zeichnen. — Scmmid : Darsttrl- 



^') Faute de place nous devons renvoyer au numéro d«' janvier lyo; la ]>ul)lica- 
lion du tableau des cours de mathématiques des principales Univcrsitén <le» 
Elats-Unii. 

La Rédaction, 



MOTJis i:t documents 457 

lende Géométrie und konsti'uktives Zeiclinen. — Mûlleh : Stereogra- 
phische Projektion u. Gyklographie, Seiiiinar fur darstellende Géomé- 
trie. — ScHMiD : Projektive Géométrie I u II. — Fingeu : Elemente 
der reinen Mechanik in Verbindung mit graphischer Statik. — Zsig- 
MONDY : Elemente der reinen Mechanik in Verbindung mit graphischer 
Statik. — FiNGER : Encyklopiidie der Mechanik. — v. Tetmajek : 
Technische Mechanik I. Tl. — Hermanek : Technische Mechanik U. 
TI., Hydromechanik, ausgewiihlle Kapitel. — Finger : Analytische 
Mechanik. — Pollack : Elemente der niederen Geodiisie. — Schell : 
Praktische Géométrie, Situationszeichnen, Photogrammetrie. — Tin- 
ter : Méthode der kleinsten Quadrate, Ho hère Geodàsie, Sphàrischc 
Astronomie, Uebungen im Beobachten und Rechnen, Geodatische 
Recheniibungen. 



FRANCE 

Paris. — Faculté des Sciences. — G. Darbolx : Principes généraux 
de la Géométrie infinitésimale (-2 heures par semaine). — E. Golrsat : 
Opérations du calcul dilférenliel et du calcul intégral. Eléments de la 
théorie des fonctions analytiques (2 heures). — P. Painlevé : Des lois 
générales de l'équilibre et du mouvement (2 heures). — P. Appelé : Elé- 
ments de mathématiques préparatoires à l'étude de la mécanique et des 
sciences physiques (i heures). — H. Poincaré : Des perturbations pla- 
nétaires (2 heures). — J. Boussinesq : Propriétés thermo-mécaniques 
des solides et des fluides, (Théories générales des pressions, des défor- 
mations et de la conductibilité. Application aux solides : dilatations 
et déformations thermiques. Application aux fluides : courants de 
convection ; pouvoirs refroidissants dun fluide et d un courant fluide.) 
(•i. heures). — G. Kœmgs : De la cinématique théorique et de son appli- 
cation aux machines. La statique graphique et ses applications à 
l'étude des machines à l'état de mouvement (2 heures). — L. Rafky : 
Conférences sur la Géométrie supérieure (1 conf. pai* sem.). — P. Pui- 
SEUX : Conférences sur la mécanique. Exercices et développements sur 
le programme du certificat de mécanique rationnelle. Théo.'ie de lat- 
traction. Attraction des ellipsoïdes (2 conf. par sem.). — Andoyer : 
Conférences préparatoires à l'agrégation des sciences mathématiques 
(•2 conf. par sem.). — Blutel : Conlérences préparatoires à l'agrégation 
des mathématiques (i conf. par sem.). — M. Servant : Conféi'ences sur 
la mécanique physique (1 conf. par sem..). 

Cours de mathcinatiques gcnérales, — Ce cours est destiné à mettre 
les étudiants, qui ne possèdent pas suffisamment le programme de 
mathématiques spéciales, à même de profiter le plus rapidement pos- 
sible de l'enseignement supérieur de la Faculté. Cet enseigneuienl dont 
la création était attendue depuis longtemps est confié à M. Paul Appell, 



'r>« CQRRESPOyDASCE 

1 éroinent profess'eur do Mécanique rationnelle de la Faculté des sciences. 
Les cours auront lieu 3 fois par semaine pendant le semestre d'hiver. 
• J)an^ notre prochain numéro nous indiquerons les points principaux 
du programme de cet enseignement. 

ILES- BRITANNIQUES 

London. Kin^'s Collège (^University of London). — Malhematics. 
Protessor : W. H. -H. IIudson, Lecturers : J.-B. Dal« ; R.-W.-K. 

l'^DWARDS. 

Class /, fivehuurs (preparing for the London University Matriculation 
l']xaniinalion) Arithmetic, Algebra and Geometry. 

Class II, four hours (preparing for the London University Interme- 
diate Examination in Arts and Science), Geometry, Algebra, Solid 
Geouietry Trigonometry and Plane Coordinate Geometry. 

Class ///, four hours (preparing forthe B. A. Pass Examination ofthe 
University of London), Algebra/Trigonomctry, Geometrical, Conics, 
and Plane Coordinate Geometry. 

Class IV, spécial course B. A., and B. Se. Honours. — Alg. Analy- 
sis, 1 h. — Analytical Geometry of Curves and Surfaces, i h. — DifTe- 
rential Equations, i h. 

Class V, course for M. A. — Higher Analysis, i h. — Differential 
l"-quations of Mathematical Physics, i h. 

Applied Mathematics. Professor : W. G. Adams. Demonstraloi- : ]•". 
WiiiTE. Tlieoritical Mechanics, I Int. Arts class, two hours. — 11. 
I». A. Class, tree hours: Statics and Dynamics, Hydrostatics, Astro- 

IIDIIIV. 



CORRESPONDANCE 



A propos de 1 article de M. R. Baron 

l'IiiloloLfitcs et Psychologues en face du problème des parallèles. 

L'article publié sous ce titre dans notre numéro de juillet (année 
i<)oi, p. u78--2«7j a, comme on devait sy attendre, soulevé plusieurs 
critiques. AI. Baron a certainement eu une pensée oi'iginale (M1 v»)ulaiil 
montrer qu il y a des tournures desprit <pii nacceplenl i>lus la science, 
ipiand elle cesse de donner des résultais tangibles ou qu'elh; élai-gil le 
domaine de nos conceptions au delà de celui qui est accessible , à nos 
sen^.; Mais il : faut reconnaître qu'il s'appuie parfois sur dos,. notions 



CORRF.SI'OXDAÎSCE 



4^9 



;>*éoraétriquesunpeu fantaisistes. Telle est celle deVani^lctronqifé(p. •■t^-^ y. 
VA\e n'a. aucun sens précis, l'auteur ayant négligé délinir ce qu'était 
la mesure d'un angle tronqué. Introduire une notion d'aire dans la 
mesure d'un angle ne peut conduire qu'à des contradictions bizarres. 

Xuus reproduisons ci-dessous celle des critiques qui insiste précisé- 
ment sur ce point: elle est extraite d'une intéressante lettre que nous 
adresse M. C. Popovici, professeur à Turno-Severin (Roumanie). 

La Rédaction. 




Je crois nécessaire pour l'intelligence des choses de l'appeler d'aboi'd 
textuellement le passage dans lequel M. Baron expose sa notion d'angle 
tronqué. 

« J'aimerais mieux, pour mon compte, démontrer d'emblée que la 
somme des trois angles dun triangle ne peut être inférieure à deux 
droits (on sait que cette somme ne peut être supérieure à deux droits», 
.le me servirai, toujours à l'usage de gens qui ont ma psychologie, de la 
notion de I'Angle tronqué. 

« L'angle tronqué est un espace non fermé et néanmoins délimité par 
'» droites. Par le fait, c'est un angle-espace diminué d'un triangle plus 
ou moins grand. Que cet espace triangulaire 
soit négligeal)!e ou non, il est évident que 
1 angle tronque ne saurait êti'e plus grand que 
1 angle non tronqué dont il dérive. 

« Dans de telles conditions, la somme des 
espaces FAD-j-DACE -f-ECG ne saui'ait être 
supérieure à FAD -\- DBE -|- ECG, et il en 
résulte que la somme des angles A + B -f- C 
égale au moins deux angles droits (angles- 
espace). 

« Telle est la tournure de mon propre esprit : je ne vois pas la faute 
logique que je puis commettre en ceci, savoir : Que la somme des 
aiigles-cspuce d'un triangle, n'étant ni inférieure ni supérieure à deux 
di'oits, elle est forcément égale à deux droits. Je suis évidemment un 
vulgaire euclidien, puisque cette preuve me suffit. — [Niais il est pro- 
Itahle que je ne serai pas le seul. » 

Les raisonnements de M. Baron olfrent vraiment une grande apparence 
de rigueur, puisqu'ils sont soutenus par des preuves évidentes à nos 
yeux. Mais je crois qu il y a souvent une différence entre ce que nous 
voyons et ce qui existe. 

En effet, reprenons ces raisonnements pour eu liicr (juelques con- 
clusions. 

Premitremenl, la conclusion, ou, pour mieux dire, le premier tait 
itbservé est le suivant : 

FAD + DBE + ECG, c'cst-à-diie : 

EA -|- B -|- C = -2 ;iut;Ics-cs|>acc -|- ABC tiiaiigk -.siiucc. 



Fig. 



46o 



C ORRESPO SDA y CE 



et, d'autre part, puisque la somme A + B -[- tl ne peut être inférieuir 
à deux angles droits et puisqu'il est déjà démontré quelle ne peut être 
supérieure, on a forcément la conclusion : 

A -1- B -4- C rz 2 auglcs droits-espace^ 

Retranchons membre à membre : 

O :z: ABC triangle-espace. 



é- 



Je crois que je ne serais pas trop prétentieux si je proposais à M. 
Baron de me démontrer que tous les triangles sont égaux. Je viendrai 
démontrer à mon tour que l'infini est nul. 

On peut utiliser les conclusions citées, à savoir: FAD + DBl'^ 
4- ECG = A + B -}- C = -2 angles droits espace, c'est-à-dire l'espace 
illimité FABGG= 2 angles droits espace, et pour les appliquer à l'étude 
de la variation de la somme de deux angles droits; on supposera que la 
droite AG se déplace parallèlement pour aller même au delà de B. 

Il y aurait là une belle question ; je me borne à faire remarquer qu'on 
pourra la résoudre : i) Par la géométrie euclidienne ; 2) Par la géomé- 
trie non-euclidienne. 

Voici maintenant une autre question : soient deux angles égaux 
(angles-espace) A et A'. Supposons que l'on ait disposé les angles A et 

A' de manière qu'ils aient 
un côté commun et qu'ils 
forment deux angles corres- 
pondants BAG, BA' C. 

Alors nous voyons que la 
différence de ces angles est 
l'espace infini CAA'C: mais 
les angles étant égaux leur 
différence est nulle, donc 
l'espace infini CAA'C' est 
nul. 

Passons à une autre ques- 
tion. La somme de tous les angles adjacents formés autour d'un point (> 
et dune même partie d'une droite est égale à deux angles droits. Donc 
tout l'espace ABU vaut deux angles droits, de même tout l'espace 
A'B'O fera deux angles droits. 

Par conséquent la diliérence AB, A'B' est égale à zéro. 
Les lecteurs, et peut-être M. Baron aussi, liront avec intérêt ce-^ 
(juelques remarques et ils comprendront ujes conclusions. 

C'est le danger de l'introduction trop délicate de I'Axcle-espaci-: au 
lieu de l'angle biradial. Dans mes raisonnemi-nts je n'ai fait que suivre 
les conseils de M. Baron : « (Jn ne doit contondre 1 anglt; biradial av^i- 
l'angle-espace ». Particulièrement il nous faut r('mai(|Uir que dcii\ 




<0/U{ E S P o y IJ A ;V C H 46 1 

angles dont les côtés ont des direr-tions qui (ont entre elles un angle 
nul ne sont pas nécessairement égaux ; dans tous les autres cas, lorsque 
les directions des côtés feront des angles égaux, les angles seront 
égaux, c'est-à-dire superposables (il faut remarquer que je parle en 
géométrie euclidienne). 

Puis je tiens à signaler une erreur de logique. Quoique M. Baron 
déclare : qu il sait que la somme des angles d un triangle ne peut être 
fiupcrieurc a deux angles droits, il constate que cette somme dépasse deux 
angles droits précisément du triangle ABC, quantité négligeable ou non 
(si elle ne saurait être négligeable M. Baron, croyait — je pense — 
avoir mieux raison), puis il en conclut: donc cette somme ne peut 
être inférieure à deux angles droits, et d après cette tournure il ne voit 
pas la faute logique s'il dit que cette somme est forcément égale à deux 
droits. C'est d'abord un fait psychologique, je m'imagine, constaté par 
nous tous, que lorsque nous avons des idées préconçues, notre psy- 
chologie nous emporte, par des fautes logiques, à forcer les raisonne- 
ments jusqu'à ce que notre but proposé soit atteint. 

Une autre faute est qu'on opère avec des infiniment grands comme 
avec des quantités égales, et, ce qui est plus dangereux dans ces rai- 
sonnements, est qu'on exprime la différence entre des quantitées 
infinies (A-f-B-f-C) — 2 triangles-espace par des quantitées finies : 
triangle ABC négligeable ou non. 

Il y a encore un raisonnement très curieux que je veux donner à pro- 
pos de cette remarque. Une droite infinie partage le plan en deux 
demi-plans. Il n'y a pas de raison pour que ces deux demi-plans ne 
soient pas égaux, ou mieux : par raison de symétrie ces deux demi- 
plans sont égaux. 

Supposons que cette droite infinie a'b' tourne autour du point I et 
devienne A'B' ; alors les demi-plans a'b\G et A'B',0 sont égaux puis- 
qu'on a retranché et ajouté deux angles (espace) opposées au sommet 
1. On a donc A'B'O ^ a'ô'o. D'autre part si la droite avait tourné de 
même angle autour du point Iv on aurait pour la même raison a'b'o = 
ABO. Donc A'B'O := ABO. J'ai donc bien démontré rigoureusement 
que l'espace infini ABA'B' est nul. Mais, si vous ne le voulez pas. alors 
il vous faudra admettre que lorsqu'une droite a'b' tourne autour d'un de 
ses p(»ints les deux demi-plans séparés varient d'après la position du 
point de rotation, mais aloi's c'est contraire à l'hypothèse qu'une droite 
partage le plan en deux demi-plans égaux, dont nous sommes partis, ce 
qui est absurde ; de plus, je vous prie, précisez-moi de quelle partie 
doit se mouvoir le point I pour que le demi-plan a'b'o croisse, et de 
quelle partie pour qu'il décroisse pendant la rotation, et cela pour 
quelle raison. 

C. Popovici (Turno-Severin, Roumanie.) 



Ensei^neuienl muth. lo 



BIBLIOGRAPHIE 



A.-R. Forsyth. — A Treatise on DifFerential Equations. Third Edition, 
I vol. relié, 5ii pages; Macmillaii et C'"^, Londres, igoS. 

Nous signalons à nos lecteurs celle nouvelle édition du Treatise on DifJ'c- 
rential Equations de M. Forsyth. Ce traité appartient depuis longtemps à la 
catégorie des ouvrages classiques sur les éléments de la théorie des équa- 
tions différentielles, et c'est à ce titre qu'il a été traduit en allemand (en i88y) 
ot récemment en italien. Il n'y a donc pas lieu de donner une analyse de ce 
livre ; il suffira de signaler simplement en quoi celte troisième édition, revue 
et augmentée, diffère de la précédente. 

Les principaux changemeuts portent sur Tétude de l'équation de Riccali, sur 
la discussion des conditions d'intégrabilité dune équation aux différentielles 
t olales, et sur la démonstration du théorème fondamental relatif à l'inté- 
grale d'une équation linéaire aux dérivées partielles du premier ordre de 
Lagrange. 

D'autre part, l'auteur a ajouté un court aperçu de la méthode de Ruuge 
pour la résolution numérique d'équations diflercntielles du premier ordre 
et de la théorie des multiplicpteurs de Jacobi ; il signale également la méthode 
de Frobenius pour la résolution des équations linéaires à l'aide de séries. 
Ajoutons pour terminer, que le nombre des problèmes et exercices a été con- 
sidérablement augmenté. H. F. 

E. GouRSAT. — Cours d'Analyse Mathématique, t. I. — i vol. gr. in-8"-, 
prix : 'lo fx'aucs ; Paris, Gautliier-Villars, 1902. 

L ouvrage de M. Goursat est le résumé de son cours de la Faculté des 
Sciences ; le premier volume contient l'étude des fonctions de variables 
réelles sauf la théorie des équations différentielles reportée au deuxième 
volume et la théorie des incommensurables exposée dans les livres d'Algèbre. 
Tout au long du premier volume on retrouvera le désir exprimé par l'au- 
teur de rester élémentaire dans son exposition, précise et claire mais éloignée 
cependant d'une « généralité superflue dans un livre d'enseigncmeul ». Ou 
remarquera non moins l'abondance des matières traitées dans ce livre, leur 
adaptation aux nécessités d'un enseignement de plus eu plus riche et péné- 
trant, et le souci constant de M. Goursat d'éclairer une théorie abstraite par 
un exemple concret, géométrique s il esl possible. 

ISous ne pouvons que citer les théories sur lesquelles 1 auteur a particu- 
lièremenl insisté et les (pi(!slions i]nl s(>uiblenl l'iiuMijei' du foiul iiioyrn des 
cours de licence. 

Là notation diiréreuliclic est introduite dès les premières questions par 
suite « des avantages qu'on y trouve pour la symétrie et la gc'néralité dans 
l<s formules » . 



D/liLJOGIi.lP/lir: i63 

Parmi les prcniicrcs ([ueslious étudiées, los fouclious implicites et les 
(lélcrmiuants fonctionnels se résument dans le théorème suivant : 

« Soient m^, u.^,... m,(, « fonctions de n variables indépendantes Xj.a;^,... x,,. 
Pour qu'il existe entre ces n fonctions une relation ne renfermant pas les 
variables x^, x^,. . . x,i, il faut et il suffit que le détenninanl fonctionnel cor- 
respondant soit identiquement nul ». 

L'auteur appelle l'attention de l'étudiant sur la grande importance de cette 
proposition en Analyse et montre comment on peut en tirer le théorème 
fondamental des logarithmes. 

A propos des changements de variables quelques pages sont consacrées 
aux transformations des courbes planes et aux transformations do contact ; 
à citer ici les exemples de Lcgendre et d'Ampère. 

Les notions de limite inférieure et supérieure d un ensemble de nombres 
ainsi que la notion d'oscillation précèdi>nt la méthode de Riemann dans la 
recherche de la condition nécessaire et suffisante pour ([u'une fonction soit 
intégrable dans un intervalle : une fonction continue satisfait à une telle 
condition. 

Successivement nous voyons comme applications des intégrales : la dé- 
monstration de la transcendance du nombre e par la méthode de M. Hermite 
et l'esquisse des intégrales curvilignes; puis quelques aperçus des intégrales 
abéliennes et des courbes unicursales. Après l'exposé des intégrales ellipti- 
ques, suivent l'intégration double avec la formule de Green et l'exposition du 
changement de variables ; ces théories s'achèvent p^r des compléments sur 
les intégrales de surface, les formules de Stokes et les intégrales eulériennes; 
la théorie des intégrales multiples se ramène d'ailleurs facilement à celle des 
intégrales doubles par des transformations successives. 

Dans l'intégration des différentielles totales d'une importance si considé- 
rable en Physique mathématique, les périodes sont abordées en quelques 
lignes faciles à lire. 

Depuis la représentation et la définition des fonctions analytiques par des 
séries de Taylor, les séries ont acquis une importance considérable et même 
fondamentale dans les questions les plus abstraites de l'Analyse, alors qu'au- 
paravant leur rôle si- réduisait presque à n'être qu'une méthode de calcul. 
La théorie des séries entières et des fonctions représentées par une série de 
Maclaurin semble être un sujet de la plus gi-aude importance pour les futurs 
mathématiciens ; qu'il s'agisse de la croissanciî des fonctions ou de leurs 
points singuliers lorsqu'elles sont uniquement connues par une série de 
Maclaurin ou définies par une équation dilférenlielle, on trouve là tout un 
ensemble de questions difficiles dont la résolution partielle a permis d'ap- 
profondir les concepts de fonction et de nombre ; les travaux qui s'y rap- 
portent constituent actuellement une grande partie de l'Analyse pure. 

L'auteur s'y arrête longtemps. 

Il rappelle les règles de convergence : la règh; de Cauchy étant plus géné- 
rale que celle de d'Alembert. Les critères logarithmiques permettent de se 
figurer une échelle de convergence et de divergence ; ils se rattachent aussi 
à l'une des questions les plus étudiées à l'heure actuelle : la croissance des 
fonctions ; ils sont suivis de la multiplication des séries et de la théorie des 
séries multiples où se pi-ésente la généralisation du théorème de Cauchy 
ramenant la convergence d'une série à l'existence dune iutégrale double. 

La représentation des fonctions par des séries commence avec la notion 



_\Ct\ BIBLIOGRAPHIE 

de convergence uuitbrrae. La continuité d une touclion eutière cl la toruiation 
do ses dérivées successives se présentent ensuite. 

L'introduction des fonctions majorantes permet de grouper autour d'une 
idée simple un grand nombre de questions, comme la substitution d'une série 
entière dans une autre, la division des séries entières et la théorie des fonc- 
tions implicites avec la décomposition d'une fonction de deux variables en un 
produit de deux facteurs d après Weierstrass ; cette décomposition est inté- 
ressante au double titre historique et formel car c'est l'une des premières 
propositions générales obtenues dans la théorie des fonctions de plusieurs 
variables. L'étude des fonctions implicites délîiiies par un système d'équa- 
tions est résumée dans un théorème général dont la démonstration nest faite 
que sur un cas particulier. 

Le développement des fonctions arbitraires en séries trigonométriques et 
des fonctions continues en séries de poljiiômes met en évidence divers 
modes, plus généraux, de représentation des fonctions soumises dans uninter- 
valla donné à moins de restrictions que les fonctions développables en séries 
de Taylor; celles-ci doivent avoir des dérivées alors qu'une fonction continue 
i)eut ne pas en avoir comme le montre l'exemple de Weiertrass avec lequel 
M. Goursat iinit la partie purement analytique de son premier volume. 

Les trois derniers Chapitres présentent les applications géométriques de 
l'Analyse qui précède. 

La notiou de courbure est rapidement introduite. 

A la théorie des enveloppes et des surlaces développables succède l'exposé 
détaillé de la courbure et de la torsion avec leur application aux hélices et 
aux courbes de M. Bertrand. 

La théorie des surfaces profite largement de laide des simplifications géo- 
métriques ; les calculs effectués permettent souvent l'expression facile des 
éléments et des conditions en coordonnées curvilignes ; c'est ainsi que les 
équations des lignes asymptotiques et des lignes de courbures sont obtenues 
avec des exemples simples d'applicali<m. 

TjCs lignes de courbure donnent lieu à la démonstration des formules 
d Olinde Rodrigues, des théorèmes de Joachimslhal et de Dupin suivis de 
leurs applications aux lignes planes et sphériques qui sont lignes de cour- 
bure, aux surfaces homofocales du second degré ainsi qu'à la transformation 
par rayons vecteurs réciproques. 

Par la généralisation des surfaces réglées, les congruences et les complexes 
sont amenés naturellement et constituent une introduction à la génération 
rectiligue de l'espace. Parmi les systèmes de droites les plus intéressants, 
la congruence des rayons lumineux normaux à une surface conserve sa pro- 
priété après un nombre quclcon(|ue de réfractions. 

A la lin des chapitres sont indi(|ués des problèmes : énoncés de licence ou 
proposili(ms tirées des travaux de Laplace, Euler, Jacobi, Halphen, Hermito. 
Painlevé, Darljoux...; la résolution de ces dernières propositions constitue- 
rait un acheminement vers les véritables recherches scienlili(|ues. 

L. Di-SAiNT (Paris). 

1;i;nesto T'.vsc.vi,, Profissorc ordinario nella R. Universila di Pavin. I gruppi 
continu! di trasformazioni (l'arlc générale délia tcoria). In vol. i58 p. 
(Manu.ili ll(epli]. Prix : Ji fi'. oo; Ui.ku;o llu:ri.i. Milano, igo'î. 

La lh«'<)rie des groupes continus de Iranslormations, duc au génie. de So- 



u/ULKXJJiAJ'in/: ',(■,') 

phus Lie.uo cuustitui' pas seulement une théorie de la plus graudc élégaiici': 
ses nombreuses applications dans les branches les plus diverses de la scienre 
mathématique autorisent toutes les espérances. 

Les relations qu elle a créées entre des domaines sans connexion apparenli'. 
les méthodes générales qu'elle a introduites dans l'intégration des équations 
différentielles ordinaires, Iharmonle qu'elle a déjà apportée dans la théorie 
des équations aux dérivées parlitdies, les points de vue admirablement gé- 
néraux et ft'conds dont elle a doté la géométrie, la clarté qu'elle est venu<; 
jeter sur la ([uestion des principes de cette dernière science, tout concourt 
à lui faire, dans l'Analyse mathématique, une place des plus importantes, 
qui ne peut qu'aller en s'élargissant. 

L'œuvre de Sophus Lie est contenue dans des mémoires publiés à mesure 
de sa création, à partir de l'année 1873, pour la plupart à Christiania. 

Elle se trouve systématiquement exposée dans une série d'ouvrages, 
comprenant au moins sept gros volumes gr. in-8'^ et dûs à la collaboration 
de Sophus Lie et de MM. Engel etSehcfTers, et édités par la maison Tcubntr- 
à Leipzig. 

Comme le dit Sophus Lie lui-même, la structure de cette œuvre se ressent 
du souci de présenter ces choses nouvelles dans leur imposante généralité, 
de ne pas abandonner un sujet avant d'en avoir épuisé tous les points 
de vue, de ne pas manquer de signaler les nombreuses ramiflcations qui se 
détachent vers les autres branches des mathématiques. 

On conçoit qu'une telle œuvre ne s'adresse guère aux étudiants. 

fl existait là une lacune : elle est désormais comblée de la manière la plus 
heureuse par l'ouvrage de M. Pascal. 

Dans ce charmant petit livre, pas plus volumineux qu un agenda de poche, 
on trouvera la matière du premier volume de la « Théorie de Sophus Lie, 
c'est à-dire, en somme, ce qui constitue la théorie proprement dite des grou- 
pes finis et continus de transformations, non sans rencontrer plusieurs résul- 
tats dus aux travaux personnels de l'auteur. 

Ceux à qui il est arrivé de se rebuter devant l'œuvre substantielle, mais 
d'une assimilation parfois un peu laborieuse, de Sophus Lie, goûteront d'au- 
tant plus vivement, dans l'ouvrage de M. le Professeur Pascal, la sobriété 
élégante du discours, la simplicité directe des démonstrations, la liaison des 
idées, bref tous ces soins de haute politesse par lesquels lauleur garde 
pour soi le travail fastidieux, en laissant au lecteur l'illusion de la facilité. 

Il n'est pas jusqu'à cette délicieuse langue italienne dont la Huidité no 
concoure à cette impression de facilité, qui émane de tout le livre. 

M. le Professeur Pascal laisse entendre, dans sa préface, qu'il se propos<' 
de consacrer un second volume à l'étude de certains groupes particuliers, 
ainsi qu'à l'étude si importante des transformations de contact. 

Mous espérons que l'œuvre sera ensuite complétée par l'exposé des appli- 
cations de la théorie des groupes continus de transformations à l'intégration 
des équations didércntielles et à la théorie des équations aux dérivées par- 
tielles. Nous espérons en outre, dans l'intérêt de la diffusion de cette partie 
de l Analyse mathématique, que ces divers ouvrages tenteront les tra- 
ducteurs. 

<;. CoMBEBi.vc ^Limoges). 



BULLETIN BIBLIOCxRAPHIOUE 



Annals Of Matheiaatics, publiées sous les auspices de Harvard Univer- 
sity, par O. Stone. W.-E. Byerly, H.-S. White, W.-F. Osgood, F.-S. 
Woods. Cambridge. U. S. A. Publication trimestrielle gr. in-4°. Second 
Séries, vol. lY. 1902- igoS. 

rs'o 3. — R.-C. Akchibald : The Cardioid and Tricuspid : Quartics with 
Three Cusps. — E.-D. Roe : ?\ote on a Partial DifTerential Equation of the 
First Order. — A. -S. Gale : On a Generalization of the Set of Associated 
Minimum Surfaces. — H.-S. White : Twisted Quartic Curves of the First 
Specics and Certain Covariant Quartics. — E.-R. Hedrick : On the Charac- 
teristics of DifFcrenlial Equations. 

X" 4. — E.-R. Hedrick ; (Voir n'^ précédent). — M. Rocher : On the Uni- 
formity of the Convergence of Certain Absolutely Convergent Séries. — 
W.-P\ OscoOD : The Intégral as the Limit of a Sum, and a Theorem of Du- 
hamel's. — R.-E. Moritz : On a General Fielation of Continued Fractions. 
— J.-A. Van Groos : Note on the Equilateral Hyperbola. — G.-A. Miller : 
A New Proof of the Generalized Wilson's Theorem. — E.-B. Ya?« Vleck ; 
A SuHicient Condition for the Maximum Number of Imaginary